Distribuições de Probabilidade Discretas

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Distribuições de probabilidade discretas
Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
13 de janeiro de 2015
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 1 / 105
Sumário
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
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Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
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Motivação
Em experimentos aleatórios, geralmente, deseja-se analisar apenas um ou um
conjunto de propriedades da população em questão;
Estas propriedades podem ser numéricas ou descritivas.
Numéricas: podem ser expressas por números;
Descritivas: são expressadas por termos não numéricos (lógicos, textuais,
simbólicos);
Valores numéricos são mais interessantes de trabalhar:
Geralmente são mais simples de armazenar e de operar (especialmente em
computadores);
Permite a obtenção de informações estatísticas (proporção amostral, média,
variância);
Mesmo as medidas descritivas podem ser associadas a valores numéricos,
dependendo da quantidade de resultados possíveis (espaço amostral finito ou
não, enumerável ou não);
Esta associação de valores de propriedades de uma população com valores
numéricos dá origem a ideia de variável aleatória.
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Definição
Definição
Uma variável aleatória representa um possível resultado numérico de um evento
incerto.
Representação:
Variável aleatória: letras maiúsculas (ex: X );
Possíveis valores da variável aleatória : letras minúsculas (ex: x ou x1, x2,
· · · , xn);
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Definição
Significado:
Associa um valor (pertencente aos reais) a cada um dos resultados de um
espaço amostral S;
Função cujo domínio é o espaço amostral e o contra-domínio é o conjunto dos
reais (sendo a imagem o próprio conjunto dos reais ou um subconjunto dele).
X : S → R
Figura : Interpretação de uma variável aleatória
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Exemplo
Defina variáveis aleatórias para os seguintes eventos:
1 Uma pessoa realiza uma ligação para uma operado de telefonia móvel. Ele
pode ter sorte e ser atendido imediatamente (S de sucesso) ou ele pode ficar
na espera (F de fracasso);
2 Uma pessoa escolhe um local, aleatoriamente, dentro do globo terrestre.
Verifica-se a altura (acima ou abaixo) com relação ao nível do mar.
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Exemplo
Primeira questão:
Neste caso, o conjunto de resultados possíveis do evento é S = {S,F};
Associa-se um valor para S e outro para F (habitualmente, X (S) = 1 e
X (F ) = 0);
Neste caso, a variável aleatória será tal que X = 0 quando a pessoa é
atendida imediatamente e X = 1 se a pessoa tiver que esperar para se
atendido.
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Exemplo
Segunda questão:
Neste caso, o conjunto de resultados possíveis do evento é todo e qualquer
valor entre o lugar mais alto e o lugar mais profundo da Terra;
Sabe-se que o lugar mais alto é o monte Everest, no Himalaia, com 8.843
metros de altura. Já o lugar mais profundo fica na fossa das Marianas, no
Oceano Pacífico, com 11.034 metros de profundidade;
Assumindo valores negativos para regiões abaixo do nível do mar, tem-se que
o espaço amostral é qualquer valor no intervalo [−11.034; 8.843],
incluindo-os;
Como os valores já são numéricos, o intervalo pode ser utilizado de forma
direta. Logo, a variável aleatória será tal que X = p, onde p é o valor da
altura com relação ao nível do mar.
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Classificação
Tipos de variáveis aleatórias:
Discretas: Uma variável aleatória discreta está associada a um espaço
amostral enumerável (elementos são contáveis);
Contínuas: Uma variável aleatória contínua está associada a um espaço
amostral não-enumerável e convexo (intervalos ininterruptos ou sem espaços).
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Exemplo
Dado o experimento “Selecionar uma pessoa aleatoriamente", verifique quais os
tipos das seguintes eventos podem ser expressados por variáveis aleatórias:
1 Gênero de uma pessoa (supondo S = {masculino, feminino});
2 Tipo sanguíneo (S = {A, B, AB, O});
3 Altura, em metros;
4 Idade, em anos.
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Exemplo
Primeira questão: Dado que o espaço amostral seja S = {masculino,
feminino}, então o evento pode ser descrito por variáveis discretas;
Segunda questão: Dado que o espaço amostral seja S = {A, B, AB, O },
então o evento pode ser descrito por variáveis aleatórias discretas;
Terceira questão: O valor de altura pode ser, teoricamente, qualquer valor
real maior do que zero (embora se saiba, na prática, que isto não é verdade.
Por exemplo, não existe nenhum registro de pessoa que tenha tido mais de 5
metros de altura). Logo, este evento deve ser descrito por variáveis aleatórias
contínuas (embora faça sentido definir este conjunto por uma variável
discreta, já que é muito raro representar uma medida de altura com mais de
duas casas decimais);
Quarta questão: A idade de uma pessoa, em anos, é um valor enumerável
(porque pode assumir valores inteiros maiores que zero). Logo, este evento
pode ser descrito por variáveis aleatórias discretas;
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Observação
Uma variável aleatória que só pode assumir valores 0 ou 1, é denominada variável
aleatória de Bernoulli.
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Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
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Definição
Eventos discretos: eventos contáveis, podendo ser finitos e infinitos;
Possuem um valor inicial e um critério de ordenação;
Variável aleatória discreta: valores possíveis podem ser associados ao
conjunto dos naturais (ou um subconjunto dele);
Ideia: uma variável aleatória discreta lista ou tabela todos os possíveis
resultados de um evento: x1 , x2 , · · · , xn.
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Exemplo
Defina os valores possíveis ou suporte da variável aleatória nos seguintes casos:
1 O experimento consiste em lançar um dadoduas vezes, e seja a variável
aleatória dada por X = { número de vezes que o resultado 4 aparece };
2 O experimento consiste em lançar uma moeda 7 vezes, e seja a variável
aleatória dada por X = { número de caras que aparecem }.
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Exemplo
Primeira questão: Para este caso, X = { 0, 1, 2 };
Segunda questão: Para este caso, X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };.
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Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
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Definição
Definição
A função massa de probabilidade (fmp) de uma variável aleatória discreta é
definida para cada número x do suporte de uma variável aleatória X por:
p(x) = P(X = x) = P(para todo w ∈ S : X (w) = x)
Observação:
X (maiúscula) aqui representa a variável aleatória que é função de resultados
do espaço amostral, w , por isso: X(w);
x(minúscula) representa um dos valores possíveis que X pode assumir;
Ao calcular p(x) para todos os valores possíveis de X (x1 ,x2 ,· · · ,xn),
obtém-se um modelo de probabilidade.
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Definição
Significado de uma função massa de probabilidade.
É a probabilidade de todos os eventos w do espaço amostral S que estão
associados ao valor x da variável aleatória X ;
Informa um valor probabilidade para a ocorrência de cada valor da lista
(p(x1), · · · , p(xn)) e zero para os outros valores.
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Propriedades
Uma função massa de probabilidade possui as seguintes propriedades:
Não-negatividade
Se p(x) é um valor de probabilidade, então p(x) ≥ 0 para todo valor de x.
Aditividade e normalização
A soma da probabilidade de todos os valores possíveis da variável aleatória é igual
a 1, ou seja:
n∑
i=0
p(xi) = 1
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Exemplo
Definido o experimento como o lançamento de duas moedas, e seja a variável
aleatória X = { número de coroas }. Determine a função massa de probabilidade
(ou fmp) de X .
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Denominado C = {face cara} e K = {face coroa}, o espaço amostral deste
evento é dado por S = {CC ,CK ,KC ,KK};
Para este caso, os valores possíveis para a variável aleatória em questão são:
X = {0, 1, 2}
Para X = 0, há apenas uma possibilidade (CC), dentre quatro possíveis.
Logo:
p(X = 0) = 14 = 0, 25
Para X = 1, há duas possibilidade (CK e KC), dentre quatro possíveis. Logo:
p(X = 1) = 24 = 0, 5
Para X = 2, há apenas uma possibilidade (KK ), dentre quatro possíveis.
Logo:
p(X = 2) = 14 = 0, 25
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Logo, a função massa de probabilidade pode ser descrita como:
p(x) =
0, 25, para X = 0;0, 5, para X = 1;0, 25, para X = 2.
Graficamente:
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Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 25 / 105
Definição
Definição
A função de distribuição acumulada da variável aleatória X, representada por
FX (.), ou simplesmente F (.), é definida, para todo x do conjunto de valores reais,
por:
FX (x) = F (x) = P(X ≤ x)
É a soma ou acumulo da probabilidade da variável aleatória X assumir todos os
valores abaixo ou iguais a x . A função de distribuição acumulada (fda) F (.) de
uma variável aleatória discreta X a partir da função massa de probabilidade p(x) é
definida para cada valor de x por:
F (x) = P(X ≤ x) =
∑
xi≤x
p(xi)
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Propriedades
Uma função de distribuição acumulada possui as seguintes propriedades:
Não-decrescente
Se x1 ≤ x2 , então F (x1) ≤ F (x2).
Continuidade
A função de distribuição de probabilidade é contínua à direita.
Limite inferior
lim
x →−∞F (x) = 0
Limite superior
lim
x →∞F (x) = 1
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Exemplo
Definido o experimento como o lançamento de duas moedas, e seja a variável
aleatória X = { número de coroas }. Determine a função distribuição acumulada
(ou fda) de X .
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Exemplo
Sabe-se que a função massa de probabilidade para este caso é:
p(x) =
0, 25, para X = 0;0, 5, para X = 1;0, 25, para X = 2.
Para X < 0, F (x) = 0;
Para X ≤ 0, F (x) = 0, 25;
Para X < 1, F (x) = 0, 25;
Para X ≤ 1, F (x) = 0, 75;
Para X < 2, F (x) = 0, 75;
Para X ≤ 2, F (x) = 1;
Para X ≥ 2, F (x) = 1.
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Exemplo
Logo, a função distribuição acumulada de X , para este caso, é dada por:
F (x) = P(X ≤ x) =

0, para X < 0;
0, 25, para 0 ≤ X < 1;
0, 75, para 1 ≤ X < 2;
1, para X ≥ 2.
Graficamente:
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Propriedades
Proposições:
Propriedade 1
Para dois números a e b, tais que a ≤ b, tem-se que:
P(a ≤ x ≤ b) = F (b)− F (a−)
P(a ≤ x < b) = F (b−)− F (a−)
P(a < x ≤ b) = F (b)− F (a)
P(a < x < b) = F (b−)− F (a)
Onde F (a−) = limx → a− F (x) é o limite de F (.) em a pela esquerda. Portanto,
a− é o maior valor de x que é menor do que a.
Propriedade 2
P(X > x) = 1− F (x)
P(X ≥ x) = 1− F (x−)
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Exemplo
Seja a seguinte função de distribuição acumulada:
F (x) =

0, para X < 0;
0, 2, para 0 ≤ X < 2;
0, 5, para 2 ≤ X < 3;
0, 8, para 3 ≤ X < 5;
1, para X ≥ 5.
Calcule:
1 P(0 < X ≤ 3);
2 P(0 ≤ X ≤ 3);
3 P(0 ≤ X < 3);
4 P(X > 2);
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Exemplo
Primeira questão:
P(0 < X ≤ 3) = F (3)− F (0)
= P(X ≤ 3)− P(X ≤ 0)
= 0, 8− 0, 2
= 0, 6
Segunda questão:
P(0 ≤ X ≤ 3) = F (3)− F (0−)
= P(X ≤ 3)− P(X < 0)
= 0, 8− 0
= 0, 8
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Exemplo
Terceira questão:
P(0 ≤ X < 3) = F (3−)− F (0−)
= P(X < 3)− P(X < 0)
= 0, 5− 0
= 0, 5
Quarta questão:
P(X > 2) = 1− P(X ≤ 2)
= 1− F (2)
= 1− 0, 5
= 0, 5
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Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de BernoulliExperimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
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Motivação
O valor esperado é a média da população;
Interpretação do valor esperado: Se o experimento for repetido um número
infinito de vezes, deseja-se saber qual a tendência central ou o valor médio
obtido;
O valor esperado não representa a moda da população, ou seja, não é o valor
que se espera sair com maior frequência;
O valor médio pode não apresentar significado real.
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Definição
Definição
O valor esperado (ou média) de uma distribuição discreta é dado pela média
ponderada dos valores da variável aleatória, em que os pesos são a probabilidade
de cada valor.
µ = µX = E (X ) =
n∑
i=1
xi ∗ p(xi)
O valor esperado é a média da variável aleatória na população;
Em vez de somarmos os valores e dividirmos pelo número total, ponderamos
cada valor possível da variável aleatória pela sua chance de ocorrência.
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Exemplo
Em um levantamento de uma cidade sobre o consumo de energia, dada a seleção
aleatória de um deles, a fmp da variável aleatória X = { número de quilowatts
consumidos } é informada abaixo:
x(kW ) 0 1 2 3 4
p(x) 0,2 0,3 0,3 0,15 0,05
Calcule o consumo médio da cidade.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 38 / 105
Exemplo
De acordo com a fórmula do valor esperado, o consumo médio µX é dado por:
µX = 0 ∗ p(0) + 1 ∗ p(1) + 2 ∗ p(2) + 3 ∗ p(3) + 4 ∗ p(4).
Consequentemente:
µX = 0 ∗ p(0) + 1 ∗ p(1) + 2 ∗ p(2) + 3 ∗ p(3) + 4 ∗ p(4)
= 0 ∗ 0, 2+ 1 ∗ 0, 3+ 2 ∗ 0, 3+ 3 ∗ 0, 15+ 4 ∗ 0, 05
= 0+ 0, 3+ 0, 6+ 0, 45+ 0, 2
= 1, 55
Logo, o consumo médio da cidade é de 1, 55 kW .
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Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 40 / 105
Definição
Para uma variável aleatória X , uma função Y = h(X ) possui valor esperado dado
por:
µY = E (Y ) = E (h(X )) =
n∑
i=1
h(xi) ∗ p(xi)
A função h(.) é uma função determinística a partir dos valores de X ;
A probabilidade de cada valor de yi = h(xi) é a mesma de xi .
No caso de funções lineares Y = a ∗ X + b, tem-se a seguinte propriedade:
Propriedade
Se X é uma variável aleatória, então:
E (aX + b) = a ∗ E (X ) + b
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Exemplo
No lançamento de uma moeda considerada “equilibrada” três vezes consecutivas,
seja a variável aleatória X dada pelo número de caras e assuma que, para cada
cara, recebe-se 2 reais. Calcule o valor esperado da quantia recebida.
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Exercícos
Para o evento em questão, deve-se primeiramente, estabelecer a sua fmp.
Como a moeda é considerada “equilibrada”, então a probabilidade de
ocorrência de uma cara é igual a ocorrência de uma coroa. Assume-se C =
{resultado cara} e K = {resultado coroa };
O espaço amostral do evento é
S = {CCC ,CCK ,CKC ,CKK ,KCC ,KCK ,KKC ,KKK}. Logo, a
probabilidade de cada resultado sair é dada por 18 .
Cada resultado não ocorre simultaneamente, de forma que:
P(X = 0) = P(KKK) = 18 ;
P(X = 1) = P(CKK) + P(KCK) + P(KKC) = 38 ;
P(X = 2) = P(CCK) + P(CKC) + P(KCC) = 38 ;
P(X = 3) = P(CCC) = 18 .
Logo, a fmp é dada por:
x 0 1 2 3
p(x) 18
3
8
3
8
1
8
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 43 / 105
Exemplo
Como cada valor de cara equivale a um ganho de R$2, 00. Logo, a função de
interesse Y pode ser descrita como Y = 2 ∗ X ;
Por conseguinte:
X 0 1 2 3
Y 0 2 4 6
De acordo com a fórmula do valor esperado, o consumo médio µX é dado por:
µY = 0 ∗ p(0) + 2 ∗ p(1) + 4 ∗ p(2) + 6 ∗ p(3)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 44 / 105
Exemplo
Consequentemente:
µY = 0 ∗ p(0) + 2 ∗ p(1) + 4 ∗ p(2) + 6 ∗ p(3)
= 0 ∗ 18 + 2 ∗
3
8 + 4 ∗
3
8 + 6 ∗
1
8
= 0+ 68 +
12
8 +
6
8
=
24
8 = 3
Logo, o valor esperado para quantia é de é de R$3, 00.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 45 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 46 / 105
Motivação
A média, por si só, não caracteriza uma distribuição;
As medidas de dispersão avaliam a distribuição dos valores de probabilidade a
partir do valor médio de uma variável aleatória;
Grandes valores refletem dispersão considerável;
Pequenos valores indicam menor dispersão, ou maior concentração de valores.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 47 / 105
Definição
Definição
A variância de uma variável aleatória discreta é definida por:.
V (X ) = σ2 = E [(X − µ)2] =
n∑
i=1
[xi − µ]2 ∗ p(xi)
Definição
A variância de uma variável aleatória discreta é definida por:.
σ =
√
σ2 =
√√√√ n∑
i=1
[xi − µ]2 ∗ p(xi)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 48 / 105
Propriedades
A fórmula abaixo é extremamente útil:
Propriedade 1
A variância de uma variável aleatória discreta é definida por:.
σ2 = E (X 2)− µ2
Propriedade 2
Se X é uma variável aleatória, com variância σ2 e desvio-padrão σ, então:
V (aX + b) = σ2aX+b = a2 ∗ σ2X ;
σaX+b = |a| ∗ σX ;
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 49 / 105
Exemplo
Uma loja de eletrodomésticos vende três modelos diferentes de freezer verticais
com 120, 180 e 240 litros de espaço. Seja X = {volume de armazenagem
comprado pelo próximo cliente} e suponha que a fmp de X seja:
X 120 180 240
h(x) 0, 4 0, 5 0, 1
1 Calcule E (X ), E (X 2) e V (X );
2 Se o preço Y de um freezer com X litros de capacidade for de
Y = 5 ∗ X + 100, qual será o preço esperado pago pelo próximo cliente?
3 Qual é a variância e o desvio padrão do preço (Y = 5 ∗ X + 100) pago pelo
próximo cliente?
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 50 / 105
Exemplo
Primeira questão:
O valor esperado de X é dado por:
E (X ) = 120 ∗ 0, 4+ 180 ∗ 0, 5+ 240 ∗ 0, 1
Por conseguinte:
E (X ) = 120 ∗ 0, 4+ 180 ∗ 0, 5+ 240 ∗ 0, 1
= 48+ 90+ 24 = 162
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 51 / 105
Exemplo
A variável X 2 é dada por:
X 120 180 240
X 2 14400 32400 57600
O valor esperado de X 2 é dado por:
E (X 2) = 14400 ∗ 0, 4+ 32400 ∗ 0, 5+ 57600 ∗ 0, 1
Por conseguinte:
E (X 2) = 14400 ∗ 0, 4+ 32400 ∗ 0, 5+ 57600 ∗ 0, 1
= 5760+ 16200+ 5760 = 27720
Sandro Bruno (UFRN)Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 52 / 105
Exemplo
O valor da variância V (X ) é dado por:
V (X ) = E (X 2)− E (X )2
Portanto:
V (X ) = E (X 2)− E (X )2
= 27720− 1622
= 27720− 26244 = 1476
Logo, E (X ) = 162, E (X 2) = 27720 e V (X ) = 1476.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 53 / 105
Exemplo
Segunda questão:
Sabendo que o preço é dado por Y = 5 ∗ X + 60, então tem-se que:
X = 120 : Y = 5 ∗ 120+ 100 = 700;
X = 180 : Y = 5 ∗ 180+ 100 = 1000;
X = 240 : Y = 5 ∗ 240+ 100 = 1300;
Logo, a associação da variável Y com X dado por:
X 120 180 240
Y 700 1000 1300
O valor esperado de Y é dado por:
E (Y ) = 700 ∗ 0, 4+ 1000 ∗ 0, 5+ 1300 ∗ 0, 1
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 54 / 105
Exemplo
Portanto:
E (Y ) = 700 ∗ 0, 4+ 1000 ∗ 0, 5+ 1300 ∗ 0, 1
= 280+ 500+ 130 = 910
O preço esperado a ser pago pelo próximo cliente é de R$ 910, 00.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 55 / 105
Exemplo
Terceira questão:
A associação da variável Y com X dado por:
X 120 180 240
Y 700 1000 1300
Sabe-se que µY = 910. Portanto, a variância de Y é expressa por:
V (Y ) = [700− 910]2 ∗ 0, 4+ [1000− 910]2 ∗ 0, 5+ [1300− 910]2 ∗ 0, 1
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 56 / 105
Exemplo
Por conseguinte:
V (Y ) = [700− 910]2 ∗ 0, 4+ [1000− 910]2 ∗ 0, 5+ [1300− 910]2 ∗ 0, 1
= [−210]2 ∗ 0, 4+ [90]2 ∗ 0, 5+ [390]2 ∗ 0, 1
= 44100 ∗ 0, 4+ 8100 ∗ 0, 5+ 152100 ∗ 0, 1
= 17640+ 4050+ 15210 = 36900
O desvio-padrão é dado por:
σ =
√
V (Y ) =
√
36900 ≈ 192, 09
Logo, a variância de preço é de R$ 36900, 00 e o desvio-padrão é de,
aproximadamente, R$ 192, 09.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 57 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 58 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 59 / 105
Definição
Uma variável aleatória que assume apenas dois valores, 0 ou 1, é denominada
variáel de Bernoulli.
Em um tipo de variável, define-se apenas dois valores para o fmp: p(1) e
p(0)
p(1) = α;
p(0) = 1− α;
Os valores da fmp variam de acordo com um parâmetro α definido a priori.
Cada valor de α diferente gera um valor de p(x) diferente;
Neste caso, a fmp p(x) pode ser reescrita como p(x ;α). O conjunto de
distribuições deste modelo é denominado família de distribuições de Bernoulli.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 60 / 105
Definição
A descrição de uma distribuição da família de Bernoulli é dada por:
p(x ;α) =
 α, x = 0;1− α, x = 1;0, outros casos.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 61 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 62 / 105
Motivação
Existem vários eventos que se caracterizam como a contagem o número de
sucessos em uma amostra de tamanho fixo;
A família de distribuições binomial é utilizada na maioria dos casos em que
este tipo de evento ocorre.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 63 / 105
Definição
Definição
Um experimento é dito binomial se atende as seguintes condições:
Um experimento consiste em uma sequência de n experimentos menores
denominados tentativas, onde n é estabelecido antes do experimento;
Cada tentativa pode resultar em um de dois resultados possíveis, chamados
de sucesso (S) ou fracasso (F);
As tentativas são independentes, de forma que o resultado de qualquer
tentativa particular não influência o resultado de qualquer outra tentativa;
A probabilidade de sucesso é constante de uma tentativa para outra,e
denominada p = P(S).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 64 / 105
Definição
Observação para eventos sem reposição.
Em geral, eventos que a amostragem é feita sem reposição não são
considerados experimentos binomiais (as tentativas não são independentes);
Na prática, um experimento feito em uma população dicotômica (que pode
ser dividida em dois grupos) de tamanho N pode ser considerado um
experimento binomial se o tamanho da amostra (número de tentativas) n for,
no máximo, 5% do valor de N.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 65 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 66 / 105
Variável aleatória binomial
Na maioria dos experimentos binomiais, há o interesse em saber o número
total de sucessos “S”, sem saber a priori quantas tentativas são necessárias
para que o evento em questão chegue a “S”.
Define-se o conceito de variável aleatória binomial :
Definição
Dado um experimento binomial consistindo de n tentativas, a variável aleatória
binomial X associada ao evento é definida como
X = { Quantidade de sucessos S em n tentativas }.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 67 / 105
Parâmetros de uma variável aleatória binomial
Em um evento de n tentativas, os valores possíveis de X se limitam ao
intervalo [0, n];
Como cada tentativa pode gerar sucesso o fracasso, cada valor de
probabilidade de sucesso, p, interfere no resultado do evento;
Por causa disto, uma variável aleatória binomial X é frequentemente indicada
como X ∼ Bin(n, p), onde n é o numero de tentativas e p é a probabilidade
de sucesso.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 68 / 105
Função massa de probabilidade de uma variável binomial
Definição
Dada uma variável aleatória binomial X consistindo de n tentativas cuja
probabilidade de sucesso é p, a função massa de probabilidade b(x ; n; p) é dada
como:
b(x ; n; p) =

(
n
x
)
∗ px ∗ (1− p)n−x , x = 1, 2, · · · , n
0, outros valores.
b(x ; n; p) : probabilidade de x sucessos em n tentativas;
n : número de tentativas (tentativas independentes);
x : número de “sucesso” observados;
p : probabilidade de “sucesso”em cada tentativa (constante).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 69 / 105
Média e variância de uma distribuição binomial
Definição
Dado uma variável aleatória binomial X ∼ Bin(n, p), o seu valor esperado E (X ) é
dado como:
E (X ) = np
E sua variância V (X ) é dada como:
V (X ) = np(1− p)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 70 / 105
Exemplo
Se a probabilidade de se comprar um computador com defeito é de 0.02, qual é a
probabilidade de comprar 2 computadores com defeito em um lote de 10
computadores? Suponha que os computadores foram produzidos de maneira
independente.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 71 / 105
Exemplo
Seja X o número de computadores com defeito no lote de 10 computadores.
Assim, p = 0.02 e n = 10;
Objetiva-se determinar P(X = 2) ou p(2). Assumindo que
X ∼ Bin(n = 10, p = 0.02), tem-se que:
p(2) = b(2; 10; 0, 02) =
(
10
2
)
∗ (0, 02)2 ∗ (1− 0, 02)10−2
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 72 / 105
Exemplo
Por conseguinte:
p(2) = b(2; 10; 0, 02) =
(
10
2
)
∗ (0, 02)2 ∗ (1− 0, 02)10−2
=
10!
2!(10− 2)! ∗ (0, 02)
2 ∗ (1− 0, 02)8
=
10!
2!8! ∗ (0, 02)
2 ∗ (0, 98)8
=
10 ∗ 9 ∗ 8!
2 ∗ 1 ∗ 8! ∗ (0, 02)
2 ∗ (0, 98)8
= 45 ∗ 0, 0004 ∗ 0, 850763023
≈ 0, 01531 = 1, 531%
Portanto, a probabilidade de se adquirir dois computadores quebrados é de,
aproximadamente, 1, 531%.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 73 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 74 / 105
Experimento hipergeométrico
Experimento hipergeométrico:
Selecionar n itens sem reposição de uma população de tamanho N, ou seja,
pega-se uma amostra de tamanho n desta população;
Cada indivíduo da população é classificado como “sucesso” (S) ou “fracasso”
(F );
A população possui M casos de “sucesso”;
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 75 / 105
Variável aleatória hipergeométrica
Conceito de variável aleatória hipergeométrica:
Definição
Dado um experimento hipergeométrico consistindo em uma seleção de n amostras
dentre N disponíveis, a variável aleatória hipergeométrica X associada ao evento é
definida como
X = { Quantidade de sucessos S em uma amostra de tamanho n }.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 76 / 105
Variável aleatória hipergeométrica
Diferenças entre os experimentos binomial e hipergeométrico:
Experimento binomial: probabilidade de sucesso em cada tentativa, p, é
constante e independente dos itens selecionados nas outras tentativas.
Obtido por:
Amostra com reposição a partir de população finita;
Amostra sem reposição a partir de população infinita.
Experimento hipergeométrico: probabilidade de um item da amostra não é
constante e depende dos itens que já foram sorteados;
Amostra sem reposição a partir de população finita.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 77 / 105
Parâmetros de uma variável aleatória hipergeométrica
A população do experimento constitui-se de N elementos;
Dos M elementos disponíveis, há M elementos caracterizados como
“sucesso”;
Para cada evento, seleciona-se n elementos dos N disponíveis;
Um conjunto dos elementos disponíveis pode ser classificado como “sucesso”;
Desta forma, considera-se uma variável hipergeométrica X caracterizada
pelos parâmetros N, M e n, indicando X ∼ Hiper(N,M, n).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 78 / 105
Função massa de probabilidade de uma variável
hipergeométrica
Definição
Dada uma variável aleatória hipergeométrica X consistindo de uma população de
N elementos, das quais M são consideradas “sucesso” e realiza-se n seleções, a
função massa de probabilidade h(x ;N;M; n) é dada como:
h(x ;N;M; n) =

(
M
x
)
∗
(
N −M
n − x
)
(
N
n
) , max{0, n − (N −M)} ≥ x ≥ min{n,M};
0, outros valores.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 79 / 105
Função massa de probabilidade de uma variável
hipergeométrica
h(x ;N;M; n) : probabilidade de x sucessos em n tentativas;
N : total de elementos que constituem a população;
M : número de elementos, na população, que satisfazem a condição de
“sucesso” do evento;
n : número de objetos selecionados;
x : número de elementos em condição de “sucesso” observados.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 80 / 105
Função massa de probabilidade de uma variável
hipergeométrica
Os limites superior e inferior dos valores de x com probabilidade significativa são
determinados pelo número de amostras existentes.
O limite inferior de x (max{0, n − (N −M)}) está associado ao número de
fracasso na população. Se forem poucos (menor que o número de seleções),
n − (N −M) será o número mínimo de sucessos que poderá se obter na
amostra;
O limite superior de x (min{n,M}) está associado ao número de sucessos na
população. Se forem poucos (menor que o número de seleções), n será o
número máximo de sucessos que poderá se obter na amostra.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 81 / 105
Média e variância de uma distribuição hipergeométrica
Definição
Dado uma variável aleatória hipergeométrica X ∼ Hiper(M,N, n), o seu valor
esperado E (X ) é dado como:
E (X ) = n ∗ MN
E sua variância V (X ) é dada como:
V (X ) = n ∗ MN ∗
N −M
N ∗
N − n
N − 1
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 82 / 105
Média e variância de uma distribuição hipergeométrica
Assumindo MN = p (a probabilidade de sucesso em uma distribuição
binomial) e N −MN = 1− p:
E(X) = n ∗ p;
V (X) = n ∗ p ∗ (1− p) ∗ N − nN − 1
A média de uma variável aleatória hipergeométrica pode ser considerada igual
a média de uma variável aleatória binomial sob condições semelhantes;
A variância de uma variável aleatória hipergeométrica difere da de uma
variável aleatória binomial, sob condições semelhantes, por N − nN − 1 ,
denominado fator de correção de população finita e relacionado ao
número pequeno de amostras;
Notar que, se N � n, o fator N − nN − 1 tende a 0 e a variância de uma variável
hipergeométrica tende a ser igual de uma variável binomial.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 83 / 105
Exemplo
Em um departamento existem 10 computadores diferentes. Destes, 4 tem
programas ilegais instalados. A equipe de informática decide inspecionar 3
computadores aleatoriamente. Qual a probabilidade de que 2 dos 3 computadores
inspecionados tenham programas ilegais instalados?
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 84 / 105
Exemplo
Trata-se de um evento de amostragem sem reposição;
Seja X = {número de computadores com programas ilegais em uma amostra
de 3 computadores selecionados.}. Sabe-se que X ∼ Hiper(N;M; n), onde
N = 10, M = 4, n = 3;
Deseja-se calcular p(2) ou P(X = 2). Logo:
p(2) = h(2; 10; 4; 3) =
(
4
2
)
∗
(
10− 4
3− 2
)
(
10
3
)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas13 de janeiro de 2015 85 / 105
Exemplo
Por conseguinte:
p(2) = h(2; 10; 4; 3) =
(
4
2
)
∗
(
10− 4
3− 2
)
(
10
3
) =
(
4
2
)
∗
(
6
1
)
(
10
3
)
=
4!
2!(4− 2)! ∗
6!
1!(6− 1)!
10!
3!(10− 3)!
=
(
4!
2!2!
)
∗
(
6!
1!5!
)
(
10!
3!7!
) =
(
4 ∗ 3
2 ∗ 1
)
∗
(
6
1
)
(
10 ∗ 9 ∗ 8
3 ∗ 2 ∗ 1
)
=
6 ∗ 6
120 =
36
120 = 0, 3 = 30%
Logo, a probabilidade de que 2 dos 3 computadores inspecionados tenham
programas ilegais instalados é de 30%.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 86 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 87 / 105
Área de oportunidade
Definição
Uma área de oportunidade é uma unidade contínua (um intervalo de tempo,
volume ou área) na qual podem ocorrer mais de um evento discreto.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 88 / 105
Experimento de Poisson
Deseja-se saber a probabilidade do número de vezes que um evento pode
ocorrer em uma área de oportunidade;
A probabilidade de um evento ocorrer em uma área de oportunidade é a
mesma para áreas de mesmo tamanho;
O número de eventos que ocorre em uma área de oportunidade é
independente do número de eventos que ocorrem em outras áreas de
oportunidade.
A probabilidade de dois ou mais eventos acontecerem em uma área de
oportunidade se aproxima de zero a medida que a área fica menor;
O número médio de eventos por área é dado por λ (lambda).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 89 / 105
Variável aleatória de Poisson
Conceito de variável aleatória de Poisson:
Definição
Dado um experimento de Poisson consistindo em verificar a realização de um
evento em uma área de oportunidade, a variável aleatória de Poisson X associada
ao evento é definida como
X = { Quantidade de repetições de um evento em uma área de oportunidade }.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 90 / 105
Parâmetros de uma variável de Poisson
Dada uma área de oportunidade, deve-se conhecer o valor médio de
ocorrência λ para um evento em questão;
Considera-se uma variável de Poisson X caracterizada pelo parâmetro λ,
indicando X ∼ Poisson(λ).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 91 / 105
Função massa de probabilidade de uma variável de Poisson
Definição
Dada uma variável aleatória de Poisson X definida em uma área de oportunidade
que tem como valor médio de ocorrência de um número médio de eventos λ, a
função massas de probabilidade p(x ;λ) associada a variável x é dada como:
p(x ;λ) =
e
−λ ∗ λx
x ! , x = 0, 1, 2, · · ·
0, outros valores.
p(x ;λ) : probabilidade de x ocorrências do evento na área de oportunidade;
x : número de ocorrências;
λ : número médio de eventos por área de oportunidade;
e : número de Euler (e ≈ 2, 71828).
OBSERVAÇÃO: Deve-se converter unidade de parâmetro λ para a mesma
unidade da área de oportunidade.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 92 / 105
Relação entre uma variável de Poisson e uma variável
binomial
Propriedade
Definida uma fmp binomial b(x ; n; p), se n→∞ e p → 0, de modo que a média
np se mantenha em um valor constante λ > 0, então b(x ; n; p)→ p(x ;λ).
Qualquer experimento binomial em que n é grande e p é pequeno,
b(x ; n; p) ≈ p(x ;λ);
Na prática, esta aproximação vale para experimentos binomiais onde n ≥ 100,
p ≤ 0, 01 e np ≤ 20;
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 93 / 105
Relação entre uma variável de Poisson e uma variável
binomial
Matematicamente:
De uma forma geral, para qualquer número de ocorrências do evento em uma
certa área de oportunidade tem-se que:
lim
n→∞P(X = x) = limn→∞
n!
x !(n − x)!
(
λ
x
)x (
1− λx
)n−x
É possível demonstrar que:
lim
n→∞
n!
x !(n − x)!
(
λ
x
)x (
1− λx
)n−x
=
eλ ∗ λx
x !
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 94 / 105
Exemplo
Observa-se a esquina de uma rua pouco movimentada. Sabe-se que, em média,
passam 2, 7 carros por hora. Qual a probabilidade de passarem 4 carros em uma
hora?
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 95 / 105
Exemplo
A solução pode ser aproximada por uma variável binomial, em minutos.
Sabe-se que 1 hora tem 60 minutos;
Seja S = {Um carro passa em um dado minuto}. Logo,
P(S) = 2, 760 = 0, 045;
Assume-se que a probabilidade de passar um carro em um dado minuto é
independente dos demais minutos;
Seja X = { número de minutos, em 60, que observou-se um carro passar }.
Tem-se que:
p(4) = 60!4!(60− 4)! ∗ (0, 045)
4 ∗ (1− 0, 045)56 ≈ 0, 1517518
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 96 / 105
Exemplo
Se mais de um carro passar em um certo minuto: a solução pode ser aproximada
por uma variável binomial, em segundos.
Sabe-se que 1 hora tem 3600 segundos;
Seja S = {Um carro passa em um dado segundo}. Logo,
P(S) = 2, 73600 = 0, 00075;
Assume-se que a probabilidade de passar um carro em um dado segundo é
independente dos demais segundos;
Seja X = { número de segundos, em 3600, que observou-se um carro passar
}. Tem-se que:
p(4) = 3600!4!3596! ∗ (0, 00075)
4 ∗ (1− 0, 00075)3596 ≈ 0, 1488635
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 97 / 105
Exemplo
Se mais de um carro passar em um certo segundo: a solução pode ser aproximada
por uma variável binomial, em décimos, centésimos ou milésimos de segundos. No
entanto, é possível observar que:
Sabe-se que 1 hora tem n unidades de tempo muito pequenas;
Seja S = {Um carro passa em uma dada unidade de tempo}. Logo,
P(S) = 2, 7n ;
Assume-se que a probabilidade de passar um carro em uma dada unidade de
tempo é independente dos demais instantes de tempo;
Seja X = { número de unidades de tempo, em n, que observou-se um carro
passar }. Tem-se que:
p(4) = lim
n→∞
n!
4!(n − 4)! ∗
(
2, 7
n
)4
∗
[
1−
(
2, 7
n
)]n−4
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 98 / 105
Exemplo
Se a variável for aproximada por uma distribuição de Poisson, onde λ = 2, 7 carros
por hora, então:
p(4) = e
−2,7 ∗ 2, 74
4! ≈ 0.1488157
Percebe-se que o valor da aproximação pela distribuição binomial, em segundos, é
quase igual ao valor da distribuição de Poisson.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 99 / 105
Média e variância de uma distribuição de Poisson
Definição
Dado uma variável aleatória de Poisson X ∼ Poisson(λ), o seu valor esperado
E (X ) é dado como:
E (X ) = λ
E sua variância V (X ) é dada como:
V (X ) = λ
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 100 / 105
Exemplo
O número de carros que entra em um estacionamento em um certo minuto tem
distribuição de Poisson e, na média, 5 carros entrem um no estacionamento por
minuto. Qual a probabilidade de 7 carros entrarem no estacionamento em um
dado minuto?
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 101 / 105
Exemplo
Seja X = {número de carros que entram no estacionamentopor minuto}.
Sabe-se que X ∼ Poisson(λ), onde λ = 5 carrosminuto ;
Deseja-se calcular p(7) ou P(X = 7). Logo:
p(7) = p(7; 5) = e
−5 ∗ 57
7!
Por conseguinte:
p(7) = p(7; 5) = e
−5 ∗ 57
7!
=
0, 006737947 ∗ 78125
5040
=
526, 402109375
5040
≈ 0, 1044 = 10, 44%
Logo, a probabilidade de sete carros entrarem no estacionamento é de,
aproximadamente, 10, 44%.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 102 / 105
Sumario
1 Variáveis aleatórias
2 Variável aleatória discreta
3 Função massa de probabilidade (fmp)
4 Função de distribuição acumulada (fda)
5 Valor esperado
Valor esperado de uma função
6 Dispersão
7 Distribuição binomial
Família de Bernoulli
Experimento binomial
Distribuição binomial
8 Distribuição hipergeométrica
9 Distribuição de Poisson
10 Disposição gráfica (binomial e Poisson)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 103 / 105
Gráfico de uma função binomial
Figura : Gráfico da distribuição binomial para n = 5 e p = 0, 1.
Figura : Gráfico da distribuição binomial para n = 5 e p = 0, 5.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 104 / 105
Gráfico de uma distribuição de Poisson
Figura : Gráfico da distribuição de Poisson para λ = 0, 5.
Figura : Gráfico da distribuição de Poisson para λ = 3.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuições de probabilidade discretas 13 de janeiro de 2015 105 / 105
	Variáveis aleatórias
	Variável aleatória discreta
	Função massa de probabilidade (fmp)
	Função de distribuição acumulada (fda)
	Valor esperado
	Valor esperado de uma função
	Dispersão
	Distribuição binomial
	Família de Bernoulli
	Experimento binomial
	Distribuição binomial
	Distribuição hipergeométrica
	Distribuição de Poisson
	Disposição gráfica (binomial e Poisson)