Capítulo_4_-_Regra_de_Três

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Capítulo 4 Regra de Três 
Fundamentos de Matemática e Estatística Américo, Angelo, Geovane e Mafra 
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CAPÍTULO 4 
Regra de Três 
 
 
 
4.1 Introdução 
 
Boa parte dos problemas que surgem dentro da área Biomédica liga duas grandezas relacionadas 
de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a razão 
entre a massa e o volume de um corpo. Outros exemplos conhecidos são: a relação entre combustível 
gasto e número de quilômetros percorridos por um automóvel, o tempo gasto numa construção e o 
número de operários empregados, etc. 
A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas 
em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
4.2 Grandezas Diretamente Proporcionais 
 
Entendemos com grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. Por exemplo, comprimento, 
área, massa, tempo, etc. 
 
Grandezas diretamente proporcionais – Duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas 
se correspondem de tal modo que, multiplicando-se uma quantidade de uma delas por um número, a 
quantidade correspondente da outra fica multiplicada pelo mesmo número. 
De uma forma simbólica podemos dizer que uma proporcionalidade direta é uma função de ℝ em 
ℝ dada por: 
� = �. � 
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onde k é um número real constante, diferente de zero, chamado de constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo 1. Uma barra de alumínio de 100cm3 de volume pesa 270g; nas mesmas condições, uma 
barra de 200cm3 pesará 540g e uma de 300cm3, 810g. Podemos então, construir a seguinte tabela: 
 
 
Volume (cm3) 100 200 300 500 
Massa (g) 270 540 810 1350 
 
Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já que aumentando 
uma (volume), a outra (massa) também aumenta. Além disso, notamos que: 
 
270 540 810 1350
2,7
100 200 300 500
= = = = 
 
O valor 2,7 corresponde à massa específica do alumínio, expressa em g/cm3. Esta relação entre a 
massa e o volume de um corpo (ou substância) é denominada também de densidade. 
Chamando de x a grandeza volume e de y a grandeza massa, temos: 
 
y
2,7
x
= ou y 2,7x= 
 
Dizemos, neste caso, que as sequências de números (270, 540, 810, 1350) e (100, 200, 300, 500) 
são diretamente proporcionais ou então que as grandezas x e y são diretamente proporcionais e 2,7 é 
a constante de proporcionalidade desta relação. Em muitos casos, esta constante de proporcionalidade 
dá origem a algumas propriedades físicas que podem ser medidas experimentalmente, tais como: 
densidade, rotação específica e outras. 
 
Comentário: Sendo ( )1 1x , y e ( )2 2x , y pares de valores correspondentes a duas grandezas 
proporcionais, podemos garantir que vale a seguinte proporção: 
1 1
2 2
x y
x y
= 
que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais. 
 
4.3 Grandezas Inversamente Proporcionais 
 
Grandezas inversamente proporcionais – Duas grandezas são inversamente proporcionais quando 
elas se correspondem de tal modo que, multiplicando-se uma quantidade de uma delas por um 
número, a quantidade correspondente da outra fica dividido pelo mesmo número. 
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De uma forma mais simbólica podemos dizer que uma proporcionalidade inversa é uma função de 
ℝ em ℝ dada por: 
 
1
y k
x
= ⋅ 
 
onde k é um número real constante, diferente de zero. 
 
Exemplo 2. Uma distância de 1200km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 
100km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300km/h em 
4 horas. Podemos então, construir a seguinte tabela: 
 
 
Velocidade (km/h) 100 200 300 400 
Tempo (h) 12 6 4 3 
 
Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a 
velocidade o tempo diminui. Porém, agora temos: 
 
12 100 6 200 4 300 3 400 1200× = × = × = × = 
 
Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: 
 
y x 1200⋅ = ou 
1
y 1200
x
= ⋅ 
 
Dizemos, neste caso, que as sequências de números (100, 200, 300, 400) e (12, 6, 4, 3) são 
inversamente proporcionais ou então que as grandezas x e y são inversamente proporcionais e 1200 é 
a constante de proporcionalidade desta relação. 
 
2o Comentário: Sendo ( )1 1x , y e ( )2 2x , y pares de valores correspondentes a duas grandezas 
inversamente proporcionais, podemos garantir a validade da expressão: 
1 1 2 2x y x y⋅ = ⋅ 
que nos dá a propriedade característica das grandezas inversamente proporcionais. 
 
 
4.4 Regra de Três 
 
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou 
inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. 
 
 
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Exemplo 3. Comprei 6m de tecido por R$15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m do mesmo 
tecido? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 200 km/h, faz um determinado 
percurso em 2 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 
300 km/h? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5. Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. 
Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 Atividades 
Exercício 1. Para cada item abaixo, identifique o tipo de grandeza (diretamente ou inversamente 
proporcional): 
a) ( )20, 12, 10 e ( )6, 10, 12 
b) ( )1, 2, 5 e ( )4, 8, 20 
 
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Exercício 2. Considere a tabela abaixo, 
x 7 9 b 
y 21 a 39 
 
Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, 
a) Determine os valores de a e b. 
b) Marque os pares ordenados no sistema de eixos cartesianos, e depois trace uma reta 
passando pelos pontos. 
 
Exercício 3. Uma usina produz 350 litros de álcool com 5 toneladas de cana-de-açúcar. 
(a)Quantos litros ela produzirá com 12.500 kg de cana-de-açúcar? 
(b) Para produzir 8.750 litros de álcool são necessárias quantas toneladas de cana-de-açúcar? 
 
Exercício 4. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m², uma lancha com motor movido à 
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m², 
qual será a energia produzida? 
 
Exercício 5. Se cinco torneiras enchem um tanque em 450 minutos, 9 torneiras encheriam esse tanque 
em. 
 
Exercício 6. Em uma gráfica tem 5 máquinas iguais que imprimem 36.000 panfletos em 2 horas. Se 2 
dessas máquinas não estiverem funcionando, em quanto tempo as restantes fariam 27.000 exemplares 
do mesmo panfleto? 
 
Exercício 7. No mar, a pressão em cada ponto é diretamente proporcional à sua profundidade. Quando 
a profundidade é igual a 100 metros, a pressão correspondente é de 10,4 atmosferas. Determine a 
pressão � em um ponto situado a uma profundidade �. 
 
Exercício 8. Num programa de reflorestamento de um região, 4 homens, trabalhando 8 horas por dia, 
plantaram, em 10 dias, 6.000 mudas. Quantas horas por dia terão que trabalhar 6 homens para plantar 
9.000 mudas, em apenas 8 dias? 
 
Exercício 9. Se 1cL de álcool pesa 8g, quantos litros equivalem a 32,4kg de álcool?