Prova N1 B 2ª Semetre 2015

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Profª Me Simone Tatiane do Canto 
Avaliação N1-(24/09/2015) 
Nome:_______________________________________________ RA:_____________________ 
Justifique, com o máximo detalhe possível, cada uma de suas respostas. 
1.) (2,00) Sendo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 2.
(𝑖)2 − (𝑗)2 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥3 tal que 
𝑏𝑖𝑗 = (𝑖)
2 − 𝑗 + 3. Calcule 𝐴 + 𝐵. 
Primeiro Encontramos a matriz A. 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] 
 
𝑎11 = 2. (1)
2 − (1)2 = 2 − 1 = 1 
𝑎12 = 2. (1)
2 − (2)2 = 2 − 4 = −2 
𝑎13 = 2. (1)
2 − (3)2 = 2 − 9 = −7 
𝑎21 = 2. (2)
2 − (1)2 = 8 − 1 = 7 
𝑎22 = 2. (2)
2 − (2)2 = 8 − 4 = 4 
𝑎23 = 2. (2)
2 − (3)2 = 8 − 9 = −1 
𝐴 = [
1 −2 −7
7 4 −1
] 
 
Agora encontramos B. 
𝐵 = [
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
] 
 
𝑏11 = (1)
2 − 1 + 3 = 1 + 2 = 3 
𝑏12 = (1)
2 − 2 + 3 = 1 + 1 = 2 
𝑏13 = (1)
2 − 3 + 3 = 1 + 0 = 1 
𝑏21 = (2)
2 − 1 + 3 = 4 + 2 = 6 
𝑏22 = (2)
2 − 2 + 3 = 4 + 1 = 5 
𝑏23 = (2)
2 − 3 + 3 = 4 + 0 = 4 
 
𝐵 = [
3 2 1
6 5 4
] 
 
Agora faremos A+B 
𝐴 + 𝐵 = [
1 −2 −7
7 4 −1
] + [
3 2 1
6 5 4
] 
 
𝐴 + 𝐵 = [
1 + 3 −2 + 2 −7 + 1
7 + 6 4 + 5 −1 + 4
] 
 
𝐴 + 𝐵 = [
4 0 −6
13 9 3
] 
 
 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
 
2.) (2,00) Considere as seguintes matrizes: 
 
𝐴 = [
4 − 3𝑥 7 − 𝑥
0 −10
−5 −4
] , 𝐵 = [
3 −4
5 0
2 2
] , 𝐶 = [
𝑥 𝑥 + 1
1 𝑥 − 1
] e 𝐷 = [
0 10
10 5
1 4
] 
Encontre o valor de 𝑥 para que ocorra a seguinte equação: 
𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐷 
 
[
4 − 3𝑥 7 − 𝑥
0 −10
−5 −4
] + [
3 −4
5 0
2 2
] . [
𝑥 𝑥 + 1
1 𝑥 − 1
] = [
0 10
10 5
1 4
] 
 
 
[
4 − 3𝑥 7 − 𝑥
0 −10
−5 −4
] + [
3𝑥 − 4 3(𝑥 + 1) − 4(𝑥 − 1)
5𝑥 5(𝑥 + 1)
2𝑥 + 2 2(𝑥 + 1) + 2(𝑥 − 1)
] = [
0 10
10 5
1 4
] 
 
[
4 − 3𝑥 7 − 𝑥
0 −10
−5 −4
] + [
3𝑥 − 4 −𝑥 + 7
5𝑥 5𝑥 + 5
2𝑥 + 2 4𝑥
] = [
0 10
10 5
1 4
] 
 
[
(4 − 3𝑥) + (3𝑥 − 4) (7 − 𝑥) + (−𝑥 + 7)
5𝑥 −10 + (5𝑥 + 5)
−5 + (2𝑥 + 2) −4 + 4𝑥
] = [
0 10
10 5
1 4
] 
 
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑥 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒: 
 
[
0 14 − 2𝑥1
5𝑥2 −5 + 5𝑥3
−3 + 2𝑥4 −4 + 4𝑥5
] = [
0 10
10 5
1 4
] 
 
𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
14 − 2𝑥1 = 10 
14 − 10 = 𝑥1 
4 = 2𝑥1 
𝑥1 =
4
2
 
𝑥1 = 2 
 
5𝑥2 = 10 
𝑥2 =
10
5
 
𝑥2 = 2 
 
−3 + 2𝑥3 = 1 
2𝑥3 = 1 + 3 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
2𝑥3 = 4 
𝑥3 =
4
2
 
𝑥3 = 2 
 
−3 + 2𝑥4 = 1 
2𝑥4 = 1 + 3 
2𝑥4 = 4 
𝑥4 =
4
2
 
𝑥4 = 2 
 
 
−4 + 4𝑥5 = 4 
4𝑥5 = 4 + 4 
4𝑥5 = 8 
𝑥5 =
8
4
 
𝑥5 = 2 
 
Logo x = 2 
 
3.) (2,00) Qual o determinante da matriz quadrada: 
𝐴 = (
sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1
sin 𝑥 cos 𝑥 0
sin 𝑥 1 1
) 
 
det (𝐴) = |
sin𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1
sin𝑥 cos 𝑥 0
sin𝑥 1 1
|
sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥
sin 𝑥 cos 𝑥
sin 𝑥 1
 
det(𝐴) = sin 𝑥 cos𝑥 + 0 + sin𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥 − 0 − sin𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
det(𝐴) = sin𝑥 − sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
det(𝐴) = sin 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 
𝐴𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 det (𝐴) 
det(𝐴) = sin 𝑥 (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 
det(𝐴) = sin 𝑥 . 𝑠𝑖𝑛2𝑥 
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 
 
 
4.) (2,00) Dê a solução da seguinte equação: 
|
2𝑥 9
2 𝑥
| = |
1 2 3 − 𝑥
2 3 1
3 1 2 + 𝑥
| 
𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒 − 𝑜𝑠. 
 
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det(𝐴) = 2𝑥. 𝑥 − 9.2 
det(𝐴) = 2𝑥2 − 18 
 
|
1 2 3 − 𝑥
2 3 1
3 1 2 + 𝑥
|
1 2
2 3
3 1
 
 
det(𝐵) = 3(2 + 𝑥) + 6 + 2(3 − 𝑥) − 9(3 − 𝑥) − 1 − 4(2 + 𝑥) 
det(𝐵) = 6 + 3𝑥 + 6 + 6 − 2𝑥 − 27 + 9𝑥 − 1 − 8 − 4𝑥 
det(𝐵) = −18 + 6𝑥 
 
𝐴𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑖𝑔𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 det(𝐴) = det (𝐵) 
 
2𝑥2 − 18 = −18 + 6𝑥 
2𝑥2 − 6𝑥 = 0 
𝑥(2𝑥 − 6) = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥 = 6 
𝑥 = 3 
 
 
5.) (2,00) Dada a matriz 𝐴 = (
2 4
1 3
), calcule: 
 
a) det(𝐴) = 6 − 4 = 2 
 
b) det (𝐴2) 
 
Primeiro faremos 𝐴2 = (
2 4
1 3
) . (
2 4
1 3
) = (
4 + 4 8 + 12
2 + 3 4 + 9
) = (
8 20
5 13
) 
 
det(𝐴2) = 8.13 − 20.5 = 104 − 100 = 4 
 
c) det (𝐴−1) 
Primeiro encontraremos 𝐴−1: 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 
(
2 4
1 3
) . (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 
(
2𝑎 + 4𝑐 2𝑏 + 4𝑑
𝑎 + 3𝑐 𝑏 + 3𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
 
Agora aplicaremos a igualdade de matrizes: 
 
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{
2𝑎 + 4𝑐 = 1
𝑎 + 3𝑐 = 0
 
 
{
2𝑎 + 4𝑐 = 1
−2𝑎 − 6𝑐 = 0
 
 
Somamos as matrizes: 
−2𝑐 = 1 
𝑐 = −
1
2
 
 
 
𝑎 + 3𝑐 = 0 
𝑎 + 3(−
1
2
) = 0 
𝑎 −
3
2
= 0 
𝑎 =
3
2
 
 
 
 
{
2𝑏 + 4𝑑 = 0
𝑏 + 3𝑑 = 1
 
 
{
2𝑏 + 4𝑑 = 0
−2𝑏 − 6𝑑 = −2
 
 
−2𝑑 = −2 
𝑑 = 1 
 
𝑏 + 3𝑑 = 1 
𝑏 + 3 = 1 
𝑏 = 1 − 3 
𝑏 = −2 
 
 
Assim 𝐴−1 = (
3
2
−2
−1
2
1
), agora faremos det (𝐴−1) 
 
det(𝐴−1) =
3
2
− 1 =
3 − 2
2
=
1
2
 
 
 
 
 
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6.) (3,00) QUESTÃO DESAFIO: (OPCIONAL) 
 
 
 
 
 
 
a) 𝐴2 =
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1]
 
 
 
 
 
 
b) 𝑐13 = 2 
 
 Profª Me Simone Tatiane do Canto 
𝑐13 = ∑ 𝑎1𝑘𝑎𝑘3 =
5
𝑘=1
𝑎11𝑎13 + 𝑎12𝑎23 + 𝑎13𝑎33 + 𝑎14𝑎43 + 𝑎15𝑎53 
 
𝑐13 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 
Logo existem 2 caminhos que transmitem em 𝑐13 , 1 → 2 → 3 e 1 → 4 → 3. 
 
c) Note que essa resposta está no enunciado do exercício: 
O elemento nulo significa que não há transmissão, o elemento igual a 1 há 
transmissão por 1 caminho que envolve 3 setores, logo cada valor dos elementos 
dizem a quantidade de caminhos para que ocorra a transmissão e como cada 
caminhos contém 3 setores envolvidos basta multiplicar a quantidade de caminhos 
por 3 e obterá a quantidade de setores envolvidos na transmissão.