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ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA ANÁLISE DIMENSIONAL A análise dimensional permite a correlação de dados para a apresentação sucinta do fenômeno estudado, usando o menor número possível de gráficos. Também é necessária e utilizada em estudos de semelhança dinâmica. As unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias fundamentais: - Massa[M]; - Comprimento[L]; - Tempo[T]; - Temperatura[θ]. As quatro grandezas básicas representam as dimensões primárias que podem ser usadas para representar qualquer outra grandeza. A análise dimensional é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise.É particularmente útil para: - Apresentar e interpretar dados experimentais; - Resolver problemas difíceis de estudar com solução analítica; - Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno; - Modelagem física. Dimensões de grandezas derivadas Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é representada por uma relação das grandezas primárias. Se esta relação é unitária, o grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão. Um exemplo de grupo adimensional é o número de Reynolds: Como o número de grupos adimensionais é relativamente menor que o número de variáveis físicas, há uma grande redução de esforço experimental para estabelecer a relação entre algumas variáveis. A relação entre dois números adimensionais é dada por uma função entre eles com uma única curva relacionando-os. Pode-se afirmar que os grupos adimensionais produzem melhor aproximação do fenômeno do que as próprias variáveis; SEMELHANÇA Restringindo as condições dos experimentos é possível obter dados de diferentes condições geométricas mas que levam ao mesmo ponto na curva. Isto é, experimentos de diferentes escalas apresentam os mesmos valores para os grupos adimensionais a eles pertinentes. Nessas condições os experimentos apresentam semelhança dinâmica. Importância Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica. Utilizam-se com frequência estudos experimentais. O trabalho experimental, geralmente, é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas. Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia são realizadas utilizando-se modelos em escala. Semelhança é, em geral, uma indicação de que dois fenômenos têm um mesmo comportamento. Por exemplo, é possível afirmar que há semelhança entre um edifício e sua maquete (semelhança geométrica). Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica a relação entre dois escoamentos de diferentes dimensões, mas com semelhança geométrica entre seus contornos. Geralmente o escoamento de maiores dimensões é denominado escala natural ou protótipo. O escoamento de menor escala é denominado de modelo; Vantagens - Modelos em escala: _ Vantagens econômicas (tempo e dinheiro); _ Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de trabalho; _ Os resultados podem ser extrapolados; - Podem ser utilizados modelos reduzidos ou expandidos. Para realizar o estudo de comparação de semelhança entre o modelo e a realidade, é necessário que os conjuntos sejam fisicamente semelhantes. SEMELHANÇA FÍSICA envolve uma variedade de tipos de semelhança: - Semelhança Geométrica; - Semelhança Cinemática; - Semelhança Dinâmica. Semelhança Geométrica É uma semelhança de forma. A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é constante. Esta razão é conhecida como fator de escala. Semelhança Cinemática Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de linhas de corrente. É a semelhança do movimento. Semelhança Dinâmica É a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa. São os tipos de força: - Forças devido à diferenças de Pressão; - Forças resultantes da ação da viscosidade; - Forças devido à tensão superficial; - Forças elásticas; - Forças de inércia; - Forças devido à atração gravitacional. Exemplos de estudos em modelos - Ensaios em túneis aero e Hidrodinâmico; - Escoamento em condutos; - Estruturas hidráulicas livres; - Resistência ao avanço de embarcações; - Máquinas hidráulicas. Grupos adimensionais São extremamente importantes na correlação de dados experimentais. Em razão das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem os Fenômenos de Transporte: - Número de Reynolds; - Número de Froude; - Número de Euler; - Número de Mach; - Número de Weber; - Número de Nusselt; - Número de Prandtl. Número de Reynolds ● Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas; Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos. Número de Froude ● Relação entre Forças de Inércia e Peso (forças de gravidade); Aplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido. É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios. Número de Euler ● Relação entre Forças de Pressão e as Forças de Inércia; Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos. Número de Mach ● Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas; É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia interna do fluido. É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou superiores à do som. Número de Weber ● Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão Superficial; É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido. Número de Nusselt ● Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo de calor por condução no próprio fluido; É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor por convecção. Número de Prandtl ● Relação entre a difusão de quantidade de movimento e difusão de quantidade de calor; É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por convecção. Teorema de Buckingham ou dos π “Enunciado da relação entre uma função expressa em termos de parâmetros dimensionais e uma função correlata expressa em termos de parâmetros adimensionais” 1º passo: Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n n=5 2º passo: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas. [F] = F [V] = L x T-1 [ρ] = F x L-4 x T2 [μ] = F x L-2 x T [D] = L 3º passo: Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K. K = 3 4º passo: Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno - m. m = n - K → m = 2 5º passo: Estabelecemos a base dos números adimensionais. Definição de base: É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. Variáveis independentes: São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: - F, V, ρ, D ou F, V, μ, D como variáveis independentes. - ρ e μ como variáveis dependentes 6º passo : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . μ Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectivaequação dimensional, inclusive o número adimensional. Finalmente verifica-se que os grupos se encontrem sem dimensão, ou seja, dimensão igual 1.
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