Revisão - Sistemas Lineares e Determinantes

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Revisa˜o - Sistemas Lineares e Determinantes
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 33
Introduc¸a˜o
A A´lgebra Linear e´ uma disciplina que estabelece uma relac¸a˜o entre:
sistemas de equac¸o˜es lineares
matrizes
determinantes
vetores
transformac¸o˜es lineares
autovalores e autovetores
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 33
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1
Define-se equac¸a˜o linear nas varia´veis x1, x2, . . . , xn como uma equac¸a˜o
que pode ser expressa na forma a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b onde
a1, a2, . . . , an e b sa˜o constantes e a1, a2, . . . , an na˜o sa˜o todos nulos. Se
b = 0, a equac¸a˜o recebe o nome de homogeˆnea.
Exemplo 1
As seguintes equac¸o˜es sa˜o lineares:
(a) x + 3y = 7 (b) 12x − y + 3z = −1 (c) x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 0 As
seguintes equac¸o˜es na˜o sa˜o lineares:
(a) x + 3y2 = 7 (b) senx + y = 0 (c)
√
x1 + 2x2 + x3 = 1
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Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 2
Um sistema linear de m equac¸o˜es nas n inco´gnitas x1, x2, . . . , xn pode ser
escrito como:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
.
O sistema e´ consistente ou poss´ıvel existir pelo menos uma soluc¸a˜o, isto e´, pelo
menos uma sequeˆncia x1 = s1, x2 = s2, . . . . . . , xn = sn de valores satisfazendo
todas as suas equac¸o˜es. Caso contra´rio, o sistema e´ inconsistente ou imposs´ıvel.
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Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 2 (Sistema linear com uma soluc¸a˜o) x − y = 12x + y = 6
Soluc¸a˜o:
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Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 3 (Sistema linear sem soluc¸a˜o) x + y = 43x + 3y = 6
Soluc¸a˜o:
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 33
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 4 (Sistema linear com infinitas soluc¸o˜es) 4x − 2y = 116x − 8y = 4
Soluc¸a˜o:
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Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Matrizes aumentadas e operac¸o˜es elementares com linhas
Para facilitar a resoluc¸a˜o de sistemas lineares, associamos ao sistema
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
a matriz

a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
... . . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm
, denominada matriz aumentada do
sistema.
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Introduc¸a˜o aos Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
As operac¸o˜es usadas na resoluc¸a˜o de um sistema linear sa˜o:
1 Multiplicar uma equac¸a˜o inteira por uma constante na˜o nula.
2 Trocar duas equac¸o˜es entre si.
3 Somar uma constante vezes uma equac¸a˜o a uma outra equac¸a˜o.
Essas operac¸o˜es correspondem a`s seguintes operac¸o˜es (operac¸o˜es
elementares com linhas) na matriz aumentada associada ao sistema:
1 Multiplicar uma linha inteira por uma constante na˜o nula.
2 Trocar duas linhas entre si.
3 Somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Uma matriz esta´ em forma escalonada por linhas se tiver as seguintes
propriedades:
1. Se uma linha na˜o consistir inteiramente em zeros, enta˜o o primeiro
nu´mero na˜o nulo da linha e´ 1. Nesse caso, o nu´mero 1 e´ denominado
pivoˆ.
2. Se existirem linhas constitu´ıdas inteiramente de zeros, enta˜o elas
esta˜o agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que na˜o consistem so´ em zeros, o
pivoˆ da linha inferior ocorre mais a` direita do que o pivoˆ da linha
superior.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Uma matriz esta´ em forma escalonada reduzida por linhas se, ale´m das
propriedades 1, 2 e 3 listadas anteriormente, tiver a seguinte propriedade:
4. Cada coluna que conte´m um pivoˆ tem zeros nas demais entradas.
Exemplos:
1 4 −3 7
0 1 6 2
0 0 1 5
,

0 1 2 6 0
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 1
: forma escalonada por linhas

1 0 0 4
0 1 0 7
0 0 1 −1
,

0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
: forma escalonada reduzida por
linhas
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 5
Use a eliminac¸a˜o gaussiana para reduzir a matriz abaixo a` forma
escalonada por linhas:

0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 1. Localizar a coluna mais a` esquerda que na˜o seja constitu´ıda
inteiramente de zeros. 
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

A primeira coluna conte´m elementos na˜o nulos.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 2. Permutar a primeira linha com uma outra linha, se necessa´rio,
para obter uma entrada na˜o nula ao topo da coluna encontrada no Passo
1.

0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L1↔L2
∼

2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

Foram permutadas a primeira e a segunda linhas.
Notac¸a˜o: L1 ↔ L2.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 3. Se a entrada que agora esta´ no topo da matriz for a, enta˜o
multiplica-se a linha 1 por 1a para introduzir um pivoˆ.
2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L1→ 12L1
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

A primeira linha foi multiplicada por 12 .
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 4. Soma-se mu´ltiplos convenientes da primeira linha a`s linhas
inferiores para obter zeros em todas as entradas abaixo do pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L3→L3−2L1
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

Menos duas vezes a linha 1 foi somada a linha 3. Notac¸a˜o: L3 → L3 − 2L1
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5. Desconsiderar a linha 1 e recomec¸ar aplicando o passo 1 ao
restante da matriz.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

A terceira coluna abaixo da linha 1 conte´m elementos na˜o nulos e o primeiro
deles e´ diferente de zero.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.1 Encontrar o pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

︸ ︷︷ ︸
L2→− 12L2
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 5 0 −17 −29

Menos 12 foi multiplicado a linha 2. Notac¸a˜o: L2 → − 12L2
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.2 Obter zeros nas entradas abaixo do pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 5 0 −17 −29

︸ ︷︷ ︸
L3→L3−5L2
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

Menos 5 vezes a linha 2 foi somado a linha 3. Notac¸a˜o: L3 → L3 − 5L2
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.3 Desconsiderar a primeira e segunda linha e procurar uma coluna
com elementos na˜o nulos no restante da matriz.

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

A quinta coluna abaixo da primeira e segunda linhas tem umelemento na˜o nulo.
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.4 Encontrar o pivoˆ.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

︸ ︷︷ ︸
L3→2L3
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2

A terceira linha foi multiplicada por 2. Notac¸a˜o: L3 → 2L3
A matriz resultante esta´ na forma escalonada por linhas.
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Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan
Exemplo 6
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas da matriz do exemplo
anterior.
Dando continuac¸a˜o nos passos trabalhos no exemplo anterior temos:
Passo 6. A partir da forma escalonada por linhas, cada coluna que
conte´m pivoˆ deve ter zeros nas demais entradas.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2

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Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan
Passo 6.1 Cada coluna que conte´m pivoˆ deve ter zero nas demais
entradas. 
1 2 0 3 0 7
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2

L1 → L1 + 5L2
L1 → L1− 232 L3
L2 → L2 + 72L3
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Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a eliminac¸a˜o gaussiana:
(a)

x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
(b)

x2 − 4x3 = 8
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
5x1 − 8x2 + 7x3 = 1
(c)

x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4
2x3 − 8x4 − x5 = 3
x5 = 7
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Equac¸a˜o Matricial
O sistema linear

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = bn
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
e´ equivalente a` equac¸a˜o matricial
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
am1 am2 . . . amn

︸ ︷︷ ︸
A

x1
x2
...
xn

︸ ︷︷ ︸
→
x
=

b1
b2
...
bm

︸ ︷︷ ︸
→
b
, isto e´, A
→
x =
→
b
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Soluc¸a˜o do Sistema Analisando sua Equac¸a˜o Matricial
para A n × n
Sistema Linear A
→
x =
→
b
Se a matriz dos coeficientes A e´ invert´ıvel (det(A) 6= 0), enta˜o o
sistema e´ consistente e a soluc¸a˜o e´ dada por
→
x = A−1
→
b
Se A na˜o e´ invert´ıvel (det(A) = 0), enta˜o o sistema e´ inconsistente.
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Soluc¸a˜o do Sistema Analisando sua Equac¸a˜o Matricial
para A n × n
Sistema Linear Homogeˆneo A
→
x =
→
0
Sempre tem soluc¸a˜o (
→
0 e´ soluc¸a˜o - soluc¸a˜o trivial).
Se A e´ invert´ıvel (det(A) 6= 0), enta˜o o sistema e´ consistente e tem
uma u´nica soluc¸a˜o dada por
→
x = A−1
→
0 =
→
0 (o vetor nulo e´ a u´nica
soluc¸a˜o).
Se A na˜o e´ invert´ıvel (det(A) = 0), enta˜o o sistema tem infinitas
soluc¸o˜es. Neste caso, o escalonamento da matriz aumentada apresenta
uma linha de zeros que garante varia´veis livres.
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Determinantes
Me´todo pra´tico para os casos 2× 2 e 3× 3:
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Determinantes
Para os casos 4× 4 e ordens maiores deve-se recorrer a uma das te´cnicas:
Expassa˜o em cofatores
Reduc¸a˜o por linhas
Essas te´cnicas tambe´m se aplicam a` matrizes 2× 2 e 3× 3.
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Determinantes - Teoremas importantes
Teorema 1
Se A for uma matriz n × n, enta˜o independentemente de qual linha ou coluna
escolhermos, sempre obteremos o mesmo nu´mero multiplicando as entradas
daquela linha ou coluna pelos cofatores correspondentes e somando os produtos
obtidos.
Teorema 2
Se A e´ uma matriz triangular n × n (triangular superior, inferior ou diagonal),
enta˜o det(A) e´ o produto das entradas na diagonal principal da matriz, ou seja,
det(A) = a11a22 . . . ann.
Teorema 3
Se A e´ uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros, enta˜o
det(A) = 0.
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Inversas
Teorema 4
Uma matriz A de tamanho n × n e´ invert´ıvel se e somente se A e´ linha
equivalente a In, e, nesse caso, toda sequeˆncia de operac¸o˜es elementares que
transforma A em In tambe´m transforma In em A
−1.
Algoritmo da Inversa˜o
Posicione as matrizes A e I lado a lado, formando uma matriz completa
[A | I ].
Escalone a matriz completa [A | I ].
Se A for equivalente por linha a I , enta˜o [A | I ] e´ equivalente por linha a
[I | A−1].
Caso contra´rio, A na˜o tem inversa.
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Inversas
Analise se os sistemas abaixo quanto a` existeˆncia e nu´mero de soluc¸o˜es :
(a)

x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
(b)

x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 0
−4x1 + 5x2 + 9x3 = 0
(c)

x2 − 4x3 = 8
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
5x1 − 8x2 + 7x3 = 1
(d)

x2 − 4x3 = 0
2x1 − 3x2 + 2x3 = 0
5x1 − 8x2 + 7x3 = 0
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 32 / 33
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
Cap´ıtulos 1 e 2 do livro A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es, Howard Anton, 8a
ed, Editora Bookman.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 33 / 33