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Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Fa´bio S. Bemfica EC&T - UFRN 30 e 31 de agosto de 2012 Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Vimos que se uma matriz Bn×n resulta da multiplicac¸a˜o de uma linha inteira ou de uma coluna inteira de uma outra matriz An×n por k , enta˜o det(Bn×n) = k det(An×n). No entanto, se Bn×n = kAn×n, isso significa que B resulta da multiplicac¸a˜o das n linhas de A por k. Como resultado obtemos det(Bn×n) = det(kAn×n) = kn det(An×n) . Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Propriedade : det(A + B) 6= det(A) + det(B) Exemplo: Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Theorem (Teorema 2.3.1) Sejam A, B e C matrizes n × n que diferem somente em uma u´nica linha, digamos a r-e´sima, e suponha que a r-e´sima linha de C pode ser obtida somando-se as entradas correspondentes nas r -e´simas linhas de A e B. Enta˜o det(C ) = det(A) + det(B). O mesmo resultado vale para colunas. Demonstrac¸a˜o. Cada elemento de C e´ cij = aij = bij quando i 6= r , com a excec¸a˜o de que crj = arj + brj . Sendo assim det(C ) = n∑ j1,··· ,jn ji 6=jk∀i,k=1···n (−1)Ja1j1a2j2 · · · (arjr + brjr ) · · · anjn = det(A) + det(B) . Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Theorem (Determinante do Produto de Matrizes) Sejam A e B duas matrizes n × n invert´ıveis. Enta˜o det(AB) = det(A) det(B) . Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio de leitura. Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Theorem (Teorema 2.3.3) Uma matriz A e´ invert´ıvel se e somente se det(A) 6= 0 E´ fa´cil verificar essa propriedade ja´ que a forma escalonada reduzida de A e´ R = Ek · · ·E2E1A . Mostramos que det(R) = det(Ek) · · · det(E2) det(E1) det(A) . Enta˜o, como o determinante de uma matriz elementar sa˜o na˜o-nulos, sabemos que A possuira´ inversa se e somente se a forma reduzida R = I , o que implica em det(R) = det(I ) = 1 e, em consequ¨eˆncia, det(A) 6= 0. Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Propriedades da Func¸a˜o Determinante Theorem (Teorema 2.3.5) Se A e´ invert´ıvel enta˜o det(A−1) = 1 det(A) Demonstrac¸a˜o. A prova e´ simples. Pela definic¸a˜o de inversa A−1A = AA−1 = I . O determinante det(AA−1) = det(A) det(A−1) = det(I ) = 1. Sendo assim det(A−1) = 1/ det(A). Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Menores e co-fatores: Vimos que o determinante de A, onde As expresso˜es entre pareˆnteses acima sa˜o os determinantes: Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Menores e co-fatores Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o o determinante menor da entrada aij , ou simplesmente o menor de aij , e´ denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna de A. O nu´mero (−1)i+jMij e´ denotado por Cij e e´ chamado o co-fator de aij Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Expansa˜o em co-fatores O determinante de uma matriz A de tamanho n × n pode ser calculado multiplicando as entradas de qualquer linha (ou qualquer coluna) pelos seus co-fatores e somando os produtos resultantes, ou seja, para quaisquer 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n, det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj e det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin . Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Expansa˜o em Co-Fatores Sec¸a˜o 2.4 Expansa˜o em co-fatores - Exemplo 5 A soma dos produtos das entradas de uma linha pelos co-fatores de uma outra linha e´ sempre igual a zero, ou seja, para quaisquer 1 ≤ i 6= j ≤ n, ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn = 0 . Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Matriz Adjunta Matriz Adjunta Se A e´ uma matriz n × n e Cij e´ o co-fator de aij , enta˜o a matriz C = C11 C12 · · · C1n C21 C22 · · · C2n ... ... ... Cn1 Cn2 · · · Cnn e´ chamada de matriz de co-fatores de A. A transposta desta matriz e´ chamada de adjunta de A e denotada por adj(A) = CT . Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Inversa de Uma Matriz Atrave´s da Adjunta Theorem (Teorema 2.4.2) Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o A−1 = 1 det(A) adj(A) . Demonstrac¸a˜o. Para tanto, verifiquemos que Aadj(A) = det(A)I (no quadro). Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Regra de Cramer Theorem (Teorema 2.4.3) Se A~x = ~b e´ um sistema de n equac¸o˜es lineares em n inco´gnitas tal que det(A) 6= 0, enta˜o o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. Esta soluc¸a˜o e´ x1 = det(A1) det(A) , x2 = det(A2) det(A) , · · · , xn = det(An) det(A) , onde Aj e´ a matriz obtida substituindo as entradas da j-e´sima coluna de A pelas entradas da matriz ~b = b1 b2 ... bn . Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Regra de Cramer Demonstrac¸a˜o. A soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ ~x = A−1~b = 1 det(A) adj(A)~b , sendo que xi = 1 det(A) n∑ j=1 adj(A)ijbj = 1 det(A) n∑ j=1 bjMji , onde a soma ∑n j=1 bjMji e´, por definic¸a˜o, o determinante da matriz Ai ≡ [ ~a1~a2 · · · ~ai−1 ~b~ai+1 · · · ~an ] , sendo ~ak a k-e´sima coluna de A. Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Regra de Cramer Exemplo Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.3 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.3 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.4 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.4 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Respostas Referentes a`s Sec¸o˜es 2.3 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer Respostas Referentes a`s Sec¸o˜es 2.4 do livro texto Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
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