M. FINANCEIRA

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02-03 - JUROS SIMPLES
	Juros simples:
	J = juros
	C = quantia aplicada
	I = taxa de juros
	N = tempo ou período
	J=cin 
	1)      Sabemos que uma quantia aplicada de R$ 6.786,54 com uma taxa de juros de 3,75% a.a em 6 anos, determine os juros.
	J= 6.786,54 X 0,0375 X 6 = R$ 1526,97
	2)      Sabendo-se que R$ 6786,54 com taxa de 3,75% em 7 meses. Determine os juros.
	7 meses = 7/12 anos
	J= 6786,54 x 0,0375 x 7/12 = R$ 148,46
	Montante = N
	N = c + j
	Determine o montante sabendo que R$ 6786,54 com taxa de juros de 3,75% a.a em 6 anos
	R= 8313,51
	Juros simples
	Ø  Ex: qual é o montante que receberá um aplicador que investiu R$ 4568,96 aplicado a taxa de 2,75% num prazo de três anos e dois meses.
	n = c + j
	 n = 4568,96 + j
	j = cin
	j = 397,88
	n = 4568,96 + 397,88
	n = R$ 4966,84
09-03
	. 1 
	O montante é R$ 4736,25 e a aplicação de uma quantia vale R$ 4500,00 num prazo de três anos. A taxa de juros aplicada vale?
	M= 4736,25
	C= 4500
	n = 3 anos	4736,25 = 4500 ( 1 + 3 i )
	i = taxa	i = 1,75%
	n = c+ j
	n = c + cin
	n = (c+in)
JUROS COMPOSTOS 1
	MONTANTE SIMPLES
	N=C+J
	N=C+Cin
	N=C(1+in)
	MONTANTE COMPOSTO
	n	n	 n
	N=C(1+i)	J=C(1+i)-C	ou	J=C[(1+i)-1]
	APLICAÇÕES
	1 - Qual o juro pago em caso de empréstimo de R$ 6000,00 à taxa de juros compostos de 1,75% a.m. 
	num prazo de 11 meses.
	11
	J = 6000 [( 1+0,0175) - 6000 ]
	J = 6000 (1,210260) - 6000
	J = 7261,56 - 6000
	J = 1261,56	R: R$ 1.261,56
	2 - Os juros compostos valem R$ 800,31 de um principal de R$ 3000,00 em 8 meses. Qual a taxa mensal aplicada?
	8
	800,31 = 3000 ( 1+i) - 3000 
	8
	3800,31 = 3000 (1+i)
	8
	1.26677 = (1+i)
	8(raiz)1.26677= 1+i
	1,03 = 1+i
	i = 0.03
	i = 3%
	3 -Um principal de R$ 6000,00 com juros compostos de R$ 6366,19 com taxa mensal de 7,5% a.m.. Calcule o período
	n
	6366,19 = 6000 [(1,075) - 1]
	n	 x
	2,061032=1,075	a=b	 log a = x log b 
	 n
	log2,061032= log (1,075)
	log 2,061032 = n log 1,075
	0.314084734 = 0,031408464 n
	n = 10	R: 10 meses
VALOR NOMINAL-ATUAL
	Valor atual - Valor nominal - Valor futuro	 x
	=	COMPOSTO	=	a=b	 log a = x log b 
	Valor atual: corresponde ao valor aplicado em uma data inferior ao vencimento.
	Valor nominal: é o valor do título na data do seu vencimento.
	Seja o montante (N) queremos saber qual o valor atual (V); nominal (N), o valor futuro (N)
	Portanto:
	N = valor nominal na data n 
	V = valor atual na data zero
	i = taxa de juro
	n = período
	Deve ficar claro que o valor atual pode ser calculado em qualquer data focal à do montante (N) não precisando ser necessariamente
	na data zero que utilizando na explicação.
	Constatamos que o cálculo do valor atual é apenas uma operação inversa do calculo do montante. Nestas condições, o valor aplicado
	à taxa de juros contratada (i) de data no valor atual até a data do seu vencimento reproduz o valor nominal.
	Assim:
	 n
	N=V(1+i)
	Aplicações
	Ex1: 
	Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 6 anos, com valor nominal de R$ 12151,50 se à taxa de juros compostos correntes
	é de 3,5% a.a.
	6
	N = 12151,50 (1+0,035)	>	N = 12151,5(1,229255)	>	N = 9885,26
	ex. 02	Por quanto devo comprar um titulo variável daqui a 8 anos, em que o valor nominal 
	é R$ 15950,0 se a taxa de juros compostos corrente é de 7,58% a.a 
	n
	N = 	N= V(1+i) 
	V= ?	8
	I = 7,58	15950 = V (1+0,0758)
	n = 8 ANOS
	15950	 = V	V = 8890,14
	1.794123	 = R$ 8890,14
	 EX. 3 uma quantia de R$ 35850,00 é emprestada a taxa de juros compostos de 9,25% a.a pelo prazo de 8 anos e 6 meses. O valor nominal vale?
	N = V (1+i) 	n
	N = ?	102/12
	V = 35850	N= 35850 (1+0,0925)
	I = 9,25%	8.5
	n = 8 ANOS E 6 MESES	N = 35850 (1,0925)
	N = 35850 X 2,121203
	N = 76045,13
	EX. 4 UM INVESTIDOR APLICOU R$ 50.000,00 EM UMA INSTITUIÇÃO FINANCEIRA APÓS SEIS MESES RECEBEU R$ 51.518,90 A JUROS COMPOSTOS 
	QUAL A TAXA MENSAL APLICADA ?
	6	6	6
	N = 51.518	51518,90 = 50000(1+i)	51518.9	 = (1+I)	1,030378 = (1+i)
	V= 50 000	50000
	I = ?	6
	n = 6 MESES	1,030378 = 1+I	0,5 % A.M 
TRABALHO
	TRABALHO
	1 - SE EU QUISER COMPRAR UM CARRO NO VALOR DE R$ 6000,00 QUANTO DEVO APLICAR HOJE PARA QUE DAQUI A 7 ANOS 
	POSSUA TAL VALOR A UMA TAXA COMPOSTA A 10% A.A 
	2 - O VALOR NOMINAL DE UMA NP É R$ 4770,00. QUAL E O VALOR ATUAL 3 MESES ANTES DO VENCIMENTO, CONSIDERAM-SE QUE
	A TAXA DE JUROS COMPOSTOS É DE 24% A.A 
	 3 - CERTO PESSOA APLICOU R$ 10.000,00 À TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 29% A.A PELO PRAZO DE 9 MESES QUANTO DEVERÁ SER PAGO O TITULO?
	4 - O VALOR NOMINAL DE UM TITULO É IGUAL AO DOBRO DE SEU VALOR DE FACE ( VALOR DE APLICAÇÃO). SABENDO-SE QUE A TAXA 
	DE JUROS COMPOSTOS É 12,5 % A.A. QUAL É O PRAZO DE APLICAÇÃO
	5 - SE TENHO UM TITULO COM VALOR NOMINAL DE R$ 1.500,00 COM VENCIMENTO DAQUI A 2 ANOS E À TAXA DE JUROS CORRENTE 
	COMPOSTO É DE 28% A.A QUAL O VALOR ATUAL DESSE TITULO HOJE?
	6 - QUAL É O CAPITAL QUE RENDE R$ 1500,00 A 30% A.A EM 3 ANOS E 4 MESES EM CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.
	7 - UMA QUANTIA DE R$10.000,00 É COMPOSTA A TAXA DE JUROS COMPOSTOS PELO PRAZO DE 5 ANOS E 6 MESES, SENDO QUE O VALOR NOMINAL
	É DE R$ 16105,10. QUAL É A TAXA DE JUROS MENSAL ?
	8 - O VALOR NOMINAL DE UM COMPROMISSO É IGUAL AO DOBRO DO VALOR DE APLICAÇÃO. SENDO QUE A TAXA DE JUROS É 12,5%A.A QUAL O PRAZO DA APLICAÇÃO
	9 - QUAL É A QUANTIA QUE RENDE R$ 1500,00 A JUROS 30% A.A. EM 3 ANOS E 4 MESES EM CAPITALIZAÇÃO SIMPLES.
	10 - CERTA PESSOA APLICOU R$ 25876,70 A TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 29% A.A PELO PRAZO DE 9 MESES. QUANTO DEVERÁ SER PAGO NO TITULO
TAXAS EQUIVALENTES
	taxas equivalentes
	 - dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerarmos o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital,
	for indiferente aplicar uma ou outra.De outro modo, considerando-se um mesmo capital aplicado por um mesmo
	intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas produzirão um mesmo montante (N) se forem equivalentes
	sejam as taxas.
	i = referente a um intervalo de tempo p,
	iq= corresponde a um intervalo igual a fração própria 	P	 ( q> p )
	q
	para facilitar o raciocinio vamos admitir que p = 1 e portanto p/q = 1/q . A fração pode ser visualizada do seguinte modo :
	1
	1/q,	1/q	1/q	......	1/q
	ou seja o intervalo de tempo unitário for dividido em q partes iguais.
	 admitindo-se um capital c que será aplicado as duas taxas, temos o montante (N) após 1 (um) período,
	a taxa i: assim N= C(1+i) aplicando o mesmo capital por "q" períodos a taxa "iq" , para qu de o mesmo intervalo de
	aplicação da taxa anterior, tem-se
	q
	Nq = C(1+iq)
	Para que essas taxas sejam equivalentes devemos ter C1=Cq. 
	C1 = Cq
	1	q
	C(1+iq) 	 = c (1+iq)	elevando-se ambos os membros a 1/q temos
	1/q	1/q	1/q	1/q	q	q
	q	 = [(1+ iq)]	 = [ ( 1 + iq) = (1 +i)]	 = ( 1 +iq) = (1+i)	 = (1+ iq ) = 	1 + i	 iq=	1 + i	-1
	(1+iq)
	 ex: dada a taxa de juros de 9,27% a.t , determinar a taxa de juros compostos equivalente a mensal:
	 q = 3 meses	q	3
	i = 9,27%	1 + i	-1	i3=	1+0,0927	-1	i3 = 1,03 -1	 i= 0,03 = 3%
	capitalização continua
	O conceito de capitalização contínua perde muito no seu significado nas aplicações práticas. Porém existem ocasiões em que se admite que os fluxo
	monetário não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que se encontram distribuidos no tempo. É o caso por exemplo, da geração de lucro
	na operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a um fluxo uniforme.
	 O mesmo se dá com o desgaste dos equipamentos (depreciação) e, como as entradas de caixa são constituidas de lucro gerados mais depreciação podemos 
	dizer que este é um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribuição no tempo.
	Neste caso e no tratamento matemático de certos módulos decisórios, o conceito de capitalização continua é mais útil.
	Assim:
	N = montante
	C = capital
	n = período
	 = taxa
	e = numero irracional de base para logaritimo n e periano
	assim:
	 n
	N = C.e
	ex1: Determinar o montante que resulta quando são aplicadas R$ 10000,00 a taxa de juros de 15% a.a. num prazo de quatro
anos em capitalização continua
	4.0,15
	N = 10000.
25-05 EQ. DE CAPITAL
	5/25/12	MATEMATICA FINANCEIRA
	EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
	MUITA VEZES É NECESSÁRIO EM OPERAÇÕES FINANCEIRAS ANTECIPAR OU PRORROGAR TITULOS; OU 
	SUBSTITUIR TITULOS POR OUTRO. TAIS SITUAÇÕES DIZEM RESPEITO, DE MODO GERAL, A COMPARAÇÃO DE VALORES DIFERENTES
	REFERENTES A DATAS DIFERENTES, CONSIDERANDO-SE UMA DADA TAXA DE JUROS.
	NA PRATICA, ESSAS COMPARAÇÕES SÃO FEITAS UTILIZANDO-SE O CRITÉRIO DE JUROS COMPOSTOS.
	DATA FOCAL: É AQUELA QUE SE CONSIDERAR COMO BASE DE COMPARAÇÃO DOS VALORES REFERIDOS E DATAS DISTINTAS.
	 A DATA FOCAL TAMBÉM É CONHECIDA COMO A DATA DE REFERÊNCIA OU DATA DE AVALIAÇÃO
	EX: UMA PESSOA TEM UMA NP A RECEBER COM VALOR NOMINAL DE R$ 15.000 QUE VENCERÁ EM DOIS ANOS. 
	ALÉM DISSO, POSSUI R$ 20000,00 HOJE, QUE IRA APLICAR A TAXA DE 2% A.M, DURANTE DOIS ANOS.
	CONSIDERANDO-SE QUE O CUSTO DE OPORTUNIDADE DO CAPITAL HOJE,
	OU SEJA, A TAXA DE JUROS VIGENTE NO MERCADO, É DE 2% A.M . PERGUNTA-SE
	A) QUANTO POSSUI HOJE?
	B) QUANTO POSSUIRÁ DAQUI A UM ANO
	C) QUANTO PRODUZIRÁ DAQUI A DOIS ANOS
	SOLUÇÃO: 
	x	y	z
	0	12	24
	x -> é a quantia na data zero
	y -> é a quantia que produzirá 12 meses
	z -> é a quantia que possuirá daqui a 24 meses
	logo:
	a) hoje	x = 20000 + 15000	24	x = 20000 + 150000/1,6084	x = 20000 + 9325,82	x = 29 325, 82
	1.02
	b ) daqui a um ano
	12
	y = 20000 (1+0,02)	 +	15000	12
	c . (1+ i ) n	1.02
	2000 x 1,268242 + 15000/1,268242
	y = 37192,24
	c) daqui a 2 anos
	24
	z = 20000 x (1,02) + 15000
	z = 32168,74 + 15000
	z = 47168,74
	EQUAÇÃO DO VALOR
	 ESTA EQUAÇÃO PERMITE QUE SEJAM IGUALADAS CAPITAIS DISTINTOS PARA UMA MESMA
	DATA FOCAL , DESDE QUE SEJA FIXADA UMA CERTA TAXA DE JUROS. ASSIM A EQUAÇÃO
	DE VALOR PODE SER OBTIDA IGUALANDO-SE EM UMA DATA FOCAL AS SOMAS DE
	VALORES ATUAIS E DO MONTANTE DOS COMPROMISSOS QUE FORMAM A ALTERNATIVA 
	EM ANALISE.
	ESTA É UMA DOS GRANDES VANTAGENS DO REGIME DE JUROS COMPOSTO, POIS NOS PERMITE
	GARANTIR QUE UMA COMPARAÇÃO FEITA EM DATA FOCAL.
	 DIZ - SE QUE DOIS OU MAIS CAPITAIS COM DATA DEVENCIMENTO DETERMINADAS SÃO EQUIVALENTES QUANDO
	LEVADAS PARA UMA MESMA DATA FOCAL E MESMA TAXA DE JUROS TIVERAM VALORES IGUAIS.
	ASSIM:	CAPITAL	DATA DE VENCIMENTO
	C1	1
	C2	2
	.	.
	.	.
	.	.
	Cn	Cn
	ADOTANDO-SE UMA TAXA DE JUROS i, OS CAPITAIS SERÃO EQUIVALENTES NA DATA FOCAL, SE:
	V = 	C1	 =	C2	2	CN	N
	(1+i)	(1+i)	(1+i)
	INDICAMOS OS VALORES POR V, JÁ QUE ESTES SÃO VALORES ATUAIS A TAXA DE JUROS É NA DATA FOCAL ZERO
	EX : CONSIDEREMOS OS VALORES NOMINAIS
	CAPITAIS	DATA DE VENCIMENTO
	R$ 1,100.00	1
	R$ 1,200.00	2
	R$ 1,331.00	3
	V1 = C1/(1+I) = 1100/1+0,1 = 1000
	V2 = C2/(1+I) 2 = 1210/(1+0,1) 2 = V2 = 1000
	V3 = C3/(1+i)3 = 1330/(1+0,1)3 = 1000
01-06 VALOR ATUAL
	VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS
	6/1/12
	VAMOS SUPOR QUE UMA PESSOA TENHA UMA CARTEIRA DE APLICAÇÕES EM UM TITULO
	DE RENDA FIXA COM DATA DE VENCIMENTO DESTINTOS.
	ESTA CARTEIRA DE VALORES NOMINAIS É UM CONJUNTO DE CAPITAIS. O CONJUNTO PODE
	SER CARACTERIZADO PELO VALOR NOMINAL DO TITULO E POR SUA DATA DE VENCIMENTO.
	CAPITAL	DATA DE VENCIMENTO
	C1	1
	C2	2
	C3	3
	CN	N
	UMA QUESTÃO NORMAL É A DE SABER QUAL O VALOR DA CARTEIRA, OU SEJA, DO 
	CONJUNTO DE CAPITAIS NUMA DETERMINADA DATA. PARA ISTO. É NECESSÁRIO 
	FIXA-SE A DATA DE JUROS E A DATA FOCAL, QUE VAMOS ADMITIR NESSE CASO COMO
	SENDO A DATA ZERO.
	 ASSIM O VALOR DA CARTEIRA PODE SER OBTIDO DESCONTANDO-SE O TITULO
	PARA A DATA ZERO E SOMANDO-SE OS VALORES OBTIDOS:
	V = C1	1	 +	C2	2
	(1+I)	(1+i)
	EX. DADO
	CAPITAL	DATA DE VENCIMENTO
	R$ 1,000.00	6
	R$ 2,000.00	12
	R$ 5,000.00	15
	A TAXA DE JUROS DE 3% A.M. QUAL O VALOR ATUAL DESTE CONJUNTO NA DATA FOCAL ZERO.
	V	1000	2000	5000
	0	6	12	15
	V = C1	6	 +	C2	12	 +	C3	15
	(1+ï)	(1+i)	(1+i)
	V = 1000	6	 +	2000	12	 +	5000	15
	(1+0,03)	(1+0,03)	(1+0,03)
	V = 837,48 + 1402,76 + 3209,31
	V = 5449,55
	ASSIM PODEMOS CONCLUIR QUE R$ 5449,55 É O VALOR DA CARTEIRA NA DATA FOCAL ZERO,
	A TAXA DE JUROS 3% A.M SE A PESSO VENDER A CARTEIRA HOJE POR ESSE VALOR
	O COMPRADOR ESTARÁ GANHANDO UMA TAXA DE 3% A.M 
	EX. UM TITULO NO VALOR NOMINAL DE R$ 850,00 COM VENCIMENTO PARA 5 ANOS, É 
	TROCADO POR OUTRO DE R$ 7934,84 COM VENCIMENTO PARA 3 MESES. SENDO QUE A TAXA DE 
	JUROS CORRENTE DE MERCADO É DE 3,5% A.M . A SUBSTITUIÇÃO DE TITULOS FOI VANTAJOSA?
	V = C	n =	8500	5	8500	7156.77
	(1+i)	(1,035)	1.187686
	V = C	n =	7934.84	 =	7156.77
	(1+i)	1.108718
	EX . A QUE TAXA DE JUROS ANUAIS R$ 2000 A UM ANO EQUIVALENTE A R$ 2300
	V = C	n =	2300	 = 2000	1	1+i = 	2000	 1+ i = 0,87	I = 0,87-1	I = -0,13%
	(1+i)	(1+i)	2300
	DADO:
	CAPITAL	DATA DE VENCIMENTO
	R$ 2,000.00	8
	R$ 3,000.00	12
	R$ 4,000.00	16
	A TAXA DE JUROS É DE 3% AO MÊS. QUAL O VALOR ATUALDO CONJUNTO NA DATA FOCAL ZERO?