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Vetores Sistema de coordenadas Coordenada retangular ◦ Também chamado de coordenada cartesiana Coordenada polar ◦ O ponto é representado pela distância “r” e pelo ângulo θ Relacionando coordenada polar x cartesiana Exemplo: ◦ As coordenadas cartesianas de um ponto no plano xy são (x,y) = (-3,5; - 2,5). Esboce graficamente este ponto e encontre suas coordenadas polares. Vetores Definição: ◦ Entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido e que se somam segundo a regra do paralelogramo. Intensidade: valor numérico que a representa (magnitude ou modulo). Direção: e aquilo que existe de comum num feixe de retas paralelas. Sentido: podemos percorrer uma direção em dois sentidos. Graficamente, ◦ O modulo de um vetor é representado pelo comprimento da seta; ◦ A direção é definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação da seta; ◦ E o sentido é indicado pela extremidade da seta. A figura mostra a representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de sustentação. O ponto O e chamado de origem do vetor. Nomenclatura: ◦ Vetor: ou a (em negrito para computadores) ◦ Módulo: a ou a (em itálico para computadores) ◦ Graficamente: a Propriedades Comutativa: ◦ Soma de 2 vetores: Associativa: Subtração de vetores Multiplicação de vetores por um escalar ◦ Multiplicar um vetor por um número l equivale a multiplicar suas componentes por l: l𝑎 = (l𝑎𝑥)𝑖 + (l𝑎𝑦)𝑗 Vetor unitário É um vetor que tem módulo 1 e aponta para uma certa direção |u| = u = 1 ◦ Não possui dimensão nem unidade ◦ Sua única função e especificar uma direção. ◦ São muito úteis para especificar outros vetores. Exemplo: Componentes de um vetor A componente de um vetor é a projeção do vetor em um dado eixo. ◦ Obtido através da decomposição vetorial. Módulo: Direção: Exemplos 1. Escreva a expressão analítica do vetor mostrado na figura abaixo e calcule seu módulo. 2. Sejam os vetores 𝐴 = 1,0𝑖 + 2,0𝑗 𝑒 𝐵 = 3,0𝑖 + 1,5𝑗 . Escreva a expressão analítica do vetor 𝐶 = 3,0𝐴 + 5,0𝐵; Exemplos 3. Um objeto se encontra sobre uma mesa. Um vetor 𝑟 localiza este objeto em um ponto de coordenadas x = 35 mm e y = 45 mm em relação a origem do sistema coordenado da figura abaixo. Determine o módulo e a direção deste vetor. Um vetor em um plano pode ser definido por seu modulo e pelo ângulo θ, entre a direção do vetor e uma direção de referência. 4. Um avião decola de um aeroporto e é avistado mais tarde a 215 km de distância em um curso que faz um ângulo de 22º a leste do norte. Qual a distância a leste e ao norte do aeroporto esta o avião no momento que e avistado? 5. Um vetor r no plano xy tem 15 m de comprimento e faz um angulo = 30º com o semieixo x positivo, como mostra a figura abaixo. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vetor. 6. Um vetor A tem modulo 5,1m e faz um angulo de 122º com o eixo x. a. Desenhe o vetor A aplicado a origem; b. Determine as componentes x e y de A. 7. Dado os vetores 𝐴 = 2𝑖 + 2𝑗 𝑚 𝑒 𝐵 = 2𝑖 − 4𝑗 𝑚, ncontre o vetor resultante 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 em termos de vetor unitário, seu módulo e sua direção. Esboce graficamente os vetores 𝐴 𝑒 𝐵 e o vetor resultante. 8. Idem para 4,0 𝑚 𝑖 + 3,0𝑚 𝑗 𝑒 𝐵 = (13,0 𝑚)𝑖 + (7,0𝑚)𝑗 . 9. Uma partícula sofre 3 deslocamentos consecutivos: 𝑑1 = 15𝑖 + 30𝑗 + 12𝑘 𝑐𝑚; 𝑑2 = 23𝑖 − 14𝑗 − 5𝑘 𝑐𝑚 𝑒 𝑑3 = −13𝑖 + 15𝑗 𝑐𝑚. Encontre os componentes do vetor resultante e sua magnitude. 10. Considere o vetor 𝐵 = −4,6 𝑚 𝑖 + −6,3𝑚 𝑗 . Determine o módulo de 𝐵 e a sua direção no intervalo de 0 a 360º e de -180º a 180º. 11. Um carro viaja 20 km para o norte e depois 35 km em uma direção 60º a nordeste, como mostra a figura. Calcular a intensidade e a direção do vetor resultante. Lei dos senos Lei dos cossenos 12. Dado os vetores abaixo, calcule o módulo, direção e sentido da resultante. 13. Os dois vetores atuam sobre um parafuso A. Determine a direção, sentido e intensidade do vetor resultante. 14. O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção do vetor resultante. 15. Os cabos AB e AD sustentam o poste AC. Sabendo que a tensão é de 500 unidades em AB e de 160 unidades em AD, calcule a intensidade, direção e sentido do vetor resultante exercida pelos cabos em A. Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, teríamos: A soma dos vetores 𝐴 𝑒 𝐵 será Produto escalar de 2 vetores Define-se o produto escalar de dois vetores 𝑎 𝑒 𝑏 como a operação: ◦ Onde φ é o ângulo formado pelos dois vetores. a, b são os módulos dos vetores 𝑎 𝑒 𝑏 Uma outra definição, inteiramente equivalente, é em termos das componentes dos vetores: 𝑎 . 𝑏 = 𝑎𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝜑 Exemplos 1. Qual é o ângulo φ entre os vetores A e B? a. b. Produto vetorial Define-se o produto vetorial de dois vetores 𝑎 𝑒 𝑏 como a operação: ◦ Onde φ é o ângulo formado pelos dois vetores. a, b são os módulos dos vetores 𝑎 𝑒 𝑏 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 é um vetor perpendicular ao plano definido pelos vetores 𝑎 𝑒 𝑏 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝜑 Para determinar o sentido, use sua mão direita (essa regra é conhecida como regra da mão direita). ◦ Com os dedos da mao procure levar o vetor a para o vetor b . O sentido será dado pelo polegar da mao direita. No produto vetorial, a ordem dos fatores altera o produto. Em termos de vetores unitários, teremos: Lembrando que e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos que: Usando as propriedades de matrizes, o produto vetorial pode ser expresso como o determinante da matriz definida a seguir: Exemplos 1. O vetor A está contido no eixo x e possui módulo igual a 6 unidades. O vetor B possui módulo igual a 4 unidades e está contigo no plano xy, formando um ângulo de 30º com o eixo x. Calcule o produto vetorial A x B.
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