Máximos e Mínimos Absolutos - Cálculo

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MAT 01339 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica para Arquitetos 2015/1
MA´XIMOS E MI´NIMOS ABSOLUTOS
1. Definic¸o˜es
Seja f uma func¸a˜o com domı´nio D e x0 ∈ D
a) Dizemos que ocorre o ma´ximo absoluto de f em x0 se, e somente se, f (x0) ≥ f (x) para todo
x ∈ D.
Neste caso, dizemos que f (x0) e´ o valor ma´ximo absoluto de f .
b) Dizemos que ocorre o mı´nimo absoluto de f em x0 se, e somente se, f (x0) ≤ f (x) para todo
x ∈ D.
Neste caso, dizemos que f (x0) e´ o valor mı´nimo absoluto de f .
2. Exemplos
a) f (x) = x2+3 tem domı´nio R e sabemos que f (x) = x2+3 ≥ 3 = f (0) , para todo x ∈ R. Portanto,
ocorre o mı´nimo absoluto de f em x0 = 0 e o valor mı´nimo absoluto de f e´ 3. Entretanto, f na˜o
possui ma´ximo absoluto.
b) f (x) = 5−x2 tem domı´nio R e sabemos que f (x) = 5−x2 ≤ 5 = f (0) , para todo x ∈ R. Portanto,
ocorre o ma´ximo absoluto de f em x0 = 0 e o valor ma´ximo absoluto de f e´ 5. Entretanto, f na˜o
possui mı´nimo absoluto.
c) f (x) = cos (x) tem domı´nio R e sabemos que cos (−pi) = −1 ≤ cos (x) ≤ 1 = cos (0) , para
todo x ∈ R. Portanto, o valor mı´nimo absoluto de f e´ −1 e o valor ma´ximo absoluto de f e´
1. Ale´m disso, como valem as igualdades cos (−pi) = cos (−pi + 2npi) e cos (0) = cos (2npi) , para
todo n inteiro, enta˜o existem infinitos pontos do domı´nio onde ocorre o valor ma´ximo absoluto 1
e infinitos pontos do domı´nio onde ocorre o valor mı´nimo absoluto −1.
d) Se consideramos f (x) = cos (x) , com Dom (f) =
[
0, 3pi
2
]
, o ma´ximo absoluto de f ocorre em
x = 0, que e´ o extremo esquerdo do Domı´nio e o mı´nimo absoluto de f ocorre em x = pi, que na˜o
e´ extremo do Domı´nio.
e) f (x) = x + 3 tem domı´nio e imagem iguais a R, pois seu gra´fico e´ uma reta na˜o horizontal.
Portanto, na˜o possui ma´ximo absoluto nem mı´nimo absoluto.
f) Se consideramos a mesma func¸a˜o do exemplo anterior, f (x) = x+3, mas tomamos como domı´nio
de f o intervalo fechado [0, 2] , enta˜o temos 3 ≤ x + 3 ≤ 5, para todo x ∈ [0, 2] ou seja, f (0) ≤
f (x) ≤ f (5) para todo x ∈ [0, 2] . Portanto, ocorre o mı´nimo absoluto de f em x = 0 e o ma´ximo
absoluto de f em x = 3.
Os exemplos acima mostram que uma func¸a˜o pode, ou na˜o, possuir ma´ximo ou mı´nimo absolutos.
Mostram tambe´m que, quando consideramos como domı´nio da func¸a˜o um intervalo fechado, o ma´ximo
ou o mı´nimo podem ocorrer nos extremos do intervalo ou em pontos interiores do intervalo.
3. Resultados
O Teorema 1 apresenta condic¸o˜es suficientes para garantir a existeˆncia de ma´ximo e mı´nimo absolutos.
Teorema 1: Se f e´ uma func¸a˜o que possui derivada em todos os pontos do intervalo aberto I e se o
intervalo fechado [a, b] esta´ contido em I, enta˜o f possui ma´ximo absoluto e tambe´m mı´nimo absoluto
em [a, b] , isto e´, existem x0 e x1 em [a, b] , tais que f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1) , para todo x ∈ [a, b] .
Ja´ sabemos que, quando consideramos Dom (f) = [a, b] , o ma´ximo ou o mı´nimo absolutos de f podem
ocorrer em a, ou em b, ou em pontos interiores do intervalo, isto e´, em pontos do intervalo aberto
(a, b) .
O pro´ximo resultado indica quais sa˜o os pontos de um intervalo aberto nos quais pode ocorrer um
ma´ximo ou um mı´nimo absoluto de uma func¸a˜o.
Teorema 2: Seja I um intervalo aberto e f uma func¸a˜o definida em todos os pontos de I. Se o ma´ximo
(ou mı´nimo) absoluto de f ocorre em um ponto x0 ∈ I, enta˜o ocorre um ma´ximo (ou mı´nimo) relativo
de f em x0, portanto f
′ (x0) = 0 ou f
′ (x0) na˜o existe.
Reunindo os exemplos acima com o resultado do Teorema 2, conclu´ımos que:
– os poss´ıveis pontos de ma´ximo ou mı´nimo absoluto de f em um intervalo fechado [a, b] , sa˜o os
extremos do intervalo ou os pontos interiores nos quais a derivada e´ nula ou na˜o existe;
– os poss´ıveis pontos de ma´ximo ou mı´nimo absoluto de f em um intervalo aberto I, sa˜o os pontos
de I nos quais a derivada e´ nula ou na˜o existe.
A diferenc¸a fundamental entre estes dois casos e´ que, no primeiro, sabemos que o ma´ximo e tambe´m
o mı´nimo absolutos existem, ao passo que, no segundo caso, podem existir os dois, apenas um deles
ou nenhum.
O pro´ximo Teorema apresenta condic¸o˜es suficientes para garantir a existeˆncia de ma´ximo ou de mı´nimo
absoluto de uma func¸a˜o em um intervalo aberto I, quando ali existe apenas um ponto no qual e´ poss´ıvel
ocorrer ma´ximo ou mı´nimo absoluto.
Teorema 3: Seja f uma func¸a˜o deriva´vel em todos os pontos do intervalo aberto I e x0 o u´nico ponto
de I no qual a derivada se anula.
Enta˜o:
– se f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I, x < x0 e f ′ (x) < 0 para todo x ∈ I, x > x0, enta˜o ocorre um
ma´ximo absoluto de f em x0;
– se f ′ (x) < 0 para todo x ∈ I, x < x0 e f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I, x > x0, enta˜o ocorre um
mı´nimo absoluto de f em x0;
– se o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima em I, enta˜o ocorre um mı´nimo absoluto de f em x0;
– se o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo em I, enta˜o ocorre um ma´ximo absoluto de f em x0.
Observac¸a˜o: Procedimento para determinac¸a˜o do ma´ximo ou mı´nimo absoluto de uma func¸a˜o:
No caso do Dom (f) ser um intervalo fechado, sabemos que existe al´ı ma´ximo absoluto e tambe´m
mı´nimo absoluto e, neste caso, listamos os pontos onde isto pode ocorrer, que sa˜o os extremos do
intervalo e mais os pontos interiores onde a derivada na˜o existe ou se anula. Entre estes pontos esta˜o
o ma´ximo e tambe´m o mı´nimo absoluto. Para determina´-los, basta enta˜o calcular a func¸a˜o em cada
um destes pontos. O maior valor encontrado sera´ o ma´ximo absoluto e o menor valor sera´ o mı´nimo
absoluto.
No caso do Dom (f) ser um intervalo aberto, determinamos os pontos onde pode ocorrer ma´ximo ou
mı´nimo absoluto, que sa˜o os pontos onde a derivada se anula ou na˜o existe. Se tivermos apenas um
ponto nesta situac¸a˜o, aplicamos algum dos procedimentos do Teorema 3. Se tivermos mais de um
ponto onde pode ocorrer ma´ximo ou mı´nimo absoluto, teremos que obter mais informac¸o˜es sobre o
gra´fico de f, para podermos decidir. Certmente, com o gra´fico desenhado poderemos decidir se existem
ou na˜o ma´ximos ou mı´nimos absolutos.
4. Exemplos:
Roteiro para resoluc¸a˜o de problemas envolvendo a determinac¸a˜o de ma´ximos ou mı´nimos:
1- determine a func¸a˜o a ser maximizada ou minimizada: deˆ nome a`s varia´veis e utilize as restric¸o˜es
para obter uma das varia´veis como func¸a˜o da outra e determinar seu domı´nio
2- determine os pontos nos quais podera˜o ocorrer ma´ximos ou mı´nimos absolutos;
3- justifique a ocorreˆncia de ma´ximo ou mı´nimo absoluto.
a) Em um jardim retangular, com lados medindo 10 e 15 me-
tros, sera´ colocada uma cerca, fixada nos pontos A,B e C
indicados na figura, para delimitar dois canteiros que apare-
cem hachurados na figura ao lado.
Sabendo que o ponto A esta´ exatamente no meio do lado
menor, determine a medida x do cateto, indicada na figura,
que torna mı´nimo o comprimento da cerca. x
A
B
C
b
b
b
1- Determinac¸a˜o da func¸a˜o a ser minimizada:
Inicialmente, observamos que deve ser minimizado o comprimento da cerca. Chamando de
L este comprimento, temos:
L =
√
x2 + 25 +
√
(15− x)2 + 100 com 0 ≤ x ≤ 15.
2- Determinac¸a˜o dos pontos nos quais podera´ ocorrer ma´ximos ou mı´nimos absolutos:
Iniciamos calculando a derivada de L :
L′ =
x√
25 + x2
− 15− x√
(15− x)2 + 100
, para todo x ∈ R.
L′ = 0⇔ x√
25 + x2
− 15− x√
(15− x)2 + 100
= 0⇔ x√
25 + x2
=
15− x√
(15− x)2 + 100
Elevando ao quadrado ambos os lados da u´ltima igualdade, temos:
x2
25 + x2
=
(15− x)2
(15− x)2 + 100
, de onde obtemos
x2
(
15− x2
)
+ 100x2 = x2
(
15− x2
)
+
(
15− x2
)
25
Simplificando a equac¸a˜o, desenvolvendo os quadrados e agrupando os termos comuns, obte-
mos:
x2 + 10x− 75 = 0, cujas ra´ızes sao x = 5 e x = −15
Portanto, no intervalo (0, 10) , o u´nico ponto que anula a derivada e´ x = 5.
Assim, ospontos do intervalo [0, 10] nos quais podera´ ocorrer o mı´nimo absoluto sa˜o:
– os extremos do intervalo: 0 e 15;
– os pontos interiores nos quais a derivada se anula: 5.
3- Justificativa de que trata-se de mı´nimo absoluto:
Como L e´ possui derivada em todo R e x varia no intervalo fechado [0, 15] , enta˜o, pelo
Teorema 1, existe o mı´nimo ( e tambe´m o ma´ximo) absoluto de L neste intervalo, que devera´
ocorrer em um dos extremos do intervalo ou em um ponto interior no qual a derivada e´ nula,
uma vez que a derivada sempre existe.
Calculamos enta˜o o valor de L para estes valores de x:
L (0) = 5 +
√
325 ≈ 23, 0277; L (5) = 15
√
2 ≈ 21, 2132; L (15) =
√
250 + 10 ≈ 25, 8113.
Portanto, o valor mı´nimo do comprimento da cerca e´ 23, 0277m, que ocorre quando x = 5.
b) Uma caixa com 108cm3 de volume sera´ constru´ıda com dois tipos de materiais. No topo e na
base, que sa˜o ambos quadrados, sera´ usado um material que custa R$1,00 por cm2 e nas laterais,
um material que custa R$2,00 por cm2.
Determine as dimenso˜es da caixa que minimizam o custo da mesma.
1- Determinac¸a˜o da func¸a˜o a ser minimizada:
Devemos minimizar o custo da caixa. Chamando de C o custo, de x o comprimento da aresta
da base e de y a altura da caixa, temos:
C = custo da base + custo da tampa + custo lateral = x2 + x2 + 2× 4xy
Entretanto, temos as seguintes restric¸o˜es:
x ≥ 0, pois e´ uma medida de comprimento;
y ≥ 0, pois e´ uma medida de comprimento
108 = volume da caixa= x2y
Da´ı, conclu´ımos que:
x > 0, y > 0 e y =
108
x2.
Substituindo na expressa˜o do custo, obtemos:
C = 2x2 + 8x
108
x2
= 2x2 +
8× 108
x
com domı´nio (0,+∞)
Note que, neste exemplo, a restric¸a˜o y > 0 na˜o impo˜e mais restric¸o˜es ao x.
2- Determinac¸a˜o dos pontos onde pode ocorrer ma´ximos ou mı´nimos absolutos:
Iniciamos calculando a derivada de C :
C ′ = 4x− 8× 108
x2
, existe para todo x > 0
C ′ = 0⇔ 4x = 8× 108
x2
⇔ x3 = 8× 108
4
= 216⇔ x = 6
3- Justificativa de que trata-se de mı´nimo absoluto:
Como o domı´nio e´ um intervalo aberto e temos apenas um ponto no qual pode ocorrer
mı´nimo absoluto, podemos aplicar um dos itens do Teorema 3. Vamos estudar a concavidade
do gra´fico da func¸a˜o custo.
Calculando C ′′, obtemos:
C ′′ = 4 +
16× 108
x3
, que e´ sempre positiva para x > 0.
Enta˜o, a concavidade e´ sempre voltada para cima e, pelo Teorema 3, ocorre um ma´ximo
absoluto em x = 6.
Portanto, as dimenso˜es da caixa de maior volume sa˜o x = 6cm e y =
108
36
cm = 3cm.