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161 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL 
fred@mat.ufpb.br 
Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br 
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
Ementa 
Limites, Continuidade e Derivadas. 
Descrição 
 Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, 
resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, 
Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de 
princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram 
apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O 
estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente 
interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle. 
Objetivos 
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para: 
� Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades; 
� Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades; 
� Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais 
propriedades; 
� Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas 
derivadas; 
� Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 
 162 
Conteúdo 
Unidade I Limites 
• Noção Intuitiva 
• Definição 
• Propriedades dos Limites 
• Limites Laterais 
• Cálculo de Limites 
• Limites no Infinito 
• Limites Infinitos 
• Propriedades dos Limites Infinitos 
• Limites Fundamentais 
Unidade II Continuidade 
• Continuidade em um ponto 
• Teste de Continuidade 
• Propriedades de Funções Contínuas 
• Composta de Funções Contínuas 
• Teorema do Valor Intermediário: 
Unidade III Derivada 
• A Derivada de uma Função num Ponto 
• A Reta Tangente 
• Continuidade de Funções Deriváveis 
• Derivadas Laterais 
• Regras de Derivação 
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
• Regras de L’Hospital 
• Derivação de Função Composta 
• Derivada da Função Inversa 
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
 
 163 
Unidade I Limites 
1. Situando a Temática 
 O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria 
matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem 
estabelecida no Cálculo: 
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais 
 Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além 
disso, para compreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de 
Funções que são regras bem definidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, 
denominado Domínio, um único elemento em um conjunto de chegada, denominado Contra-
Domínio. Mais precisamente, 
BAf →: é função BxfyA ∈=∃∈∀⇔ )( !, x . 
 Os conjuntos BA e representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função 
f . O elemento )(xf denomina-se a imagem do elemento x pela função f . 
 Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das 
funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do 
conteúdo de limites. 
 O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de 
uma maneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de 
funções. Tais resultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem 
demonstrações, através de alguns exemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse 
em estudá-los poderá encontrá-los nas referências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão 
das demonstrações é tornar o texto conciso. 
 Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e 
atividades relacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que 
vamos adotar uma metodologia apoiada na resolução de exercícios. 
 
 
 164 
Problematizando a Temática 
Limite na vida prática 
 
Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite: 
 
1. Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago 
por 100 dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor 
pago por 100 dólares) é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . 
Podemos representar tal situação por: 
17373,1
100
lim =
→
x
x
 
2. Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo 
aquecida. Se x representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2)( xxA = . 
Evidentemente, quando x se aproxima de 3 , a área da placa A se aproxima de 9 . 
Expressamos essa situação simbolicamente por 
9
3
2lim =
→
x
x
 
3. Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para 
baixo em torno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos 
dizer que o limite (velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o 
acelerador tender a 2 cm para baixo. Matematicamente escrevemos tal situação por 
60)(
2
lim =
→
xv
x
, 
 onde )(xv é a velocidade instantânea do automóvel e x é a medida em 
centímetros do deslocamento do pedal do acelerador. 
 
 4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de 
um corpo em queda livre sob a ação da gravidade. 
O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: 
• Noção Intuitiva 
• Definição 
• Propriedades dos Limites 
• Limites Laterais 
• Cálculo de Limites 
 165 
• Limites no Infinito 
• Limites Infinitos 
• Propriedades dos Limites Infinitos 
• Limites Fundamentais 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 Limites 
3.1.1 Noção Intuitiva 
 Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar 
idéias, consideremos a função :f ℝ \ {1}→ℝ definida por: 
1
1
)1)(1(
1
1)(
2
+=
−
+−
=
−
−
= x
x
xx
x
x
xf 
 Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1=x , ponto este que não 
pertence ao domínio de f , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2=L , 
quando os valores de x se aproximam de 1=x , tanto por valores de 1<x (à esquerda de 1) como 
por valores 1>x (à direita de 1). 
Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da função f , para valores x à 
esquerda e à direita de 1=x . 
TABELA 
Pela esquerda de 1=x Pela direita de 1=x 
x 0 5,0 8,0 9,0 99,0 999,0 1 x 2 5,1 2,1 1,1 01,1 001,1 1 
)(xf 1 5,1 8,1 9,1 99,1 999,1 2 )(xf 3 5,2 2,2 1,2 01,2 001,2 2 
Neste caso, dizemos 2=L é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos 
por: 
2)(
1
lim =
→
xf
x
 
 
 
 166 
3.1.2 Definição Informal de Limite 
 
Seja )(xf definida em um intervalo aberto em torno de x0 exceto talvez em x0. Se )(xf fica 
arbitrariamente próximo de L , para todos os valores de x
 
suficientemente próximos de x0, dizemos 
que f tem limite L quando x tende ax0 e escrevemos 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 
Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente 
próximos” são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um 
pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda 
galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é 
suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções 
específicas. 
Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0x 
 
Com efeito, consideremos as seguintes funções: 
a) 1 ,
1
1
 )(
2
≠
−
−
= x
x
x
xf 
b) 





=
≠
−
−
=
1 ,1 
1 ,
1
1
 g(x)
2
x
x
x
x
 
c) 1 )( += xxh 
Note que 2)(
1
)(
1
)(
1
limlimlim =
→
=
→
=
→
xh
x
xg
x
xf
x
 sem que exista )1(f , com 21)1( ≠=g e 
2)1( =h (Veja Figura 1). 
 
Figura 1: Funções do Exemplo 1. 
 167 
Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir 
 
De fato: discutamos o comportamento quando 0→x das seguintes funções: 
(a) A função de salto unitário definida por 



≥
<
=
0 ,1
0 ,0
 )(
x
x
xU 
(b) A função 




=
≠
=
0 ,0
0 ,1)(
x
x
xxg 
(c) A função 





>





≤
=
0 ,1
0 ,0
)(
x
x
sen
x
xf 
Soluções: 
(a) A função de salto unitário )(xU não tem limite quando 0→x porque seus valores “saltam” 
em 0=x . Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, 0)( =xU . Para valores 
positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, 1)( =xU . Não há um único valor de L do qual 
)(xU se aproxime quando 0→x (Figura 2 (a)). 
(b) A função cresce demais para ter um limite: )(xg não tem um valor limite quando 0→x 
porque g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0→x e não se mantém próximo de 
nenhum valor real (Figura 2 (b)). 
(c) A função oscila demais para ter um limite: )(xf não tem limite quando 0→x porque os 
valores da função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não 
se mantêm próximos de nenhum número quando 0→x 
(Figura 2 (c)). 
 
 
Figura 2: Funções do Exemplo 2. 
 
 
 
 
 168 
3.1.3 Definição Formal de Limite 
 
Definição:Seja )(xf uma definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto 
possivelmente em 0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando 0xx → e escrevemos 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
, 
se, para cada número 0>ε , existir um número correspondente 0>δ tal que para todos os 
valores de x, 
εδ <−⇒<−< Lxfxx )(0 0 . 
 
Graficamente temos: 
 
 
Exemplo: Testando a Definição 
Mostre que 2)1(
1
lim =+
→
x
x
 
Solução: sejam 10 =x , 1)( += xxf e 2=L na definição de limite. Para qualquer 0>ε , 
precisamos encontrar um 0>δ adequado ( )(εδδ = , isto é, o número real δ depende do número 
real ε fornecido), tal que se 1≠x e x está a uma distância menor do que δ de 10 =x , ou seja, se 
δ<−< 10 x , então )(xf está a uma distância menor do que ε de 2=L , isto é, ε<− 2)(xf . 
Encontraremos δ ao resolvermos a inequação: 
 169 
ε<+=−+ 121 xx .Daí, basta escolher εδ = e verifica-se que 2)1(
1
lim =+
→
x
x
. 
3.1.4 Propriedades dos Limites 
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e 
potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as 
funções mais elaboradas. 
Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é, 
Se Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 e Mxf
xx
=
→
)(lim
0
 , então ML = 
 
Teorema 3.2: Se 0,, xML e k são números reais e 
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 e Mxg
xx
=
→
)(lim
0
 
então: 
 1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é, 
( ) MLxgxf
xx
+=+
→
)()(lim
0
 
 2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites, 
isto é, 
( ) MLxgxf
xx
−=−
→
)()(lim
0
 
 3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto 
é, 
( ) MLxgxf
xx
⋅=⋅
→
)()(lim
0
 
 4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função 
é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é, 
 
( ) Lkxfk
xx
⋅=⋅
→
)(lim
0
 
Em particular, 
kk
xx
=
→
lim
0
 
 170 
 5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, 
desde que o limite do denominador seja diferente de zero, isto é, 
0M ,.)(
)(
 lim
0
≠=
→ M
L
xg
xf
xx
 
 6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do 
limite da função, desde que a última seja um número real, isto é, 
Se r e s são números inteiros e 0≠s , então ( ) srsr Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 desde que srL seja um 
número real. 
Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule 
3
2
5
32
3
12
1
lim 





+
++
→ x
xx
x
 
Solução: 
3
2
5
32
3
12
 
1
lim 





+
++
→ x
xx
x
=
( )
( )
11
4
4
31
1121
3
1
1
1
2
1
3
11
1
1
2
11
3
1
12
1
3
12
1
3
2
3
2
3
2
5
32
3
2
5
32
3
2
5
323
2
5
32
3
2
5
32
lim
limlim
limlim
limlimlim
lim
lim
lim
==





=





+
+⋅+
=
















+








→
+








→
+








→
=












→
+
→
→
+
→
+
→
=












+
→
++
→
=








+
++
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
 
 
 
 
Observação: A Regra da Soma que vale 
para duas funções, também vale para 
um número finito de funções. Além 
disso, se somente uma das parcelas 
não possui limite, então o limite da 
soma de todas as parcelas não existirá. 
Verifique esta afirmação. 
Observação: O Teorema 3.2 só é 
válido se ambas as funções f e 
g possuírem limites. Verifique 
esta afirmação. 
 171 
Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades )()()( xhxgxf ≤≤ para todo 
x em um intervalo aberto contendo x0, exceto talvez em x = x0 e se )()( limlim
00
xh
xx
Lxf
xx →
==
→
 , 
então Lxg
xx
=
→
)(lim
0
 
Definição: Dizemos que uma função f é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que 
Cxf ≤)( , para todo Dx ∈ , onde D representa o Domínio da função f . 
 
Corolário 3.3: Se f é uma função limitada e g é uma função tal que 0)(lim
0
=
→
xg
xx
, então 
0)()(lim
0
=⋅
→
xgxf
xx
, mesmo que não exista )(lim
0
xf
xx→
. 
Exemplo: Mostre que 01
0
lim =





→ x
xsen
x
 
Solução: Como 0,11 ≠∀≤





x
x
sen
 e 0
0
lim =
→
x
x
, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que 
01
0
lim =





→ x
xsen
x
 
 
3.1.5 Limites Laterais 
Definição. Seja f uma função definida em um intervaloaberto ( )bx ,0 , onde bx <0 . 
Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para x0, e escrevemos 
Lxf
xx
=
→ +
)(lim
0
 
se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que δ+<< 00 xxx . 
 
 
 
Notação: 
00 xxxx →⇒→
+ com 0xx > 
 172 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )0, xc , onde 0xc < . Dizemos que 
um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para 0x , e escrevemos 
Lxf
xx
=
→ −
)(lim
0
 
se, para todo 0>ε , existe um 0>δ tal que ε<− Lxf )( sempre que 00 xxx <<− δ . 
 
 
 
 
Exemplo: Seja 





=
≠−
=
0 ,3 
0 ,
 )(
x
x
x
x
xf
 
Como 



<+
>−
=−
0 ,1
0 ,1
x
x
x
x
 conclui-se que 1)(
0
lim −=
→ +
xf
x
 e )(
0
lim xf
x
−→
 = 1 
 
Teorema 3.4. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente 
no ponto x0, então Lxf
xx
=
→
)(lim
0
 se, e somente se, 
Lxf
xx
=
→ +
)(lim
0
 e Lxf
xx
=
→ −
)(lim
0
. 
Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4 
Como 1)(
0
lim −=
→ +
xf
x
 e 1)(
0
lim =
→ −
xf
x
, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe 
)(
0
lim xf
x→
. 
 
Notação: 
00 xxxx →⇒→
−
 com 
0xx < 
Observação: Os Teoremas 3.1, 
3.2 e 3.3 continuam válidos 
quando substituímos 0xx → por 
+→ 0xx ou 
−→ 0xx . 
 173 
3.1.6 Cálculo de Limites 
Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões 
indeterminadas. Costuma-se dizer que as expressões: 
 
 
São indeterminadas. O que significa isto? 
Exemplo: Verificando a indeterminação 
0
0
. 
(a) Sejam 3)( xxf = e 2)( xxg = . 
Temos que 0)(
0
)(
0
limlim =
→
=
→
xg
x
xf
x
 e 0
0
 
0)(
)(
 
0
limlimlim 2
3
=
→
=
→
=
→
x
x
x
x
x
xg
xf
x
 
(b) Sejam 2)( xxf = e 22)( xxg = . 
Temos que 0)(
0
)(
0
limlim =
→
=
→
xg
x
xf
x
 e neste caso, 
2
1
2
1
 
02
 
0)(
)(
 
0
 limlimlim 2
2
=
→
=
→
=
→ xx
x
x
xg
xf
x
 
Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são 
necessários: são casos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num 
determinado ponto e o limite do numerador também é zero neste mesmo ponto. 
Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo 
0
0
. 
 
 
 
∞
∞∞⋅∞∞
∞
∞ 1 , ,0 ,0 ,- , ,
0
0 00
 
 174 
Exemplo: Calcule 
4
23
2
2
3
lim
−
+−
−→ x
xx
x
 
Solução: 
=
−+
++−
−→
=
−
+−
−→ )2)(2(
)2)(12(
24
23
2
2
2
3
limlim
xx
xxx
x
x
xx
x
 
4
9
2
2
12
2
2
12
2 lim
lim
lim
2
2
−=
−
−→
+−
−→
=
−
+−
−→
=
x
x
xx
x
x
xx
x
 
Exemplo: Calcule 
x
x
x
22
 
0
lim −+
→
 
Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue 
então, 
( ) ( )( )22 22220
22
0
limlim
++⋅
++⋅−+
→
=
−+
→ xx
xx
x
x
x
x
= 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 221221 022
22
 
022
22
 
0
limlimlim
22
=
++→
=
++⋅
−+
→
=
++⋅
−+
→ xxxx
x
xxx
x
x
 
3.1.7 Limites no Infinito 
O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ para descrever o comportamento de 
uma função quando os valores em seu domínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por 
exemplo, a função 
x
xf 1)( = é definida para qualquer valor de 0≠x (Figura 3). Quando x vai se 
tornando cada vez maior, 
x
1
 se torna “próximo de zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo 
x
xf 1)( = tem limite 0 quando ±∞→x . 
 175 
 
Figura 3: Gráfico de 
x
y 1= 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )+∞,a . Escrevemos, 
.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒>>∃>∀⇔=
+∞→
LxfMxMLxf
x
 
Analogamente, 
Definição. Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( )b,∞− . Escrevemos, 
.)( ;0 ,0)(lim εε <−⇒<<∃>∀⇔=
−∞→
LxfNxNLxf
x
 
 
Definição. A reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xfy = 
Se bxf
x
=
+∞→
)(lim ou bxf
x
=
−∞→
)(lim 
 
Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então 
(a) 01 lim =
+∞→
nx
x
 
(b) 01 lim =
−∞→
nx
x
 
 (c) KK
x
=
±∞→
lim ,onde K é uma constante 
 
 
 
Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quando 
substituímos 0xx → por +∞→x ou −∞→x . 
 176 
Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule 
432
1
 2
2
lim
+−
++
+∞→ xx
xx
x
 
 
Solução: 
=






+−
+∞→






++
+∞→
=






+−






++
+∞→
=
+−
++
+∞→
2
2
2
2
2
2
2
2
432 
111 
 
432
111
 
432
1
 
lim
lim
limlim
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
xx
xx
x
 
2
1
002
001
1
 4 1 3 2
1
 
1
 1
2
2
limlimlim
limlimlim
=
+−
++
=
+∞→
+
+∞→
−
+∞→
+∞→
+
+∞→
+
+∞→
=
xxxxx
x
x
x
xx
 
3.1.8 Limites Infinitos 
 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, 
possivelmente, em x = x0. Dizemos que 
 
+∞=
→
)(lim
0
xf
xx
 0 ,0 >∃>∀⇔ δM ; Mxfxx >⇒<−< )(0 0 δ 
 
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, 
possivelmente, em x
 
= x0. Dizemos que 
 
−∞=
→
)(lim
0
xf
xx
 0 ,0 >∃>∀⇔ δN ; Nxfxx −<⇒<−< )(0 0 δ 
 
 177 
Definição. A reta 0xx = é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xfy = se 
±∞=
→ +
)(lim
0
xf
xx
 ou ±∞=
→ −
)(lim
0
xf
xx
 . 
Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função 
4
8)( 2
−
−=
x
xf 
(Veja figura 4). 
Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando ±∞→x e quando 
2±→x , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de x , isto é, )()( xfxf =− , 
para todo 2±≠x . Neste caso, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y . 
O comportamento quando ±∞→x . Como 0)(lim =
±∞→
xf
x
, tem-se que a reta 0=y é uma 
assíntota horizontal. 
O comportamento quando 2±→x . Uma vez que −∞=
→ +
)(
2
lim xf
x
 e +∞=
→ −
)(
2
lim xf
x
, a reta 
2=x é uma assíntota vertical. Analogamente, por simetria, 
2−=x , também é uma assíntota vertical. 
 
 
Figura 4: Gráfico de 
4
8
2
−
−
=
x
y 
 178 
 
 
 
 
 )(lim xf )(lim xg =)(xh )(lim xh simbolicamente 
01 ∞± ∞± )()( xgxf + ∞± ∞± =∞± ∞± 
02 ∞+ ∞+ )()( xgxf − ? ( ) ( )∞+−∞+ é indeterminação 
03 ∞+ k )()( xgxf ± ∞+ ( ) +∞=±∞+ k 
04 ∞− k )()( xgxf ± ∞− ( ) −∞=±∞− k 
05 ∞+ ∞+ )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) ( ) +∞=∞+⋅∞+ 
06 ∞+ ∞− )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+ 
07 ∞+ 0>k )()( xgxf ⋅ ∞+ ( ) +∞=⋅∞+ k , 0>k 
08 ∞+ 0<k )()( xgxf ⋅ ∞− ( ) −∞=⋅∞+ k , 0<k 
09 ∞± 0 )()( xgxf ⋅ ? ( )∞± 0⋅ é indeterminação 
10 k ∞± )()( xgxf 0 0=∞±k 
11 ∞± ∞± )()( xgxf ? ∞±∞± é indeterminação 
12 0>k +0 )()( xgxf ∞+ +∞=+0k , 0>k 
13 ∞+ +0 )()( xgxf ∞+ +∞=∞+ +0 
14 0>k −0 )()( xgxf ∞− −∞=−0k , 0>k 
15 ∞+ −0 )()( xgxf ∞− −∞=∞+ −0 
16 0 0 )()( xgxf ? 00 é indeterminação 
Exemplo: Determinar )143( 35lim +−
+∞→
xx
xSolução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte 
artifício de cálculo. Escrevemos, 
)143( 35lim +−
+∞→
xx
x
 = 





+−
+∞→
52
5 143lim
xx
x
x
 = ∞+ ( )003 +− = ∞+ 
Observação: 
A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais 
válidos para os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → , 
+→ 0xx , 
−→ 0xx , +∞→x ou −∞→x . 
 179 
3.1.9 Limites Fundamentais 
 
Teorema 3.6. 
 (a) 1
0
lim =
→ x
senx
x
 
 (b) ( ) ex
x
x
=+
→
11
0
lim , onde e é o número irracional neperiano cujo valor é ...597182818284,2 , 
 (c) a
x
a
x
x
ln1
0
lim =−
→
 ( 0>a , 1≠a ) 
 
Exemplo: Calcule 
xsen
xsen
x
3
2
 
0
lim
→
 
 
Solução: 
xsen
xsen
x
3
2
 
0
lim
→
 = 





⋅⋅
→ xsen
x
x
x
x
xsen
x
3
3
3
2
2
2
 
0
lim = 
xsen
x
x
x
x
x
x
xsen
x
3
3
 
03
2
 
02
2
0
limlimlim
→
⋅
→
⋅
→
 = 
x
xsen
x
x
x
x
x
xsen
x
3
3
0
1
3
2
 
02
2
0 lim
limlim
→
⋅
→
⋅
→
 = 
1
1
3
21 ⋅⋅ = 
3
2
. 
Neste exemplo, 
x
xsen
x 2
2
0
lim
→
 
=
 
u
senu
u
lim
0→
 
=
 1 , onde xu 2= e 0→u quando 0→x . 
Analogamente, 
 
x
xsen
x
3
3
0
lim
→
 = 1 e 
3
2
3
2
 
0
lim =
→
x
x
x
 
4. Avaliando o que foi construído 
 
 Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi 
apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos, 
usando as propriedades, alguns limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender 
dentro de tema. 
 No Moodle... 
 180 
 
 
 
 
5. Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 
 
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
 
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a 
Edição, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo 
Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, 
testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos 
parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que 
você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE! 
 181 
Unidade II Continuidade 
1. Situando a Temática 
 Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma 
função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos 
esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da 
função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos 
trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não 
saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles. 
 Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento 
contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua 
e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta 
unidade, a idéia de continuidade. 
 
 
Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida. 
 O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: 
• Continuidade em um ponto 
• Teste de Continuidade 
• Propriedades de Funções Contínuas 
• Composta de Funções Contínuas 
• Teorema do Valor Intermediário 
 
 
 182 
2. Problematizando a Temática 
 As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se 
aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as 
funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a 
velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem 
de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo 
de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em 
partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como 
conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas 
na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se 
tornou importante tanto prática quanto teoricamente. 
 
Figura 6 
3. Conhecendo a Temática 
 
3.1. Continuidade em um Ponto 
 
 Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua em um ponto Ia ∈ quando 
)()(lim afxf
ax
=
→
 
 
 
 
 
 
 183 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto 
 A função Salto Unitário definida por 



≥
<
=
0 ,1
0 ,0)(
x
x
xU é contínua à direita em 0=x , mas não 
é contínua à esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto 
em 0=x 
 
3.2 Continuidade 
 
Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua quando f é contínua em 
todo ponto Ia ∈ 
 
Exemplo: Identificando Funções Contínuas 
 
A função 
x
xf 1)( = ( Figura 3) é contínua em todo 0≠x . 
3.3 Propriedades de Funções Contínuas. 
Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em ax = , então as seguintes combinações são 
contínuas em ax = . 
 1. Soma: gf + 
 2. Diferença: gf − 
 3. Produto: gf ⋅ 
 4. Constantes Múltiplas: fk ⋅ , para qualquer número k 
 5. Quociente: gf , desde que 0)( ≠ag 
 
Considerações sobre a Definição 
(a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a 
é um ponto de descontinuidade de f ; 
 (b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ −
; 
 (c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ +
. 
 184 
3.4. Composta de Funções Contínuas. 
 
Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em )(afb = , então a composta fg o é contínua em a , 
isto é, ))(())(())(( limlim afgxf
ax
gxfg
ax
=
→
=
→
 
 
Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função 
 
1
1)( 2 +
+
=
x
x
xh é contínua em 1=x 
Solução: Sejam 
1
1)( 2 +
+
=
x
x
xf e xxg =)( . Daí, ))(())(()( xfgxfgxh == o . Sendo 
1
11
11)1( 2 =+
+
=f e 11)1())1(( === gfg , tem-se que 
 
))1((1
11
11
1
1)())(( 22limlimlim
111
fg
x
x
xhxfg
xxx
==
+
+
=
+
+
==
→→→
 
 
3.5. Teorema do Valor Intermediário 
 
Teorema 3.5. .Seja [ ] →baf ,: ℝ uma função contínua em um intervalo fechado [ ]ba, tal que 
)()( 0 bfyaf ≤≤ , então )(0 cfy = para algum c em [ ]ba, . 
 
 
 
 
 
 
 
 185 
Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5 
 
Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo? 
 
Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário. 
Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazera equação 31 xx =+ ou, equivalentemente, 
013 =−− xx . Portanto, estamos procurando um zero da função contínua 1)( 3 −−= xxxf (Veja 
Figura 7 abaixo). Esta função muda de sinal no intervalo [ ]2,1 , pois 5)2(0)1(1 =<<=− ff , logo 
deve existir um ponto c entre 1 e 2 tal que 0)( =cf 
 
 
Figura 7 
 
Ampliando o seu Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz que 
qualquer reta horizontal dy = cruzando o eixo y entre os números )(af 
e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo menos uma vez no intervalo [ ]ba, , 
desde que f seja contínua em [ ]ba, . 
 186 
4. Avaliando o que foi construído 
 
No Moodle... 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
5. Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987 
2. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 
2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas 
ao assunto desta unidade. 
Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no 
estudo das funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a 
plataforma e procurar resolver os exercícios nela proposta. 
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os 
Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem 
assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e 
ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu 
potencial e conte conosco. 
 187 
Unidade III Derivadas 
1. Situando a Temática 
 
 No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, 
constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em x e em 
y . Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. 
A partir daí, com a introdução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial 
torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos 
mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, 
Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação. Para calcular a velocidade e a aceleração 
instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descrita pela equação de movimento 
)(tss = , onde t representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas, para estimar a 
diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as 
conseqüências de erros cometidos durante as medições. 
 
 A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas. 
 
 Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos: 
• A Derivada de uma Função num Ponto 
• A Reta Tangente 
• Continuidade de Funções Deriváveis 
• Derivadas Laterais 
• Regras de Derivação 
• Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
• Regras de L’Hospital 
• Derivação de Função Composta 
• Derivada da Função Inversa 
• A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
 
 
 
 188 
2. Problematizando a Temática 
 
 
 
 
Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função 
num ponto. A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e 
outros problemas que envolvem derivadas. 
3. Conhecendo a Temática 
3.1 A Derivada de uma Função 
Definição. A derivada de uma função )(xfy = em relação à variável x é a função f ′ cujo valor 
em x é 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( lim −+
→
=′ , 
desde que este limite exista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Aplicando a Definição 
 
Considerações sobre a Definição: 
 
(a) O domínio de f ′ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite existe. 
Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor; 
(b) Se f ′ existe para um determinado valor de x , dizemos que f é derivável em x ; 
Calculando )(xf ′ a partir da Definição de Derivada 
 
Passo 1. Escreva expressões para 
 
)(xf e )( hxf + 
 
Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente 
 
h
xfhxf )()( −+
 
Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )(xf ′ calculando o limite 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( lim −+
→
=′ 
Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva )(xfy = no ponto 
),( 00 yxP , onde )( 00 xfy = 
 189 
 Encontre a derivada de xy = para 0>x . 
 
Solução: 
 
Passo 1: xxf =)( e hxhxf +=+ )( 
 
Passo 2 : 
h
xfhxf )()( −+
 = 
h
xhx −+
 
 
 = 
( ) ( )( )xhx xhxh xhx ++ ++⋅−+ 
 = ( )xhxh xhx ++⋅ −+ 
 = ( )xhx ++ 1 
 
Passo 3 : lim)(
oh
xf
→
=′ ( )xhx ++ 1 = x2 1 (Veja Figura 8 (a) e 8(b) ) 
 
 
Figura 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )(xfy = . Além 
de )(xf ′ , as notações mais comuns são: 
 
(i) y′ ( lê-se y linha). Esta notação foi dada por Newton 
 
(ii) 
dx
dy
 ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz 
 190 
3.2. A Reta Tangente 
 
Definição. Dada uma curva de equação )(xfy = , seja ),( 00 yxP um ponto sobre ela, ou seja , 
)( 00 xfy = . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo 
coeficiente angular Tm é dado pela expressão 
h
xfhxf
m
h
T
)()( 00
0
lim −+=
→
, 
quando este limite existe. Assim, 
)( 0xfmT ′= . 
Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva xy = em 4=x 
 
 Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que 
x
xf
2
1)( =′ 
 Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4=x é dado por 
4
1
42
1)4( ==′= fmT . 
 
 A reta tangente passa pelo ponto )2,4(P e tem como equação 
)4(
4
12 −⋅=− xy ⇔ 1
4
1
+= xy 
 
Figura 9 
 191 
3.3 Continuidade de Funções Deriváveis 
Teorema 3.3. Se f é derivável em 0xx = , então f é contínua 0xx = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corolário 3.3. Se f não é contínua em 0x , então f não é derivável em 0x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir 
 
Exemplo: A função xxf =)( , 0≥x é contínua em 0=x mas não é derivável aí, pois 
x
xf
2
1)( =′ x > 0 e 
hhh
h
hh
hf
hh
fhf
x
f 1
00
)(
0
)0()(
0
)0( limlimlimlim
→
=
→
=
→
=
−
→
=′ 
que não existe e, portanto, f não é derivável neste ponto. 
Prova: Como )( 0xf ′ existe, devemos mostrar que )()( 0
0
lim xfxf
xx
=
→
 ou , equivalentemente, 
que )()(
0
00lim xfhxf
h
=+
→
. 
Com efeito, se 0≠h , então 
h
h
xfhxf
xfhxf ⋅−++=+ )()()()( 0000 
Assim, 
h
hh
xfhxf
h
xf
h
hxf
h
limlimlimlim
0
)()(
0
)(
0
)(
0
00
00
→
⋅
−+
→
+
→
=+
→
 
 
)(0)()( 000 xfxfxf =⋅′+= 
 192 
3.4 Derivadas Laterais 
 
Definição Se a função )(xfy = está definida em 0x ,então a derivada à direita de f em 0x , 
denotada por )( 0xf+′ , é definida por 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( 000 lim
−+
→
=′
+
+0
0
0
)()(
lim
xx
xfxf
xx
−
−
→
=
+
 , 
 
 caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em 0x , denotada por )( 0xf−′ , é 
definida por 
 
h
xfhxf
h
xf )()(
0
)( 000 lim
−+
→
=′
−
−
 
 
0
0
0
)()(
lim
xx
xfxf
xx
−
−
→
=
−
, 
desde que este limite exista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A função xxf =)( não é derivável em 0=x , embora seja contínua aí 
 
Solução: À direita da origem ( 0>x ) 
 
( ) 1)( == x
dx
d
x
dx
d
 
Considerações sobre a Definição: 
 
(a) Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à 
esquerda nesse ponto existem e são iguais; 
 
(b) Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um 
ponto 0x , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )(xfy = . Neste 
caso, f não é derivável em 0x ; 
 
(c) Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0x , então f não será derivável 
em 0x . 
 193 
 
e 
 
 1
0
)0()0(
0
)0( limlim =
→
=
−+
→
=′
++
+ h
h
hh
fhf
h
f 
À esquerda da origem )0( <x , 
 
 
( ) 1)( −=−= x
dx
d
x
dx
d
 
 
e 
 
 1
0
)0()0(
0
)0( limlim −=−
→
=
−+
→
=′
−−
− h
h
hh
fhf
h
f 
 
Como )0()0(
−+ ′≠′ ff , tem-se que f não é derivável 0=x 
 
(Veja Figura 10). 
 
 
Figura 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 194 
3.5 Regras de Derivação 
 
Teorema 3.5. Se f e g são funções deriváveis em x , então as seguintes combinações são 
deriváveis em x 
1. Soma: gf + e ( ) )()()( xgxfxgf ′+′=′+ ; 
2. Diferença: gf − e ( ) )()()( xgxfxgf ′−′=′− ; 
3. Produto: )( gf ⋅ e )()()()()()( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ ; 
4. Quociente 





g
f
 e 
[ ]2)(
)()()()()(
xg
xgxfxfxg
x
g
f ′−′
=
′






 , desde que 0)( ≠xg ; 
5. Constantes Múltiplas: fk ⋅ e )()()( xfkxfk ′⋅=′⋅ , para todo número real k . 
 
No Moodle... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios: 
 
 (i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação) 
 
 (ii) Mostre que 1)( −= nn nxx
dx
d
 , onde n é um número real 
(Derivada da Potência) 
 (iii) Mostre que ( ) 0=C
dx
d
, onde C é uma constante. 
 195 
 
 
Exemplo: Aplicando as regras de derivação 
 
Determine as derivadas das seguintes funções: 
 
(a) )1)(2()( 32 ++= xxxxf 
 
(b) 
1
2)( 3
5
+
=
x
x
xg 
 
(c) xxxxh 2)( 34 ++= 
 
(d) xxy = 
 
 
Solução: (a) 
 
 [()2()1(])2()[( 3232 ⋅+++⋅′+′= xxxxxx
 )03()2()1()22( 223 +⋅+++++= xxxxx 
 
)3()2()1()22( 223 xxxxx ⋅+++++=
 
 
 (b) 
 
23
3535
)1(
)1()2()1()2()(
+
′+⋅−+⋅′
=′
x
xxxx
xg 
 
23
2534
)1(
)03()2()1(10
+
+⋅−+⋅
=
x
xxxx
 
 
 23
2534
)1(
)3()2()1(10
+
⋅−+⋅
=
x
xxxx
 
 
 (c) 
 
)2()()()( 34 ′+′+′=′ xxxxh
 
 
234 23 ++= xx
 
 
 
 
)1)(2()1()2()( 3232 ′++++⋅′+=′ xxxxxxxf
 196 
 
 
 (d) )( ′=′ xxy 
)()( ′⋅+⋅′= xxxx 
 ])[(1 21 ′⋅+⋅= xxx 
 






−
⋅⋅+= 2
11
2
1
xxx 
 
x
x
x
2
+= 
 
x
x
x
x
x ⋅+=
2
 
 ( )22 x
xx
x += 
 
x
xx
x
2
+= 
 
2
x
x += 
3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo 
Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e 
trigonométricas. 
 
 
 
 Função Derivada 
 )(xf )(xf ′ 
01 xe xe 
02 xln 0 x,
1
>
x
 
03 senx xcos 
04 xcos senx− 
05 tgx x2sec 
06 gxcot x2seccos− 
07 xsec tgxx ⋅sec 
08 xseccos gxx cotseccos ⋅− 
 197 
 
 
Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções: 
 
(a) senxxy += 2 
 
(b) xetgxy 2+= 
 
(c) xxy ln= 
 
(d) xxxy cossec += 
 
Solução: 
 (a) 
)( 2 ′+=′ senxxy 
xx cos2 += 
 
 (b) 
)2( ′+=′ xetgxy 
)2()( ′+′= xetgx 
xex 2sec2 += 
 
 (c) 
)(lnln)()ln( ′+′=′=′ xxxxxxy 
x
x
xx ln11ln +=⋅+= 
 
 (d) 
)cos()(sec ′+′=′ xxxy 
)(cos1sec senxxxtgxx −⋅+⋅+⋅= 
 
senxxxtgxx ⋅−+⋅= cossec 
 
 
 
 198 
 
3.7. Regras de L’Hospital 
 
Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo 
∞
∞
ou 
0
0
. Esse 
método é dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir. 
 
Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam g e f funções deriváveis num intervalo aberto I , 
exceto, possivelmente, em um ponto Ia ∈ . Suponhamos que I em ax ,0)( ≠∀≠′ xg . 
(i) Se L
xg
xf
xg
xfL
xg
xf
xg
ax
xf
ax
=
′
′
→
=
→
=
′
′
→
=
→
=
→ )(
)(
ax
)(
)(
ax
 então ,)(
)(
ax
 e 0)()( limlimlimlimlim 
(ii) Se L
xg
xf
xg
xfL
xg
xf
xg
ax
xf
ax
=
′
′
→
=
→
=
′
′
→
∞=
→
=
→ )(
)(
ax
)(
)(
ax
 então ,)(
)(
ax
 e )()( limlimlimlimlim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Determine os seguintes limites: 
 
(a) 
23
6
 
2
2
2
lim
+−
−+
→ xx
xx
x
 
 
(b) 
2
 
0
lim
−+
+−
→
−xx ee
senxx
x
 
 
Considerações sobre o Teorema 3.7: 
(i) Se L(x)g
(x)f
 
ax
xg
ax
xf
ax
=
′′
′′
→
=′
→
=′
→
limlimlim e 0)()( , então L
xg
xf
=
′
′
→ )(
)(
ax
lim 
e assim sucessivamente... 
(ii) Se L(x)g
(x)f
 
ax
xg
ax
xf
ax
=
′′
′′
→
∞=′
→
=′
→
limlimlim e )()( , então 
L
xg
xf
=
′
′
→ )(
)(
ax
lim e assim sucessivamente... 
 199 
(c) 
xx
e
x
x
4
1
 3lim +
−
∞→
 
 
Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos 
 
(a) 5
1
5
322
122
32
12
 
2
 
23
6
 
2
limlim 2
2
==
−⋅
+⋅
=
−
+
→
=
+−
−+
→ x
x
x
xx
xx
x
 
 
 (b) 0 
0
cos1
 
02
 
0
limlimlim =
+
−
→
=
−
+−
→
=
−+
+−
→
−−− xxxxxx ee
senx
x
ee
x
x
ee
senxx
x
 
 
 (c) +∞=
+∞→
=
+∞→
=
++∞→
=
+
−
+∞→ 6
 
6
 
43
 
4
1
 limlimlimlim 23
xxxx e
x
x
e
x
x
e
x
xx
e
x
 
 
 
 
3.8. Derivação de Função Composta 
 
Consideremos duas funções f e g onde )(xgu = . Para todo x tal que)(xg está no domínio de 
f , podemos escrever ))(()( xgfufy == , isto é, podemos considerar a função composta 
))(())(( xgfxgf =o . Por exemplo, uma função tal como 72 )25( ++= xxy pode ser vista como a 
composta das funções )(7 ufuy == e )(252 xgxxu =++= 
(Ver Figura 2.29 Thomas página 180) 
 
Teorema 3.8. A Regra da Cadeia 
Se )(uf é derivável no ponto )(xgu = e )(xg é derivável em x , então a função composta 
))(())(( xgfxgf =o è derivável em x e 
uufxgxgfxgf ′⋅′=′⋅′=′ )()())(()()( o 
Na notação de Leibniz, se )(ufy = e )(xgu = , então 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= , 
onde 
du
dy
 é calculado em )(xgu = . 
Observação: As Regras de 
L’hospital são válidas para limites 
laterais e limites no infinito. 
 200 
Exemplo: Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar 
dx
dy
. 
Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever 
 
)(7 ufuy == , onde )(252 xgxxu =++= 
 
Assim, pela Regra da Cadeia, 
 
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅= 
 
 
)52(7 6 +⋅= xu
 
 
 )52()25(7 62 +⋅++= xxx . 
 
Exemplo: Dada a função xxseney x 2cos)2(3 ++= , determinar 
dx
dy
 
Solução: Sejam xvxu 2,2 == e xw cos= . Assim, podemos escrever 
 
2wsenvey u ++= 
 
Assim, pela Regra da Cadeia, 
 
)()cos)2(( 223 ′++=′++=′ wsenvexxseney ux 
 wwvvuewsenve uu ′⋅+′⋅+′=′+′+′= )2()(cos)()()( 2 
)()cos2(2))2(cos(3 23 senxxxxe x −⋅+⋅+⋅= 
 xsenxxex
x cos2)2cos(23 32 ⋅−+⋅= 
3.9. Derivada da Função Inversa 
 
Teorema 3.9. Derivada da Função Inversa 
Seja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ),( ba . Suponhamos que )(xf Admita 
uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(xf ′ existe e é diferente de zero para qualquer ponto 
),( bax ∈ , então 1−= fg é derivável e vale 
))((
1
)(
1)(
ygfxfyg ′=′=′ ou )(
1))((
xfxfg ′=′ 
 
 
 
 
 201 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.9: Seja 12)( −== xxfy , 0>x . Determine )3(g ′ , onde 1−= fg . 
 
Solução 1: 2
1
)1(1)( +=+== yyygx
 (Verifique !). Daí, 
 
12
12
1
1
2
1
 
+
=
−
+=′
y
)(y(y)g . 
 
Em particular, 
4
1
 
132
1
 )3( =
+
=′g 
 
 
Solução 2: Pelo Teorema 3.8 , 
 
xxfxfgyg 2
1
 )(
1
 ))(( )( =
′
=′=′ 
Em particular, 
 
3 2 =⇔= yx 
Assim, 
 
4
1
 
22
1
 )2(
1
 )3( =
⋅
=
′
=′ fg . 
 
3.9. Derivada da Função Implícita 
 
3.9.1. Função na Forma Implícita 
 
Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0 ),( =yxF se ao 
substituirmos y por )(xf nesta equação obtemos uma identidade, isto é, 0 ))(,( =xfxF . 
 
 
Exemplo: A equação 01
2
12
=−+ yx define implicitamente a função )21(2 xy −⋅= . 
Prova: Sendo 1−= fg , tem-se que xxfg =))(( , para todo ),( bax ∈ e usando a 
Regra da Cadeia, conclui-se 
 
)(
1))((1)())((
xfxfgxfxfg ′=′⇔=′⋅′ 
 202 
De fato, substituindo )1(2 2xy −⋅= na equação 01
2
12
=−+ yx , obtemos a identidade 
01)1( 2 
2
12 2
=−−⋅+ xx . 
 
3.9.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita 
 
Suponhamos que a equação 0 ),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . 
Usaremos a Regra da Cadeia para determinar y′ sem explicitar y . 
 
 
Exemplo: Sabendo que )(xfy = é definida implicitamente pela equação 
 
yxyxy 2322 +=+ , determinar y′ . 
 
 
Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à x e supondo que )(xfy = é 
derivável, obtém-se: 
 
)2()322( ′+=′+ yxyxy 
c 
)2()()32()2( ′+′=′+′ yxyxy 
 
c 
 
yyyyyxy ′+=′⋅+′⋅⋅+ 212622 
 
Isolando y′ na última igualdade, temos 
2262
21
−+
−
=′
yxy
yy
 
 
Em particular, o ponto )1,1(P está na curva )(xfy = e aí, 
 
0)1,1( =′y 
 
E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por 
 
 
 
 
1)1(01 =⇔−⋅=− yxy 
 
 
 
 
 203 
 
 
 
 se 
Co cime
nto 
 
Ampliando o seu Conhecimento Ampliando 
 
 
 
 
 
 
Você sabia que só no século XVII, quando Decartes e Pierre Fermat 
introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar 
problemas geométricos em problemas algébricos e estudar 
analiticamente funções? A Matemática recebeu assim um grande 
impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os 
cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a 
procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em 
estudo. A partir daí, todo o estudo se desenvolve em torno das 
propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução de 
coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu 
a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas 
por relações entre variáveis. 
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que 
Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a 
uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. 
Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um 
processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto. Esta 
dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema 
da Tangente”. 
 Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva 
assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta 
horizontal, já que ao comparar o valor assumido num desses pontos 
))(,( xfxP com valor assumido no outro ponto ))(,( hxfhxQ ++ 
próximo de P , a diferença entre )( hxf + e )(xf era muito pequena, 
quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcisssas 
de Q e P . Assim, o problema de determinar extremos e de determinar 
tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados. 
 
 Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e 
levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo 
Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o 
conceito de limite não estava ainda claramente definido. 
 
 No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, 
introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a 
notação de dx e dy , para designar os infinitésimos em x e em y . Desta 
notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como 
“Cálculo Infinitesimal” 
 204 
4. Avaliando o que foi construído 
 
No Moodle... 
 
 
 
 
 
Dialogando e Construindo Conhecimento 
 
 
 
 
 
5.Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÀLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 
2002. 
 
 
 
 
 
Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo 
Diferencial e Integral I, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema 
Derivadas. Dedique-se à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. 
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Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite 
constantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure 
os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sido 
bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e 
ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em 
seu potencial e conte conosco.