transformada de laplace (2)

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO MARANHÃO
DIRETORIA DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO – DDE
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR E TECNOLÓGICA – DESTEC
CAMPUS SANTA INÊS
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Alunos:
Joandson Bata dos Santos
Thiago Ferreira
Prof
º Orientador:
Alberth
 Mateus
SANTA INÊS
2015
INTRODUÇÃO
	Com o avanço nos estudos e possíveis aplicações das equações diferenciais em modelos matemáticos que descrevem fenômenos físicos, podemos perceber que estas podem se tornar muito mais incomuns em relação aos métodos utilizados anteriormente estudados, dessa forma se tornando cada vez mais difíceis de se resolver. A Transformada de Laplace é uma ferramenta valiosa para a simplificação de problemas, descritos por EDO’s.
	É importante ressaltarmos que abrangeremos este assunto através de uma síntese das principais ideias referente ao tema, ou seja, as definição e os teoremas.
A transformada de Laplace, ou Laplaciana, pode ser usada para resolver equações diferencias lineares com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma
Para isso, a equação diferencial é inicialmente transformada pela transformada de Laplace numa equação algébrica. Depois resolvemos a equação algébrica e finalmente transformamos de volta a solução da equação algébrica na solução da equação diferencial inicial.
L
L
Admitindo f(t) =1, temos que:
L
2. PROPRIEDADES
L 
Portanto:
 LL
Exemplo: 		L L+ L
3. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
De f(t) for contínua por partes no intervalo de [0,) e se , para todo M,c >0 e T>0, então a transformada dessa função existe.
4. TRANSFORMADA INVERSA
É quando fazemos a função transformada retomar à função original.
L-1 L-1
Exemplo: 
L-1 L-1 L-1 L-1 L-1
Portanto:			L-1 
5. FRAÇÕES PARCIAIS
Esse método utiliza a decomposição de uma expressão racional em frações componentes e podem ser resolvidas por um sistema algébrico. Velamos um exemplo:
L-1
Resolvendo o sistema descrito acima, temos:
Substituindo na função original:
L-1
L-1L-1 +L-1 +L-1
+ +
6. TRANSFORMADAS DERIVADAS
	Se forem contínuas no intervalo de [0,) e de ordem exponencial então:
LLLL... L
7. TEOREMA DA CONVOLUÇÃO
Se forem contínuas no intervalo de [0,) e de ordem exponencial então:
L L L
7.1 Demonstração 
 L	 L
Faremos agora a seguinte substituição, , como ambas as funções são contínuas, podemos inverter os intervalos de integração.
 L +L L
8. TRANSFORMADA DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA
Se forem contínuas no intervalo de [0,), de ordem exponencial e periódica com período T, então:
L
8.1 Demonstração
A transformada de Laplace pode ser reescrita da seguinte forma: 
L
L
Faremos t em função de T da última integral, com a substituição de de modo que a equação assume o seguinte aspecto:
 L
Assim a equação anterior fica:
L L
Resolvendo a última linha para determinar L pé só isolarmos a laplaciana e então provamos o teorema.
REFERÊNCIAS
ARFKEN. George Brown 1922. FÍSICA MATEMÁTICA: métodos matemáticos para engenharia e física/ George Arfken e Hans Weber . -Tradução de Arlete Simille Marques – Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
Zill, Dennis G.,Michael R. Cullen. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Vol.2- SP: Person Makron Books, 2001.