Hidrodinâmica - Escoamento não viscoso

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Física
(Curso de Licenciatura em Farmácia)
Ano lectivo 2008/2009
Escola Superior 
de Tecnologia 
da Saúde de 
Coimbra
20-Abr-200923-Mar-200916-Mar-2009
Hidrodinâmica (escoamento viscoso)Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Hidrostática
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Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)
� *Tipler, vol.1
secção 13-4
� Sears
secções 13-5 a 13-8
� *Durán
secção 6-6
� Pedroso de Lima
páginas 395-401, 412-433
� Representação do movimento de fluidos
� Regimes de escoamento
� Equação de continuidade; caudal volumétrico
� Fluidos não viscosos; equação de Bernoulli
� Aplicações
BibliografiaSumário
23-Mar-2009Data:4Aula nº
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 1
aula nº4
RepresentaRepresentaçção do escoamento de um fluidoão do escoamento de um fluido
Linha de escoamento
O escoamento (ou movimento) de um fluido consiste no conjunto dos movimentos de 
todos os pontos da sua massa. Um fluido em movimento pode por isso ser dividido 
em elementos de fluido, i.e. porções tão pequenas que cada uma se comporta como 
um ponto material, descrevendo uma trajectória de translação própria, ao longo da 
qual pode sofrer variações de velocidade.
dm, dV – massa e volume de um elemento de fluido
Linha de escoamento = trajectória percorrida por um elemento de fluido (conjunto de 
todas as posições tomadas por esse elemento ao longo do tempo)
linhas de escoamento
A descrição do movimento de um fluido através de linhas de escoamento é pouco prática (número 
de linhas → ∞), para além de não conter informação sobre a velocidade dos elementos de fluido 
em cada ponto das suas trajectórias
(ρ pode variar ao longo da trajectória 
do elemento de fluido – i.e. o volume 
do elemento pode ficar maior ou 
menor – se o fluido for compressível!)
dm
dV
ρ =
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 2
aula nº4
RepresentaRepresentaçção do escoamento de um fluidoão do escoamento de um fluido
Linha de corrente
Linha de corrente = curva tangente à direcção da velocidade dos diversos elementos 
de fluido num dado instante 
t fixo
as linhas de corrente fornecem uma “fotografia”
da direcção do movimento e valor da velocidade 
de todos os elementos de fluido num dado 
instante (visão global do movimento do fluido)
Propriedades:
• em cada ponto, indicam a direcção do movimento 
do elemento que aí se encontra no instante em 
causa
• a densidade de linhas de corrente numa região é
indicativa da velocidade dos elementos de fluido 
nessa mesma região
v
Tubo de corrente = conjunto (3D) de linhas de corrente
velocidade 
menor
velocidade 
maior
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 3
aula nº4
RepresentaRepresentaçção do escoamento de um fluidoão do escoamento de um fluido
Secção recta
Secção recta de um tubo de corrente num dado ponto = superfície obtida da 
intersecção do tubo de corrente com um plano perpendicular a esse tubo no ponto 
considerado (se o tubo for cilíndrico, a secção recta é um círculo); quanto mais largo 
for o tubo nesse ponto, maior é a àrea dessa superfície
secção recta
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 4
aula nº4
(ii) as linhas de corrente coincidem com as linhas de escoamento
(iii) a configuração das linhas de corrente permanece constante no tempo
(
r
e
p
r
e
s
e
n
t
a
ç
ã
o
:
 
l
i
n
h
a
s
 
d
e
 
e
s
c
o
a
m
e
n
t
o
)
Regimes de escoamentoRegimes de escoamento
Escoamento estacionário
Um fluido pode encontrar-se em dois regimes de escoamento distintos. O regime de 
análise mais simples é o estacionário, ou laminar; neste regime, o movimento de 
todo o fluido é pautado pela homogeneidade temporal (imutabilidade temporal).
(rep
re
se
ntação
:
 linha
s
 de
 co
rre
nte)
(i) todos os elementos que passam num mesmo ponto (em instantes diferentes) 
apresentam exactamente a mesma linha de escoamento
a velocidade de escoamento num dado ponto do espaço é sempre 
a mesma, independentemente do elemento de fluido que o ocupa
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 5
aula nº4
Regimes de escoamentoRegimes de escoamento
Escoamento estacionário
Consequentemente, num fluido em escoamento estacionário:
• As trajectórias de elementos de fluido que não passem num ponto comum nunca se 
interceptam (se existir um ponto comum, existem todos!) ⇒ o movimento do fluido 
processa-se através do deslizamento de lâminas delgadas umas sobre as outras
• Nunca há cruzamento de linhas de corrente
• Nunca há passagem de fluido através da superfície lateral de tubos de corrente
Um tubo de corrente em regime estacionário só admite 
entrada e saída de fluido através das suas extremidades
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 6
aula nº4
EquaEquaçção de continuidadeão de continuidade
A lei da conservação de massa aplicada ao escoamento estacionário de um fluido 
traduz-se numa relação importante: a equação de continuidade
A1
v1
(após ∆t)
A2
v2
∆x1
∆x2∆m1, ∆V1
∆m2, ∆V2
Se escoamento estacionário⇒ massa no 
interior do tubo de corrente é constante
1 2m m∆ = ∆ 1 2 1 2V V V Vρ ρ∆ = ∆ ⇔ ∆ = ∆
1 1 1
2 2 2
m V
m V
ρ
ρ
∆ = ∆
∆ = ∆
se fluido incompressível: 1 2ρ ρ ρ= =
1 1 1
2 2 2
V A x
V A x
∆ = ∆
∆ = ∆
1/ t× ∆
1 2
1 2
x xA A
t t
∆ ∆
=
∆ ∆
1 1 2 2A v A v=
lim 0t∆ →
1/ 2 1/ 2
1/ 2
x dx
v
t dt
∆
→ =
∆
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Farmácia 7
aula nº4
EquaEquaçção de continuidadeão de continuidade
Caudal volumétrico
O produto entre a área da secção recta num ponto de um tubo de corrente e a 
velocidade de escoamento nesse mesmo ponto tem unidades de volume por unidade 
de tempo – é o caudal (ou débito) volumétrico do fluido no ponto considerado:
A
v
∆x
A
v
∆V (volume que atravessa a 
secção recta durante ∆t)
OBS: por vezes, e embora incorrectamente, o caudal também é designado por fluxo
Caudal volumétrico = volume de fluido que atravessa a secção recta por unidade de 
tempo VQ A v
t
∆
= =
∆
[m3 s-1]
∆t
V A x A v t∆ = ∆ = ∆
x v t∆ = ∆
∆V cilindro de base A e altura ∆x
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Farmácia 8
aula nº4
Para fluidos em movimento, em geral podem existir forças tangenciais exercidas pelo 
fluido sobre as superfícies com as quais se encontra em contacto; existindo, essas 
forças são forças de atrito devidas ao movimento relativo que pode ocorrer entre 
lâminas no escoamento laminar (questão a rever mais tarde):
Um fluido diz-se não viscoso se não existir qualquer tipo de atrito no movimento 
relativo de elementos de fluido no seu interior; a inexistência de atrito implica
(i) a inexistência de forças tangenciais, e
(ii) a conservação de energia mecânica no escoamento desse fluido
(aplicação directa da lei da Conservação da Energia Mecânica a qualquer elemento de 
fluido)
EquaEquaçção de Bernoullião de Bernoulli
Fluidos não viscosos
||F
�
F⊥
�
A
v
(v = 0)
atritoF
�
(fluido viscoso)
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 9
aula nº4
EquaEquaçção de Bernoullião de Bernoulli
Pressão vs. velocidade
A conservação de energia mecânica implica que no escoamento estacionário de um 
fluido incompressível e não viscoso, a pressão dependa não só da altura, mas 
também da velocidade de escoamento:
A1
v1
y1
A2
v2
y2 = y1
Equação de continuidade: 2 1v v>
Elementos à mesma altura: 2 1y y=
Conservação energia mecânica do elemento de fluido: (2) (1)
m mE E=
dm, dV1
(2) (1)
c c
E E>
21
2c
E dm v=
y
(2) (1)
g gp p
E E=gp
E dm g y= (2) (1)
h hp p
E E<
g hm c p p
E E E E= + +
hp
E dV p=
2 1p p<
Num fluido em movimento, pontos à mesma altura 
podem encontrar-se a pressões diferentes!
dm, dV2 = dV1 = dV se fluido incompressível
Hidrodinâmica (escoamento não viscoso)Física 2008/2009
Farmácia 10
aula nº4
EquaEquaçção de Bernoullião de Bernoulli
A relação entre pressão, altura e velocidade no escoamento de um fluido incompressível 
e não viscoso em escoamento estacionário é a equação de Bernoulli:
p1
v1
y1
p2
v2
y2
dm, dV1
y
(2) (1)
m m
E E= 2 22 2 2 1 1 1
1 1
2 2
dmv dmg y dV p dmv dmg y dV p⇔ + + = + +
2 2
2 2 2 1 1 1
1 1
2 2
v g y p v g y pρ ρ ρ ρ+ + = + +
dm, dV2 = dV1 = dV se fluido incompressível
Conservação energia mecânica 
do elemento de fluido:
escoamento estacionário
fluido incompressível
fluido não viscoso 1/ dV
dm
dV
ρ
×
=
Equação de Bernoulli
Energia cinética por 
unidade de volume
Energia potencial gravítiva 
por unidade de volume
Energia potencial hidrostática 
por unidade de volume