Conceitos básicos de Probabilidade

Prévia do material em texto

Probabilidade - Conceitos básicos
Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
20 de março de 2015
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 1 / 132
Sumário
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 2 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 3 / 132
Introdução
Arcabouço para estudos de diversas situações em que lida-se com incerteza;
Formaliza a ideia da chance relativa de ocorrência dos diferentes resultados
esperados para um fenômeno incerto;
Exemplos de aplicações:
Tempo de espera em filas: “Existe uma probabilidade alta de que o tempo de
espera seja maior do que 5 minutos“;
Vida útil de equipamentos: “É provável que a máquina dure pelo menos 5
anos“;
Resultado de um procedimento médico: “O procedimento tem taxa de sucesso
de 60%“.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 4 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 5 / 132
Experimento aleatório
Definição
Um experimento aleatório é um experimento que ao ser repetido nas mesmas
condições, pode fornecer diferentes resultados.
Exemplos de aplicação:
Jogar um dado e observar a face superior;
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura em metros;
Contar o número de carros que passam em uma rua da cidade em um
intervalo de tempo pré-definido;
Retirar um lote de peças em um processo de produção e determinar o número
de peças defeituosas.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 6 / 132
Experimento aleatório
Objetivo da teoria de probabilidade é construir um modelo matemático para
representar eventos incertos (experimentos aleatórios) e a chance de
ocorrência de possíveis resultados;
O modelo é construído em duas etapas:
1 Descrição do conjunto de resultados possíveis do experimento aleatório;
2 Atribuição de pesos que refletem a maior ou menor chance de um resultado
acontecer.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 7 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 8 / 132
Espaço amostral e eventos
Espaço amostral
O espaço amostral, denotado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento.
Requisitos para a construção do espaço amostral de um experimento:
Apenas um resultado possível para cada rodada do experimento;
Nenhum resultado possível fique fora do espaço amostral.
Tipos de espaço amostral:
Finito: Numero limitado de resultados;
Infinito enumerável: Número ilimitado de resultados, mas que podem ser
listados;
Infinito não-enumerável: Número ilimitado de resultados que não podem ser
listados.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 9 / 132
Espaço amostral e eventos
Exemplos de espaço amostral:
Lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Enumerável e finito);
Lançamento de uma moeda até que apareça a primeira cara (onde C indica
cara e K indica coroa): S = {C ,KC ,KKC ,KKKC , · · · } (Enumerável e
infinito);
Lançamento de dardo em alvo com raio 1 (ou ponto em círculo de raio 1):
S = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1} (Não-enumerável).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 10 / 132
Espaço amostral e eventos
Evento
Um evento é um subconjunto do espaço amostral, S, de um experimento aleatório.
Os subconjuntos de S são representados por letras maiúsculas (A, B, · · · );
Tipos de evento:
Simples: consiste em um único resultado do espaço amostral;
Composto: consiste em mais de um resultado do espaço amostral;
Certo: consiste em todos os resultados disponíveis no espaço amostral;
Vazio ou Impossível: não possui resultados do espaço amostral. É indicado
por ∅ ou {};
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 11 / 132
Espaço amostral e eventos
Exemplo de eventos:
Lançamento de um dado.
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
Eventos simples: A = {6}, B = {1};
Eventos compostos: C = {faces pares}, D = {faces menor ou igual a 3}.
Uma rede de computadores está em operação contínua, mas sabe-se falhas
podem acontecer a qualquer momento, e deseja-se verificar o número de
falhas por dia no sistema.
Espaço amostral: S = {0, 1, 2, 3, · · · };
Eventos simples: A = {3 falhas em um dia};
Eventos compostos: C = {menos de 2 falhas em um dia}.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 12 / 132
Espaço amostral e eventos
Descrição de eventos:
Os eventos podem ser descritos de duas formas:
Através da listagem dos seus resultados;
Exemplo: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, · · · }
Através de uma propriedade comum aos seus resultados;
Exemplo: A = {Conjunto dos números naturais pares.}
A listagem dos resultados possíveis para um evento pode ser aplicada a
eventos finitos ou infinitos enumeráveis;
A descrição de suas propriedades pode ser feita de forma textual oumatemática (fórmula proposicional).
Exemplo: A = {x , x/2 = 0}
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 13 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 14 / 132
Visualização de eventos
É possível descrever eventos e suas inter-relações através das seguintes
representações:
Diagrama de Venn-Euler;
Diagrama de árvore;
Matriz;
Tabela de contingência ou tabela cruzada.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 15 / 132
Visualização de eventos
Diagrama de Venn ou Venn-Euler:
São largamente utilizados na teoria dos conjuntos;
Consistem de curvas fechadas simples, associadas a letras ou textos que
descrevem os conjuntos, sobre um plano;
Permitem verificar questões de pertinência (se um elemento está dentro de
um conjunto), quando os elementos são listados no diagrama;
Permitem verificar questões de continência (se um conjunto esta contido em
outro);
No caso da teoria da probabilidade, as curvas indicam os eventos de
interesse, e o plano está associado ao espaço amostral.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 16 / 132
Visualização de eventos
Diagrama de Venn ou Venn-Euler (modelo com elementos):
Diagrama de Venn-Euler onde se mostra a interseção das letras dos alfabetos
Grego, Latino e Russo.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 17 / 132
Visualização de eventos
Diagrama de Venn ou Venn-Euler (modelo sem elementos):
Diagrama de Venn para os seguinte eventos: a) A ∩ B; b) A ∪ B; c) A ∩ BC ; d)
AC ; e) A, B e C são disjuntos; f) A, B e C são partição de S.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 18 / 132
Visualização de eventos
Diagrama de árvore:
São largamente utilizados para a descrição de eventos com mais de uma
etapa;
Constitui-se apenas pela ramificação dos resultados de cara etapa: a partir de
um nó raiz, são litados todos os resultados da primeira etapa; para cada
etapa, associa-se os resultados da etapa posterior, até se esgotar as etapas;
Permite descrever os possíveis resultados de um arranjo, permutação ou
combinação - neste caso, é conhecida como árvore de possibilidades;
Cada ramo da árvore pode ter associado a um evento específico, com o valor
de probabilidade associado a sua ocorrência - neste caso, é conhecida como
árvore de probabilidades;
Especialmente úteis para a descrição eventos condicionais.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 19 / 132
Visualização de eventos
Diagrama de árvore (árvore de possibilidades):
Diagrama de árvore para o lançamento de dois dados de quatro lados
(tetragonais).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 20 / 132
Visualização de eventos
Diagrama de árvore (árvore de probabilidades):
Diagrama de árvore para o lançamento de duas moedas.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 21 / 132
Visualização de eventos
Matriz:
As matriz são utilizadas para descrever espaços amostrais de experimentos
com duas etapas;
Constitui-se de um par de eixos, cada um associado a uma etapa do
experimento, de forma que cada resultado é listado e associado com todos os
resultados do outro eixo;
Os pontos indicam os possíveis resultados após as duas etapas do
experimento;
Os eventos são subconjuntos de pontos desta matriz (indicados por curvas
fechadas);
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 22 / 132
Visualização de eventos
Matriz:
Matriz para o lançamento de dois dados de quatro lados (tetragonais).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 23 / 132
Visualização de eventos
Tabela de contingência ou tabela cruzada:
São utilizadas na quantificação dos resultados entre eventos definidos entre
duas propriedades diferentes, ou entre eventos que ocorram entre duas etapas;
Basicamente, cada etapa ou propriedade é atribuída a uma seção de linhas ou
colunas, sendo cada linha ou coluna de uma seção constituído por um evento
associado a etapa ou propriedade em questão;
Os valores numéricos informam o número de resultados que satisfazem a um
determinado evento das linhas e a outro evento das colunas.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 24 / 132
Visualização de eventos
Tabela de contingência ou tabela cruzada:
Tabela de contingência para a retirada de uma carta de um baralho, classificada
por cor e por valor (Ás ou Não-Ás).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 25 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 26 / 132
Teoria dos conjuntos
Espaços amostrais e eventos são definidos sob a forma de conjuntos;
Eventos são subconjuntos dos espaços amostrais;
Para lidar com eventos, algumas definições oriundas da teoria dos conjuntos
pode ser aplicadas:
União de conjuntos;
Intersecção de conjuntos;
Conjunto complementar;
Conjuntos disjuntos;
Conjuntos coletivamente exaustivos;
Partição.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 27 / 132
Teoria dos conjuntos à eventos
União de eventos
A união de dois eventos A e B é o evento que consiste de todos os resultados que
estão presentes no evento A ou no evento B ou em ambos. A operação de união é
indicada como A ∪ B.
A ∪ B = {x ∈ S : x ∈ A ou x ∈ B}
Intersecção de eventos
A intersecção de dois eventos A e B é o evento que consiste de todos os
resultados que estão presentes estão simultaneamente no evento A e em B. A
operação de intersecção é indicada como A ∩ B.
A ∩ B = {x ∈ S : x ∈ A e x ∈ B}
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 28 / 132
Teoria dos conjuntos à eventos
Evento complementar
O complemento de um evento A, é o conjunto de todos os resultados do espaço
amostral que não estão contidos em A. O evento complementar de A é indicada
como A, AC ou A′.
AC = {x ∈ S : x ∈/ A}
Eventos disjuntos
Dois eventos são disjuntos ou mutuamente excludentes que não puderem
acontecer simultaneamente. Isto implica dizer também que estes conjuntos
possuem intersecção vazia.
A e B disjuntos : A ∩ B = ∅
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 29 / 132
Teoria dos conjuntos à eventos
Eventos coletivamenteexaustivos
Dois eventos eventos são coletivamente exaustivos se a união dos eventos cobre
todo o espaço amostral.
A e B coletivamente exaustivos : A ∪ B = S
Partição de eventos
Dois eventos forma uma partição se forem disjuntos e coletivamente exaustivos.
Uma partição pode ser vista também como um conjuntos de eventos com estas
características entre si.
A e B forma uma partição : A ∩ B = ∅ e A ∪ B = S
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 30 / 132
Teoria dos conjuntos à eventos
Propriedades das operações com eventos:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A;
A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ;
A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ;
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
A ∩ (A ∪ B) = A;
A ∪ (A ∩ B) = A;
(AC )C = A;
A ∪ S = S, A ∩ S = A;
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅;
(A ∩ B)C = AC ∪ BC ;
(A ∪ B)C = AC ∩ BC .
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 31 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 32 / 132
Definições de probabilidade
Atribuir um peso relativo a chance de um evento ocorrer em um
experimento;
Três definições:
Definição clássica;
Definição experimental ou frequentista;
Definição axiomática (Kolmogorov).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 33 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 34 / 132
Definição clássica
Refere-se a subconjuntos unitários e equiprováveis, isto é, conjuntos de
resultados que têm a mesma chance;
Definição
Dado um experimento com espaço amostral S, onde ocorre um evento A, a
probabilidade de ocorrer este evento é dada por:
P(A) = n(A)n(S)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 35 / 132
Definição clássica
Para conjuntos enumeráveis e finitos, n(S) é o número de resultados no
espaço amostral, e n(A) é o número de resultados possíveis o evento em
questão (contagem de resultados).
Para conjuntos não-enumeráveis, n(S) é o valor de medida geométrica
(intervalo, área ou volume, por exemplo) do espaço amostral, e n(A) é o
valor de medida geométrica para o evento em questão;
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 36 / 132
Definição clássica
Realização prática:
Determinar o número nS total de resultados possíveis;
Determinar o número de resultados nA que satisfazem o evento em questão;
Calcular a razão entre os dois valores como probabilidade:
P(A) = nAnS
Limitações:
Definição válida para experimentos cujos resultados são equiprováveis
(possuem chances iguais de acontecerem):
Boa parte dos experimentos não enumeráveis não possuem esta propriedade;
Em alguns experimentos, definir se os eventos são equiprováveis pode ser
muito difícil ou inviável.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 37 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 38 / 132
Definição empírica
A probabilidade é definida como o limite das frequências relativas;
Serve como modelo de interpretação da probabilidade;
Definição
Dado um experimento repetido n vezes de forma independente, onde o evento A
ocorre em nA vezes, a probabilidade P(A) do evento A ocorrer é dada pela
equação:
P(A) = lim
n→∞
nA
n
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 39 / 132
Definição empírica
Realização prática:
Repetir o experimento aleatório um número muito grande de vezes, n.
Contar o número de vezes que o evento A de interesse aconteceu, nA .
Estabelecer a probabilidade P(A) através da fórmula:
P(A) = nAn
Limitações:
Válida apenas para eventos que podem ser reproduzidos um número muito
grande de vezes:
Alguns experimentos não são praticáveis ou possuem pouca capacidade de
reprodução;
A definição de "muito grande"irá depender do tipo de experimento (ou do
bom-senso do pesquisador).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 40 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 41 / 132
Definição axiomática
Definição formal de probabilidade, de acordo com o que se estabelece como
tal;
Assume os outros dois casos como particulares;
Definição
Definido o espaço amostral S de um experimento, uma função P(.) sobre um
subconjunto de S (eventos) dentro do intervalo [0, 1] pode ser considerada como
uma probabilidade se satisfizer as seguintes propriedades:
Não-negatividade: Para qualquer evento A pertencente ao espaço amostral
S, vale:
P(A) ≥ 0
Normalização: Para o espaço amostral S, vale:
P(S) = 1
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 42 / 132
Definição axiomática
Definição
Aditividade: Para dois eventos A e B pertencente ao espaço amostral S, tais
que sejam disjuntos, vale:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Infinita aditividade: Para um conjunto infinito de eventos A1, A2, A3, · · ·
pertencente ao espaço amostral S, tais que sejam disjuntos dois a dois,vale:
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 · · · ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + · · ·
Ou:
P
(∞⋃
i=1
Ai
)
=
∞∑
i=1
P(Ai)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 43 / 132
Definição axiomática
Limitações:
As definições permitem dizer se os valores atribuídos a probabilidade são
válidos, mas não especifica quais valores devem ser aplicados para descrever o
peso dos eventos (a quantificação pode ser feita pelas outras definições, ou
pelo próprio pesquisador).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 44 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 45 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 46 / 132
Propriedades da probabilidade
Através dos axiomas definidos por Kolmogorov, algumas propriedades podem
ser estabelecidas para os valores de probabilidade. Desta forma, as definições
de probabilidade devem satisfazê-las também.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 47 / 132
Propriedades da probabilidade
Propriedade 1
Dado um evento A pertencente ao espaço amostral S, é possível afirmar que:
P(AC ) = 1− P(A)
Prova:
Basta imaginar que, pela definição de conjunto complementar, A e AC
obrigatoriamente são disjuntos (A ∩ AC = ∅) e coletivamente exaustivos
(A ∪ AC = S). Pelo terceiro axioma de Kolmogorov, tem-se que:
P(A ∪ AC ) = P(S)→ P(A) + P(AC ) = P(S)
De acordo com o segundo axioma de Kolmogorov, P(S) = 1. Portanto:
P(A) + P(AC ) = P(S)→ P(A) + P(AC ) = 1
→ P(AC ) = 1− P(A)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 48 / 132
Propriedades da probabilidade
Propriedade 2
Definindo φ como o conjunto vazio, é possível afirmar que:
P(φ) = 0
Prova:
Sabendo que ∅ é o conjunto complementar de S, a propriedade 1 afirma que:
P(∅) = 1− P(S)
De acordo com o segundo axioma de Kolmogorov, P(S) = 1. Portanto:
P(∅) = 1− P(S)→ P(∅) = 1− 1
→ P(∅) = 0
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 49 / 132
Propriedades da probabilidade
Propriedade 3
Dado dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S, tais que A ⊆ B, é
possível afirmar que:
P(A) 6 P(B)
Prova:
Se A ⊆ B, então B = A ∪ (B ∩ AC ), onde A e (B ∩ AC ) são conjuntos
disjuntos. Pela terceiro axioma, tem-se:
P(A ∪ (B ∩ AC )) = P(B)→ P(A) + P(B ∩ AC ) = P(B)
→ P(A) = P(B)− P(B ∩ AC )
De acordo com o primeiro axioma de Kolmogorov, P(B ∩ AC ) ≥ 0. Portanto,
P(B)− P(B ∩ AC ) ≤ P(B) e, consequentemente, P(A) ≤ P(B).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 50 / 132
Propriedades da probabilidade
Propriedade 4
Dado um evento A pertencente ao espaço amostral S, é possível afirmar que:
P(A) ≤ 1
Prova:
Sabendo que , qualquer que seja o conjunto A, A ⊆ S, então a propriedade 3
garante que:
P(A) ≤ P(S)
Como, pelo segundo axioma de Kolmogorov, P(S) = 1, então P(A) ≤ 1.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 51 / 132
Propriedade 5
Para um conjunto finito de eventos A1, A2, · · · , An pertencente ao espaço
amostral S, tais que sejam disjuntos dois a dois, vale:
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An)
Ou:
P
( n⋃
i=1
Ai
)
=
n∑
i=1
P(Ai)
Prova:
A demonstração desta propriedade não é trivial. Mas a ideia é estender a
terceira propriedade, que vale para dois conjuntos, para mais de dois
conjuntos.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 52 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 53 / 132
Regra geral da união de dois eventos
A definição da aditividade permitiu estabelecer a união de dois conjuntos
disjuntos;
A seguinte propriedade permite definir a propriedade da união de dois eventos
que não sejam disjuntos:
Propriedade
Dado dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S, é possível afirmar
que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 54 / 132
Regra geral da união de dois eventos
Prova:
Sabendo que A ∪ B = A ∪ (B ∩ AC ), onde A e (B ∩ AC ) são conjuntos
disjuntos, e B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ AC ), onde (A ∩ B) e (B ∩ AC ) são conjuntos
disjuntos. Pela terceiro axioma, tem-se:
P(A ∪ B) = P(A ∪ (B ∩ AC )) = P(A) + P(B ∩ AC );
P(B) = P((A ∩ B) ∪ (B ∩ AC )) = P(A ∩ B) + P(B ∩ AC ).
Desta forma, tem-se que:
P(B ∩ AC ) = P(A ∪ B)− P(A);
P(B ∩ AC ) = P(B)− P(A ∩ B).
Unindo as duas igualdades, tem-se que:
P(A ∪ B)− P(A) = P(B)− P(A ∩ B)→
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 55 / 132
Regra geral da união de dois eventos
A regra geral da união pode ser estendida para mais de dois conjuntos. Para
tanto, procede-se a seguinte operação:
Somar as probabilidades de ocorrência de cada um dos evento envolvidos;
Subtrair as probabilidades de ocorrência de cada uma das intersecções de
dois dos eventos envolvidos;
Somar as probabilidades de ocorrência de cada uma das intersecções de três
dos eventos envolvidos;
Subtrair as probabilidades de ocorrência de cada uma das intersecções de
quatro dos eventos envolvidos;
Prosseguir até a probabilidade das intersecções de todos os eventos tiver sido
somada (se o número de eventos for ímpar) ou subtraída (se o número de
eventos for par);
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 56 / 132
Regra geral da união de dois eventos
Aplicando para a união de três eventos, A, B e C , tem-se:
P1 = P(A) + P(B) + P(C);
P2 = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C);
P3 = P(A ∩ B ∩ C);
P(A ∪ B ∪ C) = P1− P2+ P3.
De forma que chega-se aseguinte propriedade:
Propriedade
Dado dois eventos A, B e C pertencentes ao espaço amostral S, é possível afirmar
que:
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 57 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 58 / 132
Resumo de probabilidade
Probabilidade é uma medida numérica que informa a chance de um resultado
ocorrer;
A probabilidade de um evento deve estar entre 0 e 1, incluindo os extremos;
A soma da probabilidade de uma partição do espaço amostral é igual a 1.
Vocabulário geral:
Pelo menos 1 dos eventos: A, B ou ambos: equivale a A ∪ B;
Nenhum dos eventos: nem A, nem B: equivale a (A ∪ B)C ;
Apenas um dos eventos: ocorre A, mas não ocorre B: equivale a A ∩ BC ;
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 59 / 132
Exemplo
Na descrição de uma fazenda de 1500 hectares, verificou-se que 750 hectares das
terras eram plantação de milho, 500 hectares eram plantação de feijão, e o
restante era área não explorada. Sabendo que 250 hectares das terras exploradas é
ocupada pelas duas culturas para pesquisas sobre recuperação dos nutrientes,
determine a probabilidade de, escolhido aleatoriamente um hectare para análise de
solo, este solo ser:
1 De uma área explorada por pelo menos uma das culturas;
2 De uma área que não tenha sido explorada.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 60 / 132
Exemplo
Primeira questão: Assumindo que f represente o evento “hectare de uma
área de plantação de feijão” e m, o evento “hectare de área de plantação de
milho”, tem-se que a probabilidade P procurada é dada por:
P = P(f ∪m)
= P(f ) + P(m)− P(f ∩m)
=
750
1500 +
500
1500 −
250
1500
=
1250
1500 −
250
1500
=
1000
1500 =
2
3 = 0, 667
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 61 / 132
Exemplo
Segunda questão: Assumindo que ne represente o evento “hectare não
explorada” e e, o evento “hectare de área explorada”, tem-se que a
probabilidade P procurada é dada por:
P = P(ne) = 1− P(e)
= 1− P(e)
= 1− P(f ∪m)
= 1− 23
=
1
3 = 0, 333
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 62 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 63 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 64 / 132
Introdução
Para eventos finitos e enumeráveis, a definição de probabilidade é definida
através da contagem dos resultados;
Para espaços amostrais e eventos pequenos, a contagem pode ser feita
diretamente, listando todos os resultados possíveis;
Para espaços amostrais e eventos maiores, enumerar os resultados se torna
inviável;
Uso de técnicas de contagem para quantificar as opções possíveis.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 65 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 66 / 132
Princípio fundamental da contagem
Baseado na ideia de “dividir para conquistar”: O processo de contagem de
todos os resultados possíveis é quebrado em processos de contagem menores,
que são agregados posteriormente (diagrama de árvore).
Propriedade
Considere um evento A que ocorre em k etapas, da seguinte forma:
Na primeira etapa, existem a1 possibilidades de resultados;
Na segunda etapa, existem a2 possibilidades de resultados;
Na terceira etapa, existem a3 possibilidades de resultados;
...
Na k-ésima etapa, existem ak possibilidades de resultados.
O número de nA possíveis resultados para o evento A é dado pelo produto do
número de possibilidades em cada etapa, ou seja:
nA = a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗ · · · ∗ ak
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 67 / 132
Exemplo
Para a reforma do prédio da câmara dos vereadores de uma cidade foram
solicitados serviços de acabamento das paredes, hidráulica, elétrica e paisagismo.
Sabendo que na cidade há 4 empresas prestadoras de serviços de acabamento, 4
empresas prestadoras de serviços hidráulicos, 5 empresas prestadoras de serviços
elétricos e 2 empresas prestadoras de serviços paisagísticos, e supondo que
nenhuma delas presta outro serviço além do informado, calcule a quantidade de
opções que estas empresas podem ser contratadas.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 68 / 132
Exemplo
Assume-se que a escolha de uma empresa do grupo de prestadoras de serviço
para um determinado serviço seja a etapa de uma escolha, como, por
exemplo:
1 Escolha da prestadora de serviços de acabamento (n1 opções);
2 Escolha da prestadora de serviços hidráulicos (n2 opções);
3 Escolha da prestadora de serviços elétricos (n3 opções);
4 Escolha da prestadora de serviços de paisagismo (n4 opções).
Cada etapa possui um número definido de escolhas, a saber: n1 = 4, n2 = 4,
n3 = 5, n4 = 2;
O número N de possíveis opções para a escolha das prestadoras será dado
por:
N = n1 ∗n2 ∗ n3 ∗ n4
= 4 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 2
= 160
Logo, há 160 maneiras diferentes de de escolher as empresas.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 69 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 70 / 132
Análise combinatória
Apresenta técnica para o cálculo do número de resultados em eventos do tipo
“selecione k objetos de n disponíveis”;
Métodos variam de acordo com a necessidade de ordenação dos elementos;
Ordenação distinta gera opções distintas: arranjo;
Ordenação distinta NÃO gera opções distintas: combinação.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 71 / 132
Análise combinatória
O conceito de fatorial será largamente empregado para as técnicas de análise
combinacional.
Definição
Para qualquer número inteiro positivo m, o fatorial de m, indicado por m!, é
definido por:
0! = 1;
1! = 1;
m! = m ∗ (m − 1) ∗ (m − 2) ∗ · · · ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = m ∗ (m − 1)!
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 72 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 73 / 132
Arranjo
Definição
Em um conjunto de n objetos distintos, a seleção de k objetos distintos (sem
repetição) de forma ordenada constitui-se um arranjo de tamanho k. O número
de arranjos possíveis com k dos n elementos é identificado por An,k e dado por:
An,k =
n!
(n − k)! (1)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 74 / 132
Exemplo
Na disciplina de Estatística de uma determinada universidade, existem 7
assistentes de professores e o professor titular da disciplina precisa escolher quatro
deles para corrigir a segunda avaliação. A prova terá quatro questões e, sabendo
que ele irá disponibilizar uma questão por assistente e que cada questão será
corrigida por um assistente distinto, calcule quantos maneiras diferentes os
assistentes podem ser escolhidos.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 75 / 132
Exemplo
Neste caso, ele irá selecionar um assistente por questão. Como a ordem de
escolha altera o formato da correção (a sequência de assistentes ABCD, por
exemplo, é distinta da sequencia DBCA, pois pode gerar resultados diferentes
de correção), o conceito de arranjo deve ser utilizado;
Como são 7 assistentes e 4 questões, trata-se de arranjo de 4 objetos dentre
7 possíveis, ou matematicamente, A7,4;
O número N de possíveis opções para a escolha dos assistentes será dado por:
N = A7,4
=
7!
(7− 4)! =
7!
3!
=
7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3!
3!
= 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 = 840
Logo, há 840 maneiras diferentes de de escolher os assistentes.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 76 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 77 / 132
Permutação
A permutação pode ser considerada como um caso especial de arranjo, onde
ocorre a seleção de todos os elementos disponíveis no conjunto.
Definição
Em um conjunto de n objetos distintos, a seleção de todos os objetos de forma
distinta (sem repetição) e ordenada constitui-se uma permutação. O número de
permutações possíveis com é identificado por Pn e dado por:
Pn = n!
De fato:
Pn = An,n =
n!
(n − n)! =
n!
0! =
n!
1 = n!
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 78 / 132
Exemplo
Para fazer a combinação da senha de um computador, um técnico resolveu utilizar
seis símbolos distintos. Sabendo que não haverá repetição de símbolos na
montagem da senha, calcule quantas maneiras ele podem montar esta senha.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 79 / 132
Exemplo
Neste caso, ele irá selecionar apenas uma ordem com os seis símbolos
disponíveis. Como, em uma senha, a ordem é importante (se a sequência
escolhida for mfx473, por exemplo, o computador não poderá permitir o
acesso caso insira como senha a sequência x37fm4), o conceito de
permutação deve ser utilizado;
Como são 6 símbolos, trata-se de uma permutação de 6 objetos, ou
matematicamente, P6;
O número N de possíveis opções para a escolha da senha será dado por:
N = P6
= 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
= 720
Logo, há 720 maneiras diferentes de montar a senha.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 80 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 81 / 132
Combinação
Definição
Em um conjunto de n objetos distintos, a tão-somente seleção de k objetos
distintos (sem repetição) constitui-se uma combinação de tamanho k. O número
de combinações possíveis com k dos n elementos é identificado por Cn,k ou
(
n
k
)
e dado por:
Cn,k =
(
n
k
)
=
n!
k! ∗ (n − k)!
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 82 / 132
Exemplo
No almoxarifado de um hospital há disponíveis 6 caixas de gaze e 7 caixas de
esparadrapo. Sabendo que, para a UTI, foi solicitado 3 caixas de gaze e 4 caixas
de esparadrapo,calcule a quantidade de opções que esta solicitação pode ser
realizada.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 83 / 132
Exemplo
Assume-se, neste caso, que a escolha da solicitação pode ser feita em duas
etapas:
1 Escolha das caixas de gaze (6 opções);
2 Escolha das caixas de esparadrapo (7 opções);
Tanto na primeiro quanto na segunda etapa da escolha, a ordem da escolha
das caixas não é importante (sendo escolhidas as caixas A, B e C , as
sequências ABC e CBA equivalem a mesma opção).Logo nas duas etapas, o
conceito de combinação deve ser empregado;
Na primeira etapa, devem ser escolhidas 3 de 6 caixas disponíveis. Trata-se
de uma combinação de 3 objetos dentre os 6 possíveis, ou matematicamente,(
6
3
)
. Na segunda etapa, devem ser escolhidas 4 de 7 caixas disponíveis.
Trata-se de uma combinação de 4 objetos dentre os 7 possíveis, ou
matematicamente,
(
7
4
)
;
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 84 / 132
Exemplo
O número N1 de possíveis seleções para a primeira etapa será dado por:
N1 =
(
6
3
)
=
6!
3!(6− 3)! =
6!
3!3!
=
6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3!
3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 3!
=
6 ∗ 5 ∗ 4
3 ∗ 2 ∗ 1 = 20
Logo, há 20 maneiras diferentes de de escolher as caixas de gaze.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 85 / 132
Exemplo
O número N2 de possíveis seleções para a segunda etapa será dado por:
N1 =
(
7
4
)
=
6!
4!(7− 4)! =
7!
4!3!
=
7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4!
3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 4!
=
7 ∗ 6 ∗ 5
3 ∗ 2 ∗ 1 = 35
Logo, há 35 maneiras diferentes de de escolher as caixas de esparadrapo.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 86 / 132
Exemplo
O número N de possíveis opções para a escolha das caixas será dado por:
N = N1 ∗ N2
= 20 ∗ 35
= 700
Logo, há 700 maneiras diferentes de realizar a solicitação.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 87 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 88 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 89 / 132
Probabilidade condicional
Permite introduzir novas informações ao cálculo da probabilidade de um evento,
sem necessidade de recorrer a intuição;
Definição
Seja dois eventos A e B, com P(B) > 0, pertencentes ao espaço amostral S de
um experimento com duas etapas. Supondo que, na primeira etapa, o evento B
ocorra, a probabilidade de A ocorrer na segunda etapa é denominada de
probabilidade condicional de A dado que B ocorreu, identificada por P(A|B)
e dada por:
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
Quando P(B) = 0, P(A|B) = 0.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 90 / 132
Probabilidade condicional
Interpretação: Renormalização do espaço amostral.
O espaço amostral do evento se limita as opções do evento B;
Os resultados possíveis de A se limitam as possibilidades comuns também ao
evento B.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 91 / 132
Exemplo
Supondo que, de todos os indivíduos que compram um determinado smartphone,
70% compram um cartão de memória, 50% compram uma película para proteção
da tela e 25% compram os dois itens. Considerando a seleção aleatória de um
comprador, calcule:
1 A probabilidade deste comprador adquirir um cartão de memória sabendo que
ele já comprou uma película.
2 A probabilidade deste comprador adquirir uma película sabendo que ele já
comprou um cartão de memória.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 92 / 132
Exemplo
Denominando os eventos por A = compra de cartão de memória e B =
compra da película, tem-se que:
P(A) = 0, 7;
P(B) = 0, 5;
P(A ∩ B) = 0, 25.
Para a primeira questão, deseja-se obter P(A|B). Portanto:
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
=
0, 25
0, 5 = 0, 5
Portanto, a probabilidade de um comprador do smartphone adquirir a cartão
de memória dado que ele já adquiriu a película é de 50%.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 93 / 132
Exemplo
Para a segunda questão, deseja-se obter P(B|A). Portanto:
P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)
=
0, 25
0, 7 ' 0, 357
Portanto, a probabilidade de um comprador do smartphone adquirir a
película dado que ele já adquiriu o cartão de memória é de 35, 7%.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 94 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 95 / 132
Regra do produto
De acordo com a definição de probabilidade condicional, é possível estabelecer
uma forma de calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos.
Definição
Dado dois eventos A e B pertencentes ao espaço amostral S, a probabilidade da
intersecção dos dois eventos dados pode ser expressa por:
P(A ∩ B) = P(A|B) ∗ P(B)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 96 / 132
Regra do produto
A regra do produto pode ser estendida para experimento com mais de duas etapas.
Definição
Dado um conjunto de eventos A1, A2, · · · , An, pertencentes ao espaço amostral S
e que ocorrem na respectiva sequência, a probabilidade da intersecção dos três
eventos dados pode ser expressa por:
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 · · · ∩ An) = P(A1) ∗ P(A2|A1) ∗ P(A3|A2) ∗ · · · ∗ P(An|An−1)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 97 / 132
Exemplo
Uma concessionária de motos disponibiliza dois modelos para venda. Das vendas
da loja, 75% são do modelo A (que é mais barato) e 25% são do modelo B. A
fabricante oferece a cada um dos modelos 2 anos de garantia para peças e
mão-de-obra. Sabe-se que 15% dos veículos do modeloA precisam de reparos
durante a garantia, enquanto que o percentual correspondente para o modelo B é
de 3%. Supondo que cada comprador realize a compra de apenas uma
motocicleta, calcule a probabilidade:
1 De um comprador adquirir o modelo B e necessitar de reparos durante a
garantia;
2 De um comprador adquirir o modelo A e necessitar de reparos durante a
garantia;
3 De um comprador adquirir um modelo que irá precisar de reparos durante a
garantia;
4 Sabendo que a probabilidade de uma moto não ser recuperada dado que ela
necessitou de reparos durante a garantia é de 30%, calcule a probabilidade de
um comprador adquirir uma moto do modelo B, precisar de reparos durante a
garantia e o veículo não ser recuperado.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 98 / 132
Exemplo
Definindo os eventos A = compra de uma moto do modelo A, B = compra
de uma moto do modelo B, E = veiculo precisa de reparo durante a garantia,
tem-se que:
P(A) = 0, 75;
P(B) = 0, 25;
P(E |A) = 0, 15;
P(E |B) = 0, 03;
Para a primeira questão, deseja-se obter P(B ∩ E ). Portanto:
P(B ∩ E ) = P(E |B) ∗ P(B)
= 0, 03 ∗ 0, 25 = 0, 0075
Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo da marca B e
necessitar realizar um reparo durante a garantia é de 0, 75%
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 99 / 132
Exemplo
Para a segunda questão, deseja-se obter P(A ∩ E ). Portanto:
P(A ∩ E ) = P(A|B) ∗ P(B)
= 0, 15 ∗ 0, 75 = 0, 1125
Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo da marca A e
necessitar realizar um reparo durante a garantia é de 11, 25%
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 100 / 132
Exemplo
Para a terceira questão, deseja-se obter P(E ). Esta probabilidade pode ser
descrita como a probabilidade de se comprar um veiculo da marca A e ele
necessitar de reparo ou de se comprar um veiculo da marca B e ele necessitar
de reparo. Portanto, P(E ) = P((A ∩ E ) ∪ (B ∩ E ));
Como os eventos (A ∩ E ) e (B ∩ E ) são disjuntos (já que os veículos
comprados pertencem a apenas um dos modelos disponíveis), então:
P(E ) = P((A ∩ E ) ∪ (B ∩ E )) = P(A ∩ E ) + P(B ∩ E )
Como os valores de P(A ∩ E ) e P(B ∩ E ) são conhecidos, tem-se que
P(E ) = P(A ∩ E ) + P(B ∩ E )
= 0, 1125+ 0, 0075 = 0, 12
Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo que irá
realizar um reparo durante a garantia é de 12%
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 101 / 132
Exemplo
Para a quarta questão, define-se o evento F = moto não ser recuperada e
sabe-se que P(F |E ) = 0, 3. A questão pede para calcular o valor de
P(B ∩ E ∩ F ). Pela regra do produto para três eventos, tem-se que:
P(B ∩ E ∩ F ) = P(F |E ) ∗ P(E |B) ∗ P(B)
= 0, 3 ∗ 0, 03 ∗ 0, 25 = 0, 00225
Portanto, a probabilidade de um comprador adquirir um veículo da marca B,
necessitar realizar um reparo durante a garantia e a moto não ser recuperada
de 0, 225%
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 102 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 103 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 104 / 132
Probabilidade total
Permite descrever um evento a partir de uma partição (conjunto de eventos
disjuntos e coletivamente exaustivos) existente ou conhecida do espaço amostral.
Definição
Seja um evento B e uma partição composta pelo conjunto de eventos
A1,A2, · · · ,Aj pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o teorema da
probabilidade total, é possível afirmar que:
P(B) = P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|Aj) ∗ P(Aj)
Ou:
P(B) =
k∑
i=1
P(B|Ai) ∗ P(Ai)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 105 / 132
Teorema da probabilidade total
Interpretação: Para um evento B desconhecido, tem-se:
Definir (ou encontrar) uma partição pelo conjunto de eventos A1, A2, · · · , An;
O evento B pode ser descrito pelos eventos desta partição, através da
seguinte equação:
B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ · · · ∪ (B ∩ An)
Figura : Descrição do evento B por uma partição com quatro eventos.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 106 / 132
Teorema da probabilidade total
Como os eventos de uma partição são, necessariamente disjuntos e
coletivamente exaustivos, então é possível afirmar que:
P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + · · ·+ P(B ∩ An)
Utilizando a regra do produto para cada partição, tem-se que:
P(B) = P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|An) ∗ P(An)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 107 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 108 / 132
Teorema de Bayes
Utilizado para rever probabilidades previamente calculadas (probabilidade a
priori) quando novas informações aparecem;
Utilizado para inferência: há o interesse em avaliar a causa ou uma das
causas de um evento (efeito observado) acontecer. Então, observa-se o
evento (efeito) e verifica-se a probabilidade de o efeito ter sido ocasionado
pela causa em questão.
Quando se trata apenas de uma causa (evento A) e um efeito observado (evento
B), tem-se que:
Definição
Sejam dois eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o
teorema de Bayes, é possível afirmar que:
P(A|B) = P(B|A) ∗ P(A)P(B)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 109 / 132
Teorema de Bayes
Quando se trata de um efeito observado (evento B) e apenas uma causa (evento
Ai) entre várias possíveis de uma partição (ou seja, estas causas ocorrem para
todos os resultados do espaço amostral,mas nunca ocorrem simultaneamente a
um resultado), tem-se que:
Definição
Seja um evento B e uma partição composta pelo conjunto de eventos
A1,A2, · · · ,Aj pertencentes ao espaço amostral S. De acordo com o teorema de
Bayes, é possível afirmar que, para um determinado evento Ai da partição:
P(Ai |B) = P(B|Ai) ∗ P(Ai)P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|Aj) ∗ P(Aj)
Ou:
P(Ai |B) = P(B|Ai) ∗ P(Ai)∑k
i=1 P(B|Ai) ∗ P(Ai)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 110 / 132
Teorema de Bayes
Interpretação: Reavaliação de um evento Ai da partição a partir da realização do
evento B.
Conhece-se a probabilidade “a priori” para os eventos eventos A1 , A2, · · · ,
An do espaço amostral (ou seja, a probabilidade das causas ocorrerem);
E, para cada Ai da partição, sabe-se P(B|Ai) (ou seja, para cada causa,
conhece-se a probabilidade do efeito ser observado);
Deseja-se encontrar P(Ai |B), a probabilidade do efeito ocorrido ter sido
ocasionado pela causa de interesse. Pela definição da probabilidade
condicional, tem-se que:
P(Ai |B) = P(Ai ∩ B)P(B)
O valor de P(Ai ∩ B) pode ser definido pela regra do produto:
P(Ai ∩ B) = P(B|Ai) ∗ P(Ai)
O valor de P(B) pode ser definido pelo teorema da probabilidade total:
P(B) = P(B|A1) ∗ P(A1) + P(B|A2) ∗ P(A2) + · · ·+ P(B|An) ∗ P(An)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 111 / 132
Exemplo
Estudos sobre uma determinada doença mostraram que ela acomete 1 em cada
500 pessoas e, devido aos efeitos danosos que esta doença apresenta aos
pacientes, um teste de diagnóstico foi desenvolvido. O teste funciona de tal forma
que, se o indivíduo tiver a doença, o resultado do teste será positivo em 95% dos
casos e, se não a tiver, será positivo em apenas 5% das vezes. Se um indivíduo
selecionado aleatoriamente fizer o teste e este der positivo, qual a probabilidade
dele ter a doença.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 112 / 132
Exemplo
Definindo os eventos A = indivíduo tem a doença, B = indivíduo não tem a
doença, E = resultado do teste positivo, tem-se que:
P(A) = 1500 = 0, 002;
P(B) = 499500 = 0, 998;
P(E |A) = 0, 95;
P(E |B) = 0, 05;
Deseja-se calcular o valor de P(A|E ). De acordo com a definição de
probabilidade condicional, tem-se que:
P(A|E ) = P(A ∩ E )P(E )
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 113 / 132
Exemplo
O valor de P(A ∩ E ) pode ser determinada através da regra do produto:
P(A ∩ E ) = P(E |A) ∗ P(A)
De forma que:
P(A ∩ E ) = P(E |A) ∗ P(A)
= 0, 95 ∗ 0, 002 = 0, 0019
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 114 / 132
Exemplo
Para fazer o cálculo de P(E ), é preciso observar que A e B formam uma
partição do espaço amostral em questão (que envolve selecionar uma pessoa
ao acaso). Com isto, é possível determinar o valor de P(E ) através da lei da
probabilidade total:
P(E ) = P(E |A) ∗ P(A) + P(E |B) ∗ P(B)
De forma que:
P(E ) = P(E |A) ∗ P(A) + P(E |B) ∗ P(B)
= 0, 95 ∗ 0, 002+ 0, 05 ∗ 0, 998
= 0, 0019+ 0, 0499 = 0, 0518
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 115 / 132
Exemplo
Com os valores de P(A ∩ E ) e P(E ), pode-se, enfim, determinar o valor de
P(A|E ):
P(A|E ) = P(A ∩ E )P(E )
De forma que:
P(A|E ) = P(A ∩ E )P(E )
=
0, 0019
0, 0518 ' 0, 0367
Logo, a probabilidade do indivíduo ter a doença sabendo que o teste deu
positivo é de 3, 67%.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 116 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 117 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 118 / 132
Independência de eventos
Ocorre quando, disponibilizados dois eventos A e B, a realização de um deles
em uma etapa anterior do experimento não interfere na chance de realização
do outro;
Neste caso, P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B);
A regra do produto, neste caso, pode ser reescrita, da seguinte forma:
Propriedade
Para dois eventos independentes A e B pertencentes ao espaço amostral S vale a
seguinte afirmação:
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
Importante: Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos
OBRIGATORIAMENTE NÃO SÃO INDEPENDENTES ENTRE SI!
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 119 / 132
Independência de eventos
A propriedade da independência de eventos pode ser estendida para mais de dois
eventos.
Propriedade
Para um conjunto de n eventos independentes A1, A2, A3, · · · , An pertencentes
ao espaço amostral S vale a seguinte afirmação:
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ · · ·An) = P(A1) ∗ P(A2) ∗ P(A3) ∗ · · · ∗ P(An)
Ou
P
( n⋂
i=1
Ai
)
=
n∏
i=1
P(Ai)
Importante: Neste caso, é preciso verificar TODAS AS COMBINAÇÕES
POSSÍVEIS DE INTERSECÇÃO.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 120 / 132
Independência de eventos
Verificando se dois eventos, A e B, são independentes entre si:
Basta verificar se P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B).
Verificando de três eventos, A, B e C , são independentes entre si - É preciso
verificar:
se P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B);
se P(A ∩ C) = P(A) ∗ P(C);
se P(B ∩ C) = P(B) ∗ P(C);
se P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ∗ P(B) ∗ P(C);
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 121 / 132
Exemplo
Um fabricante de placas de circuito impresso produz dois lotes de chips para
sistemas embarcados em sensores, cada lote fabricado por máquinas diferentes e
com funcionamento independente. Sabendo que, em média, 10% dos chips do
primeiro lote e 15% dos chips do segundo lote possuem algum defeito, determine
a probabilidade de que avaliando duas placas, uma de cada lote, elas estejam com
defeito.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 122 / 132
Exemplo
Definindo os eventos A = placa de circuito do primeiro lote apresenta defeito
e B = placa de circuito do primeiro lote apresenta defeito, tem-se que.
P(A) = 0, 1;
P(B) = 0, 15.
O que se pede é a determinação de P(A ∩ B). O fato dos componentes de
cada lote serem produzidos por máquinas diferentes e com funcionamento
independente torna os componentes de cada lote independentes um do outro.
Portanto os eventos A e B podem ser considerados independentes, e cálculo
de P(A ∩ B) passa a ser:
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
Portanto:P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
= 0, 1 ∗ 0, 15 = 0, 015
A probabilidade de ambas as placas selecionadas apresentarem defeito é de
1, 5%.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 123 / 132
Sumario
1 Introdução
2 Experimento aleatório
3 Espaço amostral e eventos
Visualização de eventos
4 Teoria dos conjuntos à eventos
5 Definições de probabilidade
Definição clássica
Definição empírica (ou frequentista)
Axiomas de Kolmogorov
6 Propriedades elementares da probabilidade
Primeiras propriedades
Regra geral da união de dois eventos
Resumo de probabilidade
7 Métodos de Contagem
Introdução
Princípio fundamental da contagem
Análise combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
8 Probabilidade condicional
Definição
Regra do produto
9 Teorema de Bayes
Probabilidade total
Teorema de Bayes
10 Independência de eventos
Definição
Confiabilidade de sistemas
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 124 / 132
Independência de eventos
Caso de uso: Confiabilidade de um sistema conectando o ponto A ao ponto B:
Assume-se que as falhas nos links são independentes;
Cada link possui um número indicando a probabilidade dele funcionar.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 125 / 132
Independência de eventos
Configuração em série:
P(subsistema funcione) = P(AR1 funcione ∩AR2 funcione ∩ ··· ∩ ARn funcione)
= P(AR1 funcione)∗P(AR2 funcione)∗···∗P(ARn funcione)
= p1 ∗ p2 ∗ · · · ∗ pn−1 ∗ pn
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 126 / 132
Independência de eventos
Configuração em paralelo:
P(subsistema funcione) = 1− P(subsistema falhe)
= 1−P(AR1 falhe ∩ AR2 falhe ∩ ···∩ ARn falhe)
= 1−P(AR1 falhe)∗P(AR2 falhe)∗···∗P(ARn falhe)
= 1− (1− p1) ∗ (1− p2) ∗ · · · ∗ (1− pn)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 127 / 132
Independência de eventos
Para as duas disposições, então, tem-se que:
Configuração em série
P(subsistema funcione) = p1 ∗ p2 ∗ · · · ∗ pn−1 ∗ pn
Configuração em paralelo
P(subsistema funcione) = 1− (1− p1) ∗ (1− p2) ∗ · · · ∗ (1− pn−1) ∗ (1− pn)
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 128 / 132
Exemplo
Calcule a probabilidade do sistema dado, entre A e B, funcione. (Lembrar que as
probabilidades dadas são de cada link funcionar).
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 129 / 132
Exemplo
Ideia: quebrar o sistema em subsistemas mais simples (um par de traços irá
indicar subsistemas em série, e as barras duplas, subsistemas em paralelo):
subsistema S1 : AR4 −−R4B;
subsistema S2 : AR1 −−S3;
subsistema S3 : S1||S2;
subsistema S4 : R1R2 −−R2B;
subsistema S5 : R1R3 −−R3B;
subsistema AB : S1||S2.
Deseja-se calcular P(AB). Então, define-se as probabilidades com segue:
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 130 / 132
Exemplo
Subsistema S1:
P(S5) = P(R1R4 −−R4B) = P(R1R4) ∗ P(R4B)
= 0, 75 ∗ 0, 95 = 0, 7125
Subsistema S4:
P(S1) = P(R1R2 −−R2B) = P(R1R2) ∗ P(R2B)
= 0, 8 ∗ 0, 9 = 0, 72
Subsistema S5:
P(S2) = P(R1R3 −−R3B) = P(R1R3) ∗ P(R3B)
= 0, 75 ∗ 0, 85 = 0, 6375
Subsistema S3:
P(S3) = P(S1||S2) = 1− (1− P(S1)) ∗ (1− P(S2))
= 1− (1− 0, 72) ∗ (1− 0, 6375) = 1− 0, 28 ∗ 0, 3625
= 1− 0, 1015 = 0, 8985
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 131 / 132
Exemplo
Subsistema S2:
P(S4) = P(AR1 −−S3) = P(AR1) ∗ P(S3)
= 0, 9 ∗ 0, 8985 = 0, 80865
Subsistema AB:
P(S3) = P(S4||S5) = 1− (1− P(S4)) ∗ (1− P(S5))
= 1− (1− 0, 80865) ∗ (1− 0, 7125) = 1− 0, 19135 ∗ 0, 2875
' 1− 0, 0055 ' 0, 945
Portanto, a probabilidade do sistema funcionar é de, aproximadamente,
94, 5%.
Sandro Bruno (UFRN) Probabilidade - Conceitos básicos 20 de março de 2015 132 / 132
	Introdução
	Experimento aleatório
	Espaço amostral e eventos
	Visualização de eventos
	Teoria dos conjuntos à eventos
	Definições de probabilidade
	Definição clássica
	Definição empírica (ou frequentista)
	Axiomas de Kolmogorov
	Propriedades elementares da probabilidade
	Primeiras propriedades
	Regra geral da união de dois eventos
	Resumo de probabilidade
	Métodos de Contagem
	Introdução
	Princípio fundamental da contagem
	Análise combinatória
	Arranjos
	Permutações
	Combinações
	Probabilidade condicional
	Definição
	Regra do produto
	Teorema de Bayes
	Probabilidade total
	Teorema de Bayes
	Independência de eventos
	Definição
	Confiabilidade de sistemas