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MÓDULO 2 - ALUNO

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ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
1 Prof. Dr. Ing. Braitner Lobato – Notas de Aula 02/2013 
 
1. Estimativa de parâmetros 
2. Estimação por ponto 
3. Estimação por intervalo 
4. Intervalo de confiança para média com desvio 
padrão conhecido 
5. Intervalo de confiança para média com desvio 
padrão desconhecido 
6. Intervalo de confiança para a diferença entre 
médias 
7. Intervalo de confiança para a variância e 
desvio padrão 
 
1. ESTIMATIVA DE PARÂMETROS 
 
Um funcionário de uma rede de alimentos enlatados decidiu que durante o acondicionamento de 
extrato de tomate em recipientes metálicos de tamanho padronizado, há um desperdício médio de 8 
gramas. Todavia amostras foram extraídas para análise e verificou-se uma média amostral de 6 gramas e 
um desvio padrão de 3 gramas. Ao redigir seu relatório de inspeção, o funcionário reafirmou um 
desperdício médio de 8 gramas a despeito da média amostral, pois com base na teoria da amostragem o 
desperdício médio amostral depende de cada amostra, ou seja, há forte tendência desse valor flutuar 
entorno de 8 gramas. Sendo assim, o funcionário recomenda ajustes na linha de produção sempre que o 
desperdício for significativamente diferente de 8 gramas. 
Sabe-se que investigar a população de latas de extrato de tomate em uma linha de produção é inviável 
do ponto de vista econômico no que tange ao tempo, recursos humanos e financeiros. Nesse sentido, as 
técnicas de amostragem se mostram importantes para avaliar toda população a partir de uma parte, a 
amostra. No caso citado, as medições de desperdício compõem o experimento que tem a finalidade de 
determinar a estimativa de alguns parâmetros, 

, por exemplo, a média populacional, 

, e a variância 
populacional, 
2
. Ou seja, o desperdício médio e a dispersão deste desperdício. As funções matemáticas 
que fornecem as estimativas destes parâmetros devem estar o mais concentradas possível em torno dos 
valores verdadeiros. Estas funções são chamadas de estimadores, 
ˆ
, e para a média amostral e a variância 
amostral temos as seguintes funções: 
 
0
1 n
i
i
x x
n 
 
 é um estimador da média populacional, 

, e 
0x x
 é uma estimativa. No exemplo em 
questão, a média amostral foi de 6 gramas, isto é, a estimativa para a média foi de 6 gramas. 
 
 
 
22
0
1
1
n
i
i
s x x
n 
 


 é um estimador viciado de 
2
, mas assintoticamente não viciado na variância 
populacional e 
2 2
0s s
 é uma estimativa. 
Todos os parâmetros, 

, e seus respectivos estimadores, 
ˆ
, apresentam uma distribuição amostral 
como fruto da aleatoriedade dos dados experimentais colhidos. No caso da linha de produção de 
enlatados, para cada amostra há valores desperdícios diferentes e consequentemente um valor de média e 
desvio diferentes. Nada impede que, eventualmente, a média seja semelhante. Sendo assim, 
matematicamente é possível inferir que a média das médias amostrais, 
 E x
, é igual à média 
populacional, 

: 
 E x 
. Já a variância da média amostral é igual à variância populacional divida 
pelo tamanho da amostra: 
 
 
2
2
xvar x
n
 
, 
ou seja, se uma variável aleatória populacional tem distribuição normal, 
 2: ,X N  
, e se dessa 
população extrairmos amostras de tamanho n, logo a amostra também se comportará de acordo com a 
distribuição de probabilidade normal mas com a variância n vezes menor: 
 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA Estimativa de Parâmetros MÓDULO 2 
 
2 Prof. Dr. Ing. Braitner Lobato – Notas de Aula 02/2013 
 
2
,x N
n


 
  
 
, 
 
ou seja, o estimador amostral para o desvio padrão é: 
 
2
x
n n
 
  
 
 
Contudo, se a população não for normal a média amostral, 
x
, não será exatamente normal, mas 
aproximadamente normal, isto é, a partir do teorema do limite central, ao se retirar uma amostra com 
tamanho n suficientemente grande, teremos que: 
 
2
,x N
n


 
  
 
. 
 
O Teorema do Limite Central diz que a soma, e consequentemente a média, de n variáveis 
independentes seguirá a distribuição normal independentemente da distribuição das variáveis individuais. 
Essa aproxima se torna melhor conforme n aumenta. Estatisticamente, sabe-se que se as distribuições 
individuais não são muito distintas da distribuição normal, 4 ou 5 variáveis independentes são suficientes 
para uma aproximação satisfatória. Caso contrário, se as distribuições diferem bastante da normal, faz-se 
necessária pelo menos 20 variáveis independentes. 
Além disso, se a população for finita e de tamanho N, ao extrair uma amostra de tamanho n sem 
reposição, o estimador para o desvio padrão será: 
 
1
x
N n
Nn





. 
 
No entanto, toda conclusão resultante de um processo amostral traz consigo um grau de incerteza 
quando for generalizada para uma população. Esse é o maior desafio da Estatística Indutiva, quantificar o 
risco, o grau de incerteza, de uma generalização. Nesse ínterim, inserem-se os métodos de estimação de 
parâmetros a partir de amostras: estimação por ponto e estimação por intervalos. 
 
2. ESTIMAÇÃO POR PONTO 
 
Na estimação por ponto, a partir das observações, calcula-se uma estimativa, usando o estimador ou 
“estatística”. A distribuição por amostragem dos estimadores torna possível o estuda das qualidades de 
um bom estimador. As principais são a consistência, a ausência de vício, a eficiência e a suficiência 
(Morettin, 2009; Soong, 2004). 
Em geral, se X é uma variável aleatória com distribuição de probabilidades f(x), caracterizada por um 
parâmetro desconhecido 

, e se X1, X2, ... , Xn é uma amostra aleatória de tamanho n, a estatística ou 
estimador 
 1 2ˆ , ,..., nh X X X 
é chamada de estimador por ponto de 

. Uma vez que as amostras foram 
selecionadas, o estimador 
ˆ
 assume um valor particular chamado de estimativa de 

(Montgomery e 
Runger, 2003). Os métodos mais importantes para a estimação por ponto são o método dos momentos, o 
método da máxima verossimilhança e o método Bayesiano que não fazem parte do escopo deste curso. 
 
 
 
 
 
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3. ESTIMAÇÃO POR INTEVALO 
 
No curso de estatística descritiva estuda-se parâmetros estatísticos, como a média e o desvio padrão, 
por exemplo, que podem ser estimados a partir de um conjunto de dados. Todavia, é de suma importância 
entender a qualidade da estimativa obtida, uma vez que esses parâmetros estão associados a um grau de 
incerteza, a uma probabilidade de erro. É nesse sentido que surgem os intervalos de confiança. Eles 
servem para definir, simetricamente em torno da estimativa, a extensão do possível conjunto de valores 
que contenha o verdadeiro valor do parâmetro. Esse intervalo é sempre definido para um nível de 
significância, a, esse nível determina a probabilidade do erro que se comete ao afirmar que o intervalo 
contém a estimativa correta. Portanto, o intervalo de confiança é construído com base numa probabilidade 
de ocorrência de (1- a). 
 
Os casos a serem abordados neste módulo serão os seguintes: 
 
 Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância conhecida, para uma 
amostra infinita. 
 Intervalo de confiança para a média amostral normalmente distribuída com variância conhecida, 
para uma amostra finita. 
 Intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância desconhecida e 
amostra pequena. 
 Intervalo de confiança para a diferença entre médias. 
 Intervalo de confiança para a variância e para o desvio padrão. 
 
O intervalo de confiança para uma média com variância conhecida admite que tanto a população 
quanto a amostra são distribuídas uniformemente e que o tamanho da amostra é maior do que 30 
elementos. Então, dada a distribuição normal para um caso específico, vide Fig. 1, tem-se o seguinte

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