Aula 8 - Espaço Euclidiano

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 8 - Espac¸os Vetoriais:
Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 24
Espac¸os Vetoriais Euclidianos
“Embora nossa visualizac¸a˜o geome´trica na˜o se estenda ale´m do espac¸o
tridimensional e´ poss´ıvel estender as ide´ias trabalhadas nesse espac¸o para
espac¸os maiores trabalhando com as propriedades alge´bricas dos pontos e
vetores” (Anton, p.130).
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Vetores no espac¸o n-dimensional
Definic¸a˜o 1
Se n e´ um inteiro positivo, dizemos que uma sequeˆncia (a1, a2, . . . , an) de
nu´meros reais e´ uma n-upla ordenada. O conjunto de todas as n-uplas
ordenadas e´ chamado o espac¸o n-dimensional.
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Observac¸a˜o 1
(a) Quando n = 2 o espac¸o euclidiano e´ o R2 e seus elementos
sa˜o pares ordenados da forma (a1, a2).
(b) Quando n = 3 o espac¸o euclidiano e´ o R3 e seus elementos
sa˜o ternos ordenados da forma (a1, a2, a3).
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 24
Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Figura : O terno ordenado (a1, a2, a3) pode ser interpretado geometricamente
como um ponto ou um vetor.
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Definic¸a˜o 2 (Operac¸o˜es padra˜o em Rn)
Sejam
→
u= (u1, u2, . . . , un) e
→
v = (v1, v2, . . . , vn) vetores em Rn. Temos:
(a)
→
u=
→
v se u1 = v1, u2 = v2, . . . , un = vn.
(b)
→
u +
→
v = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn).
(c) k
→
v = (kv1, kv2, . . . , kvn).
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Observac¸a˜o 2
Vetor nulo ou zero de Rn:
→
0 = (0, 0, . . . , 0)
Negativo ou inverso aditivo de
→
u= (u1, u2, . . . , un):
− →u= (−u1,−u2, . . . ,−un)
A diferenc¸a de vetores em Rn:
→
u − →v =→u +(− →v ) = (u1 − v1, u2 − v2, . . . , un − vn)
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Teorema 1 (Propriedades das operac¸o˜es vetoriais no espac¸o n-dimensional)
Sejam
→
u= (u1, u2, . . . , un),
→
v = (v1, v2, . . . , vn) e
→
w= (w1,w2, . . . ,wn) vetores no
Rn e k e l escalares reais. As seguintes propriedades sa˜o va´lidas:
(a)
→
u +
→
v =
→
v +
←
u .
(b)
→
u +(
→
v +
→
w) = (
→
u +
→
v )+
→
w .
(c)
→
u +
→
0 =
→
0 +
→
u=
→
u .
(d)
→
u +(− →u ) =→0 , ou seja, →u − →u=→0 .
(e) k(l
→
u ) = kl(
→
u ).
(f) l(
→
u +
→
v ) = l
→
u +l
→
v .
(g) (k + l)
→
v = k
→
v +l
→
v .
(h) 1
→
u=
→
u .
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Exemplo 1
Utilize as propriedades do teorema anterior para encontrar o valor de
→
x na
equac¸a˜o vetorial
→
x +
→
u=
→
v , onde
→
u ,
→
v ∈ Rn.
Soluc¸a˜o:
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
A Definic¸a˜o abaixo generaliza a definic¸a˜o de produto escalar em R2 e R3.
Esta definic¸a˜o e´ necessa´ria para trabalharmos as noc¸o˜es de distaˆncia,
norma e aˆngulo no Rn.
Definic¸a˜o 3
Sejam
→
u= (u1, u2, . . . , un),
→
v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn, define-se o produto
interno euclidiano
→
u · →v de →u e →v por
→
u · →v = u1v1 + u2v2 + . . . unvn.
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Exemplo 2
Calcule o produto interno euclidiano dos vetores
→
u= (−1, 3, 5, 7),→v = (5,−4, 7, 0) ∈ R4.
Soluc¸a˜o:
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Teorema 2 (Propriedades aritme´ticas do produto interno euclidiano)
Se
→
u ,
→
v e
→
w sa˜o vetores em Rn e l e´ um escalar, enta˜o:
(a)
→
u · →v =→v · →u .
(b) (
→
u +
→
v )· →w=→u · →w + →v · →w .
(c) (l
→
u )· →v = l(→u · →v ).
(d)
→
v · →v≥ 0. Ale´m disso, →v · →v = 0, se e somente se, →v =→0 .
Demonstrac¸a˜o (b) e (d):
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Norma e distaˆncia no espac¸o euclidiano n-dimensional
(a) A norma euclidiana (ou comprimento euclidiano) de um
vetor
→
u= (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn e´ definida por∥∥∥→u∥∥∥ = (→u · →u )1/2 = √u21 + u22 + . . . u2n
(Observac¸a˜o:
∥∥∥→u ∥∥∥2 =→u · →u ).
(b) A distaˆncia euclidiana entre os pontos
→
u= (u1, u2, . . . , un),
→
v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn e´ definida por
d(
→
u ,
→
v ) =
∥∥∥→u − →v ∥∥∥ =√(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + . . . + (un − vn)2
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Exemplo 3
Dados os vetores
→
u= (1, 3,−2, 7),→v = (0, 7, 2, 2) ∈ R4, determine:
(a)
∥∥∥→u∥∥∥
(b) d(
→
u ,
→
v )
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Teorema 3 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Se
→
u= (u1, u2, . . . , un) e
→
v = (v1, v2, . . . , vn) sa˜o vetores em Rn, enta˜o∣∣∣→u · →v ∣∣∣ ≤ ∥∥∥→u∥∥∥∥∥∥→v ∥∥∥
Observac¸a˜o 3
A desigualdade de Cauchy-Schwarz e´ usada para demonstrar a desigualdade
triangular e e´ uma das desigualdades mais importantes da A´lgebra Linear.
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Teorema 4 (Propriedades de comprimento)
Se
→
u ,
→
v e
→
w sa˜o vetores em Rn e k um escalar, enta˜o:
(a)
∥∥∥→u∥∥∥ ≥ 0
(b)
∥∥∥→u∥∥∥ = 0 se, e somente se, →u= 0
(c)
∥∥∥k →v ∥∥∥ = |k| ∥∥∥→v ∥∥∥
(d)
∥∥∥→u + →v ∥∥∥ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (Desigualdade Triangular)
Demonstrac¸a˜o (c,d):
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Teorema 5 (Propriedades de distaˆncia)
Se
→
u ,
→
v e
→
w sa˜o vetores em Rn, enta˜o:
(a) d(u, v) ≥ 0
(b) d(
→
u ,
→
v ) = 0 se, e somente se,
→
u=
→
v
(c) d(
→
u ,
→
v ) = d(
→
v ,
→
u )
(d) d(
→
u ,
→
v ) ≤ d(→u ,→w) + d(→w ,→v ) (Desigualdade Triangular)
Demonstrac¸a˜o (d):
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Definic¸a˜o 4
Dois vetores
→
u ,
→
v ∈ Rn sa˜o ortogonais se →u · →v = 0.
Exemplo 4
Verifique se os vetores
→
u= (−2, 3, 1, 4),→v = (1, 2, 0,−1) ∈ R4 sa˜o
ortogonais.
Soluc¸a˜o:
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Teorema 6 (Teorema de Pita´goras)
Se
→
u e
→
v sa˜o vetores ortogonais em Rn com o produto interno euclidiano,
enta˜o ∥∥∥→u + →v ∥∥∥2 = ∥∥∥→u∥∥∥2 + ∥∥∥→v ∥∥∥2
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Notac¸o˜es alternativas para vetores em Rn
Muitas vezes e´ u´til escrever o vetor
→
u= (u1, u2, . . . , un) de Rn em notac¸a˜o
matricial como uma matriz-linha ou uma matriz-coluna:
→
u=

u1
u2
...
un
 ou
→
u=
[
u1 u2 . . . un
]
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Justificativa: As operac¸o˜es matriciais
→
u +
→
v =

u1
u2
...
un
+

v1
v2
...
vn
 =

u1 + v1
u2 + v2
...
un + vn
 , k →v = k

v1
v2
...
vn
 =

kv1
kv2
...
kvn

ou
→
u +
→
v =
[
u1 u2 . . . un
]
+
[
v1 v2 . . . vn
]
=
[
u1 + v1 u2 + v2 . . . un + vn
]
k
→
v = k
[
v1 v2 . . . vn
]
=
[
kv1 kv2 . . . kvn
]
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
produzem os mesmos resultados que as operac¸o˜es vetoriais
→
u +
→
v =(u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . vn) = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)
k
→
v = k(v1, v2, . . . , vn) = (kv1, kv2, . . . , kvn)
a u´nica diferenc¸a e´ o formato em que escrevemos os vetores.
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Uma fo´mula matricial para o produto escalar
Usando a notac¸a˜o de matriz-coluna para os vetores
→
u=

u1
u2
...
un
 e
→
v =

v1
v2
...
vn

e omitindo os colchetes das matrizes 1× 1, temos
→
v
T →
u=
[
v1 v2 . . . vn
]

u1
u2
...
un
 =
[
u1v1 + u2v2 + . . . unvn
]
=
[→
u · →v
]
=
→
u · →v
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Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Exemplo 5
Determine
→
u · →v para →u=

−1
3
5
7
 e
→
v =

5
−4
7
0
.
Soluc¸a˜o:
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EXERC´ICIOS: Lista 3.1
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