Aula 7

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Distribuição amostral da média amostral
Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
13 de maio de 2015
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 1 / 75
Sumário
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 2 / 75
Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
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Motivação
Necessidade de tomada de decisão sobre uma população;
Uso de métodos de inferência estatística;
Inferência estatística pode ser dividida em duas áreas:
Estimação de parâmetros;
Teste de hipótese;
Estimação de parâmetros: estabelecer um valor razoável para um parâmetro
da população (estimativa pontual) a partir de uma amostra e com precisão
previamente estabelecida;
Teste de hipótese: verificar se uma afirmativa sobre um parâmetro da
população é coerente ou não.
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Definições importantes
população: Uma população consiste de todos os itens ou indivíduos sobre os
quais desejamos tirar uma conclusão;
amostra: Uma amostra é uma porção da população selecionada para a
análise;
parâmetro: Um parâmetro é uma medida numérica que descreve a
distribuição da população;
estatística: Uma estatística é uma medida numérica que descreve uma
característica da amostra, ou seja, é qualquer função da amostra.
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Definições importantes
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Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
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Motivação
Para a realização de estimativas, deve-se selecionar uma amostra da
população. E geralmente, são selecionadas várias amostras da população.
Por exemplo, para duas amostras A e B , de tamanho n, extraídas de uma
população X tem-se A = { xA1, xA2, · · · , xAn } e B = { xB1, xB2, · · · , xBn };
Cada seleção de amostras da população frequentemente implica em amostras
diferentes;
Isto significa que xA1 6= xB1, xA2 6= xB2, · · · , xAn 6= xBn;
Há duas consequências diretas desta imprecisão:
Cada elemento selecionado da amostra (ou cada observação feita) pode ser
descrita inicialmente por uma variável aleatória;
Isto significa que uma amostra R pode ser representada como um conjunto de n
variáveis aleatórias como R = { X1,X2, · · · ,Xn };
Qualquer estatística calculado a partir da amostra será também uma variável
aleatória
Isto significa que os valores de média, variância, mediana, primeiro e terceiro
quartis, por exemplo, determinados a partir da amostra também são variáveis
aleatórias;
Letras maiúsculas indicarão então variável aleatória estatística (antes) e letras
minúsculas indicarão o valor que a estatística assume (depois).
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Motivação
Então:
A partir de uma população seleciona-se um subconjunto { X1,X2, · · · ,Xn }
como amostra de tamanho n;
Como a amostra ainda não foi selecionada da população, os valores
{ X1,X2, · · · ,Xn } são variáveis aleatórias;
Qualquer função calculada a partir da amostra
{ X1,X2, · · · ,Xn } é uma estatística.
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Motivação
As funções calculadas a partir da amostra geralmente dependem de três
fatores:
Da distribuição de probabilidade da população envolvida;
Do tamanho da amostra n;
Do método de extração da amostra ou método de amostragem.
Tipos de métodos de amostragem:
Amostragem sem repetição, podendo o tamanho da amostra ser muito pequeno
ou significativo em relação a população;
Amostragem com repetição.
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Definição
Uma amostragem aleatória é um método de amostragem que serve ou define
muito bem a maior parte dos problemas.
Definição
Diz-se que as variáveis aleatórias X1,X2, · · · ,Xn formam uma amostra aleatória
(simples) de tamanho n se:
As variáveis aleatórias Xi forem independentes umas das outras;
Todas as variáveis aleatórias Xi possuírem a mesma distribuição de
probabilidade.
Afirma-se também que amostra é dita uma amostra aleatória se for
independente e identicamente distribuída (abreviadamente, iid).
Independente: a coleta de uma observação independe da outra;
Identicamente distribuída: cada valor tem a mesma distribuição de
probabilidade.
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Definição
Como obter amostra aleatória?
Amostra por sorteio com reposição;
Amostra por sorteio sem reposição de população infinita;
Amostra por sorteio sem reposição de população suficientemente grande (no
máximo 5% da população);
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Exemplo
Supondo que, em população de 4 alunos no curso, os possíveis valores da variável
aleatória X = { idade dos alunos, em anos } são X = { 18, 20, 22, 24 },
determine:
Quais são os valores possíveis para a idade de 2 alunos selecionados
aleatoriamente, havendo reposição;
Quais são os valores possíveis para a média da idade dos alunos selecionados?
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Exemplo
Primeira questão:
A seleção de dois alunos pode ser dividia em duas partes. Cada parte consiste
em selecionar um aluno e será descrita pela variável aleatória Xi , onde i é a
posição da seleção corrente. Então é possível afirmar que:
Primeira seleção: Os valores de idade possíveis são X1 = { 18, 20, 22, 24 };
Segunda seleção: Os valores de idade possíveis são X2 = { 18, 20, 22, 24 }.
Como há reposição, então os valores retirados na primeira seleção podem ser
utilizados na segunda seleção. Logo, o conjunto de valores possíveis vai ser o
conjunto de arranjos possíveis de três elementos. Logo, tem-se que:
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Exemplo
Y = { Idade de dois indivíduos selecionados } = {
(18, 18); (18, 20); (18, 22); (18, 24);
(20, 18); (20, 20); (20, 22); (20, 24);
(22, 18); (22, 20); (22, 22); (22, 24);
(24, 18); (24, 20); (24, 22); (24, 24)
};
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Exemplo
Segunda questão:
Para o valor médio das amostras Y , tem-se:
Y = (18, 18) : Y = 18+ 182 = 18;
Y = (18, 20) : Y = 18+ 202 = 19;
Y = (18, 18) : Y = 18+ 222 = 20;
Y = (18, 24) : Y = 18+ 242 = 21;
Y = (20, 18) : Y = 20+ 182 = 19;
Y = (20, 20) : Y = 20+ 202 = 20;
Y = (20, 18) : Y = 20+ 222 = 21;
Y = (20, 24) : Y = 20+ 242 = 22;
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 16 / 75
Exemplo
Y = (22, 18) : Y = 22 + 182 = 20;
Y = (22, 20) : Y = 22 + 202 = 21;
Y = (22, 18) : Y = 22 + 222 = 22;
Y = (22, 24) : Y = 22 + 242 = 23;
Y = (24, 18) : Y = 24 + 182 = 21;
Y = (24, 20) : Y = 24 + 202 = 22;
Y = (24,18) : Y = 24 + 222 = 23;
Y = (24, 24) : Y = 24 + 242 = 24.
Logo, Y = {valor médio da idade dos alunos selecionados} = {
18,19,20,21,22,23,24 }.
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Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
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Motivação
Como visto, uma estatística é uma medida numérica que descreve uma
característica da amostra, ou seja, é qualquer função da amostra;
De fato, para uma amostra, é possível calcular medidas numéricas já vistas
(média, mediana, variância e desvio-padrão, por exemplo);
Como uma amostragem pode ser tratada como um conjunto de variáveis
aleatórias, estas medidas também são tratadas como variáveis aleatórias (e
deverão apresentar as propriedades a elas definidas);
Além disto, estas estatísticas serão variáveis aleatórias descritas em função
das varáveis aleatórias que descrevem cada observação da amostra, ou seja,
para uma medida numérica, uma estatística Θ, tem-se que:
Θ ∼ h(X1,X2, · · · ,Xn)
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Motivação
Para cada estatística, é possível calcular medidas numéricas já vistas. Isto
significa que é possível falar em:
Variância da média de uma amostra;
Média da média de uma amostra;
Média da variância de uma amostra.
Para diferenciar estas descrições, estabelece-se a seguinte notação:
Para as estatística a serem calculadas, utiliza-se termos em letras maiúsculas:
Média amostral: X ;
Variância amostral: S.;
Para os valores obtidos para as estatísticas, utiliza-se termos em letras
minúsculas:
Resultado calculado da média amostral: x ;
Resultado calculado da variância amostral: s.;
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Definição
Uma das mais importantes medidas estatísticas é o valor da média amostral
X ;
Significa tirar conclusões sobre a média populacional, µ, partindo de
informações de uma amostra;
Exemplos:
O Peso médio da população é maior do que 80 kg?
A resistência média de vigas de um tipo de material é alta o suficiente para se
adequar as normas?
Um novo medicamento traz um benefício médio mais alto do que o benefício
médio do medicamento antigo?
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Definição
A estatística de interesse é, portanto, a média amostral X , definida como:
X = X1 + X2 + · · ·+ Xnn
Se a média amostral é uma variável aleatória, torna-se importante determinar
a sua distribuição de probabilidade? (fdp, fda, fmp?);
Lembrar que a distribuição de probabilidade da estatística depende do
método de amostragem e da distribuição da população.
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Propriedade
Foi visto anteriormente uma propriedade da média e da variância para variáveis
aleatórias (contínuas ou discretas). Com elas, é possível definir uma propriedade
muito importante para a distribuição de uma média amostral:
Propriedade
Seja Y uma variável aleatória definida como a combinação linear de 2 outras
variáveis aleatórias X1 e X2 , ou seja:
Y = aX1 + bX2
Em que a e b são constantes. É possível concluir que:
O valor esperado de Y , dado por E (Y ), é:
E (Y ) = aE (X1) + bE (X2)
Se X1 e X2 forem variáveis aleatórias independentes, então a variância de Y ,
dado por V (Y ), é:
V (Y ) = a2V (X1) + b2V (X2)
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Propriedade de uma amostra aleatória
De acordo com a definição de amostra aleatória, tem-se que:
Propriedade
Se as variáveis aleatórias X1,X2, · · · ,Xn formam uma amostra aleatória (simples)
de tamanho n de uma variável aleatória X, com média µ e variância σ2, e seja a
media amostral X deste conjunto, dada por.
X = X1 + X2 + · · ·+ Xnn
Então, é possível afirmar que:
O valor esperado de média amostral E (X ) é dada por:
E (X ) = µ
A variância da média amostral V (X ) é dada por:
V (X ) = σ
2
n
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Exemplo
Seja X1,X2, · · · ,Xn uma amostra aleatória (simples) de tamanho n de uma
variável aleatória X , com média µ e variância σ2, e seja a media amostral X deste
conjunto, dada por.
X = X1 + X2 + · · ·+ Xnn
Determinar:
1 O valor esperado de média amostral E (X );
2 a variância da média amostral V (X ).
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Exemplo
Primeira questão:
O valor esperado da média amostral é dado por:
E (X ) = E
(
X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)
Consequentemente:
E (X ) = E
(
X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)
=
1
nE (X1 + X2 + · · ·+ Xn)
=
1
n [E (X1) + E (X2) + · · ·+ E (Xn)]
=
1
n [µ+ µ+ · · ·+ µ]
=
1
n [nµ] = µ
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Exemplo
Segunda questão:
O valor esperado da média amostral é dado por:
V (X ) = V
(
X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)
Como se trata de uma amostra aleatória, cada uma das amostras Xi é
independente. Consequentemente:
V (X ) = V
(
X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)
=
1
n2V (X1 + X2 + · · ·+ Xn)
=
1
n2 [V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)]
=
1
n2 [σ
2 + σ2 + · · ·+ σ2]
=
1
n2 [nσ
2] =
σ2
n
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Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
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Interpretação
Para entender (e visualizar) a ideia da média amostral, toma-se como
exemplo o lançamento de um dado de seis faces não viciado;
Associa-se a este experimento o evento X = {Número da face de cima do
dado }. Neste caso, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
Como se trata de um dado não-viciado, então a probabilidade de cada um
dos resultados é a mesma para todos os seis resultados. Logo, a função
massa de probabilidade pode ser definida como:
x 1 2 3 4 5 6
p(x) 16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
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Interpretação
Sejam agora duas duas variáveis que representam dois lançamentos
consecutivos do dado, X1 = { Resultado do primeiro lançamento do dado } e
X2 = { Resultado do segundo lançamento do dado }. Cada uma dela irá se
comportar de maneira idêntica a variável X (ou seja, terá os mesmos valores
de variável aleatória e a mesma função massa de probabilidade);
Sabe-se que cada lançamento é feito de forma independente um do outro;
Considere-se agora a variável Y , dada como a média dos valores das duas
variáveis aleatórias, ou seja:
Y = X1 + X22
Para cada variável aleatória, há 6 possibilidades de resultado. Logo, existe 36
possíveis arranjos de resultados (lembrar que, neste caso, existe uma ordem
dos dados porque há uma sequência de lançamentos);
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 30 / 75
Interpretação
Para cada par ordenado obtido (x1, x2), tem-se um valor de média Y
associado. A tabela abaixo mostra os possíveis resultados:
(x1, x2) 1 2 3 4 5 6
1 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5
2 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4
3 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5
4 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5
5 3 3, 5 4 4, 5 5 5, 5
6 3, 5 4 4, 5 5 5, 5 6
Consequentemente, a função massade probabilidade de Y é dada como:
y 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 5, 5 6
p(y) 136
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 31 / 75
Interpretação
Graficamente, a função massa de probabilidade é dada como:
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 32 / 75
Interpretação
É possível visualizar este evento de outra forma:
Deseja-se realizar uma inferência estatística acerca do experimento
“lançamento de um dado”, que possui como variável aleatória associada X =
{ Número da face de cima do dado };
Para isto, é realizada uma amostragem com n observações. Cada observação
implica em um lançamento do dado, de forma que, para o caso em questão,
o valor de n é dois e a amostragem gera o conjunto {X1,X2};
Cada observação é feita de forma independente e cada observação descreve o
mesmo conjunto da variável aleatória X , de forma que esta amostragem é
considerada aleatória;
Deseja-se calcular a média da amostra estabelecida, ou seja, X 2, que é nada
mais do que o valor de Y . Consequentemente, a distribuição de probabilidade
da média amostral é a mesma distribuição de Y .
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 33 / 75
Exemplo
Uma grande empresa fabrica três tipos diferentes de motor. A diferença de cada
motor é dada apenas pelo número de cilindros disponíveis, que também são
fabricados pela empresa e empregados apenas em seus motores. Os tipos de
motores em questão são de 6, 8 e 10 cilindros, e a proporção de fabricação
associada a cada um dos tipos de motor é de 0, 5, 0, 3 e 0, 2, respectivamente.
Calcule, então, a média e a variância do número médio de cilindros fabricados em
um conjunto de 100 amostras, assumindo uma amostragem aleatória.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 34 / 75
Exemplo
Sabe-se que a empresa possui três tipos diferentes de motor, cuja diferença é
apenas o número de cilindros. Seja a variável aleatória X = {número de
cilindros fabricados, para cada motor }. De acordo com o enunciado, é
possível afirmar que:
x = 6 : p(x) = 0, 5;
x = 8 : p(x) = 0, 3;
x = 10 : p(x) = 0, 2.
Logo, o valor médio de X , µ, é dado por:
µ = E (X ) =
n∑
i=1
xip(xi)
= 6 ∗ 0, 5 + 8 ∗ 0, 3 + 10 ∗ 0, 2
= 3 + 2, 4 + 2 = 7, 4
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 35 / 75
Exemplo
E o valor da variância de X , σ2, é dado por:
σ2 = V (X ) =
n∑
i=1
(xi − µ)2p(xi)
= (6− 7, 4)2 ∗ 0, 5 + (8− 7, 4)2 ∗ 0, 3 + (10− 7, 4)2 ∗ 0, 2
= (−1, 4)2 ∗ 0, 5 + 0, 62 ∗ 0, 3 + 2, 62 ∗ 0, 2
= 1, 96 ∗ 0, 5 + 0, 36 ∗ 0, 3 + 6, 76 ∗ 0, 2
= 0, 98 + 0, 108 + 1, 352 = 2, 44
Seja X 100 a média do número de cilindros fabricados em um conjunto de 100
amostras. Neste caso, o valor esperado e a variância para X 100 é:
E(X 100) = µ = 7, 4;
V (X 100) =
σ2
n =
2, 44
100 = 0, 0244
Logo, a média E (X 100) e a variância V (X 100) do número médio de cilindros
fabricados em um conjunto de 100 amostras é 7, 4 e 0, 0244, respectivamente.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 36 / 75
Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 37 / 75
Motivação
Viu-se o comportamento da média amostral para uma amostra aleatória;
As restrições impostas as variáveis aleatórias envolvidas nas observações são
àquelas definidas para a amostragem aleatória;
Deseja-se verificar o caso em que as amostras aleatórias são normais.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 38 / 75
Propriedade de um média amostral normal
No caso de uma distribuição normal, a combinação linear de variáveis aleatórias
independentes tem distribuição normal.
Propriedade
Se duas variáveis aleatórias X1,X2 independentes possuem distribuição normal
com médias µ1 e µ2, e variâncias σ21 e σ22 , respectivamente. Então a variável Y
definida como a combinação linear de 2 outras variáveis aleatórias X1 e X2, ou
seja:
Y = aX1 + bX2
Em que a e b são constantes, é definida como uma variável normal com média µY
e variância σ2Y , onde:
µY = aµX1 + bµX2 ;
σ2Y = a2σ2X1 + b
2σ2X2 .
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 39 / 75
Propriedade de uma amostra aleatória normal
De acordo com a definição de amostra aleatória, tem-se que:
Propriedade
Se as variáveis aleatórias X1,X2, · · · ,Xn formam uma amostra aleatória (simples)
de tamanho n de uma variável aleatória normal X com média µ e variância σ2, e
seja a media amostral X deste conjunto, dada por.
X = X1 + X2 + · · ·+ Xnn
Então, é possível afirmar que X ∼ N
(
µ,
σ2
n
)
.
A média amostral normal possui uma variável associada Z , com distribuição
normal padrão (e também chamada de Z-escore), dada por:
Z = X − µ(
σ√n
)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 40 / 75
Propriedade de uma amostra aleatória normal
Isto significa que, para uma população com distribuição normal, a distribuição
da média amostral é uma normal com mesma média e desvio-padrão menor;
A medida que o número de amostras n cresce, o valor do desvio-padrão
diminui.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 41 / 75
Exemplo
O diâmetro interno de um pistão selecionado ao acaso é uma variável aleatória
normal com valor médio µ = 12cm e desvio-padrão σ = 0, 04cm.
1 Seja X 16 o diâmetro médio para uma amostra aleatória de tamanho n = 16
pistões. Qual é a distribuição de X 16? Faça o gráfico da função densidade de
X 16 e indique onde está centrada a distribuição e o valor da variância da
média amostral X 16;
2 Repita o processo anterior para um amostra com n = 64 pistões, isto é,
obtenha a distribuição de X 64;
3 Para qual dos dois tamanhos de amostra, n = 16 ou n = 64, a probabilidade
da média estar a menos do que 0, 01cm de distância de 12cm é menor?
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 42 / 75
Exemplo
Primeira questão:
Seja a variável aleatória da população dada como X = { Diâmetro interno de
um pistão selecionado ao acaso }. De acordo com o enunciado, X possui
distribuição de probabilidade normal, com média µ = 12 e desvio padrão
σ = 0, 04. Ou seja, X ∼ N(12, 0, 042) = N(12, 0, 0016);
Como a população tem distribuição normal, a média amostral de uma
amostra X n com tamanho n também vai possuir distribuição normal, dada
por X i ∼ N(µX i , σ2X i ), onde:
µX i = µ;
σX i =
σ√n
Assim, para uma amostra com 16 pistões, a média amostral X 16 é dada por:
µX16 = 12;
σX16 =
0, 04√
16
=
0, 04
4 = 0, 01.
Logo, para uma amostra com 16 pistões, a média amostral X 16 é dada por uma
distribuição normal com média µX 16 = 12 e desvio-padrão σX 16 = 0, 01. Ou seja,
µX 16 ∼ N(12, 0, 012) = N(12, 0, 0001).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 43 / 75
Exemplo
Segunda questão:
Para uma amostra com 64 pistões, a média amostral X 64 é dada por:
µX64 = 12;
σX64 =
0, 04√
64
=
0, 04
8 = 0, 005.
Logo, para uma amostra com 64 pistões, a média amostral X 64 é dada por uma
distribuição normal com média µX 64 = 12 e desvio-padrão σX 64 = 0, 005. Ou seja,
µX 64 ∼ N(12, 0, 0052) = N(12, 0, 000025).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 44 / 75
Exemplo
Deseja-se calcular a probabilidade da média amostral estar a menosde 0, 01
de distância da média populacional, isto é, P(|X n − µ| < 0, 01).
Consequentemente:
P(|X n − µ| ≤ 0, 01) = P((µ− 0, 01) < X n < (µ+ 0, 01))
= P((12− 0, 01) < X n < (12 + 0, 01))
= P(11, 99 < X n < 12, 01)
Então, deseja-se calcular o valor de P(11, 99 < X n < 12, 01) para n = 16 e
n = 64, ou seja, P(11, 99 < X 16 < 12, 01) e P(11, 99 < X 16 < 12, 01),
respectivamente.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 45 / 75
Exemplo
Como se trata de distribuições normais, então torna-se necessário definir as
variáveis aleatórias normais padrão equivalentes (também conhecidas como
Z-escores) para cada uma das amostragens. Isto significa definir os valores
de Z16 e Z64, para n = 16 e n = 64 amostras, respectivamente;
Consequentemente:
Z16 =
X 16 − 12
0, 01 ;
Z64 =
X 16 − 12
0, 005 ;
Para n = 16 amostras, tem-se que:
x16 = 12, 01 : z16 =
12, 01− 12
0, 01 =
0, 01
0, 01 = 1;
x16 = 11, 99 : z16 =
11, 99− 12
0, 01 =
−0, 01
0, 01 = −1;
Para n = 64 amostras, tem-se que:
x64 = 12, 01 : z64 =
12, 01− 12
0, 005 =
0, 01
0, 005 = 2;
x64 = 11, 99 : z64 =
11, 99− 12
0, 005 =
−0, 01
0, 005 = −2;
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 46 / 75
Exemplo
Portanto, o problema é definido como P(−1 < Z16 < 1) e P(−2 < Z64 < 2),
para n = 16 e n = 64 amostras, respectivamente;
Para P(−1 < Z16 < 1):
P(−1 < Z16 < 1) = Φ(1)− Φ(−1) = 0, 8413− 0, 1587
= 0, 6826 = 68, 26%
Para P(−2 < Z64 < 2):
P(−2 < Z64 < 2) = Φ(2)− Φ(−2) = 0, 9772− 0, 0228
= 0, 9544 = 95, 44%
Como P(−1 < Z16 < 1) = 68, 26% e P(−2 < Z64 < 2) = 95, 44%, então é
possível perceber que a probabilidade da média estar a menos do que 0, 01cm da
média populacional é menor para a amostra de 16 pistões.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 47 / 75
Exemplo
Observar que, como a distribuição da média amostral com 64 pistões tem um
desvio-padrão bem menor (a metade) do que o desvio-padrão da média com 16
pistões, não era necessário fazer os cálculos para responder à questão (lembrar que
quanto maior o desvio padrão, menor e mais espalhada é o gráfico da distribuição).
De fato, observando o gráfico das duas distribuições, tem-se que:
Figura : Distribuição da média amostral para n = 16 (verde) e n = 64 (azul) amostras.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 48 / 75
Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 49 / 75
Motivação
Para amostras aleatórias normais, sabe-se que a média amostral se
comportará com uma variável aleatória normal;
O problema é que não há informações acerca da média amostral para
amostras aleatórias que não são normais (incluindo distribuições discretas);
Para amostras aleatórias com o número de amostras muito grande, é possível
aplicar o Teorema do Limite Central.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 50 / 75
Definição
Definição
Seja X1,X2, · · · ,Xn uma amostra aleatória (variáveis aleatórias independentes e
identicamente diferentes) de uma variável aleatória X que tem qualquer
distribuição com média µ, e variância σ2 finita (ou seja, 0 < σ2 <∞). Se
n→∞, então a média amostral X é tal que:
X = X1 + X2 + · · ·+ Xnn → N
(
µ,
σ2
n
)
O Teorema do Limite Central garante que se cada amostra for grande o
suficiente (n tende ao infinito), a distribuição da média amostral é
aproximadamente normal;
Além disto, esta afirmação é válida para qualquer formato da distribuição de
X ;
Este é um dos motivos para explicar a popularidade da distribuições com
formato de sino (normais) na natureza.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 51 / 75
Interpretação
Para entender (e visualizar) a ideia do Teorema do Limite Central, retoma-se
como exemplo o lançamento de um dado de seis faces não viciado, que
possui associado o evento X = {Número da face de cima do dado }. Neste
caso, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
Viu-se que a função massa de probabilidade de X pode ser definida como:
x 1 2 3 4 5 6
p(x) 16
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 52 / 75
Interpretação
Tome-se a seguinte variável aleatória X1 = { Resultado do primeiro
lançamento do dado }, como é possível observar, a variável X1 será idêntica a
variável X ;
Agora, seja a variável aleatória Y1 definida como a média dos valores da
variável aleatória X1, ou seja:
Y1 =
X1
1 = X1
Conclui-se que a variável aleatória Y 1 será igual a X1 e, por consequência,
será igual a X .
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 53 / 75
Interpretação
Graficamente, a fmp de Y1 é dada como:
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 54 / 75
Interpretação
Também é possível definir o valor da média e da variância de Y 1, como segue:
Média de Y1, µY 1:
µY1 =
n∑
i=1
y1i ∗ p(y1i)
= 1 ∗ 16 + 2 ∗
1
6 + 3 ∗
1
6 + 4 ∗
1
6 + 5 ∗
1
6 + 6 ∗
1
6
=
21
6 = 3, 5
Variância de Y1, σ2Y 1:
σ2Y 1 =
n∑
i=1
(y1i − µY 1)2 ∗ p(y1i)
= (1− 3, 5)2 ∗ 16 + (2− 3, 5)
2 ∗ 16 + (3− 3, 5)
2 ∗ 16+
(4− 3, 5)2 ∗ 16 + (5− 3, 5)
2 ∗ 16 + (6− 3, 5)
2 ∗ 16
≈ 2, 9167
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 55 / 75
Interpretação
Tome-se, agora, as seguintes variáveis aleatórias X1 = { Resultado do
primeiro lançamento do dado } e X2 = { Resultado do segundo lançamento
do dado }, e seja a variável aleatória Y2 definida como a média dos valores
das duas variáveis aleatórias, ou seja:
Y2 =
X1 + X2
2
A variável aleatória Y2 será idêntica a variável aleatória Y calculada na
interpretação da média amostral vista anteriormente. Logo, sua função massa
de probabilidade será dada por:
y2 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 5, 5 6
p(y2) 136
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 56 / 75
Interpretação
Graficamente, a fmp de Y2 é dada como:
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 57 / 75
Interpretação
Também é possível definir o valor da média e da variância de Y 2, como segue:
Média de Y2, µY2 :
µY1 =
n∑
i=1
y1i ∗ p(y1i)
= 1 ∗ 136 + 1, 5 ∗
2
36 + 2 ∗
3
36 + · · ·+ 6 ∗
1
36
= 3, 5
Variância de Y2, σ2Y 2:
σ2Y 1 =
n∑
i=1
(y1i − µY 1)2 ∗ p(y1i)
= (1− 3, 5)2 ∗ 136 + (1, 5− 3, 5)
2 ∗ 236 + · · ·+ (6− 3, 5)
2 ∗ 136
≈ 1, 4583
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 58 / 75
Interpretação
Percebe-se que a distribuição de Y2 se assemelha mais a distribuição normal
que Y1, embora ainda esteja longe de apresentar um comportamento
semelhante;
Acompanhe-se, agora, o que acontece quando considera-se mais variáveis
aleatórias Xn = { Resultado do n−ésimo lançamento de um dado }, na
composição da média Yn:
Quanto maior o número de variáveis aleatórias Xn = { Resultado do n−ésimo
lançamento de um dado } forem consideradas no cálculo da média Yn, mais
próximo de uma normal será a distribuição de Yn.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 59 / 75
Interpretação
Associando cada variável Xn a n−ésima observação de uma amostra, tem-se
um conjunto amostral de n elementos da população, e descrita por {
X1,X2, · · · ,Xn }.;
A média amostraldo conjunto, dada por X n será, então, idêntica a variável
Yn na qual tem-se lidado. Isto leva a concluir que a distribuição da média
amostral em questão pode ser aproximada por uma normal que, de acordo
com o Teorema do Limite Central, irá possuir média µX (a média da
população em questão) e variância σ
2
n (a razão entre a variância da
população e o número de amostras).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 60 / 75
Interpretação
Visualização do Teorema do Limite Central em distribuições contínuas:
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 61 / 75
Propriedade
Um problema a ser resolvido para a aplicação deste teorema é estabelecer qual o
tamanho da amostragem n para o qual ele pode ser considerado. Para tanto,
faz-se uso do seguinte conjunto de regras práticas:
Para a maior parte das distribuições, n > 30 implica em uma distribuição da
média amostral quase normal;
Para distribuições praticamente simétricas, n > 15 implica em uma
distribuição da média amostral quase normal;
Para populações com distribuição normal, a distribuição da média amostral
sempre é normal para qualquer n ≥ 1.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 62 / 75
Exemplo
Sejam X1 , X2 , · · · , X100 os pesos líquidos reais de 100 sacos de fertilizantes de
50 kg selecionados aleatoriamente.
Se o peso esperado de cada saco for 50kg e a variância for de 1kg2 ,calcule a
probabilidade de a média amostral estar entre 49, 75kg e 50, 25kg
(aproximadamente);
Se o peso esperado for de 49, 8kg e não 50kg , de modo que, na média, os
sacos não estejam muito cheios, calcule a mesma probabilidade do item
anterior. Assuma mesma variância (1kg2 ) por saco.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 63 / 75
Exemplo
Primeira questão:
A variável aleatória associada a população é X = { Peso líquido real de um
saco de fertilizante }. É possível considerar o conjunto { X1,X2, · · · ,X100 }
como uma amostra aleatória de X, com tamanho n = 100;
Pelo enunciado, E (X ) = µ = 50kg e V (X ) = σ2 = 1kg2. Como tem-se uma
amostra aleatória grande (100 sacos de fertilizante) de uma população com
variância finita, pelo Teorema do Limite Central, pode-se aproximar a
distribuição da média amostral X 100 por uma distribuição normal com média
µX 100 e variância σ
2
X 100
, calculadas da seguinte forma:
µX100 = µ = 50kg ;
σ2X100
=
σ2
n =
1
100 = 0, 01kg
2.
O desvio-padrão da média amostral, σX 100 , será dado por
σX 100 =
√
σ2X 100
=
√
0, 01kg2 = 0, 1kg .
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 64 / 75
Exemplo
Deseja-se calcular o valor de P(49, 75 < X 100 < 50, 25). Logo:
P(49, 75 < X 100 < 50, 25) = P(X 100 < 50, 25)− P(X 100 < 49, 75)
= P(Z < 50, 25− 500, 1 )− P(Z <
49, 75− 50
0, 1 )
= P(Z < 2, 5)− P(Z < −2, 5)
= 0, 9938− 0, 0062 = 0, 9876 = 98, 76%
Portanto, calcule a probabilidade de a média amostral estar entre 49, 75kg e
50, 25kg , para este caso, é de, aproximadamente, 98, 76%.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 65 / 75
Exemplo
Segunda questão:
Pelo enunciado, E (X ) = µ = 49, 8kg e V (X ) = σ2 = 1kg2. AInda, pelo
Teorema do Limite Central, pode-se aproximar a distribuição da média
amostral X 100 por uma distribuição normal com média µX 100 e variância
σ2X 100
, calculadas da seguinte forma:
µX100 = µ = 49, 8kg ;
σ2X100
=
σ2
n =
1
100 = 0, 01kg
2.
O desvio-padrão da média amostral, σX 100 , será dado por
σX 100 =
√
σ2X 100
=
√
0, 01kg2 = 0, 1kg .
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 66 / 75
Exemplo
Deseja-se calcular o valor de P(49, 75 < X 100 < 50, 25). Logo:
P(49, 75 < X 100 < 50, 25) = P(X 100 < 50, 25)− P(X 100 < 49, 75)
= P(Z < 50, 25− 49, 80, 1 )− P(Z <
49, 75− 49, 8
0, 1 )
= P(Z < 4, 5)− P(Z < −0, 5)
= 1− 0, 3085 = 0, 6915 = 69, 15%
Portanto, calcule a probabilidade de a média amostral estar entre 49, 75kg e
50, 25kg , para este caso, é de, aproximadamente, 69, 15%.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 67 / 75
Exemplo
Observar que as probabilidades mudaram devido à mudança na média
populacional igual em 0, 2kg . Parece pouco, mas como o tamanho da amostra é
muito grande, 0, 2kg corresponde a 2 vezes o desvio-padrão da média amostral.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 68 / 75
Sumario
1 Inferência estatística
2 Amostra aleatória
3 Distribuição da média amostral
Interpretação
Amostras aleatórias normais
4 Teorema do Limite Central
Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 69 / 75
Definição
Um item de um lote é selecionado aleatoriamente. Defina como o evento de
interesse X = {O item não tem defeito } e associa-se a ele a característica de
“sucesso” com probabilidade p. A variável aleatória X tem distribuição de
Bernoulli, isto é:
x 0 1
p(x) 1− p p
Seleciona-se uma amostra aleatória de itens do lote, formando o conjunto
{X1 , X2 , · · · , Xn };
Deseja-se calcular a distribuição da proporção amostral pˆ de itens não
defeituosos na amostra de tamanho n, supondo que n é suficientemente
grande.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 70 / 75
Definição
Se Xi é igual a 1 se o i−ésimo item não é defeituoso, então a proporção
amostral de itens defeituosos pˆ é dada por:
pˆ = X n =
X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
Pelo Teorema do Limite Central, a distribuição de pˆ pode ser aproximada por
uma distribuição normal, se n for suficiente grande, com média µX e
variância σ
2
X
n . Ou seja, pˆ ∼ N
(
µX ,
σ2X
n
)
;
Como X é uma variável aleatória de Bernoulli, é possível afirmar que:
µX = E(X) = p;
σ2X = V (X) = p(1− p).
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 71 / 75
Definição
Consequentemente:
µXn = µX = p;
σ2Xn
=
σ2X
n =
p(1− p)
n
Concluindo que X n ∼ N
(
p, p(1− p)n
)
.
Propriedade
Se { X1 , X2 , · · · , Xn } é uma amostra aleatória de uma variável aleatória de
Bernoulli, cujo tamanho da amostra n é suficiente grande para ser considerado o
Teorema do Limite Central, a distribuição da proporção amostral de sucessos pˆ é
tal que:
pˆ ∼ N
(
p, p(1− p)n
)
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 72 / 75
Exemplo
O primeiro trabalho de um curso de informática envolve o desenvolvimento de um
programa simples. Se a experiência anterior indica que 40% de todos os alunos
não cometeram erros de programação, calcule a probabilidade (aproximada) de
que, em uma classe de 50 alunos, pelo menos 25 cometerão erros.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 73 / 75
Exemplo
Seja a variável aleatória X = { O aluno não cometeu erro de programação };
Assuma-se que a amostragem é aleatória e cada observação Xi será tal que
valerá 1 se o aluno i não comete erro, e 0, caso contrário;
Considera-se 50 observações (i = 1, 2, · · · , 50) e cada observação (assim
como a variável X ) terá uma distribuição de probabilidade de Bernoulli com
probabilidade de sucesso p = 0, 4;
Deseja-se calcular a proporção pˆ de alunos que não cometeram erro e calcular
o valor de P(pˆ ≤ 2450 ) ou P(pˆ ≤ 0, 48);
Utilizando o Teorema do Limite Central, tem-se que pˆ ∼ N
(
p, p(1− p)n
)
.
Logo:
p = 0, 4;
p(1− p)
n =
0, 4(1− 0, 4)
50 =
0, 4 ∗ 0, 6
50 =
0, 24
50 = 0, 0048
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 74 / 75
ExemploConsequentemente:
µpˆ = p = 0, 4;
σpˆ =
√
p(1− p)
n =
√
0, 0048 ≈ 0, 0693
O valor de P(pˆ ≤ 0, 5) será dado como:
P(pˆ ≤ 0, 48) = P(Z ≤ 0, 48− 0, 40, 0693 )
≈ P(Z ≤ 1, 15) = 0, 8749 = 87, 49%
Portanto, a probabilidade de que, em uma classe de 50 alunos, pelo menos 25
cometerão erros, é de, aproximadamente, 87, 49%.
Sandro Bruno (UFRN) Distribuição amostral da média amostral 13 de maio de 2015 75 / 75
	Inferência estatística
	Amostra aleatória
	Distribuição da média amostral
	Interpretação
	Amostras aleatórias normais
	Teorema do Limite Central
	Aplicação do Teorema do Limite Central: variável aleatória de Bernoulli