Integrais_Indefinidas

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Integração 
4. Integração 
 
4.1 Diferenciais, primitivas e integrais indefinidas 
4.2 Técnicas de integração - Integrais Indefinidas 
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Diferenciais (seção 3.10, p.243) 
 Na notação de Leibniz, a estrutura 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 não se trata de 
uma razão, mas sim a representação da derivada de 𝑦 em 
relação a 𝑥. 
 
 Por outro lado, 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 podem representar duas 
novas variáveis com a propriedade de que, caso a razão 
exista, ela será igual à derivada, assim como anunciado na 
definição abaixo: 
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 Se 𝑑𝑥 ≠ 0, então o quociente da diferencial 𝑑𝑦 pela 
diferencial 𝑑𝑥 é igual à derivada 𝑓’(𝑥), pois 
ou como o diferencial de 𝒇, 
EXEMPLO Se 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 6, então 
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Fórmulas de diferenciação 
Toda fórmula de diferenciação do tipo 
ou 
 tem uma forma diferencial do tipo 
ou 
EXEMPLO A regra da cadeia e outras regra de derivação podem ser usadas 
para determinar diferenciais. Determine as diferenciais abaixo: 
 
( ) 
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Teorema do valor médio 
 
 
 
 
• Geometricamente, o teorema do valor médio diz que, em 
algum lugar entre a e b, a curva apresenta pelo menos uma 
tangente paralela à corda AB. 
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EXEMPLO Se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é contínua em [0,2] e derivável no 
intervalo (0,2), encontre o valor da coordenada 𝑥 = 𝑐 no 
intervalo (0,2) tal que o gráfico 𝑓(𝑥) apresenta uma tangente 
paralela à corda formada entre 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2 . 
SOLUÇÃO 
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SOLUÇÃO 
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Consequências matemáticas 
• O primeiro corolário do teorema do valor médio fornece a 
resposta: somente funções constantes possuem derivadas 
zero. 
 
 
 
 
• O corolário a seguir demonstra que seus valores no 
intervalo têm uma diferença constante. 
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Prova do corolário 2 
Se 𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 em cada ponto 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), temos que 
𝑕′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = 0. 
Assim, 𝑕 𝑥 = 𝐶 em (𝑎, 𝑏), de acordo com o corolário 1. Isto 
é, como 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝐶 em (𝑎, 𝑏), então 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 𝐶. 
𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 = 0 
 que é derivada da função diferença 𝑕 = 𝑓 − 𝑔, isto é, 
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EXEMPLO Determine a função 𝑓(𝑥) cuja derivada é 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
e cujo gráfico passa pelo ponto (0,2) . 
SOLUÇÃO Temos que, por exemplo, a função 𝑔 𝑥 = −cos 𝑥 =
𝑓′ 𝑥 . 
 
Desse modo, podemos escrever 𝑓(𝑥) como 
𝑓 𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶𝑡𝑒 . 
Como o gráfico de 𝑓(𝑥) passa por (0,2), temos que 
 𝑓 0 = −cos 0 + 𝐶𝑡𝑒 
 2 = −1 + 𝐶𝑡𝑒 
 𝑪𝒕𝒆 = 𝟑 
Portanto, 𝑓 𝑥 = −cos 𝑥 + 3 . 
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𝑓 𝑥 = −cos 𝑥 + 3 
𝑔 𝑥 = −cos 𝑥 
𝑓′(𝑥) = 𝑔′ 𝑥 
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Determinação de primitivas 
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Determinação de primitivas 
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EXEMPLO Determine uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 que 
satisfaça 𝐹(1) = −1 . 
SOLUÇÃO Como a derivada de 𝑥3 é 3𝑥2, a primitiva geral 
𝐹 𝑥 = 𝑥3 + 𝐶 
 fornece todas as primitivas de 𝑓(𝑥). 
 A constante 𝐶 é encontrada a partir da condição 𝐹(1) = −1 : 
𝐹 1 = 13 + 𝐶 = 1 + 𝐶 ⇒ −1 = 1 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = −2 
 Logo, a primitiva que satisfaz a condição 𝐹(1) = −1 é : 
𝐹 𝑥 = 𝑥3 − 2 
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• Fórmulas de primitivas, sendo 𝑘 uma constante diferente de zero. 
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• Fórmulas de primitivas, sendo 𝑘 uma constante diferente de zero. 
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EXEMPLOS Determine a primitiva geral de cada uma 
das seguintes funções. 
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Determinação de primitivas 
• Regras de linearidade para primitivas 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO Determine a primitiva geral da função 
𝑓 𝑥 =
3
𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 . 
SOLUÇÃO Fazendo 𝑔 𝑥 =
1
𝑥
 e 𝑕 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥, temos que 
𝑓 𝑥 = 3𝑔(𝑥) + 𝑕(𝑥) . 
Desse modo, temos que 
𝐺 𝑥 = 2 𝑥+𝐶1 é primitiva de 𝑔 𝑥 ; 
 𝐻 𝑥 = −
1
2
cos 2𝑥+𝐶2é primitiva de 𝑕 𝑥 . 
 e portanto, 
 𝐹 𝑥 = 3𝐺 𝑥 + 𝐻 𝑥 + 𝐶3 
 𝐹 𝑥 = 3(2 𝑥+𝐶1) −
1
2
cos 2𝑥 +𝐶2 + 𝐶3 
 𝐹 𝑥 = 6 𝑥+3𝐶1 −
1
2
cos 2𝑥 +𝐶2 + 𝐶3 = 6 𝑥 −
1
2
cos 2𝑥 + 𝐶 
 onde 𝐶 = 3𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 . 
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Integrais indefinidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Após o sinal da integral na notação que acabamos de definir, a 
função integrada é sempre seguida por uma diferencial para indicar 
a variável de integração. 
 
 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 
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EXEMPLO Calcule 𝑥2 − 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 . 
 onde 𝐶 = 𝐶1 − 2𝐶2 + 5𝐶3 . 
SOLUÇÃO 
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EXEMPLO Calcule 𝑥2 − 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 . 
SOLUÇÃO É recomendada que se vá direto à forma final 
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Uso da regra da potenciação e da regra da cadeia 
 
• Se u é uma função derivável de x e n é qualquer número diferente 
de –1, a regra da cadeia nos diz que 
Técnicas de integração para 
Integrais Indefinidas (Thomas,Seção 5.5) 
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Uso inverso da regra da 
cadeia 
• Sob outro ponto de vista, essa mesma equação diz que 
un+1/(n + 1) é uma das primitivas da função un(du/dx). 
Portanto, 
 
 
 
• Essa integral é igual à integral mais simples 
 
 
 
• Tal como acontece com diferenciais, ao calcular integrais 
temos 
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EXEMPLOS Determine a primitiva geral de cada uma 
das seguintes funções. 
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Técnicas de integração 
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Substituição 
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Substituição 
EXEMPLO 
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Substituição 
EXEMPLO 
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31 
Substituição 
EXEMPLO 
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Substituição 
EXEMPLO 
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Substituição 
EXEMPLO 
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SubstituiçãoEXEMPLO seção 5.5 , Thomas 
 cos (3𝑧 + 4)𝑑𝑧 
 
4𝑦
2𝑦2 + 1
𝑑𝑦 
 
1
5𝑥 + 8
𝑑𝑥 
 𝑥
1
3𝑠𝑒𝑛(𝑥
4
3 − 8)𝑑𝑥 
 
cos 𝜃
𝜃𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑑𝜃 
 cos 𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 
 
ln 𝑡
𝑡
𝑑𝑡 
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Substituição de 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 e 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)𝑒𝑠𝑒𝑛
2𝜃𝑑𝜃 
 
1
𝑥2
𝑐𝑜𝑠2
1
𝑥
 𝑑𝑥 
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Técnicas de integração seção 8.1 - Thomas 
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Técnicas de Integração - 
Completando os Quadrados 
= 
𝑑𝑥
4 1 −
𝑥 − 4
4
2
 
Se , então 
𝑑𝑢
1 − 𝑢2
= 𝑠𝑒𝑛−1𝑢 + 𝐶 . 
 
𝑑𝑥
4 1 −
𝑥 − 4
4
2
= 
4𝑑𝑢
4 1 − 𝑢2
= 𝑠𝑒𝑛−1 𝑢 + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑥 − 4
4
+ 𝐶 
 
𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 =
𝑥 − 4
4
, de modo que d𝑥 = 4du , temos 
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𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 
Técnica de integração 
Identidade trigonométrica 
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Técnica de integração 
Eliminando uma raiz 
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Técnica de integração 
Reduzindo uma Fração imprópria 
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41 
Técnica de integração 
Separação de frações 
Continua 
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Técnica de integração 
Multiplicação por forma unitária 
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Técnica de integração 
Integração por partes seção 8.2, Thomas 
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Integração por partes - Exemplo 2 
Integral do logaritmo natural 
Logo, 
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Integração por partes - Exemplo 3 
A integral à direita é resolvida utilizando o método novamente com 
e 
Fazendo e 
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Integração de funções racionais 
por frações parciais 
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Descrição geral do método 
• O sucesso ao escrever uma função racional ƒ(x)/g(x) como a soma 
de frações parciais depende de duas coisas: 
 
1. O grau de ƒ(x) deve ser menor do que o grau de g(x). 
 
2. Devemos conhecer os fatores de g(x). 
 
Método de frações parciais (ƒ(x)/g(x) próprias) 
 
1. Seja 𝑥 – 𝑟 um fator linear de 𝑔(𝑥). Suponha que (𝑥 – 𝑟)𝑚 seja a 
maior potência de 𝑥 – 𝑟 que divide 𝑔(𝑥). Então, associe a esse fator a 
soma de 𝑚 frações parciais: 
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Método de frações parciais 
(ƒ(x)/g(x) próprias) 
 
 
 
 
2. Suponha que (x2 + px + q)n seja a maior potência desse fator que 
divide g(x). Então, atribua a esse fator a soma de n frações 
parciais: 
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Método de frações parciais 
(ƒ(x)/g(x) próprias) 
3. Iguale a fração original ƒ(x)/g(x) à soma de todas essas 
frações parciais. Elimine as frações da equação resultante e 
organize os termos em potências decrescentes de x. 
 
4. Iguale os coeficientes das potências correspondentes de x e 
resolva o sistema de equações obtido desse modo para 
calcular os coeficientes indeterminados.