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1 - Vetores

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Vetores 
Sistema de coordenadas 
 Coordenada retangular 
◦ Também chamado de 
coordenada cartesiana 
 
 
 
 Coordenada polar 
◦ O ponto é representado 
pela distância “r” e pelo 
ângulo θ 
 Relacionando coordenada polar x cartesiana 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
◦ As coordenadas cartesianas de um ponto no plano xy são (x,y) 
= (-3,5; - 2,5). Esboce graficamente este ponto e encontre suas 
coordenadas polares. 
Vetores 
 Definição: 
◦ Entes matemáticos que possuem intensidade, direção 
e sentido e que se somam segundo a regra do 
paralelogramo. 
 Intensidade: valor numérico que a representa 
(magnitude ou modulo). 
 
 Direção: e aquilo que existe de comum num 
feixe de retas paralelas. 
 
 Sentido: podemos percorrer uma direção em 
dois sentidos. 
 
 Graficamente, 
◦ O modulo de um vetor é representado 
pelo comprimento da seta; 
◦ A direção é definida através do ângulo 
formado entre um eixo de referência e a 
linha de ação da seta; 
◦ E o sentido é indicado pela extremidade 
da seta. 
A figura mostra a representação gráfica de 
dois vetores força atuando ao longo dos 
cabos de sustentação. O ponto O e chamado 
de origem do vetor. 
 Nomenclatura: 
 
◦ Vetor: ou a (em negrito para computadores) 
 
◦ Módulo: a ou a (em itálico para computadores) 
 
◦ Graficamente: 
a
Propriedades 
 Comutativa: 
 
 
 
 
◦ Soma de 2 vetores: 
 Associativa: 
Subtração de vetores 
Multiplicação de vetores por um 
escalar 
 
◦ Multiplicar um vetor por um número l equivale a multiplicar 
suas componentes por l: 
 
l𝑎 = (l𝑎𝑥)𝑖 + (l𝑎𝑦)𝑗 
Vetor unitário 
 É um vetor que tem módulo 1 e aponta para uma certa 
direção  |u| = u = 1 
 
◦ Não possui dimensão nem unidade 
◦ Sua única função e especificar uma 
 direção. 
◦ São muito úteis para especificar outros vetores. Exemplo: 
Componentes de um vetor 
 A componente de um vetor é a projeção do vetor em um dado 
eixo. 
◦ Obtido através da decomposição vetorial. 
Módulo: 
Direção: 
Exemplos 
1. Escreva a expressão analítica do vetor mostrado na figura abaixo 
e calcule seu módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sejam os vetores 𝐴 = 1,0𝑖 + 2,0𝑗 𝑒 𝐵 = 3,0𝑖 + 1,5𝑗 . Escreva 
a expressão analítica do vetor 𝐶 = 3,0𝐴 + 5,0𝐵; 
Exemplos 
3. Um objeto se encontra sobre uma mesa. Um vetor 𝑟 
localiza este objeto em um ponto de coordenadas x = 
35 mm e y = 45 mm em relação a origem do sistema 
coordenado da figura abaixo. Determine o módulo e a 
direção deste vetor. 
Um vetor em um plano 
pode ser definido por 
seu modulo e pelo 
ângulo θ, entre a 
direção do vetor e uma 
direção de referência. 
4. Um avião decola de um aeroporto e é avistado mais 
tarde a 215 km de distância em um curso que faz um 
ângulo de 22º a leste do norte. Qual a distância a leste 
e ao norte do aeroporto esta o avião no momento 
que e avistado? 
5. Um vetor r no plano xy tem 15 m de comprimento e faz um 
angulo  = 30º com o semieixo x positivo, como mostra a figura 
abaixo. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do 
vetor. 
 
 
 
 
6. Um vetor A tem modulo 5,1m e faz um angulo de 122º com o 
eixo x. 
a. Desenhe o vetor A aplicado a origem; 
b. Determine as componentes x e y de A. 
7. Dado os vetores 𝐴 = 2𝑖 + 2𝑗 𝑚 𝑒 𝐵 = 2𝑖 − 4𝑗 𝑚, ncontre o 
vetor resultante 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 em termos de vetor unitário, seu 
módulo e sua direção. Esboce graficamente os vetores 𝐴 𝑒 𝐵 e o 
vetor resultante. 
8. Idem para 4,0 𝑚 𝑖 + 3,0𝑚 𝑗 𝑒 𝐵 = (13,0 𝑚)𝑖 + (7,0𝑚)𝑗 . 
9. Uma partícula sofre 3 deslocamentos consecutivos: 
𝑑1 = 15𝑖 + 30𝑗 + 12𝑘 𝑐𝑚; 𝑑2 = 23𝑖 − 14𝑗 − 5𝑘 𝑐𝑚 𝑒 𝑑3 =
−13𝑖 + 15𝑗 𝑐𝑚. Encontre os componentes do vetor resultante e 
sua magnitude. 
10. Considere o vetor 𝐵 = −4,6 𝑚 𝑖 + −6,3𝑚 𝑗 . Determine o 
módulo de 𝐵 e a sua direção no intervalo de 0 a 360º e de -180º a 
180º. 
11. Um carro viaja 20 km para o norte e depois 35 km em 
uma direção 60º a nordeste, como mostra a figura. 
Calcular a intensidade e a direção do vetor resultante. 
Lei dos senos 
Lei dos cossenos 
12. Dado os vetores abaixo, calcule o módulo, direção e sentido da 
resultante. 
 
 
 
 
 
13. Os dois vetores atuam sobre um parafuso A. Determine a 
direção, sentido e intensidade do vetor resultante. 
 
14. O parafuso mostrado na figura está 
sujeito a duas forças F1 e F2. 
Determine o módulo e a direção 
do vetor resultante. 
 
 
 
15. Os cabos AB e AD sustentam o 
poste AC. Sabendo que a tensão é 
de 500 unidades em AB e de 160 
unidades em AD, calcule a 
intensidade, direção e sentido do 
vetor resultante exercida pelos 
cabos em A. 
 Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no 
espaço R3, teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 A soma dos vetores 𝐴 𝑒 𝐵 será 
Produto escalar de 2 vetores 
 Define-se o produto escalar de dois vetores 𝑎 𝑒 𝑏 
como a operação: 
 
 
◦ Onde 
 φ é o ângulo formado pelos dois vetores. 
 a, b são os módulos dos vetores 𝑎 𝑒 𝑏 
 Uma outra definição, inteiramente equivalente, é em 
termos das componentes dos vetores: 
𝑎 . 𝑏 = 𝑎𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝜑 
Exemplos 
1. Qual é o ângulo φ entre os vetores A e B? 
a. 
 
 
b. 
 
Produto vetorial 
 Define-se o produto vetorial de dois vetores 𝑎 𝑒 𝑏 
como a operação: 
 
 
◦ Onde 
 φ é o ângulo formado pelos dois vetores. 
 a, b são os módulos dos vetores 𝑎 𝑒 𝑏 
 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 é um vetor perpendicular ao plano definido 
pelos vetores 𝑎 𝑒 𝑏 
𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝜑 
 Para determinar o sentido, use sua mão 
direita (essa regra é conhecida como regra 
da mão direita). 
◦ Com os dedos da mao procure levar o 
vetor a para o vetor b . O sentido será 
dado pelo polegar da mao direita. 
 No produto vetorial, a ordem dos fatores 
altera o produto. 
 Em termos de vetores unitários, teremos: 
 
 
 Lembrando que 
 
 
 
 
 e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os 
vetores unitários, encontramos que: 
 Usando as propriedades de matrizes, o produto vetorial 
pode ser expresso como o determinante da matriz 
definida a seguir: 
Exemplos 
1. O vetor A está contido no eixo x e possui módulo igual a 6 unidades. 
O vetor B possui módulo igual a 4 unidades e está contigo no plano xy, 
formando um ângulo de 30º com o eixo x. Calcule o produto vetorial 
A x B.

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