Teoremas de Green

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Teoremas de Green
0.1 Conjuntos compactos no Rn
Antes de tudo, recordamos uma nomenclatura bem utilizda para intervalos dos
números reais R. Um intervalo do tipo (a, b) é chamado de aberto. Se for da forma[a, b] é um compacto. Mais ainda, um do tipo (a,+∞) é ilimitado, etc. Estes conceitos
são naturalmente estendido pra subconjuntos de R2. Vejamos.
Um disco aberto em R2 com centro em (x0, y0) e de raio r > 0 é o conjunto
D○ = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 < r}.
Acompanhando a notação, o disco fechado com mesmo centro e mesmo raio é o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r}.
(x ,y )
0 0
r
Disco aberto
(x ,y )
0 0
r
Disco fechado
O bordo( ∂) destes dois conjuntos é um círculo (não confundir com discos que são
objetos geométricos bidimensionais). Usualmente, o bordo de uma figura em R2 é
unidimensional, uma linha. Os bordos dos discos acima é o conjunto
∂D = C = {(x, y) ∈ R2; (x − x0)2 + (y − y0)2 = r}.
Diz-se que Ω ⊂ R2 é um subconjunto aberto se para qualquer (x, y) ∈ Ω existe um
disco centrado em (x, y) inteiramente contido em Ω.
1
2
W
Aberta
W
Fechada
Diz-se que um conjunto Ω ⊂ R2 é fechado se seu conjunto complementar em R2 é
aberto. Intuitivamente falando, um conjunto é fechado quando ele contém os pontos
do seu bordo. Como ilustração, sugerimos graficamente nos desenhos acima, as duas
situações. A região à esquerda é aberta e a região indicada à direita é fechada.
Um conjunto Ω ⊂ R2 é limitado se ele está contido num disco centrado na origem e
de raio R > 0. Ver figuras.
W
R
(0,0)
Limitada
W
(0,0)
Ilimitada
Definição 0.1. Uma região Ω ⊂ R2 é compacta se Ω é fechada limitada.
W
Compacta
Iremos considerar regiões compactas cujos bordos podem ser parametrizados por
curvas que possuem derivadas (exceto nos pontos de �quina�). Diremos que o bordo
Ÿ0.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2) 3
está parametrizado positivamente se no percurso feito a região limitada pelo bordo fica
à esquerda.
W
Compacta
Exercício 0.1. Classifique a região plana comparando-a com cada definição dada
acima (aberta, fechada, limitada, etc). Parametrize o bordo de cada região (se existir)
de modo que a região fique do lado esquerdo do percurso.
¬ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y}.
­ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y}.
® Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 < x < y < 1}.
¯ Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}.
° Ω = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x < y}.
± Ω = R2. ◻
0.2 Os espaços F(Ω,R) e V(Ω,R2)
Seja Ω um aberto de R2. Iremos considerar dois conjuntos cujos elementos são
objetos funcionais.
O primeiro deles, denotado por F(Ω,R), é o conjunto constituído por todas funções
f ∶ Ω→ R para as quais podemos calcular todas as derivadas parciais de todas as ordens.
Observe que as funções de F(Ω,R) são aquleas com mesmo domínio Ω. E mais, os
elementos de F(Ω,R) são as funções com as quais trabalhamos ao longo do curso.
Por exemplo, se Ω = R2 − {(0,0)} (R2 perfurado na origem), a função
f ∶ Ω→ R, f(x, y) = x2ye4x−y − sen(xy),
pertence a F(Ω,R), pois qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω, podemos fazer a avaliação
f(x0, y0). A função
g ∶ Ω→ R, g(x, y) = 1
x2 + y2 ,
também pertence a F(Ω,R), pois, da mesma forma, qualquer que seja (x0, y0) ∈ Ω
podemos avaliar g(x0, y0). Entretanto, a função
h ∶ Ω→ R, h(x, y) = xy(x − 1)3 + y4
4
não pertence a F(Ω,R) pois (1,0) ∈ Ω mas não podemos fazer a avaliação de h(x, y)
neste ponto. O domínio de h não é Ω.
O conjunto F(Ω,R) tem uma estrutura natural de espaço vetorial. Isto é, podemos
somar duas funções de F(Ω,R) e obter uma terceira função e multiplicar uma função
de F(Ω,R) por um escalar λ ∈ R e obter uma outra função.
Por exemplo, se F(Ω,R) é o conjunto descrito acima e f e g, são as funções já
citadas, nós temos
(f + g)(x, y) =∶ x2ye4x−y − sen(xy) + 1
x2 + y2 .
Claro, (f + g) ∈ F(Ω,R). Agora, se λ = −4, a função
λg(x, y) =∶ −4
x2 + y2
também pertence a F(Ω,R).
Novamente, seja Ω um subconjunto aberto do R2.
O segundo conjunto que iremos considerar, V(Ω,R2), é o conjunto constituído por
todos os campos de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2. Portanto, os elementos de V(Ω,R2) são funções
com duas funções coordenadas, F⃗ (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)).
Exemplifiquemos. Suponha que Ω = R2. Considere o campo de vetores
F⃗ ∶ Ω→ R2, F⃗ (x, y) = (−y, x).
Para vizualizar o campo devemos esboçar em cada ponto (x, y) um segmento orientado
com início neste ponto que represente o vetor F⃗ (x, y) = (−y, x). A seguir um esboço
deste campo de vetores.
(x,y)
F(x,y)
Da mesma forma, o conjunto dos campo de vetores V(Ω,R2) admite uma estrutura
de espaço vetorial. Basta definir a soma de campo de vetores e o produto de um
Ÿ0.3 Gradiente e rotacional em R2 5
campo de vetores por um escalar da seguinte forma. Sejam F⃗ = (F1, F2) e G⃗ = (G1,G2)
campo de vetores de V(Ω,R2) e λ um escalar. Definimos as operações coordenada a
coordenada:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
(F⃗ + G⃗)(x, y) = (F1(x, y) +G1(x, y), F2(x, y) +G2(x, y))
(λ ⋅ F⃗ )(x, y) = (λF1(x, y), λF2(x, y)) .
Exemplo 0.1. Considere
F⃗ (x, y) = (xy, sen(x)) e G⃗(x, y) = (ey, sen(y))
campo de vetores em V(R2,R2) e λ = 3. Então
(F⃗ + G⃗)(x, y) = (xy + ey, sen(x) + sen(y)) e λ F⃗ (x, y) = (3xy, 3sen(x)).
Neste caso, Ω = R2. ◻
0.3 Gradiente e rotacional em R2
Iremos considerar a sequência de operadores (transformação lineares) entre os es-
paços vetoriais definidos acima:
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)
O operador ∇ é nosso conhecido, ele é o gradiente:
∇ = ( ∂
∂ x
,
∂
∂ y
) .
Como sabemos, este operador transforma funções f ∈ F(Ω,R) em campo de vetores deV(Ω,R2). Por exemplo se f(x, y) = x2y − ey, então
∇f(x, y) = ( ∂f
∂ x
(x, y), ∂f
∂ y
(x, y)) = (2xy, x2 − ey).
O segundo operador rot, denominado rotacional, transforma campo de vetores em
funções. O cálculo é feito por um algoritmo formal. Se F⃗ = (F1, F2) é um campo de
vetores de V(Ω,R2), então rot(F⃗ ) é a função em F(Ω,R) definida por
rotF⃗ = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
F1
∂
∂ y
F2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= ∂F2
∂ x
− ∂F1
∂ y
.
6
Exemplo 0.2. Considere o campo de vetores em R2,
F⃗ (x, y) = (x2y − 3, xey).
Por definição
rotF⃗ (x, y) = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
x2y − 3
∂
∂ y
xey
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= ∂
∂ x
(xey) − ∂
∂ y
(x2y − 3) = ey − 2xy.
Observe que, de fato, o rotacional de um campo de vetores é uma função. ◻
A primeira relação que podemos estabelecer entre o operador gradiente e o operador
rotacional envolve a composta dos operadores. Como as derivadas cruzadas de funções
que estamos considerando são iguais podemos verificar que a composta rot∇f ≡ 0, para
toda função f ∈ F(Ω,R). Vejamos
rot∇f = rot( ∂f
∂ x
,
∂f
∂ y
)
= det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
∂f
∂ x
∂
∂ y
∂f
∂ y
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= ∂2f
∂ x∂ y
− ∂2f
∂ y ∂ x= 0.
Vale uma releitura deste fato em termos de Álgebra linear. A imagem do gradiente
é um subespaço de V(Ω,R2), mais precisamente
Im(∇) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); existef ∈ F(Ω,R) tal que F⃗ = ∇f}
Por outro lado, o núcleo de rot é o subespaço
Nuc(rot) = {F⃗ ∈ V(Ω,R2); rotF⃗ = 0}.
O que foi mostrado acima transcreve-se na seguinte proposição.
Proposição 0.1. Im(∇) ⊂ Nuc(rot).
Na Física, um campo vetorial gradiente F⃗ , ou seja F⃗ = ∇f , também é chamado de
campo conservativo e a função f de função potencial de F⃗ .
Um fato relevante desta teoria, é que, em geral, Im(∇) ⊊ Nuc(rot). Ou seja,
existem campos de vetores cujo rotacional é nulo, mas eles não são campos gradien-
tes! Estudaremos mais tarde, que a igualdade Im(∇) = Nuc(rot) depende do tipo de
domínio Ω!
Ÿ0.4 Integral de linha 7
0.4 Integral de linha
Nestas notas utilizaremos a seguinte terminologia.
Ê Ω um aberto do R2;
Ë Uma curva significa uma aplicação α ∶ [a, b] → Ω, α(t) = (α1(t), α2(t)), seccio-
nalmente C1 (α é contínua e existe a derivada α′ exceto num número finito de
pontos).
Ì F ∶ Ω→ R2, F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y) umcampo de vetores de V(Ω,R2).
Definiremos uma integral denominada integral de linha de um campo de vetores
F⃗ = (F1, F2) sobre uma curva α. Esta integral tem várias notações (depende do livro
texto). Uma das notações utilizasserá
∫
α
F1dx + F2dy.
Apresentaremos dois teoremas relacionando os operadores de derivação, ∇ e rot, e
integral de linha e integral de funções em reigões planas,
∫R f(x, y)dA.
Os teoremas relacionando integrais e estes operadores são indicados no seguinte es-
quema: F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. do campo conservativo
V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶
Teo. de Green
Definamos a integral de linha de F⃗ = (F1, F2) sobre uma curva α ∶ [a, b] → Ω,
integral esta denotada por
∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy.
Para isto lançamos mãos do produto interno e da integral definida em Cálculo I. Por
definição ∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ b
a
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩dt
Exemplo 0.3. Vejamos exemplos ilustrativos para as proposições que seguem.
Consideremos o campo de vetores
F ∶ R2 → R2, F (x, y) = (−y, x)
e a curva
α ∶ [0,1]→ R2, α(t) = (1 − t, t).
8
Observe que α(0) = (1,0) e α(1) = (0,1). O traço (imagem) de α é uma curva plana
Γ, mais precisamente, seu traço é o segmento de reta compreendido entre os pontos(1,0) e (0,1). Estes pontos constituem o bordo de Γ, ∂Γ = {(1,0), (01)}. Calculemos
a integral de linha de F⃗ sobre α.
a( )t
b( )s
(0,1)
(1,0)
g( )t
G
P
∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 1
0
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨F⃗ (1 − t, t), (−1,1)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨(−t,1 − t), (−1,1)⟩dt
= ∫ 1
0
(t + 1 − t)dt= 1
Um fato relevante que pode ser mostrado, é que a integral de linha de F⃗ só depende
do traço Γ da curva α, do ponto inicial e do ponto final, ou seja, da ordem dos pontos
do bordo ∂Γ. Exemplifiquemos este fato.
Considere uma outra curva com o mesmo traço Γ e mesmos pontos iniciais e finais.
Por exemplo,
γ ∶ [1,2]→ R2, γ(t) = (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) .
Calculemos a integral de F⃗ sobre γ. Para isto, necessitaremos da velocidade, γ′(t) =
Ÿ0.4 Integral de linha 9
(−2(t − 1),2(t − 1)). Agora,
∫
γ
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 2
1
⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨F⃗ (1 − (t − 1)2, (t − 1)2) , (−2(t − 1),2(t − 1)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨(−(t − 1)2,1 − (t − 1)2), (−2(t − 1),2(t − 1)⟩dt
= ∫ 1
0
2(t − 1)dt
= (t − 1)2]2
1= 1.
Portanto, parametrizações de Γ com mesmo ponto inicial e mesmo ponto final
produzem o mesmo valor da integral de linha.
Vejamos a mudança que ocorre no valor da integral de linha de F⃗ se a curva tem
outro traço mas os mesmo pontos finais de α. O traço Π da curva
β ∶ [0,1]→ R2, β(t) = (cos(pi
2
t) , sen(pi
2
t)) .
é um arco de círculo com ponto inicial (1,0) e ponto final (0,1). A velocidade é
β′(t) = (−pi
2
sen(pi
2
t) , pi
2
cos(pi
2
t)) .
Vejamos o valor da integral de linha sobre β:
∫
γ
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 2
1
⟨F⃗ (γ(t)), γ′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
(pi
2
sen2 (pi
2
t) + pi
2
cos2 (pi
2
t)) dt
= ∫ 1
0
pi
2
dt
= pi
2
.
Portanto, o valor é diferente do valor obtido anteriormente.
Finalmente, examinemos a mudança que ocorre no valor integral de linha quando a
curva tem o mesmo traço Γ mas pontos iniciais e finais opostos. A curva a seguir tem
esta propriedade:
α̃ ∶ [0,1]→ R2, α̃(t) = (t,1 − t).
10
Calculando,
∫
α̃
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ 1
0
⟨F⃗ (α̃(t)), α̃′(t)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨F⃗ (t,1 − t), (1,−1)⟩ dt
= ∫ 1
0
⟨(−1 + t, t), (1,−1)⟩dt
= ∫ 1
0
(−1 + t − t)dt= −1
Portanto, o sinal da integral de linha é oposto ao de α. Resumamos em uma proposição
estas propriedades. ◻
Proposição 0.2. Sejam F⃗ ∶ Ω→ R2 um campo de vetores, α ∶ [a, b]→ Ω, β ∶ [c, d]→ Ω
e α̃ ∶ [a, b]→ Ω curvas em Ω.
1. Se α e β têm o mesmo traço e mesmos pontos iniciais e mesmos pontos finais,
então ∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫
β
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy;
2. Se α e α̃ têm o mesmo traço e pontos iniciais e finais opostos, então
∫
α̃
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = −∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy.
0.5 Campos de vetores conservativos
Quando o campo é conservativo o Teorema do campo conservativo estabelece que a
integral de linha sobre uma curva α só depende dos pontos iniciais e finais não depende
do traço! Enunciemos o primeiro teorema, relacionando ∇ e integral de linha:
F(Ω,R) ∇Ð→ V(Ω,R2)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶Teo. do campo conservativo
Teorema 0.1. Sejam F⃗ ∶ Ω → R2, F = (F1, F2), um campo de vetores e α ∶ [a, b] → Ω
uma curva. Se F⃗ é um campo conservativo com função potencial f ∶ Ω→ R2, então
∫
α
F1dx + F2dy = f(α(b)) − f(α(a)).
Prova Assuma que F⃗ é um campo conservativo, ou seja, existe f ∶ Ω → R2 tal que∇f = F⃗ . Por definição de integral de linha, regra da cadeia e Teorema Fundamental do
Ÿ0.5 Campos de vetores conservativos 11
Cálculo temos:
∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ b
a
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ b
a
⟨∇(α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ b
a
d
dt
f(α(t))dt
= f(α(t))]ba= f(α(b)) − f(α(a)).
Isto termina a demonstração. ◻
O campo de vetores examinado no Exemplo 0.3, p. 7, qual seja, F⃗ (x, y) = (−y, x),
não é conservativo, pois α e β são curvas com os mesmos pontos iniciais e os mesmos
pontos finais, mas as integrais de linha são diferentes.
Se a curva α é fechada, α(a) = α(b), e o campo de vetores é conservativo a sua
integral de linha sobre α é zero.
A questão, agora, é identificar quando um campo de vetores é conservativo utili-
zando o operador rotacional. Antes disto, vejamos um exemplo.
Exemplo 0.4. Fixemos a região plana Ω = R2−{(0,0)} (a região aberta é R2 perfurado
na origem). Considere o seguinte campo de vetores F⃗ ∈ V(Ω,R2),
F (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) .
Vejamos o seu rotacional.
rot(F⃗ ) = det
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
∂
∂ x
−y
x2 + y2
∂
∂ y
x
x2 + y2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= x2 + y2 − 2x2(x2 + y2)2 + x2 + y2 − 2y2(x2 + y2)2= 0.
Calculemos duas integrais de linha com as curvas possuindo pontos iniciais e pontos
finais iguais, mas com traços diferentes. Caso a resposta das integrais sejam diferentes
o campo não é conservativo.
12
(1,0)(-1,0)
a( )t
b( )t
Considere as curvas α, β ∶ [0, pi]→ Ω,
α(t) = (cos(t), sen()t) e β(t) = (cos(−t), sen(−t)).
Os traços são diferentes e os pontos iniciais e pontos finais são iguais. Calculemos a
integral de linha sobre α:
∫
α
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ pi
0
⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt
= ∫ pi
0
⟨(−sen(t), cos(t)), (−sen(t), cos(t))⟩ dt
= ∫ pi
0
(cos2(t) + sen2(t)) dt= pi.
Agora vejamos a integral de linha sobre β:
∫
β
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy = ∫ pi
0
⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt
= ∫ pi
0
⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(t))⟩ dt
= ∫ pi
0
− (cos2(t) + sen2(t)) dt= −pi.
Como as integrais de linha são diferentes, pelo teorema acima, F⃗ não é campo conser-
vativo, embora seu rotacional seja zero. ◻
Historicamente, este exemplo é importante. Com ele, fica constatado que o domí-
nio de uma função pode modificar as propriedades da função de modo radical. Para
garantir que um campo de vetores cujo rotacional é nulo seja um campo conservativo,
devemos examinar o seu domínio!!
Um subconjunto Ω de R é simplesmente conexo se toda curva fechada α em Ω pode
ser deformada continuamente em Ω, sem rupturas, a um ponto de Ω.
Intuitivamente falando, simplesmente conexo é um conceito que procura transmitir
a ideia sobre um conjunto Ω não ter �buracos�. Ver figuras a seguir.
Ÿ0.5 Campos de vetores conservativos 13
a( )t
(1,0)
simplesmente
conexo
a( )t
(1,0)
não simpesmente
conexo
À direita, o domínio é Ω = R2. O traço da curva α é o círculo unitário canônico S1.
Claro, a curva pode ser continuamente deformada, sem rupturas ao ponto (1,0).
À esquerda, o domínio é Ω = R2 − {(0,0)} (o R2 perfurado na origem). O traço da
curva α é o círculo unitário canônico S1. Para deformar a curva continuamente, sem
rupturas, ao ponto (1,0), em algum instante a curva deve �passar� pelo (0,0) que não
pertence a Ω. A deformação não pode ser realizada inteiramente dentro de Ω. Logo,
ele não é simplesmente conexo.
Teorema 0.2. Seja F⃗ um campo de vetores em V (Ω,R2) tal que rotF⃗ ≡ 0. Se o
domínio Ω é simplesmente conexo, então F⃗ = ∇f , para algum f ∈ F (Ω,R2).
Como R2 é simplesmente conexo, um campo de vetores ser irrotacional e ser campo
conservativo são conceitos equivalentes.
Corolário 0.1. Um campo de vetores F⃗ ∶ R2 → R2 tem rotacional nulo se, e somente
se, F⃗ = ∇f , para alguma função f ∶ R2 → R.
Exemplo 0.5. Considere Ω o subconjunto obtido do R2 menos o semi-eixo não positivo
de ox. Mais precisamente Ω = R2 − {(x,0) ∈ R2; x ≤ 0}. Este conjunto é simplesmente
conexo.
W
Considere o campo de vetores F⃗ ∶ Ω→ R2,
F (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) .
14
Como vimos anteriormente, rotF⃗ ≡ 0. Logo, neste domínio F⃗ é campo conservativo,
isto é, existe uma função f ∶ Ω→ R tal que F⃗ = ∇f . ◻
Exercício 0.2. Guidorizzi, vol. 3.
1. Página 148, números 1, 2, 6, 7 e 8.
2. Página 154, números 1, 2, 3 e 4.
3. Página 169, números 1, 3 e 4. ◻
4. Calcule as integrais de linha de
F (x, y) = ( −y
x2 + y2 , xx2 + y2) .
sobre sa curvas Γ e Π com ponto inicial e final (0,2) e percurso indicado.
1 2
4
-4 -2-7
-5
G
1 2
1
-4 -2-7
-7
P
-2
0.6 Notação
Existe uma leitura muito elegante do que foi visto acima e que será generalizada ao
longo destas notas. Em lugar de escrever a integral de linha de um campo de vetores
em Ω, F⃗ = (F1, F2) sobre a curva α ∶ [a, b]→ Ω na forma
∫
α
F1dx + F2dy,
é usual escrever ∫
α
F⃗ dl.
Estas duas notações significam a mesma integral, qual seja,
∫ b
a
⟨F (α(t)), α′(t)⟩ dt.
Podemos ir mais além na notação. Antes, esclareçamos a seguinte terminologia:
Ÿ0.6 Notação 15
Γ é uma curva plana em Ω
com ponto inicial (x1, y1) e ponto final (x2, y2).
Esta terminologia significa que Γ é a imagem de uma curva α ∶ [a, b] → Ω, tal que
α(a) = (x1, y1) e α(b) = (x2, y2).
(x ,y )
1 1
(x ,y )2 2
=Ga([ ])a,b
W
Diz-se que o bordo de Γ são seus pontos iniciais e finais, simbolicamente,
∂Γ = {(x1, y1), (x2, y2)}.
A curva Γ é um objeto unidimensional e seu bordo ∂Γ é zero dimensional, pois são
pontos.
Vimos que a integral de linha de um campo F⃗ sobre α não depende de α no seguinte
sentido, se β ∶ [c, d] → Ω é outra curva cuja imagem também é Γ e os pontos iniciais
e pontos finais coincidem, β(c) = (x1, y1) e β(d) = (x2, y2), então as integrais de linha
são iguais: ∫
α
F⃗ dl = ∫
β
F⃗ dl.
Isto significa que a integral de linha não está sendo realizada sobre α mas sobre Γ com
ponto inicial (x1, y1) e ponto final é (x2, y2) (não podemos trocar a ordem dos pontos
do bordo, pois isto implica em trocar o sinal da integral de linha). Esta constatação
nos permite escrever uma integral de linha sobre uma curva Γ com pontos iniciais e
finais estabelecidos, na forma ∫
Γ
F⃗ dl.
A curva α é utilizada apenas para fazer o cálculo!
Seja f ∈ F (Ω,R2). Seguindo a notação de Cálculo I, escrevemos
f(x, y)]
∂Γ
= f(x, y)](x2,y2)(x1,y1) = f(x2, y2) − f(x1, y1).
16
Portanto, podemos reescrever o Teorema do campo conservativo de outra modo.
com esta redação, percebemos que ele é uma generalização do Teorema Fundamental
do Cálculo.
Teorema 0.3. Se f ∈ F (Ω,R), e Γ uma curva plana compacta e orientada, então
∫
Γ
∇f dl = f(x, y)]
∂Γ
.
0.7 Teorema de Green
Nesta seção, apresentaremos o teorema de Green que relaciona integrais de áreas
com integrais de linha utilizando o rotacional, ou seja, realciona integrais sobre objetos
unidimensionais com integrais sobre objetos bidimensionais.
V(Ω,R2) rotÐ→ F(Ω,R)´udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¸udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymod¶Teo. de Green
Precisamos de uma terminologia. Diz-se que uma região R num aberto Ω de R2 é
uma região de Green
1
se o seu bordo ∂R está parametrizado de modo que, na direção
do percurso, a região R está do lado esquerdo.
R R
E mais, a parametrização de cada componente conexa do bordo, digamos α ∶ [a, b]→ Ω,
é tal que α(a) = α(b) (curva fechada).
Enunciemos o Teorema de Green.
Teorema 0.4. Seja Ω um aberto de R2. Se F ∈ V (Ω,R2) e R uma região de Green
em Ω, então ∫
∂R
F⃗ dl = ∫ ∫
R
rotF⃗ dA.
1
George Green Sneinton, (⋆ 14/07/1793 − „ 31/05/1841) foi um matemático e físico inglês.
Ÿ0.7 Teorema de Green 17
Exemplo 0.6. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região
D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 4}.
Esta região é um disco compacto cujo bordo ∂D é o círculo de raio r = 2 centrado na
origem. Este bordo deve ser orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar
uma parametrização tal que ao fazermos o seu percurso, deixemos a região do lado
esquerdo. Uma tal parametrização pode ser
α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t)).
Calculemos
∫
∂D F⃗ dl = ∫ 2pi0 ⟨F⃗ (α(t)), α′(t)⟩ dt= ∫ 2pi
0
⟨(−2sen(t),2cos(t)), (−2sen(t),2cos(t))⟩ dt
= = ∫ 2pi
0
4dt= 8pi.
Examinemos o outro membro da relação de Green, aplicando a mudança de coor-
denadas polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2.
∫ ∫D rotF⃗ dA = ∫ ∫D 2dA= ∫ 2pi
0
∫ 2
0
2r dr dθ
= ∫ 2pi
0
4dθ= 8pi.
Assim, fica verificado o teorema de Green. ◻
Exemplo 0.7. Considere o campo de vetores F (x, y) = (−y, x) e a região
R = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
Esta região é um anel compacto cujo bordo ∂R é a união de dois círculo, C1 e C2,
centrados na origem, um de raio r1 = 1 e outro de raio r2 = 2. Este bordo deve ser
orientado no sentido positivo, isto é, devemos considerar uma parametrização de cada
componente conexa do bordo de modo que ao fazermos o seu percurso, deixemos a
região do lado esquerdo. Tais parametrizações podem ser⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α ∶ [0,2pi]→ R2, α(t) = (2cos(t),2sen(t))
β ∶ [0,2pi]→ R2, β(t) = (cos(−t),2sen(−t)) .
18
A integral no bordo de raio r1 = 2 já foi calculada, seu valor é 8pi. No bordo de raio
r1 = 1 o valor segue abaixo:
∫
β
F⃗ dl = ∫ 2pi
0
⟨F⃗ (β(t)), β′(t)⟩ dt
= ∫ 2pi
0
⟨(−sen(−t), cos(−t)), (sen(−t),−cos(−t))⟩ dt
= = ∫ 2pi
0
−1dt= −2pi.
Sendo assim, ∫
∂R F⃗ dl = ∫C1 F⃗ dl + ∫C2 F⃗ dl = 8pi − 2pi = 6pi.
Vejamos a integral de área. Novamente, aplicando a mudança de coordenadas
polares e sabendo que rotF⃗ (x, y) = 2 temos
∫ ∫R rotF⃗ dA = ∫ ∫R 2dA= ∫ 2pi
0
∫ 2
1
2r dr dθ
= ∫ 2pi
0
3dθ= 6pi.
Isto ilustra o teorema de Green. ◻
Exercício 0.3. Guidorizzi, vol. 3.
1. Página 194, números 2, 3, 4, 5 e 9. ◻