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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
DOCENTE: PIERRE NIAU
TERCEIRA AVALIAÇÃO
Não é permitido o uso de celular, calculadora ou qualquer coisa que não seja:
lápis, borracha e/ou caneta.
Questões com resultados JOGADOS não serão corrigidas.
1. Dada a matriz
B =
0@ 3 2 �11 6 3
2 �4 0
1A ;
(a) (1 ponto) calcule o determinante,
(Solução) O determinante de B é
detB =
������
3 2 �1
1 6 3
2 �4 0
������ ;
multiplicando a primeira coluna por 2 e adicionando à segunda, obtemos
=
������
3 8 �1
1 8 3
2 0 0
������ ;
expandindo em cofatores usando a terceira linha obtemos
detB = a31C31;
= 2� (�1)4
���� 8 �18 3
���� ;
= 2� (24 + 8) ;
= 64:
(b) (1 ponto) calcule a adjunta,
(Solução) Para calcular a adjunta calculamos primeiro os cofatores.
detB =
������
3 2 �1
1 6 3
2 �4 0
������ ;
C11 = (�1)2
���� 6 3�4 0
���� = 12;
C21 = (�1)3
���� 2 �1�4 0
���� = 4;
C31 = (�1)4
���� 2 �16 3
���� = 12;
1
C12 = (�1)3
���� 1 32 0
���� = 6;
C22 = (�1)4
���� 3 �12 0
���� = 2;
C32 = (�1)5
���� 3 �11 3
���� = �10;
C13 = (�1)4
���� 1 62 �4
���� = �16;
C23 = (�1)5
���� 3 22 �4
���� = 16;
C33 = (�1)6
���� 3 21 6
���� = 16:
A matriz dos cofatores é
C =
0@ 12 6 �164 2 16
12 �10 16
1A ;
e a adjunta,
adjA = CT ;
=
0@ 12 4 126 2 �10
�16 16 16
1A :
(c) (1 ponto) calcule a inversa,
(Solução) A inversa é dada por
B�1 =
1
detB
adjB;
=
1
64
0@ 12 4 126 2 �10
�16 16 16
1A :
(d) (1 ponto) resolva o seguinte sistema linear
3x+ 2y � z = 64
x+ 6y + 3z = 128
2x� 4y = 256
(Solução) A matriz dos coe…cientes é
A =
0@ 3 2 �11 6 3
2 �4 0
1A ;
2
notamos que A = B. Assim, o sistema acima pode ser escrito como
B~x = ~b;
onde
~x =
0@ xy
z
1A ;
e
~b =
0@ 64128
256
1A :
A solução é obtida multiplicando a inversa de cada lado,
~x = B�1~b;
=
1
64
0@ 12 4 126 2 �10
�16 16 16
1A0@ 64128
256
1A ;
=
0@ 12 4 126 2 �10
�16 16 16
1A0@ 12
4
1A ;
=
0@ 68�30
80
1A :
Assim, a solução do sistema é
x = 68;
y = �30;
z = 80:
2. (2,5 pontos) A matriz A possui inversa?
A =
0BB@
1 �2 3 1
5 �9 6 3
�1 2 �6 �2
2 8 6 14
1CCA :
(Solução) Para saber se uma matriz possui inversa calculamos seu determinante.
Assim,
detA =
��������
1 �2 3 1
5 �9 6 3
�1 2 �6 �2
2 8 6 14
�������� ;
3
usando a primeira linha eliminamos todos as entradas abaixo de a11,
=
��������
1 �2 3 1
0 1 �9 �2
0 0 �3 �1
0 12 0 12
�������� ;
e calculamos o determinante por cofatores escolhendo a primeira coluna,
= a11C11;
= 1� (�1)2 �
������
1 �9 �2
0 �3 �1
12 0 12
������ ;
=
������
1 �9 �2
0 �3 �1
12 0 12
������ ;
subtraindo a primeira coluna da terceira obtemos
=
������
1 �9 �3
0 �3 �1
12 0 0
������ ;
colocando em "evidência" o fator 12 na terceira linha,
= 12
������
1 �9 �3
0 �3 �1
1 0 0
������ ;
subtraindo a terceira linha da primeira linha,
= 12
������
0 �9 �3
0 �3 �1
1 0 0
������ ;
vemos que as duas primeiras linhas são proporcionais, logo o determinante é zero,
= 12� 0;
= 0:
A matriz A não possui inversa pois seu determinante é zero.
3. (2,5 pontos) Como deveriam ser escolhidos os coe…cientes a, b e c para que o sistema
ax+ by � 3z = �3;
�2x� by + cz = �1;
ax+ 3y � cz = 3;
tenha solução x = 1, y = �1 e z = 2?
4
(Solução) Quando x = 1, y = �1 e z = 2 obtemos
a� b = 3;
b+ 2c = 1;
a� 2c = 6:
Resolvemos o sistema para encontrar os valores de a, b e c que satisfazem a imposição
feita acima. Podemos resolver usando a matriz aumentada do sistema,24 1 �1 0 30 1 2 1
1 0 �2 6
35 ;
adicionamos a terceira linha à segunda,24 1 �1 0 31 1 0 7
1 0 �2 6
35 ;
adicionamos a segunda à primeira e dividimos a primeira por 2,24 1 0 0 51 1 0 7
1 0 �2 6
35 ;
usamos a primeira linha para eliminar os elementos da primeira coluna,24 1 0 0 50 1 0 2
0 0 �2 1
35 ;
Assim encontramos que a = 5, b = 2 e c = �1
2
.
4. (1 pontos) Por inspeção explique por que detA = 0
A =
0BBBB@
1 �3 5 �2 8
12 �10 �2 �4 �16
4 23 20 3 �7
2 5 2 �3 6
�6 5 1 2 8
1CCCCA :
(Solução) Como a segunda linha e a quinta linha são múltiplos o determinante da
matriz A é zero.
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