Capítulo_7_-_Função_Afim

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Capítulo 7 Função Afim 
Fundamentos de Matemática Elementar Jhoab Negreiros 
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CAPÍTULO 7 
Função Afim 
 
 
 
7.1 A Função Afim 
 
Uma função �:ℝ → ℝ chama-se afim (ou polinomial do primeiro grau) quando existem 
constantes �, � ∈ ℝ tais que �	
� = �
 + � para todo 
 ∈ ℝ. 
 
• O número � da função afim � é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função �; 
• O número � da função afim � é chamado de coeficiente linear ou valor inicial da função �. 
 
Casos Particulares 
• Quando o coeficiente angular da função afim é igual a zero 	� = 0�, a função é dita constante e 
seu gráfico é uma reta horizontal passando pelo ponto 	0, ��; 
• Quando o coeficiente linear da função afim é igual a zero 	� = 0�, a função é dita linear e seu 
gráfico é uma reta que sempre passa pela origem; 
• Quando o coeficiente angular da função afim é igual a um 	� = 1� e o coeficiente linear é igual a 
zero 	� = 0�, a função é dita identidade. 
 
Exemplo 1. O preço a pagar por uma corrida de taxi é dado por uma função afim � = �
 + �, 
onde 
 é a distância percorrida, o valor inicial � é chamado de bandeirada e o coeficiente � é o 
preço da cada quilômetro rodado. 
Em particular se é cobrado R$ 5,40 de bandeirada e 2,20 por quilômetro rodado. Qual é o valor será cobrado 
em uma corrida de 25 quilômetros? 
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7.2 Gráfico de uma Função Afim 
 
O gráfico de uma função afim � = �
 + � é uma linha reta. Para verificar essa afirmação 
basta mostrar que três pontos quaisquer desse gráfico são colineares. 
 
Exemplo 2. Construir o gráfico da função ( ) 3 1f x x= − . 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Construir o gráfico da função �	
� = −2
 + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3 Taxa de Variação da Função Afim 
 
Dados 
, 
 + ℎ ∈ ℝ, com ℎ ≠ 0, a taxa de variação de uma função � no intervalo de 
extremos 
, 
 + ℎ é o número 
� =
�	
 + ℎ� − �	
�
ℎ
. 
 Uma função afim é crescente quando sua taxa de crescimento (o coeficiente �) é positiva, 
decrescente quando � é negativo e constante quando � é igual a zero. 
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 Para obter de forma prática o coeficiente angular � de uma função afim em que 
�	
�� = �� e �	
�� = �� com 
� ≠ 
� podemos utilizar a seguinte expressão 
� =
�� − ��
� − 
�
. 
 
Exemplo 4. Obtenha a taxa de variação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos ( 3, 12 ) e 
( 1, 2 ). 
 
 
 
Exemplo 5. Obtenha a taxa de variação da função afim cujo gráfico passa pelos pontos ( 4, – 6 ) e 
( 1, 3 ). 
 
 
 
7.4 Equação da reta 
 
A equação da reta � = �
 + � que passa pelos os pontos 	
�, ��� e 	
�, ���, não 
situados na mesma vertical com a taxa de variação � é dada pela expressão 
� = �� + �	
 − 
��. 
 
Exemplo 6. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto ( 5, 1 ) e possui taxa variação – 3. 
 
 
 
 
Exemplo 7. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos ( 5, 10 ) e ( 2, 1 ). 
 
 
 
 
 
 Do ponto de vista geométrico, o coeficiente linear � é a ordenada do ponto onde a reta, que 
é o gráfico da função �	
� = �
 + �, intersecta o eixo ��. 
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Exemplo 8. A figura abaixo ilustra o gráfico da função que associa o volume de gás consumido 
pelos domicílios de um município ao valor pago por esse consumo. O valor final a ser pago na conta 
é constituído de uma parte fixa (uma taxa) mais uma parte variável (quantidade de metros cúbicos 
consumidos). Com base no gráfico, determine: 
 
(a) O valor pago, em reais, por cada metro cúbico consumido; 
 
 
 
 
 
 
(b) O valor da taxa cobrada na conta. 
 
 
 
 
 
 
 
7.5 Zero da Função Afim 
 
Chama-se zero ou raiz da função afim com � ≠ 0, o número real 
 tal que ( ) 0f x = . 
( ) 0 0 bf x ax b x
a
= ⇒ + = ⇒ = − . 
 
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Exemplo 9. Obtenha o zero da função ( ) 2 5f x x= − : 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10. Construir o gráfico da função �	
� = 2
 − 6. 
 
 
 
 
 
 
 
7.6 Atividades 
Exercício 1. Construa os gráficos das seguintes funções de ℝ em ℝ: 
(a) 3 2y x= + 
(b) 3y = − 
 
Exercício 2. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,4) e tem coeficiente angular igual 
a – 3. 
 
Exercício 3. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (3,5). 
 
Exercício 4. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (-1,5) e (2,10). 
 
Exercício 5. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e tem coeficiente linear igual a 
4. 
 
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Exercício 6. O salário fixo mensal de um farmacêutico é de R$ 2.560,00. Para aumentar sua 
receita, ele faz horas extras, onde recebe R$ 60,00 por horas de trabalho. 
(a) Se em um mês o farmacêutico fizer 3 horas extras, que salário receberá? 
(b) Qual é o salário final S quando for feito x horas extras? 
(c) Qual é o número de horas extras serão necessários para gerar um salário superior a 
R$ 3760,00? 
 
Exercício 7. O hospital Z deverá contratar uma cooperativa de farmacêuticos: a cooperativa A 
cobra um valor fixo de R$ 15.000,00 mensais e mais R$ 250,00 por hora de cada farmacêutico; a 
cooperativa B cobra por hora de seus farmacêuticos a quantia de R$ 150,00 e um valor fixo de R$ 
20.000,00. Qual cooperativa o hospital deverá contratar, se pretender sempre pagar o menor valor 
possível? 
 
Exercício 8. O custo mensal fixo de um Laboratório que produz suplemento alimentar é $ 3.500, e 
o custo variável é $ 85 por caixa do suplemento de alimentar. O preço de venda é $ 120 por caixa. 
(a) Determine o lucro de dezembro, se 600 caixas do suplemento forem vendidos nesse mês. 
(b) Se x caixas de suplementos são vendidos durante um mês, expresse olucro L mensal como 
uma função de x. 
(c) Quantas caixas de suplemento devem ser vendidas para que o laboratório encerre um mês sem 
lucro nem prejuízo? 
 
Exercício 9. Uma indústria produz dois medicamentos, tal que a dose a ser ingerida depende da 
idade do paciente. O medicamento D1 tem sua dose dada por �	�� = 5� − 50mg, e o 
medicamento D2 tem sua dose dada por �2	�� = 1,5� + 5mg. Baseado nessas informações 
responda: 
(a) Qual a idade mínima necessária para poder usar o medicamento D1? 
(b) Qual a dose indicada do medicamento D2, para uma paciente de cinco anos de idade?