Sequências e Séries - Somatórios

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SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 
1. CÁLCULO SOMATÓRIO 
 
Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100. Podemos 
observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n 
variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: å
=
50
0n
n.2 , que se lê: “somatório de 2n 
com n variando de 0 a 50”. A letra grega å que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de 
somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas. 
 
Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo å
=
n
1i
ia representa a sua soma, isto 
é, å
=
n
1i
ia = a1 + a2 + a3 + ... + a n. 
Em å
=
n
1i
ia a letra i é denominada índice do somatório (em seu lugar, pode figurar qualquer outra 
letra) e s valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior . 
 
E1)Desenvolva os seguintes somatórios: 
 1) å
=
-
5
1x
2 )xx( 2) å
¥
=
-
2j
j j.)1( 3) å
=
5
0n
na!n 
E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões: 
 1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2)
5
24
4
6
3
2
2
1
1 ++++ 3) 
11.9
10
...
6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
+++++ 
E3)Calcule o valor de: 
 1) å
=
-
5
0n
n !n.)1( 2) åå
==
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ 5
0i
2
25
0i
ii 
 
1.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO 
 
Se na1papa
n
pi
ia ++++
=
=å L , então å
=
n
pi
ia tem ( n – p + 1 ) parcelas. 
E4) Destaque a parcela central e a décima parcela de å
=
-
100
0n
n n3.)1( . 
 
1.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 
 
1. Somatório de uma constante 
Sejam ai = k, com i = p,...,n. 
k)1pn(kkkaaaak n1pp
n
pi
i
n
pi
+-=+++=+++== +
==
åå LL Þ å
=
+-=
n
pi
k).1pn(k 
 2 
2. Somatório do produto de uma constante por uma variável 
Sejam ka i, com i = p,...,n. 
 åå
=
++
=
=+++=+++=
n
pi
in1ppn1pp
n
pi
i ak)aaa(kkakakaka LL Þ åå
==
=
n
pi
i
n
pi
i akka 
 
3. Somatório de uma soma algébrica 
Sejam ai ± bi, com i = p,...,n. 
)bbb()aaa()ba()ba()ba()ba( n1ppn1ppnn1p1ppp
n
pi
ii +++±+++=±++±+±=± ++++
=
å LLL 
åå
==
±=
n
pi
i
n
pi
i ba Þ ååå
===
±=±
n
pi
i
n
pi
i
n
pi
ii ba)ba( 
 
4. Separação do último termo 
 
n
1n
pi
i
n
pi
i aaa += åå
-
==
 
 
5. Separação do primeiro termo 
 
åå
+=
+=
=
n
1pi
iapa
n
pi
ia 
 
6. Avanço dos limites 
j)jn(j1)jp(j)jp()jj(n)jj(1p)jj(pn1pp
n
pi
i aaa)aaaaaaa -+-++-+-+-++-++
=
+++=+++=+++=å LLL å
+
+=
-=
jn
jpi
jia 
åå
+
+=
-
=
=
jn
jpi
ji
n
pi
i aa 
 
E5) Complete a tabela abaixo: 
 
 i xi yi xi
2 yi
2 xi
2yi xiyi 
 
 1 1 2 
 
 2 1 3 
 
 3 2 2 
 
 4 3 4 
 
 5 4 1 
 
 6 0 5 
 
 å 
 
E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule: 
 3 
 1) å
=
+-
6
1i
ii )4y3x2( 2) åå
==
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ 5
1i
2
i
25
1i
i xx 3) )yx()yx( ii
6
2i
ii +-å
=
 
 4) 10x
5
2i
2
i +å
=
 5) å
=
-
6
1i
2
ii )yx( 6) å
=
+
5
1i
2
i )3y( 
 7) å
=
--
5
2i
1ii )xx( 8) å
=
+
3
0i
2iy 
 
1.3. SOMATÓRIO DUPLO 
 
Seja a matriz A =
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
xxxx
xxxx
xxxx
L
MMMM
L
L
. As somas dos elementos de cada uma das linhas de A 
são: 
ååå
===
n
1j
mj
n
1j
j2
n
1j
j1 x,,x,x L . 
Por outro lado, a soma de todos os elementos da matriz A é: 
åååååå
= =====
=+++=+++
n
1j
m
1i
ijmjj2
n
1j
j1
n
1j
mj
n
1j
j2
n
1j
j1 x)xxx(xxx LL . 
 
Observações: 
a) åååå
= == =
=
m
qi
n
pj
ij
n
pj
m
qi
ij xx . b) åå
= =
n
pj
m
qi
ijx tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas. 
 
E7) Desenvolva os seguintes somatórios: 
 1) åå
= =
-
3
1x
4
2y
)10xy( 2) åå
= =
+
5
2x
3
2y
2)yx( 3) åå
= =
3
2x
4
1y
yx 4) åå
= =
-
3
1i
4
2j
ij )xy( 
E8) Calcule o valor de: 
 1) åå
= =
-
3
1x
2
1y
)5xy( 2) åå
= =
-
3
1i
4
2j
)jx( 3) åå
= =
5
2x
3
2y
2z 4) åå
= =
+
4
2x
3
2y
2)1x( 
E9) Escrever sob a forma de somatório as expressões: 
 1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35 2) 
5
4
4
4
5
3
4
3
5
2
4
2
5
1
4
1
+++++++ 
E10) Encontre uma fórmula (em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: 
 1) åå
=
+
=
n2
1i
1i
0j
n 2) åå
= =
+
n
1i
n
1j
)ji( 3) åå
= =
+
n
1i
n
1j
)in( 4) åå
= =
n
1i
i
3j
i 
 
1.4. RESPOSTAS 
 
E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 2) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5 
E2) 1) å
¥
=
+-
0i
i )1i2.()1( 2) å
= +
4
0i 1i
!i
 3) å
= +
+9
1i )2i(i
1i
 
E3) 1) – 100 2)170 E4) a50 =150 e a10 = -27 
 4 
E6) 1) –5 2) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10 
E7) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64 
 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 
 4) (y2 – x1) + (y3 – x1) + (y4 – x1) + (y2 – x2) + (y3 – x2) + (y4 – x2)+ (y2 – x3) + (y3 – x3) + (y4 – x3) 
E8) 1) –12 2) 9x – 27 3) 8z2 4) 100 
E9) 1) åå
= =
3
2i
5
3j
ji 2) åå
= =
4
1i
5
4j j
i
 
E10) 1) )5n2(n 2 + 2) n2 (n + 1) 3)
2
)1n3(n 2 +
 4)
6
)5n2)(1n(n -+
 
 
 
2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS 
 
2.1. DEFINIÇÃO 
 
Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem, a1, a2, a3,...,an,..., onde a1 é o 1
o 
termo, a2 é o 2
o termo, ..., an é o n-ésimo termo ou termo geral. Notação: {a1, a2, a3,...,an,...} ou {an}. Devemos 
observar, também, que uma seqüência é uma função definida sobre o conjunto dos números naturais: 
nan
:f
®
®. 
Exemplos de seqüências: 
a) an = 1n
1n
+
-
 é o termo geral da seqüência 0, ,...
5
3
,
4
2
,
3
1
 
b) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...}. 
c) an = 2n é o termo geral da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... Podemos observar que esta seqüência, como 
muitas outras, pode ser definida através de uma fórmula de recorrência:î
í
ì
>=
=
- 0nse,a2a
1a
1nn
0 . 
d) A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an-1, para n 2³ . Os termos da seqüência 
de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,... 
 
E1) Encontre a seqüência que é a solução das seguintes relações de recorrência: 
a) 
î
í
ì
>+=
=
- 1nse,1a2a
1a
1nn
1 . b) 
î
í
ì
>=
=
- 0nse,naa
1a
1nn
0 . 
 
2.2. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA 
 
Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L, quando 
.Lalim n
n
=
¥®
 Em outras palavras, an estará próximo de L para n suficientemente grande. Se n
n
alim
¥®
 não existe, 
dizemos que a seqüência {an} não converge (diverge). 
 
 Existem diversos teoremas que ajudam na determinação da convergência ou divergência de 
seqüências, sendo que fica como sugestão ao aluno interessado procurar por eles na bibliografia indicada. Por 
outro lado, muitos limites de seqüências podem ser estudados como limites ao infinito de funções. 
Exemplos: 
a) Os termos da seqüência 
þ
ý
ü
î
í
ì
+1n
n
 são: ,...
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1 
 5 
Representação gráfica da seqüência : 
 an 
 1 
 0,9 
 Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce 
 aproximando-se de 1, isto é, 
 
 =÷
ø
ö
ç
è
æ=
+¥®¥® 1n
n
limlim
n
n
n
a 1 0,5 
 
 
 
 Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1. 0,1 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 
b) Os termos da seqüência { }¥=- 2n2n são: 0, 1, 2 , 3 , 2, 5 ,... 
Representação gráfica da seqüência : 
 an 
 3 
 
 Observa-se que: se n cresce sem limites, an também 
 cresce sem limites, isto é, 2 
 =-=
¥®¥®
2na limlim
n
n
n
¥ 
 1 
 
 Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. 
 n 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
c) 
5
3
n
15
n
53
lim
nn5
n5n3
lim
2
n23
3
n
=
+
+
=
+
+
¥®¥®
, onde dividimos numerador e denominador por n3. 
d) 
( )
1)0cos(
1
xcos
lim
x
xsen
lim
n
1
n
1sen
lim
n
1
sennlim
0x0xnn
=====
®®¥®¥®
, onde utilizamos o Teste de L’Hopital. 
 
E2) Determine, se existir, o limite das seqüências abaixo: 
a) 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+
-
2
2
n23
n47
. b) 
þ
ý
ü
î
í
ì
+
+-
1n
)1n3)(1n2(
3
 c) 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+ )1nln(
n 2
 d) 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ +
n
n
1
1 
e) 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+
-
- 1n2
n
1n2
n 22
 f) 
þ
ý
ü
î
í
ì
n
)ncos(
 g) 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+
-
1n
n)1( n
 h) ( ){ }n1.01+ 
 
2.3. RESPOSTAS 
 
E1) a) 12a nn -= . b) !na n = . 
E2) a) – 2. b) 0. c) diverge. d) e. e) 1/2. f) 0. g) 0. h) 1. 
 
 
 6 
3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF) 
 
3.1. O TEOREMA 
 
E1) Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando tua resposta. 
“Para n ÎN, p(n) = n2 + n + 41 sempre dá um número primo.” 
 
 É relativamente simples demonstrar que a afirmação acima é falsa. Para tanto, basta apresentar um 
exemplo de número natural (dito contra-exemplo) onde esta afirmação falha. Por outro lado, mostrar que ela é 
verdadeira, seria uma tarefa muito trabalhosa, se não impossível, pois teríamos que verifica-la para todos 
(infinitos) números naturais. Porém, graças ao Princípio da Indução Finita (também conhecido como 
Indução Matemática), enunciado a seguir, podemos demonstrar, de uma forma razoavelmente simples, que 
uma afirmação P(n) é verdadeira para qualquer número natural n. 
 
Uma proposição P(n) é verdadeira para todo natural n 0n³ se, e somente se: 
i) P(n) é verdadeira para n = n0; 
ii) Se P(k) é verdadeira para um certo k natural então P(k+1) também é verdadeira. 
 
Exemplo: 
Use o PIF para mostrar que å
=
+
=++++=
n
1i 2
)1n(n
n321i L . 
Solução: Vamos mostrar queå
=
+
=
n
1i 2
)1n(n
i . 
i) Para n = 1, os dois lados da igualdade assumem o valor 1, logo P(1) é verdadeira; 
ii) Vamos supor que P(k) é verdadeira, isto é, que å
=
+
=
k
1i 2
)1k(k
i é verdadeira. Agora devemos mostrar que 
P(k+1) também é verdadeira, isto é, que å
+
=
+++
=
1k
1i 2
]1)1k)[(1k(
i também é verdadeira. 
Da propriedade 4, seção 1.2, åå
=
+
=
++=
k
1i
1k
1i
)1k(ii . (1) 
Da hipótese, å
=
+
=
k
1i 2
)1k(k
i . (2) 
Substituindo a expressão (2) em (1), obtemos: 
2
]1)1k)[(1k(
2
)2k)(1k(
2
)1k(2)1k(k
)1k(
2
)1k(k
i
1k
1i
+++
=
++
=
+++
=++
+
=å
+
=
. 
Logo, por indução matemática, mostramos que a expressão å
=
+
=
n
1i 2
)1n(n
i é verdadeira para n .1³ 
 
E2) Use o PIF para mostrar que: 
1) 
r1
ara
arararaar
n
1n2
n
1i
1i
-
-
=++++= -
=
-å L , para r¹ 1 
 2) å
=
++
=++++=
n
1i
22
6
)1n2)(1n(n
n941i L 
 7 
 3) å
=
+
=++++=
n
1i
22
33
4
)1n(n
n2781i L 
4) ( ) ( )å
=
=-++++=-
n
1i
2n1n25311i2 L 
E3) Encontre uma fórmula (em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: 
 1) å
=
-
n
1i
2)1i( 2) å
=
+
n
1i
)2i(n 3) å
=
+
n
1i
)1i(ni 4) å
=
n
0i
i2 5) å
+
=
3n
1i
ni 
E4) Use o PIF para demonstrar as fórmulas obtidas nos exercícios E10 (da seção 1.3), E1 (da seção 2.1) e E3 
acima. 
 
3.2. RESPOSTAS 
 
E1) p(40) = 1681 não é primo, pois é divisível por 41. 
E3) 1)
6
)1n3n2(n 2 +-
 2) 
2
)5n(n 2 +
 3)
3
)2n)(1n(n 2 ++
 4) 2n+1 – 1 5) 
2
)4n)(3n(n ++
 
 
 
4. SÉRIES NUMÉRICAS 
 
4.1. DEFINIÇÃO 
 
Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ...a...aaa n21
1n
n ++++=å
¥
=
 é chamada série 
numérica infinita de termo geral an. Se somarmos apenas os N primeiros termos desta série, teremos o que 
chamamos de soma parcial å
=
=
N
1n
nN aS . 
 
Exemplos de séries: 
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = å
=
8
1n
n2 é uma série 
finita de termo geral an = 2n. 
b) 1, 2, 6,24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... =å
¥
=1n
!n é uma série infinita de termo 
geral an = n!. 
c) A série harmônica å
¥
=
=+++++
1n n
1
...
n
1
...
3
1
2
1
1 cujo termo geral é an = 
n
1
. 
 
4.2. SOMA DE UMA SÉRIE 
 
Dizemos que o número real S é a soma da série å
¥
=1n
na , ou que a série å
¥
=1n
na converge para S, se e 
somente se, SSlim n
n
=
¥®
 (o limite da seqüência das somas parciais S1, S2, S3,...,Sn é S). Neste caso, escrevemos 
S = å
¥
=1n
na . Quando n
n
Slim
¥®
 não existe, dizemos que a série å
¥
=1n
na diverge. A divergência pode ocorrer porque 
Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n ¥® . 
 
 8 
Exemplos: 
a) ...n...321n
1n
+++++=å
¥
=
 
Soma parciais: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn=
2
)1n(n +
 
Representação gráfica da seqüência {Sn} 
 =
+
=
¥®¥® 2
)1n(n
S limlim
nn
n ¥ Sn 
 15 
 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 
 10 
 Dizemos, neste caso, que a série å
¥
=1n
n diverge. 5 
 0 1 2 3 4 5 n 
b) ...)1(...111)1( n
1n
n +-++-+-=å -
¥
=
 
Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn=
î
í
ì-
parénse,0
imparénse,1
 Þ Sn oscila 
Representação gráfica da seqüência {Sn} 
 Sn 
 .existenãoSnlim
n ¥®
 
 
 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 
 0 n 
 Dizemos, neste caso, que a série å
¥
=
-
1n
n)1( diverge. 
c) ...
2
1
...
8
1
4
1
2
1
2
1
n
1n
n
+++++=å
¥
=
 
Soma parciais: S1 =
2
1
, S2 = 
4
3
, S3 = 
8
7 , S4 = 
16
15 , ..., Sn= n
n
2
12 -
 
Representação gráfica da seqüência {Sn} 
 Sn 
 =
¥®
n
n
Slim 1
2
1
1lim
2
12
lim
nnn
n
n
=÷
ø
ö
ç
è
æ -=
-
¥®¥®
 1 
 
 
 Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5 
 Dizemos, neste caso, que a série å
¥
=1n
n2
1 converge para 1. 
 0 1 2 3 4 5 6 n 
 
4.3. SÉRIES GEOMÉTRICAS 
 
Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = å
¥
=
-
1n
1nar com a ¹ 0. 
Da seção 3.1, exercício E2 - 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é 
 9 
Sn= a + ar + ar
2 + ar3 + ... + arn-1 = 
r1
)r1(a n
-
-
, r ¹ 1. 
Se | r | < 1 , 0rlim n
n
=
¥®
, e assim 
r1
a
r1
)r1(a
lim
n
n -
=
-
-
¥®
. 
Se | r | > 1, n
n
rlim
¥®
não existe, e assim 
r1
)r1(a
lim
n
n -
-
¥®
 não existe. 
Se r = 1, então Sn = na e portanto, n
n
Slim
¥®
 não existe. 
Se r = -1, então Sn oscila e portanto, n
n
Slim
¥®
 não existe. 
 
A série geométrica converg e se | r | < 1 e sua soma é S = 
r1
a
-
. 
A série geométrica diverge se | r | ³ 1. 
 
 
E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma. 
1) ...
8
1
4
1
2
1
1 ++++ 2) ...
8
27
4
9
2
3
1 ++++ 3) å -
¥
=
+
1n
1n)1( 
E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais: 
1){Sn} = 
þ
ý
ü
î
í
ì
+ 1n
n4
 2){Sn} = 
þ
ý
ü
î
í
ì
+1n3
n2
 3){Sn} = 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+1n
n 2
 4){Sn} = { }n2 
E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum. 
 
4.4. PROPRIEDADES DAS SÉRIES 
 
a) Se å
¥
=1n
na converge e c é um número real, então å
¥
=1n
nca também converge e å
¥
=1n
nca = c å
¥
=1n
na . 
Exemplo: å
¥
=1n n2
5
é convergente. Justifique. 
b) Se å
¥
=1n
na e å
¥
=1n
nb convergem , então å ±
¥
=1n
nn )ba( também converge e å ±
¥
=1n
nn )ba( = å
¥
=1n
na ± å
¥
=1n
nb . 
Exemplo: )
3
1
2
1
(
1n
nnå -
¥
=
é convergente. Justifique. 
c) Se å
¥
=1n
na converge e å
¥
=1n
nb diverge, então å ±
¥
=1n
nn )ba( diverge. 
Exemplo: )2
3
1
(
1n
n
nå +
¥
=
é divergente. Justifique. 
Observação: Se å
¥
=1n
na diverge e å
¥
=1n
nb diverge, então å ±
¥
=1n
nn )ba( pode convergir ou divergir. 
d) Se å
¥
=1n
na converge, então 0alim n
n
=
¥®
. 
Justificativa: Se å
¥
=1n
na converge, n
n
Slim
¥®
= S e 1n
n
Slim -
¥®
= S. Como Sn= a1 + a2 + ... + an-1 + an, an = Sn – Sn-
Logo, n
n
alim
¥®
= n
n
Slim
¥®
- 1n
n
Slim -
¥®
= S – S = 0 
E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma: 
 10 
 1) å
¥
=1n n2
1
 2)å
¥
=1n
1 3) å
+
¥
=1n )1n(n
1
 (série telescópica) 
 
Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn. Em 
tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma 
existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porq ue, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu 
valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série. 
 
4.5. TESTE DA DIVERGÊNCIA 
 
Se 0alim n
n
¹
¥®
, então a série infinita å
¥
=1n
na diverge. 
 
Observação: O 0alim n
n
=
¥®
 não garante a convergência da série. 
E5) Prove que as séries seguintes são divergentes: 
1) å
+¥
=1n 2
2
n
1n
 2) å -
¥
=
+
1n
1n)1.(2 3) ...
1n2
n
...
7
3
5
2
3
1
+
+
++++ 
 
4.6. TESTE DA INTEGRAL 
 
Sejam å
¥
=1n
na uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n. 
Então å
¥
=1n
na converge Û ò
¥
1
dx)x(f converge. 
 
E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 
1) å
¥
=1n n
1
 2) å
¥
=1n
2n
1
 3) å
¥
=1n n
1
 4) å
¥
=
-
1n
ne 5) å
¥
=1n nlnn
1
 6) å
¥
=
-
1n
nne 
 
4.7. SÉRIE-P 
 
Uma série do tipo å
¥
=1n
pn
1
 é denominada série- p. Esta série converge se p > 1 e diverge se p £ 1. 
 
Justificativa: Para p = 1, a série -p torna-seå
¥
=1n n
1
, chamada série harmônica. Diverge (exercício E6 - 1). 
Se p ¹ 1, )1b(lim
p1
1
1p
x
limdxxlim
x
dx p1
b
b
1
1p
b1
b
1
p
bp
-
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-
== -
¥®
+-
¥®
¥
-
¥®ò ò . 
Para p > 1, 
p1
1
)1
b
1
(lim
p1
1
)1b(limp1
1
1pb
p1
b -
=-
-
=-
- -¥®
-
¥®
. Logo a série p converge. 
Para 0 < p < 1, ¥=-
-
-
¥®
)1b(lim
p1
1 p1
b
. Logo a série p diverge. 
Para p < 0, ¥=== -
¥®¥®¥®
p
npnnn
nlim
n
1
limalim . Logo, a série p diverge. 
 11 
Para p = 0, a série-p torna-se å
¥
=1n
1 que é uma série divergente. 
Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1. 
 
4.8. TESTE DA COMPARAÇÃO POR LIMITE 
 
Sejam å
¥
=1n
na e å
¥
=1n
nb séries de termos positivos. Se ,cb
a
lim
n
n
n
=
¥®
onde c é um número positivo, 
então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. 
 
E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 
1) å
¥
= +1n
n31
1
 2) å
¥
= +1n
2 2n
1
 3) å
¥
= -1n 1n2
2
 4) å
¥
= ++1n
24 2nn
1
 
5) å
¥
= +1n
2 1n
n 6) å
¥
=
+
1n
3n
1n 
 
4.9. SÉRIES ALTERNADAS - TESTE DE LEIBNIZ 
 
Uma série alternada é uma série da forma å -å -
¥
=
¥
=
+
1n
n
n
1n
n
1n a)1(oua)1( com an > 0. 
 
 
Em uma série alternada, se an ³ an+1 e 0alim n
n
=
¥®
, então a série converge. 
 
E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem. 
1) å -
¥
=
+
1n
1n)1( 2) å
-¥
=1n
n
n
)1(
 3) 
3n4
n2
)1(
1n
1n
-
å -
¥
=
- 
4) 
)1n(n
2n
)1(
1n
n
+
+
å -
¥
=
 5) 
3n4
n2
)1(
2
1n
1n
-
å -
¥
=
- 
 
O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a 
convergência de outros tipos de séries. 
 
4.10. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL 
 
a) Se å
¥
=1n
n |a| =|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +... converge, dizemos que a série å
¥
=1n
na é absolutamente 
convergente . 
b) Se å
¥
=1n
na converge e |a|
1n
nå
¥
=
 diverge, dizemos que å
¥
=1n
na converge condicionalmente . 
 
E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente. 
1) å
-¥
=
+
1n 2
1n
n
)1(
 2) å
-¥
=
+
1n
1n
n
)1(
 3) å
-¥
= -
+
1n 1n
1n
2
)1(
 4) å
¥
=1n
n3 
5) å
¥
=
+-
1n
1n
n
)1(
 6) å
¥
=
+-
1n
2
n
n
)1n()1(
 
 12 
Observações: 
a)Se å
¥
=1n
na é uma série de termos positivos, então |an | = an, portanto a convergência absoluta coincide 
com a convergência. 
b) Se uma série infinita å
¥
=1n
na é absolutamente convergente, então å
¥
=1n
na é convergente. 
 
4.11. TESTE DA RAZÃO 
 
Seja å
¥
=1n
na uma série infinita com an ¹ 0, para todo n. 
a) Se 
n
1n
n a
a
lim
+
¥®
 < 1, então å
¥
=1n
na converge absolutamente. 
b) Se 
n
1n
n a
a
lim +
¥®
 > 1 ou 
n
1n
n a
a
lim +
¥®
 = ¥ , então å
¥
=1n
na diverge. 
c) Se 
n
1n
n a
a
lim
+
¥®
 = 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste. 
 
E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: 
 1) å
¥
=1n !n
1 2) å
¥
=1n
2n
1
 3) å
¥
=
+-
1n
2
1n
n
!n
)1( 4) å
¥
=1n
n2
!n
 
 5) å
¥
=
+-
1n
1n
n
)1(
 6) å -
¥
=1n
n
n
!n
3
)1( 7) å
¥
=1n
2
n
n
3
 8) å
¥
=
+
-
-
1n
1n
1n2
n
)1( 
 
Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona na 
série-p. 
 
4.12. RESPOSTAS 
 
E1) 1) Conv. S = 2 2) Div. 3) Div. 
E2) 1) L++++
5
1
3
1
3
2
2 2) L++++
65
1
35
1
14
1
2
1
 3) L++++
20
19
12
11
6
5
2
1
 4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + .. 
E3) 
9
2
 E4) 1) Conv. S = 1 2) Div. 3) Conv. S = 1 
E6) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Div. 6) Conv. 
E7) 1) Conv. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 6) Conv. 
E8) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 
E9) 1) Conv. Abs. 2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Cond. 
E10) 1) Conv. 2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Abs. 7) Div. 8) Div. 
 
 
5. SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
5.1. DEFINIÇÃO 
 
Série de potências de x centrada em c é uma série infinita da forma å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b = b0 + b1(x-c) + 
b2(x-c)
2 + b3(x-c)
3 + ... + bn(x-c)
n + ... 
 13 
Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é 
numérica e pode c onvergir ou não. 
 
5.2. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA 
 
Para cada série de potências å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira: 
a) A série converge somente quando x = c. 
b) A série converge absolutamente para todo x real. 
c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se |x – c| < R e é 
divergente se |x – c| > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R, c+ R) é 
dito o intervalo de convergência da série. 
 
Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. 
1. Aplicar o teste da razão. 
2. Resolver a inequação resultante. 
3. Analisar os extremos individualmente. 
 
E1) Determine os intervalos de convergência das séries: 
1) å
¥
=1n
n
n
x
 2) å
+¥
=0n
n3
2n
(x-2)n 3) å
¥
=0n
n
!n
x
 4) å
-¥
=1n
nn
!n
)x10(10
 
5) å
¥
=0n
nnx 6) å +
¥
=0n
n)1x(!n 7) å
¥
=0n
nx 8) å
¥
=1n
n
n
x
 
 
5.3. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b , 
onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente. 
Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. 
Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece 
com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. 
 
E2) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... 
E3) Considere o exercício E2 e calcule o valor aproximado de f(1/10) 
a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. 
c) usando os quatro primeiros termos da série. d) usando os cinco primeiros termos da série. 
E4) Calcule o valor de f(1/10) usando a lei. 
E5) Comparando os valores encontrados em E3 e E4, o que se pode concluir ? 
E6) Considere o exercício E2 e calcule o valor aproximado de f(2) 
a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. 
c) usando os quatro primeiros termos da série. 
E7) Calcule o valor de f(2) usando a lei. 
E8) Comparando os valores encontrados emE6 e E7, o que se pode concluir ? 
E9) Considere o exercício E2 e obtenha uma representação em série de potências para 
1)g1(x) = x1
1
+
 2) g2(x) = x1
1
-
- 3) g3(x) = 2x1
1
-
 
 
5.4. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
 14 
Se f(x) = å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b está definida no intervalo (c – R, c + R) para algum R > 0, então: 
a) f é derivável e f’(x) = å
¥
=
--
1n
1n
n )cx(nb = å
¥
=
+ -+
0n
n
1n )cx(b)1n( , para todo x Î (c – R, c + R). 
b) f é integrável e ò
x
0
dt)t(f = å
¥
=
+
+
-
0n
1n
n
1n
)cx(b
, para todo x Î (c – R, c + R). 
 
E10) Seja f(x) = 
x1
1
-
 = å
¥
=0n
nx , determine: 
1) f ’(x) e a série que representa f ’(x). 
2) ò dx)x(f e a série que representa ò dx)x(f . 
3) ò
2/1
0 dx)x(f e a série que representa ò
2/1
0 dx)x(f . 
 
5.5. SÉRIES DE TAYLOR 
Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b , quem 
serão os coeficientes bn? 
f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)2 + b3(x-c)3 + b4(x-c)4 + ... + bn(x-c)n + ... Þ f(c) = b0 
f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c )
2 + 4b4(x-c )
3 + ... + nbn(x-c)
n-1 + ... Þ f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 =
!1
)c('f
 
f ’’(x) = 2b2 + 3.2b 3(x-c) + 4.3b4(x-c )2 + ... + n(n-1)bn(x-c)n-2 + ... Þ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 =
!2
)c(''f
 
f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn(x-c)
n-3 + ... Þ f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b 3 =
!3
)c('''f
 
f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c)
n-4 + ... Þ f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 =
!4
)c(f )IV(
 
Logo b0 = f(c) e bn = 
!n
)c(f )n(
 para n ³ 1 e portanto f(x) = f(c) + å -
¥
=1n
n
)n(
)cx(
!n
)c(f
 que é denominada Série 
de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência. 
 
Se c = 0, a série de Taylor assume a forma 
f(x) = f(0) + f ’(0) x + 2x
2!
(0)''f
+ 3x
3!
(0)'''f
+ ... + n
)n(
x
!n
)0(f
+ ... 
que é denominada Série de MacLaurin para f. 
 
E11) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para: 
 1) f(x) = ln x 2) f(x) = ex 3) f(x) =
x
1
 
E12) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ? 
E13) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para: 
 1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = e x 3) f(x) = 
2xe 4) f(x) = e-2x 
 5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) = 
1x
1
-
 
 
 15 
Se truncamos a Série de Taylor para um dado N natural, ou seja, consideramos o somatório PN(x) = 
å
=
-+
N
1n
n
)n(
)cx(
!n
)c(f
)c(f , obtemos o chamado Polinômio de Taylor de grau N de f no ponto c. É provado 
que PN(x) é uma aproximação para f(x), cujo erro diminui quanto menor for a distância entre x e c e e quanto 
maior for o valor N. 
 
E14) Se f(x) = ln(x), determine o Polinômio de Taylor para N = 3 e c = 1. Utilize este polinômio para 
aproximar o valor de f(1.1), apresentando o erro cometido. 
E15) Aproxime cos(61o) através do polinômio de Taylor de cos(x) com N = 2 e c = p/3. 
 
5.6. RESPOSTAS 
 
E1) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3) Â 4) Â 5) (-1,1) 6) {-1} 7) (-1,1) 8) [ -1,1) 
E2) f(x) =
x1
1
-
 , (-1,1) E3) a) 1,1 b) 1,11 c) 1,111 d) 1,1111 
E4) 1,111... E6) a) 3 b) 7 c) 15 E7) –1 
E9) 1) n
0n
n x)1(å
¥
=
- , | x | < 1 2) n
0n
xå
¥
=
- , | x | < 1 3) n2
0n
xå
¥
=
, | x | < 1 
E10) 1) f ’(x) =
2)x1(
1
-
, 1n
1n
xn -
¥
=
å 2) –ln (1 – x ), å
¥
=1n
n
n
x
 3) -ln
2
1
, L++++
64
1
24
1
8
1
2
1 
E11) 1) å
¥
=
- --
1n
n1n
n
)1x()1(
 2) å
¥
=
-
0n
n
!n
)1x.(e
 3) n
0n
n )1x()1( --å
¥
=
 E12) 1) (0,2] 2) Â 3) (0,2) 
E13) 1) å
¥
=
+-
1n
n1n
n
x)1(
 2) å
¥
=0n
n
!n
x
 3) å
¥
=0n
n2
!n
x
 4) å
¥
=
-
0n
nn
!n
x.)2(
 
 5) å
¥
=
-+
-
-
1n
1n21n
)!1n2(
x)1(
 6) å
¥
=
-+
-
-
1n
1n21n
)!1n2(
)x2()1(
 7) å
¥
=
-
0n
n2n
)!n2(
x.)1(
 8) n
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