Aula 9 - Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 9 - Espac¸os Vetoriais:
Espac¸os Vetoriais e Subespac¸os Vetoriais
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 26
Espac¸os Vetoriais Reais
Definic¸a˜o 0.1
Um espac¸o vetorial V e´ um conjunto na˜o vazio, cujos elementos sa˜o chamados
vetores, sobre os quais esta˜o definidas duas operac¸o˜es: a adic¸a˜o, que a cada par
de vetores
→
u,
→
v∈ V faz corresponder um novo vetor →u + →v e a multiplicac¸a˜o
por um nu´mero real, que a cada nu´mero k ∈ R e a cada vetor →v∈ V faz
corresponder um vetor k
→
v . Essas operac¸o˜es devem satisfazer, para quaisquer
k, l ∈ R e →u,→v ,→w∈ V , as condic¸o˜es abaixo, chamadas os axiomas de espac¸o
vetorial:
(1) Se
→
u,
→
v∈ V , enta˜o →u + →v∈ V .
(2) Comutatividade:
→
u +
→
v=
→
v +
→
u .
(3) Associatividade:
→
u +(
→
v +
→
w) = (
→
u +
→
v )+
→
w.
(4) Vetor Nulo: Existe um objeto
→
0∈ V , chamado um vetor nulo ou
vetor zero, tal que
→
0 +
→
u=
→
u +
→
0=
→
u para cada
→
u em V .
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Espac¸os Vetoriais Reais
(5) Inverso Aditivo: Para cada
→
u∈ V , existe um objeto − →u∈ V ,
chamado negativo de
→
u , tal que
→
u +(− →u) = (− →u)+ →u=→0 .
(6) Se
→
v∈ V e k ∈ R, enta˜o k →v∈ V .
(7) Distributividade: l(
→
u +
→
v ) = l
→
u +l
→
v .
(8) Distributividade: (k + l)
→
v= k
→
v +l
→
v .
(9) Associatividade: k(l
→
u) = (kl)
→
u .
(10) Multiplicac¸a˜o por 1: 1
→
u=
→
u .
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplo 0.1
Exemplos de espac¸os vetoriais:
(a) Espac¸o vetorial V = R
(b) Espac¸o vetorial V = R2, onde R2 = {(x1, x2)|x1, x2 ∈ R}.
(c) Espac¸o vetorial V = Rn, onde
Rn = {(x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . , xn ∈ R}.
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplo 0.2
Exemplos de espac¸os vetoriais:
(d) Espac¸o vetorial de Matrizes 2× 2, denotado por
M22 =
{[
a b
c d
]
: a, b, c, d ∈ R
}
.
(e) Espac¸o vetorial de Matrizes m× n, denotado por Mmn =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... . . .
...
am1 am2 . . . amn
 : aij ∈ R∀i, j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
.
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplo 0.3
(f) Espac¸o vetorial das func¸o˜es reais: denotado por F (−∞,∞).
Seus elementos sa˜o func¸o˜es reais
→
f= f(x) que esta˜o
definidas em cada x do intervalo (−∞,∞). Para
→
f= f(x),
→
g= g(x) e k ∈ R, as operac¸o˜es sa˜o:
→
f +
→
g= f(x) + g(x)
k
→
f= kf(x).
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Espac¸os Vetoriais Reais Incomum
Exemplo 0.4
(g) (Espac¸o vetorial incomum). Seja V = R∗+ o conjunto dos
nu´meros reais positivos cujas operac¸o˜es de adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o por escalar sa˜o definidas por:
→
u +
→
v= uv
k
→
u= uk
onde
→
u= u, u ∈ R∗+. Mostre que V satisfaz os axiomas de
espac¸o vetorial.
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Espac¸os Vetoriais Reais Incomum
Exemplo 0.5
(h) Espac¸o vetorial nulo. Seja V o conjunto constitu´ıdo apenas
pelo vetor nulo
→
0 no qual esta˜o definidas as operac¸o˜es→
0 +
→
0=
→
0 e k
→
0=
→
0 .
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplo 0.6 (Um conjunto que na˜o e´ Espac¸o Vetorial)
Considere V = R2 com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
definidas como segue:
Se
→
u= (u1, u2) e
→
v= (v1, v2), enta˜o
→
u +
→
v= (u1 + v1, u2 + v2).
Se k e´ um nu´mero real qualquer e
→
v= (v1, v2), enta˜o k
→
v= (kv1, 0).
Mostre que V na˜o e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o˜es definidas acima.
Soluc¸a˜o:
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Espac¸os Vetoriais Reais
Teorema 0.1
Sejam V um espac¸o vetorial,
→
u um vetor em V e l um escalar, enta˜o:
(a) 0
→
u=
→
0
(b) l
→
0=
→
0
(c) (−1) →u= − →u
(d) Se l
→
u=
→
0 enta˜o l = 0 ou u =
→
0 .
Demonstrac¸a˜o (a) e (c):
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Subespac¸os Vetoriais
E´ poss´ıvel que um subconjunto de um espac¸o vetorial seja ele pro´prio um
espac¸o vetorial, ou seja, todo elemento desse subconjunto satisfaz os
axiomas de espac¸o vetorial para as operac¸o˜es definidas. Por exemplo,
planos pela origem e´ um espac¸o vetorial contido no espac¸o vetorial R3.
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Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 0.2
Um subconjunto W de um espac¸o vetorial V e´ chamado um subespac¸o
vetorial de V se W e´ um espac¸o vetorial em relac¸a˜o a`s operac¸o˜es de
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidas em V .
Teorema 0.2
Se W e´ um subconjunto de um ou mais vetores de um espac¸o vetorial V ,
enta˜o W e´ um subespac¸o de V se, e somente se, valem as seguintes
condic¸o˜es:
(a) Se
→
u,
→
v∈W , enta˜o →u + →v∈W .
(b) Se k ∈ R e →u∈W , enta˜o k →u∈W .
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Subespac¸os Vetoriais
Observac¸a˜o 0.1
(a) Se W e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial V , segue da
definic¸a˜o anterior que se
→
u,
→
v∈W e k, l ∈ R, enta˜o
k
→
u +l
→
v∈W .
(b) Qualquer subespac¸o W de V precisa conter o vetor nulo.
(c) Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
(chamados triviais), o conjunto formado somente pelo vetor
nulo e o pro´prio espac¸o vetorial.
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Subespac¸os Vetoriais
Exemplo 0.7
Mostre que uma reta pela origem, definida por
W = {(x1, x2, x3) ∈ R3|(x1, x2, x3) = t(a, b, c), t ∈ R}, e´ um subespac¸o
vetorial de R3.
Soluc¸a˜o:
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Espac¸os Vetoriais Reais
Exemplo 0.8
Mostre que um plano pela origem, definido por
W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : ax1 + bx2 + cx3 = 0 e x1, x2, x3 ∈ R}, e´ um
subespac¸o de R3.
Soluc¸a˜o:
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Subespac¸os Vetoriais
Exemplo 0.9 (Um subconjunto de R2 que na˜o e´ subespac¸o)
O conjunto W = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 e y ≥ 0} do espac¸o vetorial V = R2
na˜o e´ um subespac¸o vetorial pois na˜o e´ fechado na multiplicac¸a˜o por
escalar.
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Subespac¸os Vetoriais
Observac¸a˜o 0.2
Os u´nicos subespac¸os de R2 sa˜o:
{→0}
Retas pela origem
R2
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Subespac¸os Vetoriais
Observac¸a˜o 0.3
Os u´nicos subespac¸os de R3 sa˜o:
{→0}
Retas pela origem
Planos pela origem
R3
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Subespac¸os Vetoriais
Mais exemplos de subespac¸os vetoriais:
Exemplo 0.10
(a) O conjunto das matrizes sime´tricas n× n e´ subepac¸o vetorial
de Mnn.
(b) O conjunto das matrizes triangulares superiores, triangulares
inferiores e diagonais sa˜o subespac¸os vetoriais de Mnn.
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Subespac¸os Vetoriais
Exemplo 0.11
(c) O conjunto das func¸o˜es cont´ınuas, denotado por C(−∞,∞)
e´ subespac¸o vetorial de F (−∞,∞).
(d) O conjunto das func¸o˜s com derivadas cont´ınuas, denotado
por C1(−∞,∞), e´ subespac¸o vetorial de F (−∞,∞).
(e) O conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a n, cujos
func¸o˜es podem ser expressas na forma
p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + . . .+ anx
n, e´ subespac¸o vetorial
de F (−∞,∞).
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Subespac¸os Vetoriais
Teorema 0.3
Se A
→
x=
→
0 e´ um sistema linear homogeˆneo de m equac¸o˜es em n
inco´gnitas, enta˜o o conjunto dos vetores soluc¸a˜o e´um subespac¸o de Rn.
Demonstrac¸a˜o:
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Subespac¸os Vetoriais
Exemplo 0.12
Os sistemas lineares abaixo possuem treˆs inco´gnitas, portanto as soluc¸o˜es
formam subespac¸os de R3. Geometricamente, isto significa que cada
espac¸o-soluc¸a˜o deve ser uma reta pela origem, ou um plano pela origem,
ou somente a origem, ou todo o R3.
(a)
1 −2 32 −4 6
3 −6 9
xy
z
 =
00
0

Soluc¸a˜o: x = 2s− 3t, y = s e z = t ou
x = 2y − 3z ⇒ x− 2y + 3z = 0 e´ a equac¸a˜o de um plano
pela origem.
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Subespac¸os Vetoriais
(b)
 1 −2 3−3 7 −8
−2 4 −6
xy
z
 =
00
0

Soluc¸a˜o: x = −5t, y = −t, z = t sa˜o equac¸o˜es parame´tricas
da reta pela origem paralela ao vetor
→
v= (−5,−1, 1).
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 23 / 26
Subespac¸os Vetoriais
(c)
 1 −2 3−3 7 −8
4 1 2
xy
z
 =
00
0

Soluc¸a˜o: x = 0, y = 0, z = 0 que e´ a origem de R3.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 24 / 26
Subespac¸os Vetoriais
(d)
0 0 00 0 0
0 0 0
xy
z
 =
00
0

Soluc¸a˜o: x = r, y = s, z = t onde r, s e t tomam quaisquer
valores, portanto o espac¸o-soluc¸a˜o e´ R3.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 26
Exerc´ıcios: Lista 3.1
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