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Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Fa´bio S. Bemfica EC&T - UFRN 16 de agosto de 2012 Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Equac¸o˜es lineares Sejam n varia´veis xi , i = 1, · · · , n. A equac¸a˜o linear que relaciona essas varia´veis, na sua forma mais geral, e´: n∑ i=1 aixi = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b , onde os a′i s sa˜o os coeficientes da equac¸a˜o. Exemplos: x + 2y + z = 10 , y = 1 2 z + 20x , x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 8 , etc. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Equac¸o˜es na˜o-lineares Exemplos de equac¸o˜es que na˜o sa˜o lineares: y = √ x + z , y = x r + 6 , r 6= 1 , y = 1 x + 10 , y = 10x + 4 , y = xz + 10 , y = sin x . Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Soluc¸a˜o de equac¸o˜es lineares Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b e´ um conjunto S = {s1, s2, · · · , sn} tal que x1 = s1 , x2 = s2 , · · · , xn = sn satisfaz a equac¸a˜o linear acima. O conjunto S e´ chamado conjunto-soluc¸a˜o. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Sistemas Lineares Um conjunto finito de equac¸o˜es lineares nas varia´veis x1 , · · · , xn e´ chamada de um sistema de equac¸o˜es lineares ou simplesmente sistema linear. Soluc¸a˜o do sistema: Um conjunto S = {s1, s2, · · · , sn} e´ uma soluc¸a˜o do sistema se x1 = s1 , x2 = s2 , · · · , xn = sn satisfizer o nu´mero finito de equac¸o˜es lineares. Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Sistema linear arbitra´rio Um sistema arbitra´rio de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas xi (i = 1, · · · , n) e´ descrito por a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm Em termos matriciais a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bm . Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Matrizes Aumentadas Outra forma de escrever o sistema de equac¸o˜es lineares a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm e´ atrave´s da ide´ia de matrizes aumentadas: a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 ... ... . . . ... ... am1 am2 · · · amn bm . Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Operac¸o˜es com Equac¸o˜es Lineares/Matrizes Aumentadas As seguintes operac¸o˜es com Equac¸o˜es Lineares/Matrizes Aumentadas podem ser realizadas: 1. Multiplicar uma Equac¸a˜o/Linha inteira por uma constante na˜o nula; 2. Trocar duas Equac¸o˜es/Linhas entre si; 3. Somar um mu´ltiplo de um Equac¸a˜o/Linha a uma outra Equac¸a˜o/Linha Exemplo: (1) x + y + 2z = 9 (2) 2x + 4y − 3z = 1 (3) 3x + 6y − 5z = 0 1 1 2 92 4 −3 1 3 6 −5 0 Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.1 Livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Exerc´ıcios Sec¸a˜o 1.1 Livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Respostas Sec¸a˜o 1.1 Livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
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