Aula5_parte2

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• Assumindo Y(z) ser a transformada z da resposta de um 
sistema, e aplicando a transformada z à expressão da 
convolução: 
 
 
 
• Introduzindo a troca de variáveis n = m + k 
 
Função de Transferência 
• O primeiro termo é a transformada z da resposta ao 
impulso do sistema: 
 
 
 
• E o segundo é a transformada z da entrada, logo: 
 
 
 
• Se a ROC de H(z) incluir o círculo unitário: 
 
 
Função de Transferência 
Resposta em Frequência 
do Sistema 
• Quando a ROC inclui o círculo unitário, existe a 
transformada discreta de Fourier, portanto, 
 
 
apenas quando a ROC de H(z) incluir o círculo unitário. 
 
 
 
 
Resposta em Frequência 
Resposta em Frequência 
• Exemplo – Encontre a resposta em frequência 
do seguinte sistema : 
 
▫ A Transformada Z é: 
 
 
Assim: 
Resposta em Frequência 
• Exemplo: 
▫ Resposta em Amplitude 
 
 
 
 
▫ Resposta em Fase: 
Periódico! 
Estabilidade 
• Estabilidade no plano Z: 
▫ Estável: se todos os polos estiverem dentro do círculo 
de raio unitário no plano Z, ou seja, se a ROC incluir o 
círculo unitário. 
 
▫ Marginalmente estável: se polos de multiplicidade um 
estiverem sobre a circunferência de raio unitário, 
estando os demais dentro do círculo de raio unitário. 
 
▫ Instável: se algum polo estiver fora do círculo de raio 
unitário e/ou existirem polos de multiplicidade maior 
do que um sobre a circunferência de raio unitário. 
Estabilidade 
• ROC de um sistema causal estável: 
Estabilidade de Sistemas Causais 
• Para sistemas LTI causais, a ROC de H(z) é 
delimitada pelo seu polo mais afastado da 
origem. 
• Logo, H(z) será estável, se e somente se, todos os 
polos estiverem situados no interior do círculo 
unitário. 
Estabilidade de Sistemas Causais 
• Exemplo 6: Um sistema causal 
• Polos: ¼ e ½ 
• Zeros: -1/2 ± j 3/2 
• ROC: |z|>1/2 
• Sistema estável 
• Os sistemas com mesmo H(z), mas ROC 
¼<|z|<1/2 e |z| < ¼ são não causais e 
instáveis. 
Estabilidade de Sistemas Causais 
• Exemplo 7: Um sistema não causal 
• Polos: -3/2 e ½ 
• Zeros: 0 e ∞ 
• ROC: ½<|z|<3/2 
• Sistema estável 
• ROC: |z| > 3/2 => causal e instável 
• Se ROC: |z| < ½ => não-causal e 
instável 
Propriedades da Transformada Z 
• Linearidade: 
 
 
• Inversão no tempo: 
 
 
• Deslocamento no tempo: 
 
 
• Multiplicação por sequência exponencial: 
 
 
Propriedades da Transformada Z 
• Convolução: 
 
 
• Diferenciação no domínio z 
 
• Valor inicial: 
 
• Valor final: 
Filtros Digitais 
• Vantagens: 
▫ São programáveis (não é necessário mudar o 
circuito como no caso de filtros analógicos) 
▫ Fáceis de implementar e de serem testados 
▫ Mudança de temperatura não acarreta em 
alterações de seu funcionamento 
▫ Mais flexíveis, podendo ser adaptativos 
 
 
 
Filtros Digitais 
• FIR (Filtros de Resposta ao Impulso Finita) 
 
 
 
• IIR (Filtros de Resposta ao Impulso Infinita) 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Resposta em Frequência – Diagrama 
Vetorial 
 
Filtros Digitais 
 
Exercícios 
• 5.1.1; 
• 5.1.2 a,c,e,g; 
• 5.1.4 a,b,e,g; 
• 5.1.5 a,b,e,f; 
• 5.1.6 a; 
• 5.2.2; 
• 5.2.9; 
• 5.3.2 
• 5.3.5 
• 5.3.11 
• 5.3.23 a; 
• 5.5-4 
• 5.5-9 
• 5.6-1 
• 5.6-7 
• 5.9-3 
• 5.9-4