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NOTAS DO CURSO
de
MATEMA´TICA II
2014/2015
Carlos Leal
Departamento de Matema´tica da F.C.T.U.C.
NOTA INTRODUTO´RIA
Estas notas foram escritas como apoio a` disciplina de Matema´tica II da
Licenciatura em Bioqu´ımica da F.C.T.U.C..
O nosso objectivo ao elaborar estas notas e´ orientar o estudo dos alunos
fornecendo-lhes um texto que, no essencial, corresponde ao que e´ leccionado
nas aulas desta disciplina.
A existeˆncia deste texto na˜o substitui a consulta dos livros de texto que se
encontram referenciados na pa´gina da disciplina. A este propo´sito refira- se
que nos assuntos de ana´lise, abordados nos dois primeiros cap´ıtulos, seguimos
de muito perto o livro ”Ca´lculo Vol II - James Stewart”enquanto que para os
restantes quatro cap´ıtulos, sobre a´lgebra linear, usa´mos o livro ”Introduc¸a˜o
a` A´lgebra Linear - Ana Paula Santana e Joa˜o Queiro´”.
Tendo em conta os objectivos da disciplina, na˜o sera˜o efectuadas demons-
trac¸o˜es de muitos dos resultados apresentados. Para ale´m dos conceitos, apre-
sentamos exemplos seguidos de exerc´ıcios cuja resoluc¸a˜o usa a mesma te´cnica
desses exemplos. Desta forma os alunos podera˜o desenvolver competeˆncias
para, duma forma auto´noma, resolverem estes exerc´ıcios. Nas aulas pra´ticas
podera˜o enta˜o discutir e completar os exerc´ıcios sobre os quais ja´ refletiram.
Os assuntos abordados nesta disciplina sa˜o os que constam da respectiva
Ficha de Unidade Curricular. Nos dois primeiros cap´ıtulos sa˜o estudadas
sucesso˜es e se´ries nume´ricas e se´ries de func¸o˜es.
Nos restantes quatro cap´ıtulos estudamos matrizes e sua aplicac¸a˜o a` re-
soluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares, determinantes, o espac¸o vectorial
Rn , o produto interno em Rn e a diagonalizac¸a˜o de matrizes usando valores
e vectores pro´prios
2
Cap´ıtulo 1
Sucesso˜es e se´ries nume´ricas
Neste cap´ıtulo iremos estudar sucesso˜es e se´ries de nu´meros reais.
Comec¸aremos no primeiro para´grafo por definir sucessa˜o, estudar as suas
propriedades, definir e calcular o limite duma sucessa˜o.
No segundo para´grafo, definiremos se´rie nume´rica, estudaremos algumas
propriedades, va´lidas para qualquer tipo de se´rie, e, a seguir, estudaremos
se´ries de termos positivos. Finalmente estudaremos se´ries de termos quais-
quer, usando os resultados anteriores.
1.1 Sucesso˜es:
Definic¸a˜o: Define-se sucessa˜o de nu´meros reais ou simplesmente sucessa˜o
nume´rica como uma func¸a˜o
a : N → R
n → a(n)
A a(n) chamamos termo de ordem n e representa´-lo-emos por an.
Ha´ va´rias maneiras de representar uma sucessa˜o. E´ usual encontrarmos
na literatura as seguintes notac¸o˜es:
• (an)n∈N
• {an}∞n=1
• {a1, a2, a3, . . . , an, . . . }
3
Exemplo 1.1
1. ( n
n+1
)n∈N ;
{
n
n+1
}∞
n=1
;
{
1
2
, 2
3
, 3
4
. . . , n
n+1
, . . .
}
2. (
√
n2 − 9)n∈N , n ≥ 3 ;
{√
n2 − 9}∞
n=3
;
{
0,
√
7, 4,
√
27 . . . ,
√
n2 − 9, . . . }
3. (cos npi
6
)n∈N ;
{
cos npi
6
}∞
n=1
;
{√
3
2
, 1
2
, 0 . . . , cos npi
6
, . . .
}
Definic¸a˜o: Uma sucessa˜o (an)n∈N diz-se limitada se existirem a, b ∈ R tais
que
a ≤ an ≤ b, ∀n ∈ N.
ou, duma forma equivalente, se existir C > 0 tal que
|an| ≤ C, ∀n ∈ N.
Isto significa que todos os termos da sucessa˜o se situam numa dada banda,
como se pode observar na figura abaixo.
Figura 1.1: Sucessa˜o limitada.
Exemplo 1.2 Sobre a noc¸a˜o de sucessa˜o limitada.
1. A sucessa˜o ( 1
n+1
)n∈N e´ limitada.
2. A sucessa˜o (cosn)n∈N e´ limitada.
3. A sucessa˜o (n2 + 1)n∈N na˜o e´ limitada.
4
Exerc´ıcio 1.1 Verifique se as seguintes sucesso˜es sa˜o limitadas:
(
n
n2 + 1
)n∈N ; ((−1)n)n∈N ; ((−1)nn)n∈N .
Definic¸a˜o: Diremos que uma sucessa˜o (an)n∈N tem limite L ou que converge
para L se
∀² > 0, ∃n0∈N : n ≥ n0 ⇒ |an − L| < ²
Se isto acontecer escreveremos enta˜o
lim an = L ou an → L.
Se existir um L nestas condic¸o˜es diremos que a sucessa˜o e´ convergente. Caso
contra´rio diremos que a sucessa˜o e´ divergente.
Observemos ainda que, as noc¸o˜es de sucessa˜o limitada e sucessa˜o com
limite sa˜o diferentes. Se uma sucessa˜o tem limite e´ limitada mas pode ser
limitada e na˜o ter limite.
A figura abaixo pode ajudar a perceber melhor a noc¸a˜o de limite.
Figura 1.2: Limite duma sucessa˜o.
Observamos que os termos da sucessa˜o se va˜o aproximando de L a` medida
que n aumenta.
Recordando que para uma func¸a˜o real de varia´vel real f se tem
lim
x→+∞
f(x) = L⇔ ∀² > 0, ∃M>0 : x ≥M ⇒ |f(x)− L| < ²
podemos concluir que a diferenc¸a entre estas duas definic¸o˜es de limite esta´
unicamente no domı´nio onde as func¸o˜es esta˜o definidas. Como N esta´ contido
em R podemos facilmente estabelecer o seguinte resultado:
Teorema: Se lim
x→+∞
f(x) = L enta˜o lim f(n) = L.
5
Este resultado pode ser usado para calcular limites de sucesso˜es efectu-
ando a sua extensa˜o a uma func¸a˜o de R em R onde temos outros meios para
calcular limites. Isto e´, dada uma sucessa˜o (an)n∈N consideramos a func¸a˜o
f de R em R cuja restric¸a˜o a N e´ justamente an, de seguida calculamos
lim
x→+∞
f(x). Se este limite existir e for L enta˜o o limite da sucessa˜o (an)n∈N
e´ igual a L.
Exemplo 1.3 Se quisermos calcular o limite da sucessa˜o ( log n
n
)n∈N podemos
considerar a func¸a˜o f definida em R+ por f(x) = log x
x
e calcular o limite
desta func¸a˜o.
Como se trata dum limite indeterminado podemos usar a regra de L’Hoˆpital
e concluir que este limite e´ zero. Assim sendo, o limite da sucessa˜o tambe´m
sera´ zero
Observac¸a˜o: A utilizac¸a˜o da definic¸a˜o de sucessa˜o convergente para calcular
o seu limite revela-se, em muitos casos, algo de bastante complicado. Por
isso, sempre que poss´ıvel tentaremos usar outras estrate´gias para calcular o
limite duma sucessa˜o. Um desses me´todos, que recomendo, e´ o que referi
anteriormente.
Exerc´ıcio 1.2 Use o teorema anterior para calcular os seguintes limites:
lim
ln(n2)
n
; lim
n3
4 + 2n3
; lim arctg(2n).
Uma sucessa˜o que seja convergente tem os seus termos an, para n sufi-
cientemente grande, arbitrariamente pro´ximos do seu limite L. Para uma
sucessa˜o que na˜o seja convergente na˜o teremos esta informac¸a˜o pre´via, sobre
os termos da sucessa˜o. No entanto, ha´ sucesso˜es que embora sendo divergen-
tes teˆm um comportamento bem definido para n suficientemente grande.
Definic¸a˜o: Diremos que
lim an = +∞⇔ ∀M > 0, ∃n0∈N : n ≥ n0 ⇒ an > M.
e
lim an = −∞⇔ ∀M > 0, ∃n0∈N : n ≥ n0 ⇒ an < −M.
Exemplo 1.4 Usando a definic¸a˜o anterior, facilmente se conclui que
lim(n+ 3) = +∞.
6
Com efeito, dado M > 0, arbitra´rio, podemos considerar n0 = [M ] e
facilmente se conclui que se n > n0 enta˜o
n+ 3 > n0 + 3 > M.
( [M ] representa o maior inteiro inferior ou igual a M)
Exerc´ıcio 1.3 Diga, sem justificar, qual o valor dos seguintes limites:
limn(n− 1) ; limn(1− n) ; lim n
2
1− n.
Definic¸a˜o: Definimos subsucessa˜o da sucessa˜o (an)n∈N como uma restric¸a˜o
da func¸a˜o a a um subconjunto infinito, N ′, de N.
Exemplo 1.5 Os casos mais comuns de subsucesso˜es duma sucessa˜o (an)n∈N
aparecem quando se considera N ′ igual ao conjunto dos nu´meros pares ou ao
conjunto dos nu´meros ı´mpares ou ainda quando se considera igual ao con-
junto dos naturais maiores que um certo valor n0. Temos nestes casos as
chamadas subsucesso˜es dos termos pares, ou dos termos ı´mpares e a sub-
sucessa˜o que se obte´m da sucessa˜o inicial eliminando os seus primeiros n0
termos.
Exemplo 1.6 Se considerarmos a sucessa˜o definida por
an =
{
1, n ı´mpar
−n, n par
A subsucessa˜o dos termos ı´mpares sera´ enta˜o
{1, 1, 1, . . . }
e a subsucessa˜o dos termos pares sera´
{−2,−4,−6,−8, . . . }.
Observac¸a˜o: Qualquer subsucessa˜o duma sucessa˜o convergente para L e´
ainda uma sucessa˜o convergentepara L.
Se a partir duma dada sucessa˜o for poss´ıvel obter duas subsucesso˜es con-
vergentes para limites diferentes enta˜o a sucessa˜o sera´ divergente.
Em particular, se a subsucessa˜o dos termos pares e a subsucessa˜o dos
termos ı´mpares tiverem limites diferentes a sucessa˜o sera´ divergente.
Podemos tambe´m mostrar que se a subsucessa˜o dos termos pares e a
subsucessa˜o dos termos ı´mpares tiverem o mesmo limite enta˜o a sucessa˜o
sera´, ela tambe´m, convergente para o mesmo limite.
7
Exemplo 1.7 Usando o resultado exposto, na parte final da observac¸a˜o
anterior, podemos concluir que a sucessa˜o (an)n∈N definida por
an =
{
0, n ı´mpar
1
n
, n par
converge para zero.
Exerc´ıcio 1.4 Diga, justificando, se as seguintes sucesso˜es sa˜o convergentes
e, em caso afirmativo, calcule os respectivos limites.
a) an =
{
n+1
n
, n ı´mpar
n
n+1
, n par
; b) bn =
{
n+1
n
, n ı´mpar
0, n par
Como foi referido anteriormente, na˜o e´ fa´cil calcular limites de sucesso˜es
usando a definic¸a˜o. Ha´ regras para o ca´lculo de limites de sucesso˜es, ana´logas
a`s regras que usa´mos para calcular limites de func¸o˜es e que permitem deter-
minar o limite duma sucessa˜o a partir do conhecimento do limite de algumas
sucesso˜es elementares.
Teorema: Se (an)n∈N e (bn)n∈N sa˜o sucesso˜es convergentes enta˜o:
1. lim(an ± bn) = lim an ± lim bn
2. lim(c an) = c lim an , ∀c ∈ R
3. lim(an.bn) = lim an. lim bn
4. lim an
bn
= lim an
lim bn
, se lim bn 6= 0.
Exemplo 1.8 Sabendo que lim
1
n
= 0, podemos usar as regras anteriores
para concluir que:
1. lim(1 + 1
n
) = lim 1 + lim 1
n
= 1 + 0 = 1
2. lim( 1
n
.n+1
n
) = lim 1
n
. lim n+1
n
= 0× 1 = 0
3. lim e
− 1n
n+1
n
= lim e
− 1n
lim n+1
n
= 1
1
= 1
Exerc´ıcio 1.5 Calcule os seguintes limites:
a) lim
1 + 1
n
2 + e−n
; b) lim 2(
1
n+ 1
+ e−n)
8
Teorema: ( Sucesso˜es enquadradas)
Se (an)n∈N , (bn)n∈N e (cn)n∈N sa˜o sucesso˜es tais que
an ≤ bn ≤ cn e lim an = lim cn = L
enta˜o
lim bn = L.
Exemplo 1.9 O uso imediato deste resultado permite concluir que
lim
1
n+ 1
= 0.
Com efeito, uma vez que temos
0 ≤ 1
n+ 1
≤ 1
n
e lim 0 = lim
1
n
= 0 temos o resultado.
Exemplo 1.10 Se o objectivo e´ calcular o limite da sucessa˜o
n∑
k=1
k
(n+ 1)3
podemos pensar em arranjar uma sucessa˜o que majore e outra que minore
esta sucessa˜o e que convirjam para o mesmo valor. Temos
n
(n+ 1)3
≤
n∑
k=1
k
(n+ 1)3
=
1
(n+ 1)3
+
2
(n+ 1)3
+ . . .+
n
(n+ 1)3
≤ n× n
(n+ 1)3
.
Como lim
n
(n+ 1)3
= lim
n2
(n+ 1)3
= 0 concluimos que o limite da sucessa˜o
dada, tambe´m e´ zero.
Exerc´ıcio 1.6 Usando o teorema das sucesso˜es enquadradas calcule
lim
1
n
√
n−4 + 2n−2 + 7
.
Definic¸a˜o: Uma sucessa˜o (an)n∈N diz-se
• crescente se an ≤ an+1 , ∀n ∈ N
• decrescente se an ≥ an+1 , ∀n ∈ N
Uma sucessa˜o que seja crescente ou decrescente diz-se mono´tona.
9
Exemplo 1.11 As sucesso˜es ( 1
n
)n∈N e (2n− (−1)n)n∈N sa˜o mono´tonas en-
quanto que a sucessa˜o ((1− (−1)n).n)n∈N na˜o e´ mono´tona.
Vimos anteriormente que nem toda a sucessa˜o limitada e´ convergente.
No entanto, temos o seguinte resultado:
Teorema: Toda a sucessa˜o mono´tona e limitada e´ convergente.
Exemplo 1.12 Seja a um valor entre zero e um. Enta˜o a sucessa˜o (xn)n∈N ,
onde para cada n ∈ N
xn = 1 + a+ a
2 + a3 + . . . + an−1
e´ convergente.
Com efeito esta sucessa˜o e´ tal que
xn+1 = 1 + a+ a
2 + a3 + . . . + an = xn + a
n > xn
e portanto e´ crescente.
Por outro lado, como verifica
0 < xn =
1− an
1− a =
1
1− a −
an
1− a <
1
1− a
sera´ limitada.
Do resultado anterior resulta que e´ convergente.
Exemplo 1.13 A sucessa˜o (yn)n∈N , onde para cada n ∈ N
yn =
(
1 +
1
n
)n
e´ convergente. Com efeito e´ poss´ıvel provar que esta sucessa˜o e´ mono´tona e
limitada.
Usando o bino´mio de Newton
(a+ b)n = an +
(
n
1
)
an−1.b+ . . . +
(
n
n− 1
)
a.bn−1 + bn
onde (
n
p
)
=
n!
(n− p)!.p! , a, b ∈ R e 0! = 1
10
podemos concluir que
yn =
(
1 + 1
n
)n
= 1 + n. 1
n
+ n(n−1)
2!
. 1
n2
+ . . . + n(n−1)× . . . ×2×1
n!
. 1
nn
= 1 + 1 + 1
2!
(1− 1
n
) + 1
3!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) + . . . + 1
n!
(1− 1
n
)(1− 2
n
) . . . (1− n−1
n
)
≤ 1 + 1 + 1
2!
+ 1
3!
+ . . . + 1
n!
≤ 1 + 1 + 1
2
+ 1
22
+ . . . + 1
2n−1
≤ 3
Para estabelecermos esta desigualdade usa´mos o facto de
1
n!
≤ 1
2n−1
, ∀n ∈ N
e o facto de
1 +
1
2
+
1
22
+ . . . +
1
2n−1
≤ 2 , ∀n ∈ N
Assim, podemos concluir que
0 ≤ yn ≤ 3
e portanto (yn)n∈N e´ uma sucessa˜o limitada.
Por outro lado, da expressa˜o encontrada para yn podemos concluir que
yn+1 = 1 + 1 +
1
2!
(1− 1
n+1
) + 1
3!
(1− 1
n+1
)(1− 2
n+1
) + . . .
+ 1
n!
(1− 1
n+1
)(1− 2
n+1
) . . . (1− n−1
n+1
)
+ 1
(n+1)!
(1− 1
n+1
)(1− 2
n+1
) . . . (1− n
n+1
)
e observamos que yn+1 tem mais parcelas do que yn e as outras parcelas de
yn+1 sa˜o maiores ou iguais do que as correspondentes parcelas de yn. Logo
yn+1 ≥ yn e portanto (yn)n∈N e´ uma sucessa˜o crescente .
Definic¸a˜o: Ao limite de
(
1 + 1
n
)n
chamamos e (nu´mero de Neper).
Exerc´ıcio 1.7 Verifique que as seguintes sucesso˜es sa˜o mono´tonas e limita-
das e conclua que sa˜o convergentes.
a) an =
1
n!
; b) bn =
1
2n− (−1)n .
11
Teorema: Se (xn)n∈N e´ uma sucessa˜o limitada e (yn)n∈N e´ uma sucessa˜o
convergente para zero enta˜o
lim(xn × yn) = 0.
Exemplo 1.14 Facilmente se conclui que lim sin(n+3)
n
= 0, pois
(sin(n+ 3))n∈N e´ uma sucessa˜o limitada e ( 1n)n∈N tem limite zero.
Exerc´ıcio 1.8 Verifique que lim (−1)
n
n2
= 0 e lim 5+e
−n
n2
= 0.
Teorema: Se (xn)n∈N e (yn)n∈N sa˜o sucesso˜es convergentes tais que
xn ≤ yn , ∀n ∈ N
enta˜o
lim xn ≤ lim yn.
Consequeˆncia: Se (xn)n∈N e´ uma sucessa˜o convergente e xn ≥ 0 para todo
o n em N enta˜o
limxn ≥ 0.
Outra forma de calcular limites de sucesso˜es:
Ha´ sucesso˜es em que os seus termos sa˜o definidos a partir dos
anteriores. Sa˜o as chamadas sucesso˜es definidas por recorreˆncia.
Por exemplo, na sucessa˜o
a1 = 1
a2 = 1
an = an−1 + an−2, ∀n ≥ 3
a partir da ordem 3, cada termo da sucessa˜o e´ definido a partir dos dois
anteriores. Notemos que, com esta lei podemos definir qualquer termo da
sucessa˜o.
Para este tipo de sucesso˜es, a garantia de existeˆncia de limite pode ser
suficiente para determinar esse limite sem recorrermos a`s regras de limites.
Poderemos ter essa garantia de existeˆncia de limite quando, por exemplo, a
sucessa˜o e´ mono´tona e limitada.
Vejamos um exemplo para percebermos como e´ que este me´todo pode ser
implementado.
12
Exemplo 1.15 Considere-se a sucessa˜o definida por recorreˆncia da seguinte
forma: {
a1 = 2
an+1 =
1
2
(an + 6) , n = 1, 2, 3, . . .
Se calcularmos os primeiros termos da sucessa˜o obtemos
a1 = 2 ; a2 = 4 ; a3 = 5 ; a4 = 5.5 ; a6 = 5.75
Podemos enta˜o conjecturar que se trata duma sucessa˜o crescente e limi-
tada.
Provemos por induc¸a˜o que a sucessa˜o (an)n∈N e´ crescente, isto e´,
an+1 ≥ an , ∀n ∈ N
Prova para n = 1:
Devemos enta˜o provar que a2 ≥ a1. Como vimos anteriormente a2 = 4 e
a1 = 2 e portanto o resultado e´ verdadeiro.
Hipo´tese de induc¸a˜o:
Vamos admitir que o resultado e´ verdadeiro para n = p, isto e´
ap+1 ≥ ap.
Tese de induc¸a˜o:
Provemos que o resultado e´ verdadeiro para n = p+ 1, isto e´
ap+2 ≥ ap+1.
Como
ap+2 =
1
2
(ap+1 + 6) ≥ 1
2
(ap + 6) = ap+1
temos o resultado provado.
Vejamos agora que a sucessa˜o (an)n∈N e´ limitada. Mais propriamente,
vejamos que
an ≤ 6 , ∀n ∈ N
uma vez que ja´ sabemosque an ≥ 0.
Obviamente que a1 ≤ 6. Admitindo que o resultado e´ verdadeiro para
n = p teremos
ap+1 =
1
2
(ap + 6) ≤ 1
2
(6 + 6) = 6
o que prova a afirmac¸a˜o.
13
Como vimos que a sucessa˜o (an)n∈N e´ limitada e mono´tona podemos con-
cluir que e´ convergente. Chamemos L ao seu limite. A questa˜o que se coloca
agora e´ a de saber como determinar L.
Sendo (an+1)n∈N uma subsucessa˜o de (an)n∈N teremos lim an+1 = L. As-
sim, usando a definic¸a˜o de an teremos
L = lim an+1 = lim
1
2
(an + 6) =
1
2
(lim an + 6) =
1
2
(L+ 6).
Daqui obtemos uma equac¸a˜o em L que depois de resolvida nos dara´ o valor
do limite da sucessa˜o.
L =
1
2
(L+ 6)⇔ 2L = L+ 6⇔ L = 6.
Exerc´ıcio 1.9 Usando o me´todo exposto anteriormente calcule o limite das
seguintes sucesso˜es convergentes.
a)
{
a1 = 1
an+1 =
1
1+an
, ∀n ≥ 1 b)
{
b1 = 1
bn+1 = 1 +
1
1+bn
, ∀n ≥ 1
Teorema: Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N duas sucesso˜es, enta˜o:
1. Se limXn = +∞ e (yn)n∈N e´ uma sucessa˜o limitada inferiormente enta˜o
lim(Xn + yn) = +∞.
2. Se limXn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c, para todo o n ∈ N ,
enta˜o lim(Xn.yn) = +∞.
3. Se xn > 0 enta˜o
lim xn = 0⇔ lim 1
xn
= +∞.
Tal como ja´ acontecia no caso das func¸o˜es reais de varia´vel real, tambe´m
aqui, no caso do limite de sucesso˜es, temos situac¸o˜es de limites indetermina-
dos.
14
INDETERMINAC¸O˜ES:
1.
{
limxn = +∞
lim yn = +∞ ⇒ lim(xn − yn) ” (∞−∞) ”
2.
{
limxn = ±∞
lim yn = ±∞ ⇒ lim
xn
yn
” (∞∞) ”
3.

limxn = 0
lim yn = 0
⇒

lim xn
yn
lim xynn (xn > 0)
” (0
0
) ”
” (00) ”
4.

limxn = 0
lim yn = +∞
⇒

lim xn.yn
lim yxnn
” (0×∞) ”
” (∞0) ”
5.
{
limxn = 1
lim yn = +∞ ⇒ lim x
yn
n ” (1
∞) ”
15
Exerc´ıcios de controlo:
1. Calcule os limites das seguintes sucesso˜es:
(a) an =
3+5n2
n+n2
(b) bn =
2n
3n+1
(c) cn = (−1)n sin( 1n).
2. Usando resultados conhecidos sobre limites de func¸o˜es calcule:
(a) lim 1
nr
, r > 0 (b) limn sin( 1
n
) (c) limn2e−n.
3. Use o teorema das sucesso˜es enquadradas para calcular
lim sin(n)n−1 − cos(n)e−n ; lim 1
n!
.
4. Defina sucessa˜o limitada e sucessa˜o convergente.
5. Considere a sucessa˜o (an)n∈N definida por
a1 = 4
an+1 =
1
2
(an + 2)
(a) Mostre, por induc¸a˜o, que a sucessa˜o (an)n∈N e´ decrescente.
(b) Mostre que
an ≥ 2, ∀n ∈ N.
(c) Mostre que a sucessa˜o (an)n∈N e´ convergente e calcule o seu limite.
6. (a) Usando resultados conhecidos sobre limites de func¸o˜es, mostre
que, se g : [0,+∞[→ R e´ uma func¸a˜o positiva e deriva´vel tal
que
lim
x→+∞
g(x) = +∞
enta˜o para todo o k ∈ R fixado, temos
lim(1 +
k
g(n)
)g(n) = ek.
(b) Mostre que lim(1− pi
n+3
)n = e−pi.
Sugesta˜o: Use o resultado anterior depois de decompoˆr a ex-
pressa˜o (1− pi
n+3
)n num produto onde aparec¸a uma poteˆncia com
a mesma base e com expoente (n+ 3).
16
7. Considere a sucessa˜o (an)n∈N definida por recorreˆncia da seguinte forma:
a1 = 2
an+1 = 2− 1
an
, n ≥ 1
(a) Mostre, por induc¸a˜o, que para todo o n pertencente a N , an > 1.
(b) Mostre que a sucessa˜o (an)n∈N e´ decrescente.
(c) Mostre que a sucessa˜o (an)n∈N e´ convergente e determine o seu
limite.
8. Sem justificar, deˆ exemplos de:
(a) uma sucessa˜o de termos positivos que seja limitada e na˜o seja
convergente.
(b) uma sucessa˜o de termos positivos que seja convergente e que na˜o
seja mono´tona.
(c) duas sucesso˜es, uma convergente e outra divergente, cujo produto
seja uma sucessa˜o convergente.
9. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
n ln n
en
.
(b) limun, onde para cada n ∈ N , un =
n∑
k=1
k
n3 + 1
.
Sugesta˜o: Use o teorema das sucesso˜es enquadradas.
10. (a) Deˆ um exemplo duma sucessa˜o mono´tona que na˜o seja conver-
gente.
(b) Deˆ um exemplo duma sucessa˜o convergente que na˜o seja mono´tona.
11. Considere a sucessa˜o (an)n∈N definida por recorreˆncia da seguinte forma:
a1 = 4
an+1 =
1
3
(an + 6), n = 1, 2, 3, . . .
(a) Mostre que a sucessa˜o (an)n∈N e´ decrescente e limitada.
(b) Mostre que existe limite da sucessa˜o (an)n∈N e calcule-o.
17
12. Diga se sa˜o verdadeiras ou falsas as seguintes afirmac¸o˜es, justificando
aquelas que considerar falsas.
(a) Toda a sucessa˜o limitada e mono´tona e´ convergente.
(b) O produto duma sucessa˜o convergente por uma sucessa˜o diver-
gente e´ uma sucessa˜o divergente.
(c) A sucessa˜o Un =
esinn
n
e´ divergente.
13. (a) Deˆ um exemplo duma sucessa˜o que na˜o seja mono´tona e que tenha
limite 2.
(b) Diga, justificando, se a sucessa˜o (Un) = ((−1)n sin 1n2 ) e´ conver-
gente e, em caso afirmativo, calcule o seu limite.
14. (a) Enuncie o teorema das sucesso˜es enquadradas.
(b) Enuncie um resultado que relacione o limite quando x tende para
+∞, duma func¸a˜o f definida em R, com o limite da sucessa˜o
definida como a restric¸a˜o de f a N .
Calcule os seguintes limites:
15. (a)
lim
n→∞
n∑
k=1
k
n
5
2 + 1
(b)
lim
n→∞
(−1)n log n
n
(c)
lim
n→∞
(
1
2
+
1
4
+
1
8
...+
1
2n
).
18
1.2 Se´ries nume´ricas:
Sabemos que e´ poss´ıvel generalizar a soma de dois nu´meros reais a um nu´mero
finito de parcelas. Surge enta˜o com naturalidade a seguinte questa˜o:
Sera´ poss´ıvel generalizar a noc¸a˜o de soma finita a um nu´mero infinito de
parcelas?
Qual o sentido a dar, por exemplo, a
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . . +
1
2n
+ . . . ?
Pode ser interpretado da seguinte forma. A` medida que somamos mais
parcelas aproximamo-nos de 1. Surge enta˜o a ideia de considerar esta ”soma”infinita
como o limite duma sucessa˜o.
Note-se que esta generalizac¸a˜o na˜o deve ter as mesmas propriedades da
soma fimita de nu´meros reais. Por exemplo se considerarmos
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .
e agruparmos os termos da seguinte forma
(1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . .
ser´ıamos conduzidos a afirmar que esta soma seria nula. No entanto, se
agrupa´ssemos os termos de outra forma
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .
diriamos que esta soma deveria ser 1.
Estas aparentes contradic¸o˜es na˜o sa˜o recentes. Ja´ o filo´sofo Grego Zena˜o
que viveu 2000 anos antes de Cristo se interrogava sobre estas questo˜es e
formulava aquilo que foi designado por parado´xo de Zena˜o. Um corredor
desloca-se dum ponto A para um ponto B com velocidade constante. Con-
siderando A1 o ponto me´dio de AB, A2 o ponto me´dio de A1B , e assim
sucessivamente, definimos uma sucessa˜o de pontos. Se o corredor gastar um
tempo t para se deslocar de A ate´ A1 , gastar um tempo
t
2
para se deslocar
de A1 ate´ A2, etc....
O tempo total para se deslocar de A ate´ B ser dado por
t+
t
2
+
t
22
+ . . . +
t
2n
+ . . .
Zena˜o conclu´ıa enta˜o que tratando-se duma soma com um nu´mero infinito
de parcelas o tempo necessa´rio para chegar de A ate´ B seria forc¸osamente
19
infinito. Mas isto estava em contradic¸a˜o com o facto do movimento ser
uniforme, de velocidade constante e, portanto, o tempo gasto para chegar
de A ate´ B ser 2t. Da´ı tratar-se dum paradoxo. Esta questa˜o so´ seria
resolvida com a teoria das se´ries desenvolvida a partir do se´culo XVIII. Ao
desenvolvimento da teoria das se´ries na˜o foi alheio o matema´tico portugueˆs
Jose´ Anasta´cio da Cunha.
1.2.1 Resultados gerais
Seja (an) uma sucessa˜o de nu´meros reais. A esta sucessa˜o associamos uma
nova sucessa˜o (Sn) chamada sucessa˜o das somas parciais, definida por
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
·
·
·
Sn = a1 + a2 + . . . + an, ∀n ∈ N
Facilmente se observa que, a` medida que n aumenta, o nu´mero de parcelas
de Sn tambe´m aumenta. Em vez de ”soma infinita”usaremos a palavra se´rie
e representaremos essasoma infinita
a1 + a2 + . . . an + . . . por
∞∑
n=1
an
A an chamamos termo geral da se´rie.
Definic¸a˜o: Se a sucessa˜o (Sn) for convergente ao seu limite S chamamos
soma da se´rie
∞∑
n=1
an.
Escreveremos neste caso
∞∑
n=1
an = S.
Se (Sn) for divergente a se´rie
∞∑
n=1
an diz-se divergente.
Dada uma se´rie
∑∞
n=1 an associamos-lhe a sucessa˜o das somas parciais
(Sn) e estudaremos esta sucessa˜o quanto a` convergeˆncia. Chamamos a este
20
processo a determinac¸a˜o da natureza da se´rie. Mais adiante, estudaremos
processos que permitem determinar a natureza da se´rie, isto e´, verificar se a
se´rie e´ ou na˜o convergente, sem passar pela definic¸a˜o da sucessa˜o das somas
parciais associadas a` se´rie.
Exemplo 1.16 Consideremos a se´rie geome´trica
∞∑
n=1
a.rn−1
onde a 6= 0 e r ∈ R e estudemos a sua natureza.
Caso |r| = 1:
Se r = 1 enta˜o
Sn = a+ a+ . . . + a = n.a
Se r = −1 teremos
Sn =
{
0 , n par
a , n ı´mpar
e portanto, em qualquer dos casos, a sucessa˜o (Sn) e´ divergente, pelo que a
se´rie dada e´ divergente.
Caso |r| 6= 1:
Neste caso teremos
Sn = a+ a.r + a.r
2 . . . + a.rn−1 =
a.(1− rn)
1− r
Obviamente que
| r |< 1 ⇒ limSn = a1−r
| r |> 1 ⇒ limSnna˜o existe
Podemos enta˜o concluir que a se´rie converge se e so´ se | r |< 1. Neste
caso a soma da se´rie e´ a
1−r .
21
Exemplo 1.17 Para a se´rie de Mengoli
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
podemos mostrar por induc¸a˜o que
Sn = 1− 1
n+ 1
, ∀n ∈ N.
Conclu´ımos enta˜o que a se´rie e´ convergente e que a sua soma e´ 1.
Exemplo 1.18 A se´rie harmo´nica
∞∑
n=1
1
n
e´ divergente.
Com efeito temos
S1 = 1
S2 = 1 +
1
2
S4 = 1 +
1
2
+ 1
3
+ 1
4
≥ 1 + 1
2
+ (1
4
+ 1
4
) = 1 + 2
2
S8 = 1 +
1
2
+ (1
3
+ 1
4
) + (1
5
+ 1
6
+ 1
7
+ 1
8
) >
> 1 + 1
2
+ (1
4
+ 1
4
) + (1
8
+ 1
8
+ 1
8
+ 1
8
) = 1 + 1
2
+ 1
2
+ 1
2
= 1 + 3
2
S16 = 1 +
1
2
+ (1
3
+ 1
4
) + (1
5
+ 1
6
+ 1
7
+ 1
8
) + (1
9
+ 1
10
+ . . .+ 1
16
) >
> 1 + 1
2
+ 1
2
+ 1
2
+ 1
2
= 1 + 4
2
.
.
.
S2n > 1 +
n
2
Pelo que a sucessa˜o (Sn)n∈N na˜o e´ limitada e portanto na˜o e´ convergente.
Conclui-se enta˜o que a se´rie harmo´nica e´ divergente.
Exerc´ıcio 1.10 Determine a natureza das seguintes se´ries, indicando a sua
soma no caso da se´rie ser convergente.
a)
∞∑
n=1
2
3n−1
b)
∞∑
n=1
2
3n
c)
∞∑
n=1
3n−1
2n+3
22
Teorema: Se a se´rie
∑∞
n=1 an e´ convergente enta˜o lim an = 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja (Sn) a sucessa˜o das somas parciais associada a` se´rie.
Considerando Zn = Sn+1, podemos afirmar que esta sucessa˜o e´ uma subsu-
cessa˜o de (Sn) e como tal converge para o mesmo limite. Da definic¸a˜o de
(Zn) resulta que
lim an+1 = lim(Zn − Sn) = 0.
Daqui se conclui que tambe´m
lim an = 0.
Observac¸a˜o: Deste resultado podemos concluir que se lim an 6= 0, enta˜o a
se´rie
∑∞
n=1 an e´ divergente.
Importante: O facto do limite do termo geral da se´rie ser zero na˜o permite
concluir que a se´rie seja convergente. Vimos anteriormente que a se´rie
∑∞
n=1
1
n
e´ divergente e no entanto o limite do seu termo geral e´ zero.
Exerc´ıcio 1.11 Use o resultado anterior para concluir que as seguintes se´ries
sa˜o divergentes
a)
∞∑
n=1
(−1)n b)
∞∑
n=1
3n sin(
1
n
)
Observac¸a˜o: A natureza duma se´rie na˜o depende do valor dos seus p pri-
meiros termos, onde p e´ um nu´mero natural qualquer, mas fixo. Isto e´, as
se´ries ∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=p+1
ak
sa˜o da mesma natureza.
Definic¸a˜o: A` se´rie
∞∑
k=p+1
ak
e´ usual chamar-se resto de ordem p da se´rie
∑∞
n=1 an.
Observac¸a˜o: A convergeˆncia duma se´rie na˜o depende dos primeiros termos
da se´rie. O mesmo na˜o acontece com a sua soma.
Exemplo 1.19 As se´ries
∑∞
n=1(
1
2
)n−1 e
∑∞
n=1(
1
2
)n sa˜o duas se´ries que dife-
rem apenas pelo primeiro termo, sa˜o ambas convergentes, mas uma tem soma
2 e a outra 1.
23
Exerc´ıcio 1.12 Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
xn onde
xn =

1 + en se n < 106
,
2
3n−1 se n ≥ 106
e´ convergente.
Teorema: (i) Se as se´ries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn sa˜o convergentes de soma S e
T , respectivamente, enta˜o
∑∞
n=1(an + bn) e´ convergente e tem soma S + T .
(ii) Se a se´rie
∑∞
n=1 an e´ convergente e tem soma S enta˜o, para todo
b ∈ R, a se´rie ∑∞n=1 b.an e´ convergente e tem soma b.S.
Demonstrac¸a˜o: (i) Sejam
Sn = a1 + . . . . + an
e
Tn = b1 + . . . . + bn
as sucesso˜es das somas parciais associadas a`s se´ries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn,
respectivamente. Teremos enta˜o
S + T = lim(Sn + Tn) = lim((a1 + . . . + an) + (b1 + . . . + bn))
= lim((a1 + b1) + . . . + (an + bn))
= limZn
onde Zn e´ a sucessa˜o das somas parciais associada a´ se´rie
∑∞
n=1(an+bn). Po-
demos enta˜o afirmar que esta se´rie e´ convergente e que a sua soma e´ S + T .
(ii) Como
lim(b.a1 + . . . + b.an) = b. lim(a1 + . . . + an) = b.S
podemos concluir que a se´rie
∑∞
n=1 b.an e´ convergente e tem soma b.S.
Exemplo 1.20 A se´rie
∑∞
n=1[
1
n(n+1)
+10.(1
2
)n] e´ convergente ja´ que e´ a soma
de duas se´ries convergentes. Podemos mesmo afirmar que a sua soma e´ 11.
Exerc´ıcio 1.13 Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
[
2
n(n+ 1)
+
1
2n
] b)
∞∑
n=1
[
1
3n+1
+
1
2n
]
24
Teorema: Se a se´rie
∑∞
n=1 an e´ convergente e a se´rie
∑∞
n=1 bn e´ divergente,
enta˜o a se´rie
∑∞
n=1(an + bn) e´ divergente.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos por absurdo que a se´rie
∑∞
n=1(an+ bn) e´ con-
vergente. Como por hipo´tese a se´rie
∑∞
n=1 an e´ convergente, podemos concluir
do teorema anterior, que a se´rie
∑∞
n=1(−an) e´ convergente e tambe´m que a
se´rie
∑∞
n=1(an + bn) − an converge. Ou seja, a se´rie
∑∞
n=1 bn e´ convergente,
o que e´ um absurdo.
Exerc´ıcio 1.14 Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
[
1
n(n+ 1)
+
1
n
] b)
∞∑
n=1
[
1
(n+ 1)
+
1
2n
]
Ja´ estuda´mos algumas se´ries para as quais e´ poss´ıvel determinar a sua
soma. No entanto, na maior parte dos casos na˜o e´ muito simples determinar
a soma mas e´ fa´cil determinar a sua natureza. No que se segue iremos
estabelecer alguns resultados, a que chamaremos crite´rios de convergeˆncia
que permitira˜o concluir se uma dada se´rie e´ convergente.
1.2.2 Se´ries de termos positivos
Iremos supor que
an ≥ 0, ∀n ∈ N
e estabelecer resultados que permitem concluir se a se´rie
∞∑
n=1
an e´ ou na˜o
convergente. Estes resultados sera˜o chamados crite´rios de convergeˆncia para
se´ries de termos positivos.
Note-se que estes resultados tambe´m podem ser usados para determinar
a natureza duma se´rie de termos negativos. Com efeito, vimos anteriormente
que as se´ries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
(−an) teˆm a mesma natureza.
Podemos ainda concluir que estes resultados podem ainda ser usados
para determinar a natureza duma se´rie cujos termos tenham sinal constante
a partir duma certa ordem, ja´ que como vimos anteriormente, a natureza
duma se´rie na˜o depende dos seus primeiros termos.
A estas se´ries cujos termos teˆm sinal constante a partir duma certa ordem
chamamos se´ries de termos de sinal bem definido.
25
Teorema(Crite´rio de comparac¸a˜o): Suponhamos que
0 ≤ an ≤ bn, ∀n ∈ N.
Nestas condic¸o˜es:
(i) Se a se´rie
∑∞
n=1 bn converge, a se´rie
∑∞
n=1 an tambe´m converge.
(ii) Se a se´rie
∑∞
n=1 an diverge, enta˜o a se´rie
∑∞
n=1 bn tambe´m diverge.
Demonstrac¸a˜o: (i) Sejam (Sn) e (Tn) as sucesso˜es das somas parciais as-
sociadas a`s se´ries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn, respectivamente.
Teremosenta˜o,
Sn = a1 + . . . an
Tn = b1 + . . . bn
e consequentemente,
Sn ≤ Tn, ∀n ∈ N.
Da definic¸a˜o de se´rie convergente podemos concluir que, se a se´rie
∞∑
n=1
bn
converge enta˜o a sucessa˜o (Tn) e´ convergente e portanto limitada. Como
Sn ≤ Tn, para todo o n ∈ N , concluimos que a sucessa˜o (Sn) e´ majorada e,
consequentemente, convergente pois (Sn) e´ crescente. (ii) Note-se que este
resultado e´ equivalente ao anterior.
Exemplo 1.21 Considere-se a se´rie
∞∑
n=1
1
n!
. Como ja´ vimos anteriormente
que
1
n!
≤ 1
2n−1
, ∀n ∈ N
e a se´rie
∞∑
n=1
1
2n−1
e´ uma se´rie geome´trica convergente podemos concluir que
a se´rie dada tambe´m e´ convergente.
Exemplo 1.22 A se´rie
∞∑
n=1
1
nα
, 0 < α < 1
e´ divergente.
26
Com efeito, basta ter presente que para 0 < α < 1,
1
nα
>
1
n
, ∀n ∈ N
e que a se´rie
∞∑
n=1
1
n
e´ divergente.
Corola´rio: Se lim an
bn
= l, com l 6= 0 e l 6= +∞ enta˜o as se´ries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn
sa˜o da mesma natureza.
Prova: Consideremos ² ∈]0, l[. Como lim an
bn
= l podemos garantir a existeˆncia
duma ordem n0, a partir da qual se tenha
0 < l − ² < an
bn
< l + ².
logo
0 < (l − ²)bn < an < (l + ²)bn.
Assim, se a se´rie
∞∑
n=1
an for convergente a se´rie
∞∑
n=1
(l − ²)bn tambe´m sera´
convergente e portanto
∞∑
n=1
bn sera´ convergente.
Analogamente, concluimos que se
∞∑
n=1
bn e´ convergente enta˜o
∞∑
n=1
an tambe´m
sera´ convergente.
Observac¸a˜o 1.1 No caso de l = 0 ou l = +∞ podemos concluir que :
- Se lim an
bn
= +∞ e
∞∑
n=1
bn diverge enta˜o
∞∑
n=1
an tambe´m diverge.
- Se lim an
bn
= 0 e
∞∑
n=1
bn converge enta˜o
∞∑
n=1
an tambe´m converge.
Exemplo 1.23 Considere-se a se´rie
∞∑
n=1
2n2 + 1
n3 + 3
e usemos o Corola´rio an-
terior para determinar a natureza desta se´rie. Este resultado fazendo uso da
noc¸a˜o de limite, e´ sem du´vida um resultado de simples aplicac¸a˜o. A dificul-
dade reside em saber qual a se´rie com a qual se deve comparar esta se´rie.
27
Neste caso, porque se trata dum quociente de polino´mios, para que se obtenha
um limite finito, iremos comparar a se´rie dada com a se´rie
∑∞
n=1
1
nα
, sendo
α a diferenc¸a dos graus dos polino´mios. Neste caso α = 1. Teremos enta˜o
lim
1
n
2n2+1
n3+3
=
1
2
6= 0,+∞.
Podemos enta˜o concluir que as se´ries sa˜o da mesma natureza. Assim a
se´rie dada e´ divergente.
Exerc´ıcio 1.15 Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
sin
1
n
b)
∞∑
n=1
n3 + 3n+ 7
n4 − 2n3 + 5 .
O resultado que se segue permite determinar a natureza duma se´rie
atrave´s do ca´lculo dum limite com a vantagem de na˜o haver necessidade
de procurar outra se´rie para termo de comparac¸a˜o.
Crite´rio de D’Alembert
Se lim an+1
an
= l e
l < 1, enta˜o a se´rie
∑∞
n=1 an e´ convergente.
l > 1, enta˜o a se´rie
∑∞
n=1 an e´ divergente.
Observac¸a˜o: Se lim an+1
an
= 1, e se esta convergeˆncia se faz por valores
superiores ou iguais a 1, podemos concluir, pelo teorema anterior, que a se´rie
∞∑
n=1
an e´ divergente.
Exerc´ıcio 1.16 Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
2n
n!
b)
∞∑
n=1
n!
nn
.
28
Ca´lculo aproximado da soma duma se´rie:
Considere-se uma se´rie
∞∑
n=1
an convergente, cuja convergeˆncia foi
demonstrada usando o crite´rio de D’Alembert. Seja
Rn =
∞∑
k=n+1
ak
o resto de ordem n da se´rie
∞∑
n=1
an.
Cometendo um certo abuso de linguagem escreveremos
Rn = S − Sn.
O que pretendemos fazer e´ controlar o erro Rn que se comete quando se
aproxima a soma da se´rie S por Sn.
Seja enta˜o,
Rp = ap+1 + ap+2 + . . . + ap+n + . . . =
= ap+1(1 +
ap+2
ap+1
+ ap+3
ap+2
ap+2
ap+1
+ . . . )
Se Kp for um majorante do conjunto
{ap+2
ap+1
,
ap+3
ap+2
,
ap+4
ap+3
, . . . }
teremos obviamente,
Rp ≤ ap+1(1 +Kp +K2p + . . . ).
Como lim an+1
an
= l < 1, e´ poss´ıvel escolher kp < 1 e assim
Rp ≤ ap+1. 1
1−Kp .
Daqui se conclui que e´ poss´ıvel determinar o nu´mero de termos da se´rie que
devem ser somados para que o erro Rn seja inferior a um certo valor ² dado.
Basta considerar p tal que
ap+1.
1
1−Kp < ².
29
Na pra´tica este me´todo na˜o e´ muito simples de implementar devido a` dificul-
dade na determinac¸a˜o de Kp. Ha´, no entanto, alguns casos em que a escolha
de Kp e´ simples:
Se (an+1
an
) e´ crescente toma-se Kp = lim
an+1
an
Se (an+1
an
) e´ decrescente toma-se Kp =
ap+2
ap+1
Exemplo 1.24 Vejamos como se pode calcular a soma da se´rie
∞∑
n=1
1
n!
com
um erro inferior a 0.01.
Como
lim
an+1
an
= lim
1
n+ 1
= 0
podemos concluir, usando o crite´rio de D’Alembert, que a se´rie
∞∑
n=1
1
n!
e´
convergente. Notemos ainda que, sendo (an+1
an
) = ( 1
n+1
) uma sucessa˜o decres-
cente, podemos tomar
Kp =
1
p+ 2
teremos enta˜o
Rp ≤ ap+1
1−Kp =
1
(p+ 1)!
p+ 2
p+ 1
Para que Rp < 0.01, basta considerar p = 5. Conclu´ımos enta˜o que,
quando se aproxima a soma da se´rie pela soma dos seus 5 primeiros termos,
o erro que se comete e´ inferior a 0.01. Neste caso
S5 = 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
Exerc´ıcio 1.17 Determine um valor aproximado da soma da se´rie do exerc´ıcio
1.16a) com um erro inferior a 0.01.
30
Crite´rio de Cauchy ou Crite´rio da Ra´ız
Se lim n
√
an = l e
l < 1, a se´rie
∞∑
n=1
an e´ convergente
l > 1, a se´rie
∞∑
n=1
an e´ divergente.
l = 1,mas n
√
an ≥ 1, a se´rie
∞∑
n=1
an e´ divergente.
Exemplo 1.25 Usemos o crite´rio de Cauchy para determinar a natureza da
se´rie
∞∑
n=1
(
n+ 1
n
)n
2
.
Como
lim n
√
an = lim(
n+ 1
n
)n = lim(1 +
1
n
)n = e > 1
podemos concluir que a se´rie e´ divergente.
Exerc´ıcio 1.18 Determine a natureza das se´ries
a)
∞∑
n=1
n−n b)
∞∑
n=1
(
n
n+ 1
)n
2
Observac¸a˜o: Se a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
an for provada utilizando o
crite´rio de Cauchy, podemos obter um valor aproximado da soma da se´rie
procedendo de forma ana´loga ao caso em que a convergeˆncia e´ provada usando
o crite´rio de D’Alembert. Assim, se Kp e´ um majorante do conjunto
{ p+1√ap+1, p+2√ap+2, p+3√ap+3, . . . }
e Kp < 1, teremos,
Rp ≤ kp+1p . 11−kp
Como anteriormente, a determinac¸a˜o de Kp e´ simples quando
- a sucessa˜o ( n
√
an) e´ decrescente, e neste caso toma-se Kp = p+1
√
ap+1
- a sucessa˜o ( n
√
an) e´ crescente, e neste caso toma-se Kp = lim n
√
an
Exerc´ıcio 1.19 Determine um valor aproximado da soma da se´rie do exerc´ıcio
1.18a), com um erro inferior a 0.01.
31
Crite´rio do integral
Seja f : [1,+∞[→ R uma func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente. Considere-
-se an = f(n). Enta˜o
∞∑
n=1
an converge ⇔
∫ ∞
1
f(x)dx converge
i.e.,
(i) Se
∫ +∞
1
f(x)dx converge ⇒
∞∑
n=1
an converge
(ii) Se
∫ +∞
1
f(x)dx diverge ⇒
∞∑
n=1
an diverge
Prova: Considere-se a seguinte figura abaixo:
Figura 1.3: Crite´rio do integral.
Obviamente que
a2 + a3 + . . . + an ≤
∫ n
1
f(x)dx. (∗)
Analogamente como se pode observar na figura que se segue
Figura 1.4: Crite´rio do integral.
32
temos ∫ n
1
f(x)dx ≤ a1 + a2 + . . . + an−1. (∗∗)
Enta˜o:
(i) De (∗) temos
n∑
i=2
ai ≤
∫ n
1
f(x)dx ≤
∫ +∞
1
f(x)dx
e portanto
Sn = a1 +
n∑
i=2
ai ≤ a1 +
∫ +∞
1
f(x)dx =M.
Concluimos assim que (Sn)n∈N e´ uma sucessa˜o limitada e, uma vez que e´
mono´tona sera´ convergente. (ii) De (∗∗) temos∫ n
1
f(x)dx ≤ a1 + a2 + . . . + an−1 = Sn−1.
Como estamos a supor que
∫ +∞
1
f(x)dx e´ divergente podemos concluir
que (Sn−1)n∈N converge para infinito eportanto
∞∑
n=1
an e´ divergente.
Consequeˆncia: A se´rie de Dirichlet
∞∑
n=1
1
nα
e´ convergente se α > 1 e diver-
gente se α ≤ 1 .
Vimos anteriormente que, se α ≤ 1 enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
1
nα
e´ divergente.
Se α > 1, a func¸a˜o
f : [1,+∞[ → R
x → 1
xα
e´ cont´ınua, decrescente e positiva. Por outro lado,∫ +∞
1
f(x)dx =
∫ +∞
1
1
xα
dx = lim
y→+∞
∫ y
1
1
xα
dx = lim
y→+∞
[
x1−α
1− α ]
y
1
= lim
y→+∞
[
1
(1− α)yα−1 −
1
(1− α)
]
=
1
α− 1
33
Como o integral impro´prio e´ convergente concluimos que a se´rie
∞∑
n=1
1
nα
tambe´m e´ convergente.
Exerc´ıcio 1.20 Determine a natureza da se´rie
∞∑
n=1
ne−n.
Estimativa de erro
Duma forma ana´loga ao que foi feito no caso em que a convergeˆncia da
se´rie foi provada usando o crite´rio da ra´ız ou o crite´rio do integral, iremos
estabelecer uma majorac¸a˜o para o erro que se comete quando aproximamos
o valor da soma da se´rie pela soma dos seus n termos.
Consideremos enta˜o
Rn = S − Sn = an+1 + an+2 + . . .
Com a ajuda da figura abaixo
Figura 1.5: Estimativa de erro.
concluimos facilmente que
Rn = an+1 + an+2 + . . . ≤
∫ +∞
n
f(x)dx
Rn = an+1 + an+2 + . . . ≥
∫ +∞
n+1
f(x)dx.
Assim,∫ +∞
n+1
f(x)dx ≤ Rn = an+1 + an+2 + . . . ≤
∫ +∞
n
f(x)dx.
34
Exemplo 1.26 Se considerarmos a se´rie
∞∑
n=1
1
n3
podemos concluir, pelo crite´rio
do integral que esta se´rie e´ convergente.
Por outro lado, ∫ +∞
n
1
x3
dx =
1
2n2
.
Se o nosso objectivo for calcular um valor aproximado da soma da se´rie
cometendo um erro inferior a 0.0005 deveremos considerar n tal que
Rn ≤ 0.0005
Isto e´ conseguido se ∫ +∞
n
1
x3
dx ≤ 0.0005
ou seja,
1
2n2
<
5
10000
.
Basta enta˜o considerar n = 32.
Exerc´ıcio 1.21 Determine um valor aproximado da soma da se´rie do exerc´ıcio
1.20, com um erro inferior a 0.01.
1.2.3 Se´ries de termos de sinal na˜o definido
Vimos anteriormente como se determina a natureza duma se´rie de termos
positivos. Vimos tambe´m que os resultados estudados, podem ser utilizados
para determinar a natureza duma se´rie, cujos termos tenham sinal constante
a partir duma certa ordem.
Vamos agora considerar se´ries que na˜o teˆm necessariamente os termos
com o mesmo sinal a partir duma certa ordem. Estas se´ries sera˜o chamadas
se´ries de termos de sinal na˜o definido.
Definic¸a˜o: Diremos que a se´rie
∑∞
n=1 an e´ absolutamente convergente se e
so´ se a se´rie
∑∞
n=1 | an | for convergente. E´ dita simplesmente convergente
se for convergente mas na˜o for absolutamente convergente.
35
Observac¸a˜o: Para verificar se uma se´rie e´ absolutamente convergente
teremos que estudar a se´rie
∑∞
n=1 | an | que e´ de termos positivos, e portanto
pode ser estudada usando os resultados estabelecidos anteriormente.
Exemplo 1.27 A se´rie
∑∞
n=1
(−1)n
n2+1
e´ absolutamente convergente ja´ que a
se´rie
∑∞
n=1 | (−1)
n
n2+1
| e´ uma se´rie convergente.
Teorema: Se a se´rie
∑∞
n=1 an e´ absolutamente convergente enta˜o a se´rie∑∞
n=1 an e´ convegente e
|
∞∑
n=1
an |≤
∞∑
n=1
| an | .
Exerc´ıcio 1.22 Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
sinn
n2
b)
∞∑
n=1
cosn
n!
Crite´rio de Leibnitz
Se (bn) e´ uma sucessa˜o decrescente tal que lim bn = 0, enta˜o a se´rie∞∑
n=1
(−1)nbn e´ convergente.
Exemplo 1.28 A se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
n
e´ simplesmente convergente. Com efeito,
(bn) = (
1
n
) esta´ nas condic¸o˜es do corola´rio anterior e portanto a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
n
e´ convergente. Por outro lado, a se´rie
∞∑
n=1
| (−1)
n
n
| e´ a se´rie harmo´nica,
que, como sabemos e´ divergente.
Exerc´ıcio 1.23 Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=2
(−1)n
ln n
b)
∞∑
n=1
(−1)n
n!
36
Estimativa de erro
E´ poss´ıvel demonstrar que, no caso em que a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
(−1)nbn
e´ garantida pelo crite´rio de Leibnitz temos a seguinte estimativa para o erro:
|Rn| ≤ bn+1.
Exemplo 1.29 Para determinar um valor aproximado da soma da se´rie, do
exemplo anterior, com um erro inferior ou igual a 0.01 basta enta˜o considerar
n tal que |Rn| ≤ 1n+1 = 1100 . Ou seja n = 99.
Exerc´ıcio 1.24 Determine um valor aproximado das somas das se´ries do
exerc´ıcio 1.23, com um erro inferior a 0.01.
Produto de se´ries:
Dadas duas se´ries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn podemos considerar uma nova se´rie∑∞
n=1 un onde (un) e´ definida por
u1 = a1b1
u2 = a1b2 + a2b1
u3 = a1b3 + a2b2 + a3b1
•
•
•
un =
∑n
i=1 aibn+1−i
Nestas condic¸o˜es tem-se o seguinte resultado:
Teorema: Se as se´ries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn sa˜o absolutamente convergentes
enta˜o a se´rie
∑∞
n=1 un e´ absolutamente convergente e
∞∑
n=1
un = (
∞∑
n=1
an)(
∞∑
n=1
bn)
Demonstrac¸a˜o:(Ver J. Campos Ferreira, ”Introduc¸a˜o a` Ana´lise Matema´tica”)
Exemplo 1.30 Considere-se a se´rie
∞∑
n=1
n
3n+1
. Como
1
3n+1
=
1
3n+1−i3i
,
37
teremos
n
3n+1
=
n∑
i=1
1
3n+1−i3i
.
Uma vez que a se´rie
∑∞
n=1
1
3n
e´ uma se´rie absolutamente convergente
conclui-se que a se´rie dada e´ convergente e que
∞∑
n=1
n
3n+1
= (
∞∑
n=1
1
3n
)(
∞∑
n=1
1
3n
) =
1
4
.
Sobre o comportamento das se´ries simplesmente convergentes, refira-se o
seguinte resultado:
Teorema:(Riemann) Seja
∞∑
n=1
an uma se´rie simplesmente convergente. Enta˜o:
(i) Para todo α ∈ R existem permutac¸o˜es da se´rie
∞∑
n=1
an, cuja soma e´ α.
(ii) Existem permutac¸o˜es da se´rie
∞∑
n=1
an que sa˜o divergentes.
Demonstrac¸a˜o:(Ver J. Campos Ferreira, ”Introduc¸a˜o a` Ana´lise Matema´tica”)
Observac¸a˜o: Este resultado coloca em evideˆncia a complexidade desta
noc¸a˜o, aparentemente ta˜o simples.
38
Exerc´ıcios de controlo:
1. Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
2n−1
3n−1
b)
∞∑
n=1
3n+1 + (−2)n
5n−2
c)
∞∑
n=1
5n+1 + (−2)n
3n−2
d)
∞∑
n=1
(1 +
1
n
)n e)
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
) f)
∞∑
n=1
2n+ 1
n2(n+ 1)2
g)
∞∑
n=1
sin2(
1
n
) h)
∞∑
n=1
8nn!
nn
i)
∞∑
n=1
(n sin(
pi
3n
))n
j)
∞∑
n=2
(−1)nn
n2 − 2 k)
∞∑
n=1
√
n3 + 1
3n3 + 4n2 + 2
l)
∞∑
n=2
(−1)n cos(pi
n
)
m)
∞∑
n=1
(−1)n
n2n
n)
∞∑
n=1
(
(−1)n
n+ 3
− 1
n2 + 3
) o)
∞∑
n=1
3n!
(n+ 1)n
2. Determine um valor aproximado para a soma da se´rie do exerc´ıcio 1.m)
com um erro inferior a 0.01.
3. Determine a natureza da se´rie
∞∑
n=1
(1− pi
n+ 3
)n
2
.
4. (a) Mostre , usando a definic¸a˜o de se´rie convergente, que, se |d| < 1
enta˜o a se´rie ∞∑
n=1
a0d
n−1 =
a0
1− d.
Sugesta˜o: Use a expressa˜o a(1−r
n−1)
1−r para a soma dos n primeiros
termos duma progressa˜o geome´trica.
(b) Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n 1
1000n+2
e´ convergente e, se poss´ıvel determine a sua soma.
39
5. (a) Considere uma sucessa˜o (an)n∈N onde para cada n ∈ N
0 ≤ an ≤ (2n)!
(n!)2
(
1
5
)n.
Determine, justificando, a natureza da se´rie de termo geral an.
(b) Calcule lim an.
6. Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
((−1)n + 1
n2
) ; b)
∞∑
n=1
sinn
5n
7. Considere a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n 1
4n2 + 4
.
(a) Mostre que a se´rie e´ convergente.
(b) Determine um valor aproximado para a soma da se´rie com um
erro inferior a 0.01
8. Defina se´rie nume´rica absolutamente convergente.
9. Mostre que se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sa˜o se´ries nume´ricas absolutamente con-
vergentes enta˜o, para todo o x ∈ R,
∞∑
n=1
(an cosnx+ bn sinnx)
e´ uma se´rie convergente.
10. Determine a naturezae, no caso de serem convergentes, a soma das
seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
3n+1 + (−2)n
4n−2
b)
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n2
11. (a) Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
1
(n!)2
e´ convergente.
40
(b) Calcule um valor aproximado da soma da se´rie da al´ınea anterior,
com um erro inferior a 0.01 .
12. Calcule os seguintes limites:
(a) lim(bn. sinn), sabendo que
∞∑
n=1
bn e´ convergente.
(b) lim n
10
en
13. Mostre que
∞∑
n=1
cn e´ convergente sabendo que (cn)n∈N verifica
|cn| ≤ n
2 + 2
n4 + 3
.
1
en
, ∀n ∈ N.
14. Verifique se, ao aproximarmos
∞∑
n=1
2n
n!
por
2 +
22
2!
+
23
3!
+
24
4!
+
25
5!
+
26
6!
+
27
7!
+
28
8!
+
29
9!
+
210
10!
+
211
11!
cometemos um erro inferior a 1
100
.
15. Considere a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
n!
(a) Mostre que a se´rie e´ convergente.
(b) Determine o nu´mero de termos que devera´ considerar para obter
um valor aproximado da soma da se´rie com um erro inferior a
0.0001.
16. Deˆ um exemplo duma se´rie simplesmente convergente.
17. Seja (an)n∈N uma sucessa˜o de nu´meros reais tais que
− 1
n2
≤ an ≤ 0.
Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
an e´ convergente.
Sugesta˜o: Verifique se a se´rie e´ absolutamente convergente.
41
18. Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
(
2
3
)n+2 ; b)
∞∑
n=1
sin
1
n+ 1
.
19. (a) Calcule lim n
en
2 .
(b) Mostre que lim n!
en
= +∞.
Sugesta˜o: Use a teoria de se´ries.
20. (a) Mostre que a se´rie
∞∑
n=1
10n
(2n)!
e´ convergente.
(b) Diga, justificando, se
10
2!
+
102
4!
+
103
6!
difere da soma da se´rie anterior por um valor inferior a 1
3
.
21. Determine a natureza da se´rie
∞∑
n=1
(sinn)ne−n.
22. Verifique se a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
ln(n+ 1)
e´ simplesmente convergente.
23. Determine a natureza das seguintes se´ries:
a)
∞∑
n=1
(
n+ 2
n
)n b)
∞∑
n=1
(cosn)
n!
nn
42
Cap´ıtulo 2
Se´ries de func¸o˜es
Vimos anteriormente que a noc¸a˜o de soma infinita esta´ associada a` noc¸a˜o de
limite. A soma duma se´rie nume´rica aparece como o limite da sucessa˜o das
somas parciais.
Neste cap´ıtulo iremos considerar se´ries de func¸o˜es. Em vez duma soma
infinita de nu´meros reais iremos definir uma soma infinita de func¸o˜es.
Embora o nosso objectivo seja estudar somas infinitas de func¸o˜es que teˆm
uma forma muito particular, iremos comec¸ar por considerar alguns resultados
gerais, va´lidos para qualquer tipo de func¸o˜es.
2.1 Sucesso˜es de func¸o˜es
De forma ana´loga ao que acontecia no caso das sucesso˜es de nu´meros reais,
uma sucessa˜o de func¸o˜es que representaremos por (fn)n∈N e´ uma func¸a˜o
definida em N , onde para cada n ∈ N , associa uma func¸a˜o fn
fn : X → R
x → fn(x).
Definic¸a˜o: Diremos que a sucessa˜o de func¸o˜es (fn)n∈N converge para a
func¸a˜o f e escreveremos (fn → f ou lim fn = f) se
∀x ∈ X, fn(x)→ f(x).
A esta convergeˆncia chamamos convergeˆncia simples ou convergeˆncia ponto
a ponto.
Exemplo 2.1 A sucessa˜o de func¸o˜es (fn)n∈N onde para cada n ∈ N ,
fn : [0, 1] → R
x → xn.
43
converge para a func¸a˜o f definida por
f : [0, 1] → R
x →
{
0, 0 ≤ x < 1
1, x = 1
Com efeito,
se x = 0 ⇒ lim fn(x) = lim 0 = 0
se x = 1 ⇒ lim fn(x) = lim 1 = 1
se 0 < x < 1 ⇒ lim fn(x) = lim xn = 0.
Observac¸a˜o: Recorrendo a` definic¸a˜o de limite, podemos afirmar que fn → f
se fixado x ∈ X,
∀² > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |fn(x)− f(x)| < ².
Podemos enta˜o concluir que, fixado x ∈ X e ² > 0 existe uma ordem
n0 = n0(x, ²) tal que, a partir dessa ordem se tem |fn(x) − f(x)| < ². A
ordem n0 depende de ² > 0 e de x.
Se esta ordem for independente de x diremos que temos convergeˆncia
uniforme. Teremos enta˜o a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o: A sucessa˜o de func¸o˜es (fn)n∈N converge uniformemente para a
func¸a˜o f se
∀² > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |fn(x)− f(x)| < ², ∀x ∈ X.
Observac¸a˜o: A importaˆncia deste resultado resulta do facto de haver re-
sultados que sa˜o va´lidos quando temos convergeˆncia uniforme e que na˜o se
verificam quando ha´ apenas convergeˆncia simples.
Teorema: Se fn → f uniformemente em X e fn sa˜o func¸o˜es cont´ınuas, enta˜o
f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Corola´rio: Se fn sa˜o func¸o˜es cont´ınuas e f na˜o e´ cont´ınua enta˜o a con-
vergeˆncia de fn para f na˜o e´ uniforme.
Exemplo 2.2 No exemplo estudado anteriormente na˜o temos convergeˆncia
uniforme.
44
2.2 Se´ries de func¸o˜es
Seja enta˜o (fn)n∈N , uma sucessa˜o de func¸o˜es, onde para cada n ∈ N , fn e´
uma func¸a˜o de X em R. Consideremos a sucessa˜o de func¸o˜es (Sn)n∈N , onde
para cada n ∈ N ,
Sn : X → R
x → Sn(x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)
Se a sucessa˜o das somas parciais (Sn)n∈N for convergente, diremos que a
se´rie
∞∑
n=1
fn
e´ convergente e ao seu limite chamamos soma da se´rie.
Definic¸a˜o: Diremos que a se´rie de func¸o˜es
∞∑
n=1
fn, converge uniformemente
em X, se e so´ se a sucessa˜o das somas parciais (Sn)n∈N for uniformemente
convergente em X para uma func¸a˜o S.
A noc¸a˜o de sucessa˜o uniformemente convergente e´ delicada saindo, clara-
mente, dos objectivos trac¸ados para este curso. Na˜o exploraremos portanto
esta noc¸a˜o. Ha´, no entanto, um resultado de fa´cil utilizac¸a˜o que, sob certas
condic¸o˜es, garante a convergeˆncia uniforme duma se´rie de func¸o˜es.
Crite´rio de Weierstrass:
Se existir uma sucessa˜o nume´rica (an)n∈N tal que
1. ∀n ∈ N, ∀x ∈ X, |fn(x)| ≤ an.
2.
∞∑
n=1
an converge.
enta˜o as se´ries
∞∑
n=1
|fn| e
∞∑
n=1
fn sa˜o uniformemente convergentes
45
Exemplo 2.3 A se´rie
∞∑
n=1
(−1)n
n2
.
1
1 + x2
e´ uniformemente convergente em
[0, 1].
Com efeito,
1. ∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], | (−1)n
n2
. 1
1+x2
| ≤ 1
n2
.
2.
∑∞
n=1
1
n2
converge.
Exerc´ıcio 2.1 Mostre que a se´rie
∑∞
n=1
logn
n2
. sinx e´ uniformemente conver-
gente em R.
Exerc´ıcio 2.2 Mostre que a se´rie
∑∞
n=1
sin(n4x)
n2
e´ uniformemente conver-
gente em R.
Teorema: Seja (fn)n∈N uma sucessa˜o de func¸o˜es onde, para cada n ∈ N ,
fn : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Se a se´rie
∑∞
n=1 fn converge uniformemente, enta˜o a soma da se´rie e´ uma
func¸a˜o cont´ınua e ∫ b
a
∞∑
n=1
fn(x)dx =
∞∑
n=1
∫ b
a
fn(x)dx.
Exerc´ıcio 2.3 Calcule
a)
∫ 1
0
( ∞∑
n=1
1
2n
1
1 + x2
)
dx b)
∫ pi
2
0
( ∞∑
n=1
(−1)n
3n
sinx
)
dx
Teorema: Seja (fn)n∈N uma sucessa˜o de func¸o˜es onde, para cada n ∈ N ,
fn : [a, b] → R e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Admitamos que, para um certo
c ∈ [a, b], a se´rie ∑∞n=1 fn(c) e´ convergente.
Se a se´rie
∑∞
n=1 f
′
n converge uniformemente, em [a, b], para a func¸a˜o T ,
enta˜o a se´rie
∑∞
n=1 fn converge uniformemente para S e S
′ = T .
46
Exerc´ıcio 2.4 Calcule
a)
( ∞∑
n=1
1
2n
1
1 + x2
)′
x ∈ [−1, 1] b)
( ∞∑
n=1
(−1)n
3n
sinx
)′
x ∈ [0, pi]
2.2.1 Se´ries de poteˆncias
As se´ries de poteˆncias sa˜o um caso particular das se´ries de func¸o˜es que,
devido a` sua importaˆncia, merecem um tratamento diferenciado. Neste caso
as func¸o˜es fn teˆm a forma
fn(x) = an(x− x0)n
onde x0 e´ um valor fixo de R e (an)n∈N e´ uma sucessa˜o nume´rica.
As se´ries teˆm enta˜o a forma
∞∑
n=0
an(x− x0)n
Exemplo 2.4 Se´rie de Taylor
Sejam I um intervalo aberto de R e f : I → R uma func¸a˜o de classe C∞.
Considerem-se a ∈ I, h ∈ R tais que a+ h ∈ I. Nestas condic¸o˜es, vimos
que a fo´rmula de Taylor garante que, para todo o n ∈ N ,
f(a+ h) = f(a) + f ′(a)h+
f ′′(a)
2!
h2 + . . . +
f (n−1)(a)
(n− 1)! h
n−1 + rn(h)
onde
rn(h) =
f (n)(a+ θnh)
n!
hn, com 0 < θn < 1.
A` se´rie
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
hn
cuja sucessa˜o dassomas parciais coincide com o polino´mio de Taylor cha-
mamos se´rie de Taylor de f em torno de a.
47
Observac¸a˜o: Se f ∈ C∞(I), podemos considerar sempre a se´rie de Taylor
de f . No entanto, esta se´rie podera´ ser convergente ou divergente, e, mesmo
que seja convergente a sua soma podera´, ou na˜o, ser igual a f(a+ h).
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : I → R, de classe C∞, diz-se anal´ıtica se
∀a ∈ I, ∃² > 0 : |h| < ²⇒
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
hn = f(a+ h).
Resulta enta˜o que
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
hn = f(a+ h)⇔ lim
n
rn(h) = 0.
Exemplo 2.5 Vejamos como determinar a se´rie de Taylor de ex em torno
da origem. Para todo n ∈ N , f (n)(0) = 1,e, portanto, a fo´rmula de Taylor
de f em torno de zero tem a forma
ex = 1 + x+
x2
2!
+ . . . +
xn
n!
+
eCn
(n+ 1)!
xn+1,
com |Cn| < |x|.
Como para todo o x ∈ R, fixo,
lim
eCn
(n+ 1)!
xn+1 = 0
concluimos que
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
.
Exemplo 2.6 Se´rie de Taylor da func¸a˜o seno em torno da origem.
Podemos observar que as sucessivas derivadas da func¸a˜o seno sa˜o
cosx, − sinx, − cosx, sinx, . . .
A fo´rmula de Taylor em torno da origem permite enta˜o escrever
sinx = x− x
3
3!
+
x5
5!
+ . . .+ (−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
+ r2n+2(x)
48
onde
rn(x) =
(sin)(n)(cn)
n!
xn, |cn| < |x|.
Tambe´m aqui teremos para todo x ∈ R
lim
(sin)(2n+2)(cn)
(2n+ 2)!
x2n+2 = 0.
Podemos enta˜o concluir que
sin x =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
.
Exerc´ıcio 2.5 Mostre que a se´rie de Taylor da func¸a˜o cosseno em torno de
zero e´ dada por
cosx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
.
Depois deste exemplo, voltemos a`s se´ries de poteˆncias. No que se segue,
consideraremos se´ries de poteˆncias em torno de x0 = 0. Teremos enta˜o
∞∑
n=0
any
n.
Notemos que esta se´rie pode ser obtida da anterior considerando
y = x− x0.
O estudo, que iremos fazer a seguir, tem por objectivo determinar os
pontos x ∈ R para os quais a se´rie
∞∑
n=0
anx
n.
e´ convergente. Notemos que, por translac¸a˜o, passamos facilmente dum domı´nio
de convergeˆncia duma se´rie centrada em zero para o domı´nio de convergeˆncia
duma se´rie centrada em x0.
Exemplo 2.7 A se´rie
∑∞
n=0
xn
n!
e´ convergente para ex para todos os valores
de x ∈ R.
49
Exemplo 2.8 A se´rie
∑∞
n=0 x
n e´ convergente para 1
1−x para todos os valores
de x ∈ R tais que |x| < 1.
Exemplo 2.9 A se´rie
∑∞
n=0(−1)n x
2n+1
(2n+1)!
e´ convergente para sinx para todos
os valores de x ∈ R.
Teorema: Dada uma se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0 anx
n, ela sera´ convergente
apenas em x = 0, ou existe r > 0 (ou +∞) tal que a se´rie converge absolu-
tamente em ] − r, r[ e diverge fora de [−r, r]. Em −r e r a se´rie podera´ ser
convergente ou divergente.
Como determinar este valor r ?
Se existir lim
n→∞
|an+1
an
| = R, enta˜o r = 1
R
ou,
Se existir lim
n→∞
n
√
|an| = R, enta˜o r = 1
R
A r chamamos raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias.
Observac¸a˜o: Para |x| = r, este resultado na˜o permite tirar qualquer con-
clusa˜o. Se pretendemos determinar todos os valores de R para os quais a se´rie
converge deveremos considerar separadamente as duas se´ries nume´ricas.
∞∑
n=0
anr
n e
∞∑
n=0
an(−r)n.
Exemplo 2.10 Vejamos como determinar todos os valores de x ∈ R para
os quais a se´rie
∑∞
n=0
(−1)n+1
n+1
xn e´ convergente.
Como
R = lim
∣∣∣∣∣ 1n+21
n+1
∣∣∣∣∣ = lim n+ 1n+ 2 = 1
conclu´ımos que a se´rie converge em ] − 1, 1[. Teremos agora que analisar o
que se passa com a se´rie nos pontos x = −1 e x = 1.
Como a se´rie
∞∑
n=0
(−1)n+1
n+ 1
e´ convergente e a se´rie
∞∑
n=0
−1
n+ 1
e´ divergente
concluimos que a se´rie dada e´ convergente em ]− 1, 1].
50
Exerc´ıcio 2.6 Determine todos os valores de x para os quais as seguintes
se´ries sa˜o convergentes.
a)
∞∑
n=1
xn√
n
b)
∞∑
n=1
(−1)nxn
n!
Teorema: Se
∞∑
n=0
anx
n e´ uma se´rie de poteˆncias com raio de convergeˆncia r
enta˜o as se´ries de poteˆncias
∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1 e
∞∑
n=1
nanx
n−1
teˆm raio de convergeˆncia r e para todo x ∈]− r, r[,∫ x
0
∞∑
n=0
ant
ndt =
∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1
e ( ∞∑
n=0
anx
n
)′
=
∞∑
n=1
nanx
n−1
Temos ainda o seguinte resultado:
Teorema: Se para todo o x ∈ [α, β], a se´rie
∞∑
n=0
anx
n e´ convergente enta˜o∫ β
α
(
∞∑
n=0
anx
n)dx =
∞∑
n=0
an
(n+ 1)
(βn+1 − αn+1)
Consequeˆncia: Seja f a func¸a˜o definida por f(x) =
∞∑
n=0
anx
n. Enta˜o f
possui derivadas de todas as ordens em qualquer ponto de ] − r, r[ e essas
derivadas podem ser calculadas derivando a se´rie termo a termo.
Assim,
f (k)(x) =
∞∑
n=k
n(n− 1) . . .(n− k + 1)anxn−k
e portanto,
ak =
f (k)(0)
k!
.
51
Conclusa˜o: Basta ter presente a definic¸a˜o de se´rie de Taylor para conluir
que a se´rie de poteˆncias cuja soma e´ f(x) na˜o e´ mais do que a se´rie de Taylor
de f em torno de zero.
Exerc´ıcio 2.7 Determine a se´rie de Taylor em torno do valor dado, a, das
seguintes func¸o˜es bem como os valores de x para os quais as se´ries sa˜o con-
vergentes.
a) f(x) = 1 + x+ x2, a = 2 b) f(x) = cos(pix), a = 0
Aplicac¸o˜es:
A partir do conhecimento do desenvolvimento em se´rie de poteˆncias de
algumas func¸o˜es e´ poss´ıvel, usando a definic¸a˜o e as propriedades das se´ries de
poteˆncias, definir desenvolvimentos em se´rie de poteˆncias de outras func¸o˜es.
Exemplo 2.11 Vejamos como se pode determinar um desenvolvimento em
se´rie de poteˆncias de x da func¸a˜o f(x) = x
3
2+x
.
Temos
x3
2+x
= x3. 1
2(1+x
2
)
= x
3
2
. 1
1−(−x
2
)
=
= x3
∞∑
n=0
(−x
2
)n = x3
∞∑
n=0
(−1)n
2n
xn =
=
∞∑
n=0
(−1)n
2n+1
xn+3
Exemplo 2.12 Derivando a expressa˜o
1
1− x =
∞∑
n=0
xn
obtemos
1
(1− x)2 =
∞∑
n=1
(n)xn−1.
Este processo de derivac¸a˜o permite-nos determinar um desenvolvimento em
se´rie de poteˆncias da func¸a˜o 1
(1−x)2 . Temos enta˜o
1
(1− x)2 =
∞∑
n=0
(n+ 1)xn.
52
Exemplo 2.13 Para determinar um desenvolvimento em se´rie da func¸a˜o
arctg podemos utilizar o seguinte processo:
arctgx =
∫ x
0
1
1 + t2
dt =
∫ x
0
∞∑
n=0
(−1)nt2ndt =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
.
O raio de convergeˆncia desta se´rie tambe´m e´ 1.
Podemos usar o desenvolvimento em se´rie de poteˆncias duma func¸a˜o para
calcular a sua primitiva.
Este ca´lculo revela-se importante quando as func¸o˜es na˜o sa˜o primitiva´veis
atrave´s de func¸o˜es simples.
Exemplo 2.14 A partir do desenvolvimento em se´rie de poteˆncias da func¸a˜o
ex, obtemos
e−x
2
=
∞∑
n=0
(−1)nx
2n
n!
pelo que ∫
e−x
2
dx =
∞∑
n=0
(−1)n
n!
x2n+1
2n+ 1
+ C.
Exemplo 2.15 Em certos casos podemos usar o desenvolvimento em se´rie
de poteˆncias duma func¸a˜o para calcular uma aproximac¸a˜o do valor do inte-
gral. Do exemplo anterior, concluimos que∫ 1
0
e−x
2
dx =
[ ∞∑
n=0
(−1)n
n!
x2n+1
2n+ 1
]1
0
=
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)n!
.
O valor do integral aparece como a soma duma se´rie alternada. Vimos,
no cap´ıtulo anterior, como e´ que podemos determinar um valor aproximado
para a soma desta se´rie alternada. Se, por exemplo, estivermos interessados
em determinar um valor aproximado da soma desta se´rie cometendo um erro
inferior a 0.001, deveremos considerar n tal que
1
(n+ 1)!(2n+ 3)
<
1
1000
.
Basta enta˜o considerar n = 4. O valor do integral e´ aproximadamente
igual a 1− 1
3
+ 1
10
− 1
42
.
53
Podemos ainda usar as se´ries de poteˆncias como uma ferramenta para
calcular limites.
Exemplo 2.16 Mais uma vez, partindo do desenvolvimento em se´rie de
poteˆncias da func¸a˜o ex, concluimos que
ex−1−x
x2
=
(1+x+x2
2!
+x
3
3!
+ . . . )−1−x
x2
=
= 1
2
+ x
3!
+ x
2
4!
+ . . .
pelo que, usando a continuidade das se´ries de poteˆncias temos
lim
x→0
ex − 1− x
x2
=
1
2
.
Exerc´ıcio 2.8 Determine uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias de x das
seguintes func¸o˜es e indique o intervalo de convergeˆncia.
a) f(x) =
1
4 + x2
b)f(x) =
1
(1 + x)2
c) f(x) = ln(1 + x)
Exerc´ıcio 2.9 Determine uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para as
seguintes primitivas.
a)
∫
1
1 + x4
dx b)
∫
arctgx
x
dx
Exerc´ıcio 2.10 Use se´ries de poteˆncias para determinar o valor dos seguin-
tes integrais com um erro inferior a 10−7.
a)
∫ 0.5
0
1
1 + x7
dx b)
∫ 0.5
0
arctgx dx
Multiplicac¸a˜o e divisa˜o de se´ries
Normalmente os primeiros termos duma se´rie de poteˆncias sa˜o os mais
significativos. Para determinar o produto e o quociente de se´ries de poteˆncias
podemos fazeˆ-lo como se de polino´mios se tratasse.
54
Multiplicac¸a˜o
Vejamos,por exemplo, como determinar os primeiros treˆs termos do de-
senvolvimento em se´rie de poteˆncias da func¸a˜o ex sinx.
ex sinx = (1 + x+ x
2
2!
+ x
3
3!
+ . . . ).(x− x3
3!
+ . . . )
= x+ x2 + ( 1
2!
− 1
3!
)x3 + . . .
= x+ x2 + 1
3
x3 + . . .
Exerc´ıcio 2.11 Use a multiplicac¸a˜o de se´ries de poteˆncias para determinar
os treˆs primeiros termos na˜o nulos da se´rie de Maclaurin da func¸a˜o definida
por f(x) = e−x
2
cosx.
Divisa˜o de se´ries
Podemos, de forma ana´loga, determinar os primeiros termos do desen-
volvimento em se´rie de poteˆncias duma func¸a˜o quociente de duas func¸o˜es,
das quais se conhece o desenvolvimento em se´rie de poteˆncias. E´ fundamen-
tal que o termo independente do desenvolvimento em se´rie de poteˆncias da
func¸a˜o que esta´ em denominador seja na˜o nulo.
Exemplo 2.17 Vejamos como determinar os primeiros treˆs termos do de-
senvolvimento em se´rie de poteˆncias da func¸a˜o tgx = sinx
cosx
.
Usando os desenvolvimento em se´rie de poteˆncias das func¸o˜es seno e
cosseno, podemos escrever
tgx =
x− x3
3!
+ x
5
5!
+ . . .
1− x2
2!
+ x
4
4!
+ . . .
.
De seguida dividimos os polino´mios e obtemos
x− x3
3!
+ x
5
5!
+ . . .
1− x2
2!
+ x
4
4!
+ . . .
= x+
1
3
x3 +
2
15
x5 + . . . .
Exerc´ıcio 2.12 Use a divisa˜o de se´ries de poteˆncias para determinar os
treˆs primeiros termos na˜o nulos da se´rie de Maclaurin da func¸a˜o definida
por f(x) = ln(1−x)
ex
.
55
Se´rie binomial
Para certas aplicac¸o˜es pode ser importante conhecer a chamada se´rie
binomial.
Para k ∈ R e x tal que |x| < 1 temos
(1 + x)k = 1 + kx+ k(k−1)
2!
x2 + k(k−1)(k−2)
3!
x3 + . . .
=
∞∑
n=0
(
k
n
)
xn
onde (
k
n
)
= k(k−1) . . . (k−n+1)
n!
(
k
0
)
= 1
Exerc´ıcio 2.13 Use a se´rie binomial de poteˆncias para determinar o desen-
volvimento em se´rie de poteˆncias da func¸a˜o definida por f(x) =
√
1 + x.
2.3 Se´ries de poteˆncias / Equac¸o˜es diferen-
ciais
Nesta secc¸a˜o iremos ver como e´ que as se´ries de poteˆncias podem ser usadas
para determinar a soluc¸a˜o duma equac¸a˜o diferencial.
Este me´todo de resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais consiste em procurar
a soluc¸a˜o na forma duma se´rie de poteˆncias
y(x) =
∞∑
n=0
Cnx
n.
Substituimos esta expressa˜o na equac¸a˜o diferencial e identificam-se as poteˆncias
do mesmo grau. Estabelecemos assim relac¸o˜es que devem ser verificadas pe-
los coeficientes Cn. Determinados estes valores de Cn, substituimo-los na
expressa˜o de y e obtemos a soluc¸a˜o.
56
Exemplo 2.18 Consideremos a equac¸a˜o diferencial
y′′ + y = 0
e procuremos a sua soluc¸a˜o na forma
y(x) =
∞∑
n=0
Cnx
n.
A expressa˜o de y′ sera´ enta˜o
y′′(x) =
∞∑
n=2
n(n− 1)Cnxn−2.
Para que possamos efectuar a identificac¸a˜o das poteˆncias do mesmo grau e´
conveniente ter as va´rias se´ries envlovidas com a mesma variac¸a˜o. Sendo
assim escreveremos
y′′(x) =
∞∑
n=0
(n+ 2)(n+ 1)Cn+2x
n.
Substituindo na equac¸a˜o diferencial as expresso˜es de y e y′′ obtemos
∞∑
n=0
[(n+ 2)(n+ 1)Cn+2 + Cn]x
n = 0
o que nos permite obter as seguintes relac¸o˜es:
(n+ 2)(n+ 1)Cn+2 + Cn = 0, n = 0, 1, 2, 3, . . .
ou seja
Cn+2 = − Cn
(n+ 2)(n+ 1)
, n = 0, 1, 2, 3, . . .
Se C0 e C1 sa˜o duas constantes arbitra´rias enta˜o temos
C2 = −C02
C3 = −C16
C4 =
C0
4!
C5 =
C1
5!
C6 = −C06!
.
.
.
C2n = (−1)n C0(2n)!
C2n+1 = (−1)n C1(2n+1)!
57
e para y obtemos
y = C0[1− x22 + x
4
4!
− x6
6!
+ . . .+ (−1)n x2n
(2n)!
+ . . .]
+ C1[x− x33! + x
5
5!
− x7
7!
+ . . .+ (−1)n x2n+1
(2n+1)!
+ . . .]
= C0
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
+ C1
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
= C0 cosx+ C1 sinx
Dum modo geral, a aplicac¸a˜o desta te´cnica na˜o conduz a uma expressa˜o
ta˜o simples como aquela que obtivemos neste exemplo. Obteremos apenas o
desenvolvimento em se´rie de poteˆncias da func¸a˜o soluc¸a˜o.
A soluc¸a˜o deste problema encontrada por esta via tambe´m podera´ ser
obtida atrave´s da resoluc¸a˜o anal´ıtica da equac¸a˜o diferencial.
Exemplo 2.19 Considere-se agora a equac¸a˜o diferencial de 1aordem
y′ + y = 0
da qual tambe´m e´ conhecida a soluc¸a˜o (y = Ae−x).
Procurando uma soluc¸a˜o desta equac¸a˜o sob a forma duma se´rie de poteˆncias
y =
∞∑
n=0
Cnx
n
apo´s a substituic¸a˜o desta expressa˜o de y na equac¸a˜o diferencial obtemos
∞∑
n=0
((n+ 1)Cn+1 + Cn)x
n = 0.
Para que esta se´rie seja nula teremos que ter
Cn+1 = − Cn
n+ 1
, n = 0, 1, 2, 3, ...
Daqu´ı resulta
58
C1 = −C0
C2 = −C02
C3 = −C06
C4 =
C0
4!
.
.
.
Cn =
(−1)n+1C0
n!
Assim teremos
y =
∞∑
n=0
(−1)n+1C0
n!
xn = −C0
∞∑
n=0
(−1)n
n!
xn = −C0e−x
Que e´ justamente o resultados esperado.
Exerc´ıcio 2.14 Determine a soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es diferenciais,
usando se´ries de poteˆncias:
a) y′′ − y′ = 0 ; b) y′ = x2y
Exerc´ıcio 2.15 Usando se´ries de poteˆncias determine a soluc¸a˜o dos seguin-
tes problemas de valor inicial:
a) y′′ − xy′ − y = 0 , y(0) = 1 ; y′(0) = 0
b) y′′ = xy, y(0) = −3, y′(0) = 2.
c) y′′ = x2y ; y(0) = −1 ; y′(0) = 0.
Exerc´ıcio 2.16
Usando se´ries de poeˆncias determine a soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es dife-
renciais:
a) y′′ + xy′ + y = 0 ; b) (x2 + 1)y′′ + xy′ − y = 0
59
Exerc´ıcios de controlo:
1. Use o crite´rio de Weierstrass para concluir que as seguintes se´ries sa˜o
uniformemente convergentes:
a)
∞∑
n=1
lnn
n2 + 1
cosx, x ∈ [0, 2pi] b)
∞∑
n=1
1
n!
ex, x ∈ [0, 100]
2. Determine o intervalo de convergeˆncia das seguintes se´ries
a)
∞∑
n=1
3nxn b)
∞∑
n=1
(−1)nxn
n+ 1
c)
∞∑
n=2
xn
lnn
3. Determine uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para as seguintes
func¸o˜es e indique o respectivo raio de convergeˆncia.
a) f(x) =
1
x− 5 b) f(x) =
1
(x+ 1)3
c) f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
4. Determine uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias da func¸a˜o
∫
1
1+x6
dx.
5. Determine a se´rie de Taylor em torno do valor dado, a, das seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) =
1
x
, a = 1 b) f(x) = x cos(2x), a = 0
6. Use a se´rie binomial para representar em se´rie de poteˆncias as seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) =
1
(2 + x)3
b) f(x) =
√
1 + x2
7. Determine f (10)(0) para cada uma das func¸o˜es do exerc´ıcio anterior.
8. (a) Represente em se´rie de poteˆncias a func¸a˜o definida por
f(x) = x
(1−x)2 .
(b) Use a al´ınea anterior para determinar a soma da se´rie
∞∑
n=1
n
2n
.
60
9. (a) Determine todos os valores de x para os quais a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n e
n
n2
xn
e´ convergente.
(b) Determine todos os valores de x para os quais a se´rie
∞∑
n=1(−1)n e
n
n2
(x− e)n
e´ convergente.
10. Determine um desenvolvimento em se´rie de poteˆncias de x da func¸a˜o
f definida por
f(x) = log(e+ x)
e o raio de convergeˆncia dessa se´rie.
11. Sabendo que, se uma sucessa˜o de func¸o˜es cont´ınuas (fn)n∈N , definidas
em X ⊂ R, converge uniformemente para uma func¸a˜o f , enta˜o f e´ uma
func¸a˜o cont´ınua, prove o seguinte resultado:
Se a se´rie de func¸o˜es
∑∞
n=1 gn converge uniformemente para S, em
X ⊂ R e gn sa˜o func¸o˜es cont´ınuas emX enta˜o S e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Sugesta˜o: Use a definic¸a˜o de se´rie de func¸o˜es.
12. (a) Calcule o limite da sucessa˜o ( 8
n
1+8n
)n∈N e diga, justificando, se a
sucessa˜o ((−1)n 8n
1+8n
)n∈N e´ convergente.
(b) Determine o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
2n
1 + 8n
xn
13. Para cada n ∈ N , considere fn : [0, 2pi]→ R definida por
fn(x) =
ln n
n3
(1 + sin
x
n
).
Mostre que a se´rie de func¸o˜es
∞∑
n=1
fn, e´ uniformemente convergente.
14. Determine um desenvolvimento em se´rie de poteˆncias de x da func¸a˜o
f definida por f(x) =
x
(1 + x)2
.
61
15. Mostre que a se´rie de func¸o˜es
∞∑
n=1
1
n(1 + nx)
, x ∈ [1, 100]
e´ uniformemente convergente.
16. Determine todos os valores de x para os quais a se´rie
∞∑
n=1
3n
n
xn e´ con-
vergente.
17. Determine um desenvolvimento em se´rie de poteˆncias de x da func¸a˜o
f definida por
f(x) =
x
(2 + x2)2
.
18. Considere a func¸a˜o f definida por
f(x) =
x
(2 + x)2
.
(a) Determine um desenvolvimento em poteˆncias de x da func¸a˜o f .
(b) Use o resultado anterior para determinar a soma da se´rie
∞∑
n=1
n
2n
.
19. Determine um desenvolvimento em poteˆncias de x da func¸a˜o f definida
por
f(x) = ln(e+ x2).
62
Cap´ıtulo 3
Matrizes e sistemas de
equac¸o˜es lineares
O problema central da A´lgebra Linear e´ o estudo dos sistemas de equac¸o˜es
lineares.
Quando resolvemos um sistema de treˆs equac¸o˜es com treˆs inco´gnitas es-
tamos a determinar a intersecc¸a˜o de treˆs planos. Como e´ sabido, essa inter-
secc¸a˜o pode ser um plano, uma recta, um ponto ou o conjunto vazio.
A resoluc¸a˜o do sistema devera´ permitir tirar estas concluso˜es. Embora o
estudo que iremos fazer na˜o se limite apenas a sistemas de treˆs equac¸o˜es a
treˆs inco´gnitas, poderemos considerar sempre este exemplo como refereˆncia.
3.1 Motivac¸a˜o
Consideremos o seguinte sistema de treˆs equac¸o˜es a treˆs inco´gnitas
2x + 3y + z = 8
4x + y + z = 10
−6x + 3y + 3z = −6
Como sabemos, resolver um sistema e´ determinar a sua soluc¸a˜o, ou seja,
determinar os valores de x, y e z tais que a sua substituic¸a˜o no sistema
conduza a treˆs identidades.
Vejamos um me´todo novo, chamado Me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss, que
consiste em multiplicar a 1a equac¸a˜o por um coeficiente de tal forma que ao
somarmos a 1a e a 2a equac¸o˜es desaparec¸a o termo em x. De seguida faremos
o mesmo para a 3a equac¸a˜o.
63
Multiplicamos enta˜o a 1a equac¸a˜o por −2 e adicionamos o resultado a` 2a
equac¸a˜o. De seguida multiplicamos a 1a equac¸a˜o por 3 e adicionamos a` 3a
equac¸a˜o. Obtemos enta˜o±°
²¯
2 x + 3y + z = 8
− 5y − z = −6
12y + 6z = 18
Procedendo da mesma forma relativamente a`s 2a e 3a linhas, iremos mul-
tiplicar a 2a linha por 12
5
e adicionar a` terceira, obtendo-se
2x + 3y + z = 8
+ ¹¸
º·
− 5 y − z = −6
+ 18
5
z = 18
5
Percebemos facilmente que da 3a equac¸a˜o obtemos z = 1 e que com esta
informac¸a˜o obtemos a partir da 2a equac¸a˜o y = 1 e da 1a equac¸a˜o x = 2.
A soluc¸a˜o do sistema e´ enta˜o x = 2, y = 1 e z = 1. Se quisermos pensar
em termos geome´tricos podemos afirmar que a intersecc¸a˜o dos treˆs planos e´
um ponto.
Aos elementos assinalados 2 e −5 chamaremos pivots.
Vejamos agora outro exemplo onde a intersecc¸a˜o dos planos (soluc¸a˜o do
sistema) podera´ na˜o ser um u´nico ponto.
Exemplo 3.1 Consideremos enta˜o o seguinte sistema de treˆs equac¸o˜es com
treˆs inco´gnitas 
5y + 6z = 0
αy + 6z = 0
x + 7y + 8z = 1
Para usarmos a te´cnica anterior iremos efectuar uma troca de linhas e
escrever o sistema na forma
x + 7y + 8z = 1±°²¯5 y + 6z = 0
αy + 6z = 0
Multiplicando a 2a equac¸a˜o por −α
5
e adicionando o resultado a` 3a equac¸a˜o
obtemos 
x + 7y + 8z = 1±°²¯5 y + 6z = 0
6(1− α
5
)z = 0
64
E conclu´ımos que se α 6= 5 a soluc¸a˜o sera´ x = 1, y = 0 e z = 0. Diremos
que o sistema tem uma e uma so´ soluc¸a˜o. Em termos geome´tricos significa
que a intersecca˜o dos treˆs planos e´ um ponto.
Por outro lado, se α = 5, a u´ltima equac¸a˜o tem a forma 0.z = 0.Esta
equac¸a˜o sera´ verificada por qualquer elemento de R. O sistema tera´ enta˜o,
na˜o uma mas sim uma infinidade de soluc¸o˜es. Em termos geome´tricos a
intersecc¸a˜o dos treˆs planos e´ o conjunto dos pontos{
(
2
5
z + 1 ,−6
5
z , z ) : z ∈ R}
}
que, como se pode observar, define uma recta. Em termos de sistemas dire-
mos que se trata dum sistema indeterminado.
Observac¸a˜o 3.1 Se, no exemplo anterior, tivessemos considerado a equac¸a˜o
αy+6z = 1 em vez da equac¸a˜o αy+6z = 0 ter´ıamos chegado a` conclusa˜o que,
no caso de α = 5, dever´ıamos ter na 3a equac¸a˜o do u´ltimo sistema 0.z = 1
o que e´ imposs´ıvel. Diremos neste caso que o sistema e´ imposs´ıvel o que
equivale a afirmar que a intersecc¸a˜o dos treˆs planos e´ o conjunto vazio.
Exerc´ıcio 3.1 Determine α e β por forma que a intersecc¸a˜o dos planos de
equac¸a˜o x + 2y + 3z = 1; 2x + 2y + 3z = 2 e αx + βy = 1, onde α e β sa˜o
constamtes reais, seja vazia.
Voltando ao exemplo modelo, iremos associar a esse sistema o conjunto
dos 9 coeficientes das inco´gnitas e o conjunto dos treˆs termos independentes
que iremos escrever preservando a posic¸a˜o que teˆm no sistema
A =
 2 3 14 1 1
−6 3 3
 b =
 810
−6

A estas novas entidades chamaremos matrizes. Diremos que a matriz A
tem 3 linhas e 3 colunas, A(3×3) e que b tem 3 linhas e 1 coluna, b(3×1). A`
matriz b tambe´m e´ usual chamar matriz coluna.
Embora haja uma relac¸a˜o entre sistemas de equac¸o˜es lineares e matrizes
iremos abandonar a linguagem dos sistemas e concentrar-nos no estudo de
matrizes.
65
3.2 Operac¸o˜es com matrizes
Neste para´grafo iremos definir algumas operac¸o˜es elementares com matrizes
e estudar algumas das suas propriedades.
Para definir uma matriz necessitamos apenas de indicar o seu tipo, isto
e´, o nu´mero de linhas n e o nu´mero de colunas m e o valor do elemento aij
que se encontra na linha i e na coluna j.
coluna j
↓
linha i→

. . . . .
. . . . .
. . aij . .
. . . . .
. . . . .

Se n = m, isto e´, o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de colunas enta˜o
a matriz e´ dita quadrada.
Exerc´ıcio 3.2 Qual a matriz A com 3 linhas e 4 colunas em que o elemento
aij e´ definido por
aij = i+ 2j ?
1− Transposta duma matriz
Seja A = (aij) uma matriz (n × m). Define-se a transposta de A que
denotaremos por AT = (bij) do tipo (m× n) por
bij = aji i = 1, 2, ...,m ; j = 1, 2, ..., n
A determinac¸a˜o da matriz AT a partir de A e´ muito simples. Basta
colocar nas colunas de AT as linhas de A.
Exemplo 3.2 Se
A =
[
1 2 3
4 5 6
]
enta˜o AT =
 1 42 5
3 6

66
Exerc´ıcio 3.3 Determine as transpostas das seguintes matrizes:
A =
[
1 2 3 4
]
; B =

4
3
2
1
 ; C =
 1 00 1
2 1

2− Produto dum nu´mero por uma matriz
Sejam k ∈ R e A uma matriz. Enta˜o k.A e´ a matriz cujo elemento que
esta´ na posic¸a˜o (i, j) e´ o produto de k pelo elemento de aij da matriz A.
Exemplo 3.3 Se k = 3 e A e´ a matriz definida por
A =
 2 3 45 6 7
8 9 0
 enta˜o k.A =
 6 9 1215 18 21
24 27 0

Exerc´ıcio 3.4 Construa a matriz k.A onde k = −2 e A e´ a matriz definida
no exerc´ıcio