Capítulo_10_-_Função_Logarítmica

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Capítulo 10 Função Logarítmica 
Tópicos de Matemática Aplicados a Farmácia Jhoab Negreiros 
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
Função Logarítmica 
 
 
 
10.1 Logaritmos 
 
Sendo a e b números reais e positivos, com 1a ≠ , chama-se logaritmos de b na base 
a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potência xa seja igual a b . 
log xa b x a b= ⇔ = 
onde a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo. 
 
Exemplo 1. Calculemos o logaritmo 3log 81 , através da definição: 
4
3log 81 4, 3 81pois= = 
 
10.2 Propriedades Operatórias 
 
Iremos agora estudar très propriedades operatórias envolvendo logaritmos. 
 
! Logaritmo do produto: Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e 
positivos é igual à soma dos logaritmos dos números. 
log ( . ) log loga a ab c b c= + 
 
! Logaritmo do quociente: Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números 
reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. 
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2
log log loga a a
b b cc = − 
 
! Logaritmo da potência: Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e 
positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. 
log .logra ab r b= 
 
10.3 Mudança de Base 
 
Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o uso na calculadora é 
a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que foram programadas na calculadora 
(normalmente ln e 10log ). Para encontrar um logaritmo com uma base a usando qualquer outra 
base c : 
loglog log
c
a
c
bb a= 
 
Demosntrando está propriedade 
( )
log
loglog log
log log log
loglog log
a
a
b
b
c c
a c c
c
a
c
a b
a b
b a b
bb a
=
=
× =
=
 
 
A propriedade de transformar produtos em somas foi a motivação original para introdução dos 
logaritmos, no início do século XVII, e de sua popularidade, até bem recentemente, como um 
eficiente instrumento de cálculo. 
 O uso generalizado das calculadoras, cada vez mais desenvolvidas, fez com que essa 
utilidade inicial dos logaritmos perdesse o sentido. Entretanto, a função logaritmo continua 
extremamente importante na Matemática e em suas aplicações. 
 Essa importância é permanente; jamais desaparecerá porque, sendo a inversa da função 
exponencial (portanto equivalente a ela), a função logaritmo está ligada a um grande número de 
fenômenos e situações naturais, onde se tem uma grandeza cuja taxa de variação é proporcional à 
quantidade da mesma existente no intante dado. 
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10.4 Função Logarítmica 
 
Dado um número a (com 0 1a< ≠ ), chama-se função logarítmica de base a a função dos 
números reais positivos nos reais, dada pela lei ( ) logaf x x= . 
 
Exemplo 2. Observe o gráfico da função 2logy x= , definida para todo 0x > . 
 
 
Exemplo 3. Observe o gráfico da função 1
2
logy x= , definida para todo 0x > . 
 
 
10.5 Propriedades da Função Logarítmica 
 
Vejamos agora algumas propriedades envolvendo funções logarítmicas. 
 
! Se 1a > , então a função logarítmica ( ) logaf x x= é crescente. 
1 2 1 2log loga ax x x x< ⇔ < 
! Se 0 1a< < , então a função logarítmica ( ) logaf x x= é decrescente. 
1 2 1 2log loga ax x x x< ⇔ > 
 
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10.6 Imagem de uma Função Logarítmica 
 
Note que se 1a > , então os números positivos menores que 1 têm logaritmos negativos, e 
os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, e para o caso da base 0 1a< < , temos o 
contrário para os números positivos menores que 1 temos os logaritmos positivos e para os 
positivos maiores do que 1 os logaritmos negativos, logo concluímos que para ambos para qual a 
base do logaritmo é definida, temos a imagem como um subconjunto próprio dos reais. 
 
10.7 Equações Exponenciais 
 
Há equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potência de mesma base 
pela simples aplicação das propriedades da potência. A resolução de uma equação desse tipo 
baseia-se na definição de logaritmo. 
logx aa b x b= ⇒ = 
com 0 1 0a e b< ≠ > 
 
Exemplo 7. Resolvamos à equação 3 5x = . 
Observe que não podemos igualar as bases. 
1 23 5 3 3 5 9< < ⇒ < < 
Logo o valor de x estar entre 1 e 2 
3 5
log3 log5
.log3 log5
log5 0,6990 1,465log3 0,4771
x
x
x
x
=
=
=
= = ≅
 
 
10.8 Atividades 
Exercício 1. Calcule os logaritmos use a definição quando convir: 
(a) !"#$625 = 
(b) !"#)81 = 
(c) !"#0.1 = 
(d) !"#.2 = 
(e) !"#/1 = 
Edgard Lindesay
4
Edgard Lindesay
4
Edgard Lindesay
-1
Edgard Lindesay
0,5
Edgard Lindesay
0
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5
(f) !"#/7 = 
 
Exercício 2. Sabendo que !"#2 ≅ 0,301 e !"#3 ≅ 0,477, calcule o valor de: 
(a) !"#6 = 
(b) !"#12 = 
(c) !"#27 = 
(d) !"#32 = 
(e) !"#52 3⁄ 7 = 
(f) !"#54 3⁄ 7 = 
 
Exercício 3. Escreva em base 10 e calcule os seguintes logaritmos utilizando calculadora: 
(a) 2log 7 
(b) 100log 3 
(c) 5log 3 
(d) !"#8)5 
 
Exercício 4. Resolva, em ℝ as seguintes equações: 
(a) 3 7x = 
(b) 4 19x = 
(c) 3 22
x
  = 
 
 
 
Exercício 5. Uma pessoa deposita R$ 1.000,00 uma quantia em caderneta de poupança à taxa de 
2% ao mês. Em quantos meses a quantia depositada triplica? 
 
Exercício 6. Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. 
Em quantos anos a população irá dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? 
 
Exercício 7. Uma empresa foi comprada e teve seu lucro em milhões de reais modelado por :5;7 = 1,5 + !"#)5; + 17, t em anos. Em quantos anos a empresa foi vendida? Sabendo que a 
empresa seria vendida somente quando seu lucro atingisse 3,5 milhões de reais. 
 
Edgard Lindesay
1
Edgard Lindesay
0,778
Edgard Lindesay
1,079
Edgard Lindesay
1,431
Edgard Lindesay
1,505
Edgard Lindesay
-0,176
Edgard Lindesay
0,125
Edgard Lindesay
2,807
Edgard Lindesay
0,238
Edgard Lindesay
0,683
Edgard Lindesay
0,627
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Jhoab Negreiros 
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Exercício 8. A expressão (1 )tM C i= + nos permite calcular o montante M, resultante da 
aplicação do capital C a juros compostos, à taxa anual i, ao completar um período de t anos. Nessas 
condições, se o capital de R$ 800.000,00 for aplicado a juros compostos e à taxa anual de 12%, 
após quanto tempo da aplicação serão obtidos juros no valor de R$ 700.000,00? 
 
Exercício 9. As exportações em milhões de reais em um país é dada por =5;7 = 2,551,57> e as 
importações por ?5;7 = 10,551,17>, ; representa o tempo em anos. Supondo que não haja 
variação nas exportações e importações. Em quantos anos aproximadamente a balança comercial 
estará equilibrada? 
 
Exercício 10. Suponha que o crescimento populacional de duas cidades, A e B, seja descrito pela 
equação: 0( ) ,ktP t P e= em que: 
0P é a população no início da observação; 
k é a taxa de crescimento populacional na forma decimal; 
t é o tempo medido em anos; 
( )P t é a população t anos após o início da observação. 
 
Se no início de nossa observação a população da cidade A é o quíntuplo da população da cidade B, 
e se a taxa de crescimento populacional de A permanecer em 2% ao ano e a de B em 10% ao ano, 
em quantos anos, aproximadamente, as duas cidades possuirão o mesmo número de habitantes? 
Considere ln 5 1,6.=