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Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matema´tica Departamento de Matema´tica Gabarito Lista 7 de Ca´lculo III Parte 1: Teorema de Gauss 1. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero 7) Calcule ∫ S ~F .d~S, para fora da superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2, se ~F = ex sen yi+ ex cos yj + yz2k. 2. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero 9)Calcule ∫ S ~F .d~S, para fora do so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 1 e pelos planos x = −1 e x = 2, se ~F = 3xy2i+ xezj + z3k. 3. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero 13) Calcule ∫ S ~F .d~S, para fora da superf´ıcie do so´lido limitado pelo parabolo´ide z = x2+y2 e pelo plano z = 4, se ~F = (cos z + xy2)i+ xe−zj + ( sen y + x2z)k. 4. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero 16) Calcule ∫ S ~F .d~S, para fora da superf´ıcie do so´lido limitado pelos hemisfe´rios z = √ 4− x2 − y2, z = √1− x2 − y2 e pelo plano z = 0, se ~F = (x3 + y sen z)i + (y3 + z sen x)j + 3zk. 5. (Exerc´ıcios do livro texto -da Caˆndida e Diomara, sec¸a˜o 7.12) nu´meros 1 a 7, 11 a 13 (corrigir erro no enunciado do exerc´ıcio 1: ~F = (2x+ xy2,−zy, z2 2 − y2z)). Parte 2: Teorema de Stokes 1. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 7) Calcule ∫ C ~F .d~l, com C orientada no sentido anti-hora´rio quando visto de cima, sendo C o triaˆngulo de ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) e ~F = (x+ y2, y + z2, z + x2). 2. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 9) Calcule ∫ C ~F .d~l, com C orientada no sentido anti-hora´rio quando visto de cima, sendo C a circunfereˆncia x2 + y2 = 16, no plano z = 5 e ~F = (yz, 2xz, exy). 3. (Exerc´ıcios do livro texto -da Caˆndida e Diomara, sec¸a˜o 7.10) nu´meros 1 a 8 Parte 3: Teoremas de Gauss/Stokes 1. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 2) Calcule ∫ S ~ rot ~F . ~dS, sendo S a parte do parabolo´ide z = 9− x2 − y2, que esta´ acima do plano z = 5, orientada para cima, e ~F = (yz, xz, xy) 2. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 3) Calcule ∫ S ~ rot ~F . ~dS, sendo S o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, orientada para cima, e ~F = (x2eyz, y2exz, z2exy) 3. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 4) Calcule ∫ S ~ rot ~F . ~dS, sendo S a parte do cone y2 = x2 + z2, que esta´ entre os planos y = 0 e y = 3, orientada na direc¸a˜o positiva do eixo y, se ~F = (x2y3z, senxyz, xyz). 4. (Exerc´ıcios do livro texto da Caˆndida-Diomara, sec¸a˜o 7.10) nu´meros 9,10,11 5. (Exerc´ıcios do livro texto da Caˆndida-Diomara, sec¸a˜o 7.12) nu´meros 8,9,10 Parte 4: Integral de Linha Vetorial, Teorema de Stokes e Campos Conservativos 1. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 11) Mostre que ~F = ((1 + xy)exy, ey + x2exy) e´ conservativo em IR2 e enta˜o determine uma func¸a˜o potencial. 2. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 12) Mostre que ~F = ( sen y, x cos y,− sen z) e´ conservativo em IR3 e enta˜o determine uma func¸a˜o potencial. 3. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 13) Mostre que ~F = (4x3y2 − 2xy3, 2x4y − 3x2y2 + 4y3) e´ conservativo em IR2 e use para calcular ∫ C ~F ~dl, onde C tem parametrizac¸a˜o σ(t) = (t+ sen pit, 2t+cos pit), 0 ≤ t ≤ 1. 4. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 14) Mostre que ~F = (ey, xey + ez, yez) e´ conservativo em IR3 e use para calcular ∫ C ~F ~dl, onde C e´ a reta que liga os pontos (0, 2, 0) a (4, 0, 3). 5. (Exerc´ıcios do livro texto da Caˆndida-Diomara, sec¸a˜o 7.10) nu´meros 12 a 19. Respostas da Parte 1: 1. 2 2. 9pi 2 3. 32pi/3 4. 194pi 5 5. Ha´ um erro no campo do enunciado do exerc´ıcio 1 da sec¸a˜o 7.12. Respostas da Parte 2: 1. −1 2. 80pi Respostas da Parte 3: 1. 0 (atenc¸a˜o: S e´ aberta, na˜o pode aplicar T.Gauss direto) 2. 0 (atenc¸a˜o: S e´ aberta, na˜o pode aplicar T.Gauss direto) 3. 2187pi 4 Respostas da Parte 4: 1. U = ey + xexy 2. U = x sen y + cos z 3. 0 4. 2
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