Matrizes: Definições e Operações

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Matrizes
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
14 de agosto de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Matrizes
Definic¸a˜o
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas
e colunas. Exemplo:
Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1, 70 70 23
Pessoa 2 1, 75 60 45
Pessoa 3 1, 60 52 25
Pessoa 4 1, 81 72 30
=⇒

1, 70 70 23
1, 75 60 45
1, 60 52 25
1, 81 72 30

Muito u´til para grandes quantidades de dados =⇒ Manipulac¸a˜o
computacional.
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Outros exemplos: 2x −12 3
0 x
 , [1 2 0] , [2] , · · ·
Notac¸a˜o: as matrizes sera˜o denotadas por uma letra maiu´scula
A,B, · · ·
A ordem de uma matriz e´ o nu´mero de linhas m e colunas n da
mesma. Eventualmente escreveremos Am×n. Ex:
A2×3 =
[
1 0 −4
4 −3 2
]
.
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Elementos
Os elementos de A sa˜o denotados pelas letras minu´sculas aij :
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 ≡ [aij ]m×n
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Tipos de matrizes
Matriz quadrada: m = n 1 2 34 5 6
7 8 9
 , [3] , · · ·
Matriz nula: aij = 0 , ∀ i , j
03×3 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 , 03×5 =
 0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 , · · ·
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Tipos de matrizes
Matriz coluna: n = 1  14
7
 , [ x
y
]
, · · ·
Matriz linha: m = 1[
1 2 3
]
,
[
2 1
]
, · · ·
Matriz diagonal: m = n e aij = 0 se i 6= j
 1 0 00 4 0
0 0 3
 ,

a11 0 0 · · ·
0 a22 0 · · ·
...
. . .
...
0 0 · · · ann
 , · · ·
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Tipos de matrizes
Matriz identidade quadrada: m = n, aii = 1 e aij = 0 se i 6= j
I1 = [1] , I2 =
[
1 0
0 1
]
, In =
n︷ ︸︸ ︷
1 0 0 · · ·
0 1 0 · · ·
...
. . .
...
0 0 · · · 1
 , · · ·
Matriz triangular superior: m = n, aij = 0 se i > j
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Tipos de matrizes
Matriz triangular inferior: m = n, aij = 0 se i < j
Matriz sime´trica m = n, aij = aji
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Operac¸o˜es com matrizes
Adic¸a˜o: A soma de duas matrizes da mesma ordem Am×n = [aij ] e
Bm×n = [bij ] e´ uma matriz Cm×n = [cij ].
A + B = [aij + bij ]m×n = C .
Exemplo:
Propriedades
Sejam A, B e C matrizes m × n
i) A + B = B + A (comutatividade);
ii) A + (B + C ) = (A + B) + C (associatividade);
iii) A + 0 = 0 + A = A (aqui a ordem da matriz nula
deve ser a mesma de A).
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Operac¸o˜es com matrizes
Multiplicac¸a˜o por escalar: Seja A = [aij ]m×n e k um nu´mero,
kA = [kaij ]m×n
Propriedades
Dadas A e B duas matrizes m × n e k , k1 e k2 nu´meros,
i) k(A + B) = kA + kB;
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A;
iii) 0Am×n = 0m×n;
iv) k1(k2A) = (k1k2)A
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Operac¸o˜es com matrizes
Transposic¸a˜o: Seja A = [aij ]m×n. A transposta de A, denotada por
AT , e´ igual a AT = [bij ]n×m, onde bij = aji . Exemplo
A =
 1 42 5
3 6
 , AT = [ 1 2 3
4 5 6
]
[
1 2
3 4
]T
=
[
1 3
2 4
]
,
[
1
2
]T
=
[
1 2
]
.
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Operac¸o˜es com matrizes
Propriedades
i) Uma matriz A e´ sime´trica se e somente se A = AT ;
ii)
(
AT
)T
= A;
iii) (A + B)T = AT + BT ;
iv) (kA)T = kAT , sendo k um nu´mero.
Multiplicac¸a˜o: Sejam A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p, enta˜o
C = AB = [cuv ]m×p , onde
cuv =
n∑
k=1
aukbkv = au1b1v + au2b2v + · · ·+ aunbnv .
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Operac¸o˜es com matrizes
Exemplos
A2×3 =
[
a11 a12 a13
a21 a22 a23
]
, B3×2 =
 b11 b12b21 b22
b31 b32
 , AB =?
Propriedades
i) Em geral AB 6= BA;
ii) InAn×p = An×p = An×pIp;
iii) A(B + C ) = AB + AC , (A + B)C = AC + BC
(distributividade);
iv) (AB)C = A(BC ) (associatividade);
v) (AB)T = BTAT ;
vi) 0m×nAn×p = 0m×p = Am×n0n×p
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Definic¸o˜es
Exemplo para i)
Matrizes particionadas:
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Definic¸o˜es
Trac¸o de uma matriz: Seja A = [aij ]m×m,
tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann =
m∑
k=1
akk .
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Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.3 Livro texto
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Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.3 Livro texto
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Respostas Sec¸a˜o 1.3 Livro texto
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