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Propriedades do Determinante
e Regra de Cramer
Fa´bio S. Bemfica
EC&T - UFRN
30 e 31 de agosto de 2012
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Vimos que se uma matriz Bn×n resulta da multiplicac¸a˜o de uma linha
inteira ou de uma coluna inteira de uma outra matriz An×n por k , enta˜o
det(Bn×n) = k det(An×n). No entanto, se Bn×n = kAn×n, isso significa
que B resulta da multiplicac¸a˜o das n linhas de A por k. Como resultado
obtemos
det(Bn×n) = det(kAn×n) = kn det(An×n) .
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Propriedade : det(A + B) 6= det(A) + det(B)
Exemplo:
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Theorem (Teorema 2.3.1)
Sejam A, B e C matrizes n × n que diferem somente em uma u´nica linha,
digamos a r-e´sima, e suponha que a r-e´sima linha de C pode ser obtida
somando-se as entradas correspondentes nas r -e´simas linhas de A e B.
Enta˜o
det(C ) = det(A) + det(B).
O mesmo resultado vale para colunas.
Demonstrac¸a˜o.
Cada elemento de C e´ cij = aij = bij quando i 6= r , com a excec¸a˜o de que
crj = arj + brj . Sendo assim
det(C ) =
n∑
j1,··· ,jn
ji 6=jk∀i,k=1···n
(−1)Ja1j1a2j2 · · · (arjr + brjr ) · · · anjn = det(A) + det(B) .
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Theorem (Determinante do Produto de Matrizes)
Sejam A e B duas matrizes n × n invert´ıveis. Enta˜o
det(AB) = det(A) det(B) .
Demonstrac¸a˜o.
Exerc´ıcio de leitura.
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Theorem (Teorema 2.3.3)
Uma matriz A e´ invert´ıvel se e somente se det(A) 6= 0
E´ fa´cil verificar essa propriedade ja´ que a forma escalonada reduzida de A e´
R = Ek · · ·E2E1A .
Mostramos que
det(R) = det(Ek) · · · det(E2) det(E1) det(A) .
Enta˜o, como o determinante de uma matriz elementar sa˜o na˜o-nulos,
sabemos que A possuira´ inversa se e somente se a forma reduzida R = I , o
que implica em det(R) = det(I ) = 1 e, em consequ¨eˆncia, det(A) 6= 0.
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Propriedades da Func¸a˜o Determinante
Theorem (Teorema 2.3.5)
Se A e´ invert´ıvel enta˜o
det(A−1) =
1
det(A)
Demonstrac¸a˜o.
A prova e´ simples. Pela definic¸a˜o de inversa A−1A = AA−1 = I . O
determinante det(AA−1) = det(A) det(A−1) = det(I ) = 1. Sendo assim
det(A−1) = 1/ det(A).
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Menores e co-fatores: Vimos que o determinante de A, onde
As expresso˜es entre pareˆnteses acima sa˜o os determinantes:
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Menores e co-fatores
Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o o determinante menor da entrada
aij , ou simplesmente o menor de aij , e´ denotado por Mij e definido como
o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-e´sima linha
e a j-e´sima coluna de A. O nu´mero (−1)i+jMij e´ denotado por Cij e e´
chamado o co-fator de aij
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Expansa˜o em co-fatores
O determinante de uma matriz A de tamanho n × n pode ser calculado
multiplicando as entradas de qualquer linha (ou qualquer coluna) pelos
seus co-fatores e somando os produtos resultantes, ou seja, para quaisquer
1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n,
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj
e
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin .
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Expansa˜o em Co-Fatores
Sec¸a˜o 2.4
Expansa˜o em co-fatores - Exemplo 5
A soma dos produtos das entradas de uma linha pelos co-fatores de uma
outra linha e´ sempre igual a zero, ou seja, para quaisquer 1 ≤ i 6= j ≤ n,
ai1Cj1 + ai2Cj2 + · · ·+ ainCjn = 0 .
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Matriz Adjunta
Matriz Adjunta
Se A e´ uma matriz n × n e Cij e´ o co-fator de aij , enta˜o a matriz
C =

C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
...
...
...
Cn1 Cn2 · · · Cnn

e´ chamada de matriz de co-fatores de A. A transposta desta matriz e´
chamada de adjunta de A e denotada por adj(A) = CT .
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Inversa de Uma Matriz Atrave´s da Adjunta
Theorem (Teorema 2.4.2)
Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o
A−1 =
1
det(A)
adj(A) .
Demonstrac¸a˜o.
Para tanto, verifiquemos que Aadj(A) = det(A)I (no quadro).
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Regra de Cramer
Theorem (Teorema 2.4.3)
Se A~x = ~b e´ um sistema de n equac¸o˜es lineares em n inco´gnitas tal que
det(A) 6= 0, enta˜o o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. Esta soluc¸a˜o e´
x1 =
det(A1)
det(A)
, x2 =
det(A2)
det(A)
, · · · , xn = det(An)
det(A)
,
onde Aj e´ a matriz obtida substituindo as entradas da j-e´sima coluna de A
pelas entradas da matriz
~b =

b1
b2
...
bn
 .
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Regra de Cramer
Demonstrac¸a˜o.
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´
~x = A−1~b =
1
det(A)
adj(A)~b ,
sendo que
xi =
1
det(A)
n∑
j=1
adj(A)ijbj =
1
det(A)
n∑
j=1
bjMji ,
onde a soma
∑n
j=1 bjMji e´, por definic¸a˜o, o determinante da matriz
Ai ≡
[
~a1~a2 · · · ~ai−1 ~b~ai+1 · · · ~an
]
,
sendo ~ak a k-e´sima coluna de A.
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Regra de Cramer
Exemplo
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.3 do livro texto
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.3 do livro texto
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.4 do livro texto
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Exerc´ıcios Referentes a` Sec¸a˜o 2.4 do livro texto
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Respostas Referentes a`s Sec¸o˜es 2.3 do livro texto
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer
Respostas Referentes a`s Sec¸o˜es 2.4 do livro texto
Fa´bio Sperotto Bemfica Propriedades do Determinante e Regra de Cramer

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