Gravitação: Força Fundamental da Natureza

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Gravitação
Atualmente conseguimos explicar a natureza à nossa volta usando 4 forças fundamentais da
natureza. Apenas quando tentamos explicar o movimento de galáxias e aglomerados de galáxias e
a expansão do Universo é que nos deparamos com elementos que escapam nosso entendimento
atual. Nessa caso, as 4 forças fundamentais não parecem ser suficientes para explicar a matéria
escura e a energia escura, que receberam esse nome justamente porque não interagem com ondas
eletromagnéticas, ou seja, luz.
Como podemos então sequer questionar a existência da matéria escura e da energia escura?
Como sabemos que eles existem? As teorias atuais indicam que podemos notar a existência deles
através de interações gravitacionais. A matéria escura e a matéria comum (os átomos que nos
constituem e que constituem todo o Universo visível) interagem gravitacionalmente.
A Gravidade é a primeira força fundamental a entrar no modelo físico que usamos hoje em dia para
explicar a natureza. A Lei de Gravitação Universal, que vamos estudar, foi proposta por Newton em
1665, ou seja, 350 anos atrás. É a força que nos mantém presos ao chão, que faz uma maça cair
do alto de uma árvore até o solo, que mantém a Lua em sua órbita ao redor da Terra, que mantém a
Terra (e os demais planetas) na sua órbita ao redor do Sol. Ela também mantém o Sol em órbita ao
redor do centro da Via Láctea. Mantém galáxias satélites orbitando a Via Láctea e mantém a Via
Láctea no aglomerado local de galáxias. 
Quando comparada com a força eletromagnética, a força gravitacional é muito fraca, cerca de
1040 menor. Entretanto, ao contrário da força eletromagnética que precisa de um excesso de
cargas elétricas (positivas ou negativas), a força gravitacional depende apenas da existência de
massa.
O que Newton conseguiu mostrar em 1665 é que a força gravitacional é universal, ou seja, está
presente e governa os eventos na Terra e nos céus. Para a época isso era espantoso. 
O que percebemos sobre a força Gravitacional:
1) A força entre dois corpos é proporcional à massa dos corpos
 (eq. 1)
2) A força entre dois corpos é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.
 (eq. 2)
Analisando o movimento de planetas e cometas no Sistema Solar, e da própria Lua, Newton
conseguiu transformar essas proporcionalidades em uma equação precisa, inserindo uma
constante de proporcionalidade que ficou conhecida como constante de Gravitação Universal “G =
6,6742 x 10-11 m3/kg.s2”.
 (eq. 3)
Apesar da universalidade da força gravitacional, devido à sua baixa intensidade quando as massas
são pequenas, é muito difícil obter com alta precisão o valor de G em laboratório.
Ela é a constante da natureza com a maior imprecisão, (6,6742 + - 0,0010) x 10-11 m3/kg.s2.
A equação 3 nos fornece o módulo da força de atração entre dois corpos, com massas M1 e M2,
separados por uma distância de valor “r”. Mas ela não nos indica nem a direção nem o sentido
dessa força, ou seja, não sabemos localizar espacialmente essa força.
A força gravitacional é uma força central, aponta na direção radial que liga os corpos em questão.
 (fig. 1)
Usando a figura 1 como referência, podemos expressar a força gravitacional em termos de uma
vetor unitário radial.
 (eq. 4)
Se a distância entre os corpos for tal que podemos trata-los como partículas, essa equação é ideal.
Porém, como podemos tratar a força gravitacional entre a Terra e uma maçã na árvore, ou entre
você e a Terra? A proximidade com a Terra faz com que a aproximação de partícula não se aplique.
Contudo, Newton provou o seguinte teorema, a fim de poder aplicar sua recente equação para os
corpos na superfície terrestre.
“Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da
casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro."
Se temos um conjunto de partículas, podemos usar o princípio da superposição para obter qual a
força gravitacional exercida sobre uma partícula devido às demais.
Se tivermos “n” partículas e quisermos saber a qual força gravitacional está submetida a partícula
1, fazemos o seguinte cálculo:
 (eq. 5)
 (eq. 6)
E no caso em que no lugar de partículas tivermos corpos de dimensões finitas? Precisaremos
dividir os corpos em pequenos elementos de massa de exercem forças infinitesimais, tomamos o
limite e integramos.
 (eq. 7)
Aceleração da gravidade
Supondo que a Terra seja uma esfera homogênea de massa M, podemos calcular qual a aceleração
de um objeto de massa m na superfície sendo atraído pela Terra. Vamos considerar o teorema das
cascas, ou seja, supomos que toda a massa da Terra está localizada no centro. Com isso teremos
um corpo de massa m, distante do centro da Terra (r) onde toda a massa M está concentrada.
 (eq. 8)
De acordo com a segunda lei de Newton na Mecânica, um corpo de massa m submetido a uma
força resultante F sofre uma aceleração a. Se soltarmos o corpo de massa m na superfície da Terra,
ele vai estar sujeito à força gravitacional e portanto vai ser acelerado. Vamos chamar essa
aceleração de aceleração gravitacional (ag).
 (eq. 9)
 (eq. 10)
Mas nossas suposições estão erradas!
1 - A Terra não é uma esfera perfeita
2 - A massa da Terra não está distribuída homogeneamente
3 - A Terra está girando
1 - O fato da Terra girar faz com que ela seja oblata, ou seja, o raio equatorial (distância do centro
até um ponto no equador) é maior do que o raio polar (distância do centro até um ponto nos pólos).
Essa diferença é da ordem de 21 km. A aceleração gravitacional nos pólos é maior do que no
equador.
2 - A massa específica (ou densidade, que a massa por unidade de volume) da Terra varia com a
distância ao centro. Além disso, a densidade da crosta, que é onde vivemos, varia de ponto para
ponto dependendo da sua constituição. 
3 - Como a Terra gira em torno de um eixo que passa pelos pólos (aproximadamente), um objeto na
superfície terrestre descreve uma circunferência em torno desse eixo de rotação e portanto possui
uma aceleração centrípeta dirigida para o centro da circunferência, causada pela força centrípeta
dirigida para o mesmo ponto.
 
Usando a segunda lei de Newton podemos escrever:
 (eq. 11)
Podemos dizer então: (peso medido) = (módulo da força gravitacional) - (massa vezes aceleração
centrípeta).
Cancelando m temos que: (aceleração de queda livre) = (aceleração gravitacional) - (aceleração
centrípeta).
 (eq. 12)
No equador, a diferença entre g e ag é de 0,034 m/s2.