Aula 17 - Mudança de Base

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 17 - Espac¸o com Produto Interno:
Mudanc¸a de Bases
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 24
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. H. Anton, C. Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a ed.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
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Mudanc¸a de Bases
No estudo de espac¸os vetoriais a mudanc¸a de uma base para outra e´
um processo comum, pois uma base que e´ conveniente para um
determinado problema pode na˜o ser para outro.
Uma base e´ a generalizac¸a˜o de um sistema de coordenadas para o
espac¸o vetorial, por isso e´ importante conhecer as relac¸o˜es entre as
coordenadas de um vetor em sistemas de coordenadas distintos.
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Mudanc¸a de Bases
Os vetores de uma base de R2 definem eixos coordenados e escalas em R2.
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Mudanc¸a de Bases
Ao mudarmos de uma base para outra, qual e´ a relac¸a˜o existente entre os
vetores de ambas as bases?
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Mudanc¸a de Bases
Matrizes de Coordenadas
Se S = {→v1, →v2, . . . , →vn} e´ a base de um espac¸o vetorial V e →v∈ V , enta˜o:
(a)
→
v= k1v1 + k2v2 + . . .+ knvn.
(b) (
→
v )S = (k1, k2, . . . , kn) e´ o vetor de coordenadas de de
→
v
em relac¸a˜o a` base S.
(c) [
→
v ]S =

k1
k2
...
kn
 e´ a matriz de coordenadas de de →v em relac¸a˜o
a` base S.
.
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Mudanc¸a de Bases
Problema da Mudanc¸a de Base
Seja V um espac¸o vetorial e B base de V . Se
→
v∈ V , enta˜o [→v ]B e´ a
matriz de coordenadas de
→
v em relac¸a˜o a base B.
Se for feita uma mudanc¸a da base B para a uma outra base B′, qual e´ a
relac¸a˜o existente entre [
→
v ]B e [
→
v ]B′?
Esta pergunta sera´ respondida para matrizes bidimensionais. A soluc¸a˜o
para espac¸os n-dimensionais e´ similar.
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Mudanc¸a de Bases
Sejam
B = {→u1, →u2}: base velha (atual) de V
B′ = {
→
u′1,
→
u′2}: nova base de V
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Mudanc¸a de Bases
Como B = {→u1, →u2} e´ base de V , cada vetor
→
u′1 e
→
u′2 da base nova B′
deve ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores da base B.
→
u′1= a
→
u1 +b
→
u2 (1)
→
u′2= c
→
u1 +d
→
u2 (2)
Das equac¸o˜es acima temos as seguintes matrizes de coordenadas:
[
→
u′1]B =
[
a
b
]
e [
→
u′2]B =
[
c
d
]
(3)
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Mudanc¸a de Bases
Suponha que
→
v= k1
→
u′1 +k2
→
u′2 (4)
e´ um vetor qualquer em V cuja matriz de coordenadas em relac¸a˜o a
base B′ e´:
[
→
v ]B′ =
[
k1
k2
]
(5)
Qual e´ a relac¸a˜o entre [
→
v ]B e [
→
v ]B′?
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Mudanc¸a de Bases
Substituindo as equac¸o˜es (1) e (2) em (4), temos:
→
v = k1
→
u′1 +k2
→
u′2
= k1(a
→
u1 +b
→
u2) + k2(c
→
u1 +d
→
u2)
= (k1a+ k2c)
→
u1 +(k1b+ k2d)
→
u2 (6)
A equac¸a˜o acima expressa
→
v como combinac¸a˜o linear dos vetores da
base B.
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Mudanc¸a de Bases
A matriz de coordenadas de
→
v em relac¸a˜o a` base B e´:
[
→
v ]B =
[
k1a+ k2c
k1b+ k2d
]
(7)
A equac¸a˜o (7) pode ser escrita como:
[
→
v ]B =
[
a c
b d
] [
k1
k2
]
ou [
→
v ]B =
[
a c
b d
]
[
→
v ]B′ (8)
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Mudanc¸a de Bases
Logo, a matriz de coordenadas [
→
v ]B e´ obtida multiplicando a matriz
de coordenadas [
→
v ]B′ a` esquerda pela matriz
P =
[
a c
b d
]
cujas colunas sa˜o as coordenadas dos vetores da base B′ em relac¸a˜o a`
base B.
A matriz P e´ conhecida por matriz de transic¸a˜o de B′ para base B.
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Mudanc¸a de Bases
Definic¸a˜o 0.1
Sejam B = {→u1, →u2, . . . , →un} e B′ = {
→
u
′
1,
→
u
′
2, . . . ,
→
u
′
n} bases de um espac¸o
vetorial V .
(a) A matriz de transic¸a˜o de B′ para B (ou matriz de mudanc¸a
de base) e´ definida por
P =
[
[
→
u
′
1]B [
→
u
′
2]B . . . [
→
u
′
n]B
]
(Cada [
→
u′i]B sa˜o vetores-coluna.)
(b) Para
→
v∈ V , temos a seguinte relac¸a˜o
[
→
v ]B = P [
→
v ]B′
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Mudanc¸a de Bases
Exemplo 0.1
Sejam B = {→u1, →u2} e B′ = {
→
u′1,
→
u′2} bases de R2, onde
→
u1= (1, 0),
→
u2= (0, 1),
→
u′1= (1, 1),
→
u′2= (2, 1)
(a) Encontre a matriz de transic¸a˜o de B′ para B.
(b) Use a equac¸a˜o [
→
v ]B = P [
→
v ]B′ para encontrar [
→
v ]B sabendo
que [
→
v ]B′ =
[−3
5
]
Soluc¸a˜o:
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Mudanc¸a de Bases
Exemplo 0.2
Sejam B = {→u1, →u2} e B′ = {
→
u′1,
→
u′2} bases de R2, onde
→
u1= (1, 0),
→
u2= (0, 1),
→
u′1= (1, 1),
→
u′2= (2, 1)
(a) Seja Q a matriz de transic¸a˜o de B para B′. Encontre Q.
(b) Verifique que PQ = I, onde P e´ a matriz de transic¸a˜o de B′
para B encontrada no exemplo anterior.
Soluc¸a˜o:
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Mudanc¸a de Bases
Teorema 0.1
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Se P e´ a matriz de
transic¸a˜o de uma base B′ para uma base B, enta˜o
(a) P e´ invert´ıvel.
(b) P−1 e´ a matriz de transic¸a˜o de B para B′.
(c) Para
→
v∈ V , temos as relac¸o˜es
[
→
v ]B = P [
→
v ]B′ e [
→
v ]B′ = P
−1[
→
v ]B
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Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional
Ao girar o sistema de coordenadas retangulares xy no sentido anti-hora´rio
em torno da origem por um aˆngulo θ obtemos um novo sistema de
coordenadas x′y′.
Seja Q um ponto do plano. Podemos observar dois conjuntos de
coordenadas para o ponto Q: as coordenadas (x, y) em relac¸a˜o ao sistema
xy e as coordenadas (x′, y′)em relac¸a˜o ao sistema x′y′.
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Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional
Sejam
→
u1 e
→
u2 vetores unita´rios ao longo dos eixos positivos x e y e
→
u
′
1 e→
u
′
2 ao longo dos eixos positivos x
′ e y′.
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Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional
Podemos considerar esta rotac¸a˜o como uma mudanc¸a da base
B = {→u1, →u2} para a base B′ = {
→
u
′
1,
→
u
′
2}. Assim, as coordenadas (x, y) e
(x′, y′) se relacionam da seguinte maneira:[
x
y
]
= P
[
x′
y′
]
(9)
e [
x′
y′
]
= P−1
[
x
y
]
(10)
onde P e´ a matriz de transic¸a˜o de B′ para B.
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Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional
A matriz P e´ dada por P =
[
[u
′
1]B [u
′
2]B
]
. Pelo gra´fico acima, temos
que:
P =
[
cosθ −senθ
senθ cosθ
]
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Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional
Como P e´ uma matriz ortogonal (Exemplo 0.2), P−1 = P T . Logo,
P−1 = P T =
[
cosθ senθ
−senθ cosθ
]
Pela equac¸a˜o (10), temos que[
x′
y′
]
=
[
cosθ senθ
−senθ cosθ
] [
x
y
]
que e´ equivalente a {
x′ = xcosθ + ysenθ
y′ = −xsenθ + ycosθ
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Aplicac¸a˜o a` Rotac¸a˜o de Eixos no Espac¸o Bidimensional
Por exemplo, se θ = pi4 , temos[
x′
y′
]
=
[
1√
2
1√
2
− 1√2
1√
2
] [
x
y
]
Se Q tem coordenadas (x, y) = (2,−1), apo´s a rotac¸a˜o as novas
coordenadas de Q sa˜o
(x′, y′) = (
1√
2
,− 3√
2
)
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Exerc´ıcios: Lista 4.1
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