MÓDULO 2 - ALUNO

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ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
1 Prof. Dr. Ing. Braitner Lobato – Notas de Aula 02/2013 
 
1. Estimativa de parâmetros 
2. Estimação por ponto 
3. Estimação por intervalo 
4. Intervalo de confiança para média com desvio 
padrão conhecido 
5. Intervalo de confiança para média com desvio 
padrão desconhecido 
6. Intervalo de confiança para a diferença entre 
médias 
7. Intervalo de confiança para a variância e 
desvio padrão 
 
1. ESTIMATIVA DE PARÂMETROS 
 
Um funcionário de uma rede de alimentos enlatados decidiu que durante o acondicionamento de 
extrato de tomate em recipientes metálicos de tamanho padronizado, há um desperdício médio de 8 
gramas. Todavia amostras foram extraídas para análise e verificou-se uma média amostral de 6 gramas e 
um desvio padrão de 3 gramas. Ao redigir seu relatório de inspeção, o funcionário reafirmou um 
desperdício médio de 8 gramas a despeito da média amostral, pois com base na teoria da amostragem o 
desperdício médio amostral depende de cada amostra, ou seja, há forte tendência desse valor flutuar 
entorno de 8 gramas. Sendo assim, o funcionário recomenda ajustes na linha de produção sempre que o 
desperdício for significativamente diferente de 8 gramas. 
Sabe-se que investigar a população de latas de extrato de tomate em uma linha de produção é inviável 
do ponto de vista econômico no que tange ao tempo, recursos humanos e financeiros. Nesse sentido, as 
técnicas de amostragem se mostram importantes para avaliar toda população a partir de uma parte, a 
amostra. No caso citado, as medições de desperdício compõem o experimento que tem a finalidade de 
determinar a estimativa de alguns parâmetros, 

, por exemplo, a média populacional, 

, e a variância 
populacional, 
2
. Ou seja, o desperdício médio e a dispersão deste desperdício. As funções matemáticas 
que fornecem as estimativas destes parâmetros devem estar o mais concentradas possível em torno dos 
valores verdadeiros. Estas funções são chamadas de estimadores, 
ˆ
, e para a média amostral e a variância 
amostral temos as seguintes funções: 
 
0
1 n
i
i
x x
n 
 
 é um estimador da média populacional, 

, e 
0x x
 é uma estimativa. No exemplo em 
questão, a média amostral foi de 6 gramas, isto é, a estimativa para a média foi de 6 gramas. 
 
 
 
22
0
1
1
n
i
i
s x x
n 
 


 é um estimador viciado de 
2
, mas assintoticamente não viciado na variância 
populacional e 
2 2
0s s
 é uma estimativa. 
Todos os parâmetros, 

, e seus respectivos estimadores, 
ˆ
, apresentam uma distribuição amostral 
como fruto da aleatoriedade dos dados experimentais colhidos. No caso da linha de produção de 
enlatados, para cada amostra há valores desperdícios diferentes e consequentemente um valor de média e 
desvio diferentes. Nada impede que, eventualmente, a média seja semelhante. Sendo assim, 
matematicamente é possível inferir que a média das médias amostrais, 
 E x
, é igual à média 
populacional, 

: 
 E x 
. Já a variância da média amostral é igual à variância populacional divida 
pelo tamanho da amostra: 
 
 
2
2
xvar x
n
 
, 
ou seja, se uma variável aleatória populacional tem distribuição normal, 
 2: ,X N  
, e se dessa 
população extrairmos amostras de tamanho n, logo a amostra também se comportará de acordo com a 
distribuição de probabilidade normal mas com a variância n vezes menor: 
 
 
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2
,x N
n


 
  
 
, 
 
ou seja, o estimador amostral para o desvio padrão é: 
 
2
x
n n
 
  
 
 
Contudo, se a população não for normal a média amostral, 
x
, não será exatamente normal, mas 
aproximadamente normal, isto é, a partir do teorema do limite central, ao se retirar uma amostra com 
tamanho n suficientemente grande, teremos que: 
 
2
,x N
n


 
  
 
. 
 
O Teorema do Limite Central diz que a soma, e consequentemente a média, de n variáveis 
independentes seguirá a distribuição normal independentemente da distribuição das variáveis individuais. 
Essa aproxima se torna melhor conforme n aumenta. Estatisticamente, sabe-se que se as distribuições 
individuais não são muito distintas da distribuição normal, 4 ou 5 variáveis independentes são suficientes 
para uma aproximação satisfatória. Caso contrário, se as distribuições diferem bastante da normal, faz-se 
necessária pelo menos 20 variáveis independentes. 
Além disso, se a população for finita e de tamanho N, ao extrair uma amostra de tamanho n sem 
reposição, o estimador para o desvio padrão será: 
 
1
x
N n
Nn





. 
 
No entanto, toda conclusão resultante de um processo amostral traz consigo um grau de incerteza 
quando for generalizada para uma população. Esse é o maior desafio da Estatística Indutiva, quantificar o 
risco, o grau de incerteza, de uma generalização. Nesse ínterim, inserem-se os métodos de estimação de 
parâmetros a partir de amostras: estimação por ponto e estimação por intervalos. 
 
2. ESTIMAÇÃO POR PONTO 
 
Na estimação por ponto, a partir das observações, calcula-se uma estimativa, usando o estimador ou 
“estatística”. A distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o estuda das qualidades de 
um bom estimador. As principais são a consistência, a ausência de vício, a eficiência e a suficiência 
(Morettin, 2009; Soong, 2004). 
Em geral, se X é uma variável aleatória com distribuição de probabilidades f(x), caracterizada por um 
parâmetro desconhecido 

, e se X1, X2, ... , Xn é uma amostra aleatória de tamanho n, a estatística ou 
estimador 
 1 2ˆ , ,..., nh X X X 
é chamada de estimador por ponto de 

. Uma vez que as amostras foram 
selecionadas, o estimador 
ˆ
 assume um valor particular chamado de estimativa de 

(Montgomery e 
Runger, 2003). Os métodos mais importantes para a estimação por ponto são o método dos momentos, o 
método da máxima verossimilhança e o método Bayesiano que não fazem parte do escopo deste curso. 
 
 
 
 
 
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3. ESTIMAÇÃO POR INTEVALO 
 
No curso de estatística descritiva estuda-se parâmetros estatísticos, como a média e o desvio padrão, 
por exemplo, que podem ser estimados a partir de um conjunto de dados. Todavia, é de suma importância 
entender a qualidade da estimativa obtida, uma vez que esses parâmetros estão associados a um grau de 
incerteza, a uma probabilidade de erro. É nesse sentido que surgem os intervalos de confiança. Eles 
servem para definir, simetricamente em torno da estimativa, a extensão do possível conjunto de valores 
que contenha o verdadeiro valor do parâmetro. Esse intervalo é sempre definido para um nível de 
significância, a, esse nível determina a probabilidade do erro que se comete ao afirmar que o intervalo 
contém a estimativa correta. Portanto, o intervalo de confiança é construído com base numa probabilidade 
de ocorrência de (1- a). 
 
Os casos a serem abordados neste módulo serão os seguintes: 
 
 Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância conhecida, para uma 
amostra infinita. 
 Intervalo de confiança para a média amostral normalmente distribuída com variância conhecida, 
para uma amostra finita. 
 Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância desconhecida e 
amostra pequena. 
 Intervalo de confiança para a diferença entre médias. 
 Intervalo de confiança para a variância e para o desvio padrão. 
 
O intervalo de confiança para uma média com variância conhecida admite que tanto a população 
quanto a amostra são distribuídas uniformemente e que o tamanho da amostra é maior do que 30 
elementos. Então, dada a distribuição normal para um caso específico, vide Fig. 1, tem-se o seguinteprocedimento para a estimação intervalar da média, para o caso da população ser finita ou infinita. 
 
2
2z
1 
2
2z 
 Figura 1. Curva normal 
Lembrando que: 
 
1 
 
/ 2z
 
90% 
1,64
 
95% 
1,96
 
99% 
2,58
 
 
 
Para uma população infinita: 
 
 / 2 / 2 1P z z z       
 
/ 2 / 2 1
X
P z z
n
 
 

 
     
 
 
 
/ 2 / 2 1P X z X z
n n
 
         
 
 
 
/ 2X z
n



 
 
 
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Para uma população finita: 
 
/ 2 / 2 1
1 1
N n N n
P X z X z
N Nn n
 
             
 
 
/ 2
1
N n
X z
Nn

 


 
 
Como conseqüência, temos que se 
X
é usado como uma estimativa de 

, podemos estar 
 100 1 %
 
confiantes de que o erro não excederá um valor específico e quando o tamanho da amostra for: 
 
2
/ 2n
z
e
    
 
 
 
A Figura 2 a seguir ilustra o intervalo de confiança para a média de uma população finita e realça o 
entendimento de que em 
 100 1 %
 das vezes o intervalo estimado contém a verdadeira média 
populacional 

. Isso não é a mesma coisa que dizer que a probabilidade da 

 estar dentro do intervalo é 
de 
 100 1 %
, uma vez que 

 é um parâmetro numérico e o mesmo está ou não dentro do intervalo. 
Essa ideia é reforçada pela Fig. 3 que mostra repetidos intervalos de confiança para 

 e nem todos 
incluem a verdadeira 

. 
 
e
X 
/ 2X z
n
  / 2X z n 
 
 
Figura 2. Intervalo de confiança 
 
 
 
Figura 3. Repetidos intervalos de confiança para 

 (Montgomery e Runger, 2003). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 01 (População infinita). A tensão de escoamento é uma variável muito importante para o 
projeto de vigas estruturais de lajes. Supondo que o valor do desvio padrão para um determinado aço é 24 
MPa, o teste de um lote de 36 barras de aço apresentou uma média de 800 MPa. No sentido de entregar 
um relatório, a respeito dos materiais de construção de um edifício, determine o intervalo de confiança 
para a tensão de escoamento média do aço em questão. Admitindo um intervalo de confiança de 95% 
interprete o resultado obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02 (Tamanho da amtostra). A partir dos dados do Exemplo 01, qual deve ser o tamanho da 
amostra se quisermos estar 99% confiantes de que nossa estimativa de 

 está distante no máximo em 5 
MPa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 03 (População finita). Sabe-se que certa indústria automobilística tem 1000 filiais em 
Cabrobró da Serra e a produção mensal de carros blindados da mesma tem média e desvio padrão da 
produção mensal de 150 unidades e 15 unidades, respectivamente. O gerente geral analisando a planilha 
de vendas do mês corrente decidiu fazer uma amostragem com 5 amostras totalizando 100 filiais e obteve 
o seguinte resultado de vendas. Determine o intervalo de confiança para a média amostra obtida pelo 
gerente geral considerando 95% de confiança. 
 
Amostra 1 2 3 4 5 
Média (unidades) 152 148 150 145 155 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA COM DESVIO PADRÃO 
DESCONHECIDO 
 
O intervalo de confiança, para uma média amostral com desvio padrão desconhecido, considera que a 
amostra é pequena, ou seja, n menor ou igual a 30 elementos. Uma vez que o desvio padrão populacional 
é desconhecido, faz-se necessário determinar o desvio padrão amostral a partir dos dados coletados pela 
amostra, conforme a seguir: 
 
 
2
2 1
1
n
i
i
n
x x
s 


, de forma que n-1 equivale ao número de graus de liberdade. 
 
Para pequenas amostras, recomenda-se usar a distribuição “t” de Student, que é uma derivação da 
distribuição normal, como é demonstrado a seguir. 
 
 0,1
.
Nx z
S S S
t
s n
 
 
  
   
 
 
 
Por ser uma derivação da distribuição normal, a distribuição de probabilidades contínuas “t”de Student 
tem algumas semelhanças geométricas quanto ao seu gráfico. Ele também é simétrico e apresenta-se em 
forma de sino, todavia, menos achatado. Sua média vale 0 e sua variância vale 
2

 
, de forma 

 que é o 
grau de liberdade n-1 definido anteriormente, como mostra a Fig. 4 a adiante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Curva “t”de Student 
 
Então, de forma simples pode-se determinar o escore padrão da distribuição “t”de Student a partir da 
média amostral, da média populacional, do desvio padrão amostral e da quantidade de elemento da 
amostra adota, bem como do nível de significância e consequentemente do número de graus de liberdade, 
a partir da seguinte relação matemática: 
 
x
t
s n


 
 
Então, a estimativa intervalar para uma média com desvio padrão populacional desconhecido e de 
amostra pequena pode ser determinada da seguinte forma para uma população infinita: 
 
 /2, 1 /2, 1 1n nP t t t       
 
 
/ 2, 1 /2, 1 1n n
x
P t t
s n
 
  
 
  
 
    
 
2
   2 , 1nt  
1 
2
   2 , 1nt  
 
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/ 2, 1 /2, 1 1n nP x t x t
n n
s s
     
 
     
 
 
/ 2, 1nx t
n
s
 
 
 
No caso de uma população finita, a relação sobre uma pequena adaptação para considerar a relação 
entre o tamanho populacional e o tamanho amostral, como a seguir: 
 
/ 2, 1 /2, 1 1
1 1
n n
s N n s N n
P x t x t
N Nn n
      
 
 
     
 
 
 
/2, 1 1n
s N n
x t
Nn 



 
 
Exemplo 04 (População infinita). Na Francisvaldo Automobile, o engenheiro mecatrônico responsável 
pela automatização do processo de solda, retirou 25 eixos da linha de produção para inspeção. O diâmetro 
médio encontrado, na região da solda, foi de 34,91 mm com um desvio padrão de 0,16 mm. Auxilie o 
colega engenheiro e determine o intervalo de confiança para o verdadeiro valor do diâmetro médio com 
um nível de 95% de confiança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 05 (População finita). Em Cabrobró da Serra, há uma clínica dentária chamada Sorriso’s 
Valdo, sabendo que a procura tem aumentado exponencialmente, a secretária da clínica estimou o tempo 
médio gasto com os pacientes de ortodontia. Atualmente, a clínica tem 1.000 pacientes. Desses, retirou-se 
uma amostra de 25 ao longo de uma manhã e constatou-se uma média de 20 minutos de atendimento. 
Sabendo que o desvio padrão amostral foi de 2 minutos, estime a média intervalar para o verdadeiro 
tempo de consulta para um nível de significância de 90%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA ENTRE MÉDIAS 
 
É comum compararmos dois parâmetros ou duas estimativas através da diferença entre elas. A partir 
de uma amostra de cada população pode-se comparar suas médias e determinar um intervalo de confiança 
para sua diferença. Caso as variâncias populacionais sejam conhecidas, a distribuição a ser adotada é a 
norma e a estimativa intervalar é facilmente determinada da seguinte maneira. Onde 
1
x
e 
2
x
são médias 
amostrais aleatórias independentes, de dimensão 
1
n
e
2
n
 e as populações possuem médias e variâncias 
equivalentes a 
1

,
2
1
 e 
2

, 
2
2
. 
 
 
2 2
1 2
1 2 1 2 /2
1 2
.x x z
n n

      
 
 
Ou seja, o escore padrão normal pode ser definido como: 
 
   1 2 1 2
/ 2 2 2
1 2
1 2
x x
z
n n

 
 


 

 
 
A partir daí pode-sedefinir o intervalo de confiança para um dado nível de significância: 
 
     
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2/2 /2
1 2 1 2
1P x x z x x z
n n n n
        
  
          
 
 
Como se pode inferir, o intervalo de confiança para a diferença de duas médias populacionais pode ser 
determinado pela diferença de média entre duas amostras do seguinte modo: 
 
 
2 2
1 2
1 2 /2
1 2
x x z
n n

 
  
, 
 
ou seja, 
 
 
2 2
1 2
1 2 /2
1 2
s s
x x z
n n
  
. 
 
Caso as populações a serem investigadas possuam variâncias desconhecidas, deve-se adotar as 
variâncias amostrais. Nesses casos, a distribuição “t”de Student é a mais recomendada, uma vez que, 
geralmente, as amostras são pequenas e, portanto faz-se necessário uma correção que é compensada por 
essa distribuição de probabilidades contínua. A forma de resolver esses problemas é demonstrada a 
seguir: 
 
             1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2/2 , 2 /2 , 2
1 2 1 2
1
n n n n
P x x t x x t
n n n n 
     
   
 
 
  
          
, 
 
onde 
1 2
2n n   
. De tal forma que essa expressão pode ser simplificada da seguinte maneira: 
 
 
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     1 2
2 2
1 2
1 2 /2 , 2
1 2
n n
s s
x x t
n n  
  
. 
 
Exemplo 06. O Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura de Cabrobró da Serra fez uma pesquisa 
para estimar a diferença entre os salários médios dos graduados em Engenharia Civil e Engenharia 
Eletrônica. Para tanto, selecionou-se aleatoriamente entre os profissionais formados nos últimos 5 anos. 
Os resultados estão dispostos no quadro abaixo. Admitindo uma confiança de 90%. Determine o intervalo 
de confiança para a diferença entre as médias salariais citadas. 
 
Curso n Salário médio Desvio padrão 
Engenharia Civil 50 R$ 5.000,00 R$ 121,00 
Engenharia Eletrônica 45 R$ 4.500,00 R$ 100,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 07. A parir de um lote A de componentes eletrônicos foi extraída uma amostra de 4 circuitos 
elétricos com as seguintes resistências em ohms: 24, 16, 15, 12. A partir de um segundo lote, B, outra 
amostra foi extraída com 5 circuitos elétricos com as seguintes resistências em ohms: 12, 8, 5, 10 e 15. 
Assumindo uma confiança de 95% para a verdadeira diferença entre as médias populacionais, construa 
um intervalo de significância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
Para determinar a estimativa intervalar de uma variância para um dado nível de significância é 
necessário usar uma distribuição de probabilidade contínua denominada Qui-Quadrado. Uma vez que, o 
estimador de 
2
é o 
2
s
e nesse caso consideramos o seguinte, 
 
  2
2
1n s

 , esse parâmetro tem distribuição Qui-Quadrado. 
 
Portanto, o nível de confiança para um intervalo com a de erro é definido da seguinte maneira: 
 
  22 2
1 /2, 1 /2, 12
1
1n n
n s
P      
 
 
 
 

   
 
 
   
 
2 2
2
2 2
/ 2, 1 1 /2 , 1
1 1
1
n n
n s n s
P
 
    
 
 
 
 
 
   
 
 
De forma simplificada, o intervalo de confiança para um nível de significância determinado e para um 
número de graus de liberdade próprio, definido pelo problema, pode ser facilmente construído do seguinte 
modo, vide Fig. 5: 
 
   
 
2 2
2
2 2
/2, 1 1 /2 , 1
1 1
n n
n s n s
 
   
 
 
 
 
2
2
2 
2
1 2 
2
1 
 
Figura 5. Curva Qui-Quadrado 
 
Além disso, é possível determinar um intervalo com 
 100 1 %
 de confiança superior ou inferior 
para 
2
 como a seguir, respectivamente: 
 
  2 2
2
, 1
1
n
n s


 


 
  22
2
1 , 1
1
n
n s


  


 
 
A fim de determinar o intervalo de confiança para o desvio padrão basta extrair a raiz quadrada dos 
respectivos intervalos para a variância. 
 
 
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Exemplo 08. A Fracisvaldo’s Torantins, indústria de cimento, produz sacos de 50 kg. Além da 
quantidade média de enchimento, a variação dessa quantidade é igualmente importante, na medida em 
que alguns sacos conterão mais, e outros menos, de 50 kg. A fim de estimar a variação, o engenheiro de 
produção, recolheu uma amostra de 20 sacos de cimento, com uma média de 15,3 kg e um desvio padrão 
de 0,30 kg. A fim de avaliar a qualidade da produção, auxilie na construção de um intervalo de confiança 
de 90% para o desvio padrão do enchimento a partir da variância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 09. Uma das indústrias de cosméticos de Francislene é dedicada à fabricação de sabonete 
líquido. Uma amostra de 20 frascos resultou numa variância no volume de 
2 0,0153s 
ml
2
. Sabe-se que 
essa variância é grande, ou seja, ou uma inaceitável quantidade de frascos conterá menos sabonete ou 
mais sabonete do que o devido. Assumindo que o volume de sabonete líquido tem uma distribuição 
aproximadamente normal, determine um intervalo superior de 95% de confiança em termos do desvio 
padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM E SEM DESVIO 
PADRÃO CONHECIDO 
 
Questão 01 (Waterpole, 2009). Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas com vida útil distribuída 
aproximadamente normal, com desvio padrão de 40 horas. Se uma amostra de 30 lâmpadas tem média de 
vida de 780 horas, determine um intervalo de confiança de 96% para a média populacional de todas as 
lâmpadas produzidas pela empresa. 
 
Questão 02 (Lopes). Ao se realizar uma contagem de eritrócitos em 144 milhões de mulheres encontrou-
se em média 5,35 milhões e desvio padrão de 0,4413 milhões de glóbulos vermelhos. Determine os 
limites de confiança de 99% para a média populacional. 
 
Questão 03 (Waterpole, 2009). Muitos pacientes cardíacos usam marcapassos implantados para 
controlar os batimentos do coração. Um módulo conector plástico é montado no topo do marcapasso. 
Assumindo um desvio padrão de 0,0015 e uma distribuição aproximadamente normal, determine um 
intervalo de confiança de 95% para a média de todos os módulos conectores fabricados por certa 
indústria. Uma amostra aleatória de 75% módulos tem média de 0,310 polegada. 
 
Questão 04 (Waterpole, 2009). Qual o tamanho da amostra necessário no exercício anterior se 
desejarmos estar 95% confiantes de que nossa média amostral estará dentro de 0,0005 polegada da média 
verdadeira? 
 
Questão 05 (Lopes). Um conjunto de 12 animais receberam uma dieta especial durante 3 semanas e 
produziram os seguintes aumentos de peso em gramas: 30, 22, 32, 26, 24, 40, 34, 36, 32, 33, 28 e 30. 
Determine um intervalo de 90% de confiança para a média. 
 
 
Questão 06 (Lopes). Construa um intervalo de confiança de 95% de confiança para os seguintes casos 
 
 Média amostral Desvio padrão Tamanho da amostra 
a) 16,0 2,0 16 
b) 37,5 3,0 36 
c) 2,10 0,5 25 
d) 0,60 0,1 100 
 
 
Questão 07 (Lopes). Solicitou-se a 100 estudantes de um colégio que anotasse suas despesas com 
alimentação e bebidas no período de uma semana. Há 500 estudantes no colégio. O resultado foi uma 
despesa de R$ 40,00 com um desvio padrão de R$ 10,00. Construa um intervalo de 95% de confiança 
para a verdadeira média. 
 
Questão 08 (Lopes). Em uma fábrica, foi colhida uma amostra (n = 30) de certa peça, obtiveram-se as 
seguintes medidas para os diâmetros: 
 
10 11 11 11 12 1212 12 13 13 
13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 
14 14 14 14 14 15 15 15 16 16 
 
a) Estime a média e a variância. 
b) Construa o intervalo de confiança para a média, sendo a de 5%. 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
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c) Construa um intervalo de confiança de 95% para média, supondo que a amostra tenha sido retirada de 
uma população de 100 peças. 
d) Construa um intervalo de confiança para a variância populacional, sendo a de 5%. 
 
Questão 09 (Waterpole, 2009). Uma amostra aleatória de 100 proprietários de automóveis mostra que, 
no estado da Virgínia, um automóvel é dirigido a uma média de 23.500 quilômetros por ano, com desvio 
padrão de 3.900 quilômetros. Assuma a distribuição das medidas como sendo aproximadamente normal. 
 
a) Construa um intervalo de confiança de 99% para o número médio de quilômetros que um automóvel 
percorre anualmente no estado da Virgínia. 
b) O que podemos afirmar com 99% de confiança sobre o tamanho possível de nosso erro se estimarmos 
o número médio de quilômetros percorridos pelos proprietários de automóveis como sendo 23.500 
quilômetros por ano. 
 
Questão 10 (Waterpole, 2009). Uma amostra aleatória de 12 pinos de desvio é retirada em um estudo de 
dureza Rockwell da cabeça dos pinos. Medições na escala de dureza Rockwell foram realizadas para cada 
um dos 12 pinos, rendendo um valor médio de 48,50, com desvio padrão amostral de 1,5. Assumindo que 
as medidas são normalmente distribuídas, construa um intervalo de confiança de 90% para a média da 
dureza Rockwell. 
 
Questão 11 (Waterpole, 2009). Uma máquina está produzindo peças de metal com formato cilíndrico. 
Uma amostra é retirada e seus diâmetros são 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98; 0;99; 1,01 e 1,03 
centímetros. Determine um intervalo de confiança de 99% para o diâmetro médio das peças dessa 
máquina, assumindo uma distribuição aproximadamente normal. 
 
Questão 12 (Waterpole, 2009). O consumo regular de cereais pré-adoçados contribui para a decadência 
dos dentes, doenças cardíacas e outras doenças degenerativas, de acordo com estudos conduzidos pelo Dr. 
W. H. Bowen, do Instituto Nacional de Saúde, e pelo Dr. J. Yudben, professor de Nutrição e Dietas da 
Universidade de Londres. Em uma amostra aleatória de 20 porções do cereal Alpha-Bits, a quantidade 
média de açúcar foi de 11,3 gramas com desvio padrão de 2,45 gramas. Assumindo que a quantidade de 
açúcar é distribuída normalmente, construa um intervalo de confiança de 95% para a média da quantidade 
de açúcar para porções únicas de Alpha-Bits. 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA ENTRE MÉDIAS 
 
 
Questão 13 (Waterpole, 2009). Uma amostra aleatória de tamanho n1 = 25 de uma população normal 
com desvio padrão s1 = 5 tem média x =80. Uma segunda amostra aleatória de tamanho n2 = 36, retirada 
de uma população normal diferente, com desvio padrão s2 = 3, tem média x =75. Determine um intervalo 
de confiança e 94% para 
1 2
 
. 
 
Questão 14 (Waterpole, 2009). Dois tipos de roscas são comparados por sua resistência. 50 peças de 
cada tipo de rosca são testadas sob condições similares. A marca A tem uma resistência à tração com 
média de 78,3 kgf e desvio padrão de 5,6 kgf, enquanto a B tem resistência à tração com média de 87,2 
kgf e desvio padrão de 6,3 kgf. Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as 
médias populacionais. 
 
Questão 15 (Waterpole, 2009). Em um estudo conduzido pelo Instituto Politécnico da Universidade 
Estadual da Virgínia sobre o desenvolvimento de fungos ectomicorrízicos, uma relação simbólica entre as 
raízes de árvores e um fungo na qual os minerais são transferidos dos fungos para as árvores e os açúcares 
são transferidos das árvores para os fungos, 20 mudas de carvalhos vermelhos com fungo Pisolithus 
tinctorus foram plantadas em uma estufa. Todas as mudas foram plantadas no mesmo tipo de solo e 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
14 Prof. Dr. Ing. Braitner Lobato – Notas de Aula 02/2013 
 
receberam a mesma quantidade de luz solar e água. Metade não recebeu nitrogênio no momento do 
plantio para servir como um controle e a outra metade recebeu 368 ppm de nitrogênio no formato NaNO3. 
O peso dos caules, registrado em gramas, ao final dos 140 dias foi registrado como segue: 
 
Sem nitrogênio Com nitrogênio 
0,32 0,26 
0,53 0,43 
0,28 0,47 
0,37 0,49 
0,47 0,52 
0,43 0,75 
0,36 0,79 
0,42 0,86 
0,38 0,62 
0,43 0,46 
 
 
Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias dos pesos dos caules entre as 
mudas que não receberam nitrogênio e aquelas que receberam 368 ppm de nitrogênio. Assuma que as 
populações são normalmente distribuídas com variâncias iguais. Para tanto use as relações matemáticas 
abaixo. 
 
   1 2 / 2
1 2
1 1
. .
p
x x t S
n n
  
, onde 
   2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2
p
n S n S
S
n n
  

 
. 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA DE UMA E DUAS AMOSTRAS 
 
Questão 16 (Waterpole, 2009). Um fabricante de baterias para carros afirma que suas baterias duram, 
em média, 3 anos, com variância de uma ano. Se 5 dessas baterias têm vida útil de 1,9; 2,4; 3,0; 3,5 e 4,2 
anos, construa um intervalo de confiança de 95% para 
2
 e decida se a afirmação do fabricante de 
2 1 
é válida. Assuma que a população da vida útil das baterias tenha distribuição aproximadamente 
normal. 
 
Questão 17 (Waterpole, 2009 - adaptada). Uma amostra de 20 estudantes obteve uma média de 
x
=72 e 
variância 
2
16s 
em um teste de Estatística Indutiva de uma faculdade. Assumindo as notas como sendo 
normalmente distribuídas, construa um intervalo de confiança de 98% para 
2
. 
 
Questão 18 (Waterpole, 2009). Um experimento reportado no Popular Science comparou a economia de 
combustível em dois tipos de caminhonetes a diesel. Vamos supor que 12 caminhonetes Volkswagen e 10 
Toyotas foram usadas em um teste de 90 km/h com distância fixa. Se as 12 caminhonetes Volkswagen 
fazem uma média de 16 km por litro, com desvio padrão de 1,0 km, e as Toyotas fazem uma média de 11 
km/l, com desvio padrão de 0,8 km/l, construa um intervalo de confiança de 90% para a diferença entre as 
médias dos km/l para essas duas marcas de caminhonetes. Assuma que as distâncias por litro têm 
distribuição aproximadamente normal, com variâncias iguais. Para tanto, use as relações abaixo: 
 
   1 2 / 2
1 2
1 1
. .
p
x x t S
n n
  
, onde 
   2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2
p
n S n S
S
n n
  

 
. 
 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
15 Prof. Dr. Ing. Braitner Lobato – Notas de Aula 02/2013 
 
Questão 19 (Waterpole, 2009). Construa um intervalo de confiança de 98% para 
2 2
1 2
/ 
, a partir dos 
dados da questão anterior, onde 
1
 e 
2
 são, respectivamente, os desvios padrão para as distâncias 
obtidas por litro de combustível para caminhonetes Volkswagen e Toyota. 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
 
Questão 20 (Morettin, 2009). Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem 
distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a vida média das 
lâmpadas, tomou uma amostra de 400 delas, obtendo vida média de 1.000 horas. 
 
a) Construir um IC para a  ao nível de 1%. 
b) Qual o valor do erro de estimação cometido no item anterior? 
c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de 
acerto? 
 
Questão 21 (Morettin, 2009). Dada uma população normal com var(x) = 3, levantou-se uma amostra de 
4 elementos, tal que 4
1
0,8i
i
x


. Construa um IC para a verdadeira média populacional  ao nível de 1%. 
Questão 22 (Montgomery e Runger, 2003). A norma ASTM E23 define os métodos de ensaio 
normatizado para um ensaio de impacto em barras com entalhe de materiais metálicos.O teste Charpy 
para entalhe em V é uma técnica que mede a energia de impacto e é frequentemente usado para 
determinar se um dado material experimenta a transição dúctil-frágil com o decaimento de temperatura. 
Dez medições de energia de impacto (J) foram feitas em corpos de aço A238 usinados a 60º: 64,1; 64,7; 
64,6; 64,5; 64,3; 64,6; 64,8; 64,2 e 64,3. Considerando que a energia de impacto é normalmente 
distribuída com desvio padrão de 1 J, determine o que se pede: 
 
a) Encontre o intervalo de confiança a 95% para a média populacional da energia de impacto. 
b) Quantos corpos de prova precisam ser ensaiados para garantir 95% de confiança para a média desde 
que o erro nas estimativas seja a metade do tamanho do intervalo de confiança. 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
 Hoffman, Rodolfo (2006), Estatística para Economistas, Ed. Thomson, Ed. 4ª, São Paulo. 
 Lopes, Luis Felipe Dias, (2003); Apostila de Estatística, DE-UFSM. 
 Montgomery, Douglas C., Runger, George C. (2003), Applied statistics and probability for engineers, 
Ed. John Wiley & Sons, England. 
 Morettin, Luiz Gonzaga (2010), Estatística básica: probabilidade e inferência, Ed. Pearson, Vol. Único, 
São Paulo. 
 Oliveira, D. C. R., Oliveira, M. S., Apostila de Estatística, Departamento de matemática, estatística e 
ciências da computação, Universidade Federal de São João Del-Rei. 
 Soong, T.T (2004), Fundamental of probability and statistics for engineers, Ed. John Wiley & Sons, 
England. 
 Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye, Keying (2009); Probabilidade e 
Estatística para Engenharia e Ciências; Ed. Pearson, Ed. 8ª; São Paulo. 
 
 
 
 
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16 Prof. Dr. Ing. Braitner Lobato – Notas de Aula 02/2013 
 
 GABARITO 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM E SEM DESVIO 
PADRÃO CONHECIDO 
 
 
Questão 01. 765 < m < 795 
 
Questão 02. 5,35  0,094 milhões. 
 
Questão 03. 0,3097 < m < 0,3103 
 
Questão 04. n =35 
 
Questão 05. 
30,58x 
 
5,09s 
 
27,94Li 
 
33,22Ls 
 
 
Questão 06. 
a) 16,0  0,98 
b) 37,5  0,98 
c) 2,10  0,19 
d) 0,60  0,02 
 
Questão 07. R$ 40,00  1,75 
 
Questão 08. 
a) 13,13 e 2,05 
b) Li = 12,536 e Ls = 13,664 
c) Li = 12,581 e Ls = 13,579 
d) Li = 1,300 e Ls = 3,404 
 
Questão 09. 
a) 24.496 < m < 34.504 
b) Podemos afirmar que o erro é menor 1004 quilômetros por ano. 
 
Questão 10. 47,772 < m < 49,278 
 
Questão 11. 0,978 < m < 1,033 
 
Questão 12. 10,15 < m < 12,45 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A DIFERENÇA ENTRE MÉDIAS 
 
 
Questão 13. 2,9 < 
1 2
 
 < 7,1. 
 
Questão 14. 6,56 < 
A B
 
 < 11,24. 
 
Questão 15. 0,033 < 
1 2
 
 < 0,299. 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA DE UMA E DUAS AMOSTRAS 
 
 
Questão 16. 293 < 
2
 < 6,736. 
 
Questão 17. 8,400 < 
2
 < 39,827. 
 
Questão 18. 4,3 < 
2
 < 5,7. 
 
Questão 19. 
2 2
1 20,301 / 7,234  
. 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
 
Questão 20. 
a) IC(, 99%) = (974,2 h; 1.025,7 h) 
b) e = 25,8 h 
c) n = 10.651 lâmpadas 
 
Questão 21. IC(, 99%) = (-2,03; 2,43) 
 
Questão 22. 
a) IC(, 95%) = (63,84; 65,08) 
b) n = 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Não estejais inquietos por coisa alguma; antes, as vossas petições sejam em tudo conhecidas diante de 
Deus, pela oração e súplicas, com ação de graças.” Filipenses 4.6