Prova N1 A 2ª Semetre 2015

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Profª Me Simone Tatiane do Canto 
Avaliação N1 -(24/09/2015) 
Nome:_______________________________________________ RA:_____________________ 
Justifique, com o máximo detalhe possível, cada uma de suas respostas. 
1.) (2,00) Sendo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥4 tal que 𝑎𝑖𝑗 =
(𝑖)3 − 2. (𝑗)2 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥4 tal que 
𝑏𝑖𝑗 = (𝑖)
2 − (𝑗)2 + 3. Calcule 𝐴 + 𝐵. 
 
Primeiro Encontramos a matriz A. 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
] 
 
𝑎11 = (1)
3 − 2. (1)2 = 1 − 2 = −1 
𝑎12 = (1)
3 − 2. (2)2 = 1 − 8 = −7 
𝑎13 = (1)
3 − 2. (3)2 = 1 − 18 = −17 
𝑎14 = (1)
3 − 2. (4)2 = 1 − 32 = −31 
 
𝑎21 = (2)
3 − 2. (1)2 = 8 − 2 = 6 
𝑎22 = (2)
3 − 2. (2)2 = 8 − 8 = 0 
𝑎23 = (2)
3 − 2. (3)2 = 8 − 18 = −10 
𝑎24 = (2)
3 − 2. (4)2 = 8 − 32 = −24 
 
𝐴 = [
−1 −7 −17 −31
6 0 −10 −24
] 
 
 
Agora encontramos B. 
𝐵 = [
𝑏11 𝑏12 𝑏13 𝑏14
𝑏21 𝑏22 𝑏23 𝑏24
] 
 
𝑏11 = (1)
2 − (1)2 + 3 = 3 
𝑏12 = (1)
2 − (2)2 + 3 = 0 
𝑏13 = (1)
2 − (3)2 + 3 = −5 
𝑏14 = (1)
2 − 42 + 3 = −12 
𝑏21 = (2)
2 − (1)2 + 3 = 6 
𝑏22 = (2)
2 − (2)2 + 3 = 3 
𝑏23 = (2)
2 − (3)2 + 3 = −2 
𝑏24 = (2)
2 − 42 + 3 = −9 
 
 
𝐵 = [
3 0 −5 −12
6 3 −2 −9
] 
 
 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
Agora faremos A+B 
𝐴 + 𝐵 = [
−1 −7 −17 −31
6 0 −10 −24
] + [
3 0 −5 −12
6 3 −2 −9
] 
 
𝐴 + 𝐵 = [
−1 + 3 −7 + 0 −17 − 5 −31 − 12
6 + 6 0 + 3 −10 − 2 −24 − 9
] 
 
𝐴 + 𝐵 = [
2 −7 −22 −43
12 3 −12 −33
] 
 
2.) (2,00) Qual o valor de 𝑥 e 𝑦 de modo que: 
 
[
−5 1
1 −2
] . [
𝑥
𝑦] = [
9
6
] 
 
[
−5𝑥 + 𝑦
𝑥 − 2𝑦
] = [
9
6
] 
 
{
−5𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 − 2𝑦 = 6
 
 
{
−5𝑥 + 𝑦 = 9
5𝑥 − 10𝑦 = 30
 
 
−9𝑦 = 39 
𝑦 = −
39
9
= −
13
3
 
 
𝑥 − 2𝑦 = 6 
𝑥 +
26
3
= 6 
𝑥 = 6 −
26
3
 
𝑥 =
18 − 26
3
= − 
8
3
 
 
 
3.) (2,00) Qual o determinante da matriz quadrada: 
𝐴 = (
sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1
0 cos 𝑥 0
sin 𝑥 1 1
) 
 
det (𝐴) = |
sin𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1
0 cos 𝑥 0
sin𝑥 1 1
|
sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
0 cos 𝑥
sin 𝑥 1
 
det(𝐴) = sin𝑥 cos 𝑥 + 0 + 0 − sin𝑥 cos 𝑥 − 0 − 0 
det(𝐴) = sin𝑥 cos 𝑥 − sin𝑥 cos 𝑥 
det(𝐴) = 0 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
4.) (2,00) Dê a solução da seguinte equação: 
|
2 𝑥 𝑥
−1 −2 −1
3 1 2
| = 10 − log2 8 
 
𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎, 
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 − 𝑜𝑠. 
 
|
2 𝑥 𝑥
−1 −2 −1
3 1 2
|
2 𝑥
−1 −2
3 1
 
 
det(𝐴) = −8 − 3𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 + 2 + 2𝑥 
det(𝐴) = −6 + 4𝑥 
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 log2 8 = log2 2
3 = 3 log2 2 = 3.1 = 3, 𝑙𝑜𝑔𝑜 10 − log2 8 = 10 − 3 = 7, 
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
−6 + 4𝑥 = 7 
4𝑥 = 13 
𝑥 =
13
4
 
 
5.) (2,00) Dada a matriz 𝐴 = (
3 4
2 6
), calcule: 
 
a) det(𝐴) = 18 − 8 = 10 
 
b) det (𝐴2) 
 
Primeiro faremos 𝐴2 = (
3 4
2 6
) . (
3 4
2 6
) = (
9 + 8 12 + 24
6 + 12 8 + 36
) = (
17 36
18 44
) 
 
det(𝐴2) = 17 . 44 − 36 . 18 = 748 − 648 = 100 
 
c) det (𝐴−1) 
Primeiro encontraremos 𝐴−1: 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 
(
3 4
2 6
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 
(
3𝑎 + 4𝑐 3𝑏 + 4𝑑
2𝑎 + 6𝑐 2𝑏 + 6𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
 
Agora aplicaremos a igualdade de matrizes: 
 
{
3𝑎 + 4𝑐 = 1
2𝑎 + 6𝑐 = 0
 
 
{
6𝑎 + 8𝑐 = 2
−6𝑎 − 18𝑐 = 0
 
 
Somamos as matrizes: 
−10𝑐 = 2 
𝑐 = −
2
10
= −
1
5
 
 
 
2𝑎 + 6𝑐 = 0 
2𝑎 + 6 (−
1
5
) = 0 
2𝑎 −
6
5
= 0 
2𝑎 =
6
5
 
𝑎 =
6
10
=
3
5
 
 
 
 
{
3𝑏 + 4𝑑 = 0
2𝑏 + 6𝑑 = 1
 
 
{
6𝑏 + 8𝑑 = 0
−6𝑏 − 18𝑑 = −3
 
 
−10𝑑 = −3 
𝑑 =
3
10
 
 
2𝑏 + 6𝑑 = 1 
2𝑏 +
18
10
= 1 
2𝑏 = 1 −
18
10
 
2𝑏 =
10 − 18
10
 
 
2𝑏 =
−8
10
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
𝑏 =
−8
20
=
−2
5
 
 
 
Assim 𝐴−1 = (
3
5
−2
5
−1
5
3
10
), agora faremos det (𝐴−1) 
 
det(𝐴−1) =
3
5
.
3
10
− (
−2
5
) . (
−1
5
) =
9
50
−
2
25
=
9 − 4
50
=
5
50
=
1
10
 
 
 
 
6.) (3,00) QUESTÃO DESAFIO: (OPCIONAL) 
 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
a) 𝐴2 =
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1]
 
 
 
 
 
 
b) 𝑐11 = 1 
 
𝑐11 = ∑ 𝑎1𝑘𝑎𝑘1 =
5
𝑘=1
𝑎11𝑎11 + 𝑎12𝑎21 + 𝑎13𝑎31 + 𝑎14𝑎41 + 𝑎15𝑎51 
 
𝑐11 = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 
Logo existe 1 caminho que transmite em 𝑐11 , 1 → 2 → 1 . 
 
c) Note que essa resposta está no enunciado do exercício: 
O elemento nulo significa que não há transmissão, o elemento igual a 1 há transmissão 
por 1 caminho que envolve 3 setores, logo cada valor dos elementos dizem a 
quantidade de caminhos para que ocorra a transmissão e como cada caminhos contém 
3 setores envolvidos basta multiplicar a quantidade de caminhos por 3 e obterá a 
quantidade de setores envolvidos na transmissão. 
 
d) 𝐴3 =
[
 
 
 
 
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1]
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 3 5 5 4
2 2 4 6 2
0 3 2 4 2
1 0 3 1 2
0 1 0 2 0]
 
 
 
 
 
 
𝑉𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑24 
𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜, 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 6 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 18 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑13 𝑒 𝑑14 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 5 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 15 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑15 , 𝑑23 𝑒 𝑑34 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 4 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 12 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
 𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑12 , 𝑑32 𝑒 𝑑43 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 3 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 9 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 
𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑12 , 𝑑22 , 𝑑33 , 𝑑54 , 𝑑25 , 𝑑35 𝑒 𝑑45 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 2 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 
6 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠. 𝑂𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑11 , 𝑑41 , 𝑑52 𝑒 𝑑44 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑛𝑡𝑎𝑚 1 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑞𝑢𝑒 
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚 3 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜.