Lista1 UNIFICADA Vetorial

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Ca´lculo Diferencial e Geometria Anali´tica - BCT/2014.1
Primeira Lista Unificada
Soma de ponto com vetor
[1] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que
# «
AB+
# «
AC+
# «
AD+
# «
AE+
# «
AF = 6
# «
AO
[2] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento
que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
P = O+
1
4
(
# «
OA+
# «
OB+
# «
OC+
# «
OD)
[3] Considere o triângulo ABC, e sejam
# «
CA = #«u ,
# «
CB = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real
para que o ponto X = C+ α #«w pertença à reta AB.
Dependência e Independência Linear
[4] Dados os vetores #«u = (1, 0, a), #«v = (1, 1, a) e #«w = (1, 1, a2). Para quais valores reais
a ∈ R, o conjunto de vetores { #«u, #«v , #«w} é L.I.?
[5] O vetor #«u = (1,−1, 3) pode ser escrito como combinação linear de #«v = (−1, 1, 0) e
#«w = (6, 9, 1)?
Base
[6] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base, e
#«
f 1 :=
#«e 1 +
#«e 2 +
#«e 3,
#«
f 2 :=
#«e 1 +
#«e 2,
#«
f 3 :=
#«e 3
Decida se (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
Enunciado das duas questões a seguir. Seja OABC um tetraedro, e M o ponto médio
de BC.
[7] Explique por que (
# «
OA,
# «
OB,
# «
OC) é uma base.
[8] Determine as coordenadas de
# «
AM nesta base.
Mudança de Base
[9] Sejam E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) bases, com
#«e 1 =
√
3
2
#«
f 1 −
1
2
#«
f 3,
#«e 2 =
1
2
#«
f 1 +
√
3
2
#«
f 3,
#«e 3 =
#«
f 2
e
#«g 1 =
#«e 1 +
#«e 2 +
#«e 3,
#«g 2 =
#«e 1 +
#«e 2,
#«g 3 =
#«e 1
Encontre todas as matrizes de mudança.
[10] Mostre que se E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) são bases ortonormais, então a matriz
M de mudança de base de E para F satisfaz M ·Mt = Mt ·M = I, onde I é a matriz
identidade.
[11] Mostre que uma matriz ortogonal 2× 2 deve ser de uma das formas[
cosα − sinα
sinα cosα
]
ou
[
cosα sinα
sinα − cosα
]
Enunciado das três questões a seguir. São dados uma base B = { #«u, #«v , #«w} e um vetor
#«a = (1, 2, 3). Pede-se:
[12] Prove que B ′ = {2 #«u, #«v − #«u, #«v + #«w} também é uma base de V3 = R3.
[13] Determine as coordenadas de #«a em relação a base B ′.
[14] Encontre as coordenadas de #«v − #«u em relação a base B ′.
Ângulo entre vetores e Produto Escalar
[15] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base ortonormal e #«u ∈ V3. Mostre que
#«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1 + ( #«u · #«e 2) #«e 2 + ( #«u · #«e 3) #«e 3
[16] Se A, B e C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule
# «
AB · # «BC+ # «BC · # «CA+ # «CA · # «AB
[17] Dados os vetores #«u1 = (1, 1, 0) e #«u2 = (1, 1, 1) pede-se: determinar as coordenadas do
vetor #«v tal que ‖ #«v ‖ = 5 e, ( #«v − #«u1) ⊥ #«u1 e ( #«v − #«u2) ⊥ #«u2.
[18] Calcule o valor de m para o vetor #«u + #«v seja ortogonal a #«w − #«v , onde #«u = (2, 1,m),
#«v = (m+ 2,−5, 2) e #«w = (2m, 8,m).
[19] (Gram-Schmidt) Dada a base (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) encontre uma base base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3)
tal que #«e 1 ‖ #«f 1 e #«e 2 seja combinação linear de #«f 1 e #«f 2.
[20] Se #«u e #«v são vetores unitários, determinar o ângulo θ entre #«u e #«v para que o vetor soma
#«u + #«v seja também unitário.
[21] Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
2
[22] Prove que se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, ele é um losango.
[23] Demonstre que as diagonais de um losango bissectam os ângulos internos.
[24] Mostre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é perpendicular à base
e é bissetriz do ângulo do vértice.
[25] Mostre que se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes.
[26] Mostre que se um triângulo tem dois ângulos congruentes, ele é isósceles.
[27] Dado um triângulo de vértices A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1) e C = (2, 1, 2), determinar os
comprimentos da altura e da bissetriz relativa ao vértice B.
[28] Dados os vetores #«u = (1, 1, 0) e #«v = (x, 0, 1) pede-se: determinar o número real x tal
que sin θ =
√
2
3
onde θ é o ângulo entre #«u e #«v .
[29] Dados dois vetores arbitrários #«u e #«v , mostre que ‖ #«u‖· #«v e ‖ #«v ‖· #«u são vetores de mesmo
comprimento.
[30] Mostre que se os vetores #«u e #«v tem o mesmo comprimento então #«u + #«v e #«u − #«v são
ortogonais.
[31] Sejam #«u =
# «
OP, #«v =
# «
OQ vetores não nulos tais que ‖ #«u‖ #«v + ‖ #«v ‖ #«u = # «OR também
seja diferente do vetor nulo. Mostre que
# «
OR é a bissetriz do ângulo PÔQ. Obtenha a
inclinação dessa bissetriz em função das coordenadas dos pontos P eQ num sistema de
eixos ortogonais arbitrário OXY.
[32] Dado o parelelogramoABCD, ponha
# «
AB = #«u e
# «
AC = #«v , logo
# «
AD = #«u+ #«v e
# «
BC = #«v− #«u .
Mostre que ‖ #«u− #«v ‖2+‖ #«u+ #«v ‖2 = 2‖ #«u‖2+2‖ #«v ‖2 e conclua que em todo paralelogramo
a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados.
[33] Indicando genericamente por #«v∗ o vetor obtido de #«v por rotação positiva de pi
2
rad,
prove que (α #«u + β #«v )∗ = α # «u∗ + β #«v∗ e 〈 #«u, #«v∗〉 + 〈 # «u∗, #«v 〉 = 0 para quaisquer #«u , #«v do
plano e α e β em R.
[34] Mostre que
‖ #«u+ #«v+ #«w‖2+‖ #«u+ #«v− #«w‖2+‖− #«u+ #«v+ #«w‖2+‖ #«u− #«v+ #«w‖2 = 4(〈 #«u, #«u〉+〈 #«v , #«v 〉+〈 #«w, #«w〉)
e interprete geometricamente.
Produto Vetorial
[35] Calcule ‖ #«u‖ sabendo-se ‖ #«u ∧ #«v ‖ = 4√2, ‖ #«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦.
Enunciado das duas questões a seguir. Dados os pontos A = (2
√
3, 0, 0), B = (p, 3, 0)
e C = (q
√
3
2
, q
2
, r) tomados em relação a um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais de origem O = (0, 0, 0), pede-se:
3
[36] Determinar p, q e r para que no tetraedro OABC, os pares de arestas opostas AB, OC e
BC, OA sejam ortogonais.
[37] Determinar p, q e r para que o tetraedro OABC seja regular e calcule seu volume.
[38] Num espaço euclidiano consideram-se os pontos A, B, C e D. Mostre que:
# «
DA∧
# «
DB+
# «
DB∧
# «
DC+
# «
CB∧
# «
DA =
# «
DA∧
# «
DC
[39] Dados os vetores #«u1 = (1, 1,−1) e #«u2 = (1,−1, 0) pede-se: determinar o vetor #«v
paralelo a #«u1 ∧ #«u2 de módulo igual a
√
6 e tal que a base { #«u1, #«u2, #«v } tenha orientação
positiva.
[40] Mostre que o produto vetorial de dois vetores muda de sentido ao se trocar a orientação
de V3. Mais precisamente, sendo A e B as orientações de V3, e indicando por ∧ e ∧˜ os
produtos vetoriais relativamente a A e B, respectivamente, então #«u ∧ #«v e #«u∧˜ #«v .
[41] Dados #«u = (1, 1, 1), #«v = (0, 1, 2), encontre uma base ortonormal positiva ( #«a,
#«
b, #«c ) tal
que
(a) #«a ‖ #«u , #«a tem o mesmo sentido que #«u .
(b)
#«
b é combinação linear de #«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva.
[42] Resolva o sistema {
#«x · (2 #«i + 3 #«j + 4 #«k ) = 9
#«x ∧ (−
#«
i +
#«
j −
#«
k = −2
#«
i + 2
#«
k
[43] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1, 1, a) e #«v =
(−1, 1, 0) é igual a
√
22, encontre o valor de a.
[44] Prove que ‖ #«u ∧ #«v ‖2 + ( #«u · #«v )2 = ‖ #«u‖2‖ #«v ‖2.
[45] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«o então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u .
[46] Prove que, se #«u + #«v + #«w = #«o então #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = 3( #«u ∧ #«v ).
[47] Demonstre que a altura do ∆ABC relativa ao lado AB mede h =
‖ # «AB∧ # «AC‖
‖ # «AB‖ .
Duplo Produto Vetorial
[48] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que
# «
AH é paralelo a (
# «
AB ∧
# «
AC) ∧
# «
BC.
[Sugestão: Calcule [(
#
«
AB∧
# «
AC)∧
# «
BC]∧
# «
AH]
Enunciado das seis questões a seguir. O objetivo deste exercício é resolver a equação
#«x ∧ #«u = #«v , onde #«u e #«v são dados. Observemos que se #«u = #«o , então deve ser #«v = #«o ,
pois caso contrário não haverá solução. Com isso, podemos supor que #«u , #«o .
#«x ∧ #«u = #«v , #«u , #«o (1)
4
[49] Consideremos a equação homogênea #«x ∧ #«u = #«o , com #«u , #«o . Mostre que #«x é solução
desta equação se, e somente se, existe λ ∈ R tal que #«x = λ #«u .
[50] Seja #«x 0 uma solução da equação (1). Mostre que #«x é uma solução qualquer da equação
(1) se, e somente se, existe λ ∈ R tal que #«x = #«x 0 + λ #«u .
[51] Prove que, se a equação (1) possui solução então #«u e #«v são ortogonais.
[52] Seja #«x 0 uma solução da equação (1). Mostre que ( #«x 0 ∧ #«u)∧ #«u = #«v ∧ #«u .
[53] Seja #«x 0 uma solução da equação (1). Mostre que −( #«u · #«u) #«x 0 + ( #«x 0 · #«u) #«u = #«v ∧ #«u .
[54] Prove que #«x 0 :=
#«u ∧ #«v
‖ #«u‖2 é uma solução particular da equação (1).
[55] Suponha que #«v ⊥ #«w e #«v ⊥ #«u . Prove que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
[56] Suponha agora que #«v · #«w , 0 ou #«v · #«u , 0. Mostre que, se ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w)
então #«u e #«w são linearmente dependentes.
[57] Prove que, se #«u e #«w são linearmente dependentes então ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w).
Produto Misto
[58] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2, 0), #«v = (0, 1, 0)
e #«w = (−2,−1,−1).
[59] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados
# «
AB = (1, 1, 0),
# «
AC = (0, 1, 1) e
# «
AD =
(−4, 0, 0).
[60] Calcule [ #«u, #«v , #«w] sabendo que ‖ #«u‖ = 1, ‖ #«v ‖ = 2 e ‖ #«w‖ = 3, e que ( #«u, #«v , #«w) é uma base
negativa, sendo #«u, #«v , #«w dois a dois ortogonais.
[61] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w+ #«w∧ #«u = #«o então #«u, #«v e #«w são linearmente dependentes.
[62] Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é h =
|[
# «
AB,
# «
AC,
# «
AD]|
‖ # «AB∧ # «AC‖ .
[Sugestão: Volume =
1
3
(área ∆ABC)h]
Sistemas de Coordenadas
5
[63] Ache as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremidades P = (−1, 4, 7) e
Q = (0, 1, 1).
Enunciado das quatro questões a seguir. Na figura abaixo, ABCDEFGH é um
paralelepípedo retângulo. Sejam #«e 1 =
# «
AB, #«e 2 =
# «
AC e #«e 3 =
# «
AF.
[64] Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H em relação ao sistema
(A, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[65] Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H em relação ao sistema
(H, #«e 1,
#«e 2,
#«e 3).
[66] Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H em relação ao sistema
(G,− #«e 3,
1
2
#«e 1, 2
#«e 2).
[67] Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H em relação ao sistema
(A, #«e 2,
#«e 3,
#«e 1).
Estudo da Reta
[68] Ache equações paramétricas da reta que passa por A = (3, 3, 3) e é paralela à reta BC,
sendo B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 1).
Enunciado das três questões a seguir. Fixada uma reta r, indiquemos com #«v ′ a
projeção ortogonal de um vetor arbitrário #«v sobre r. Mostre as seguintes propriedades:
[69] ( #«u + #«v ) ′ = #«u ′ + #«v ′ [70] ( #«v ′) ′ = #«v ′ [71] 〈 #«v , #«w ′〉 = 〈 #«v ′, #«w〉
[72] Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e
B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.
[73] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta s :
1− x
5
=
3y
4
=
z+ 3
6
.
[74] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3).
6
[75] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta t :

x = 1− 2λ
y = 4+ λ
z = −1− λ
(λ ∈ R)
[76] Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2,−2) + λ(1,−1, 2), ache os pontos de r que distam
√
3
de A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a
√
3,
e por quê.
[77] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 4) (λ ∈ R)
e
X = (1, 0,−2) + λ(−1,−1,−1) (λ ∈ R)
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
Estudo do Plano
[78] Escreva equações vetoriais para os planos bissetores dos diedros determinados pelos
planos coordenados (são 6 bissetores). Suponha que o sistema é ortogonal.
Enunciado das duas questões a seguir. Dados os vetores #«v = (3, 2, 5) e o plano
pi : x− y+ z− 3 = 0, pede-se:
[79] Decompor o vetor #«u em forma de soma #«u + #«w, em que #«u é paralelo a pi e #«w é ortogonal
a pi.
[80] Determinar o comprimento da projeção ortogonal de #«v sobre a reta r que passa por
P = (1, 2,−5) e é perpendicular a pi.
Enunciado das duas questões a seguir. O plano pi é determinado pelo ponto
O = (0, 0, 0) e pelos vetores #«u1 = (1, 1, 1) e #«u2 = (1,−1, 0). Pede-se
[81] Uma base ortornomal positiva { #«a,
#«
b, #«c } tal que #«a e
#«
b tenham respectivamente, as
direções dos vetores #«u1 e #«u2.
[82] As coordenadas da projeção ortogonal do ponto P = (4, 8, 3) sobre o plano pi.
[83] Determinar k para que #«u = (1, 2, k), #«v = (0, 1, k− 1) e −→w = (3, 4, 3) sejam coplanares.
[84] Mostrar que se a
# «
OP+ b
# «
OQ+ c
# «
OR+ d
# «
OS = #«o , com abcd , 0 e a+ b+ c+ d = 0, então
os vetores
# «
OP,
−−→
OQ,
−→
OR e
−→
OS são coplanares.
[85] Decomponha o vetor #«v = (1, 2, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano
X = (1, 1, 0)+λ(1, 0, 1)+µ(0, 1,−1) e outra parcela paralela à retaX = (0, 0, 0)+ν(2, 1, 0).
7
Enunciado das duas questões a seguir. Seja pi1 o plano que passa pelos pontos
A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Seja pi2 o plano que passa porQ = (−1,−1, 0) e
é paralelo aos vetores #«v = (0, 1,−1) e #«w = (1, 0, 1). Seja pi3 o plano de equação vetorial
X = (1, 1, 1) + λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1).
[86] Escreva equações gerais de pi1, pi2 e pi3.
[87] Mostre a interseção pi1 ∩ pi2 ∩ pi3 se reduz a um único ponto; determine-o.
Enunciado das três questões a seguir. Verifique se a reta r está contida no plano pi nos
seguintes casos.
[88] r : X = (1, 0, 0) + λ(2,−1, 0), pi : x+ 2y+ 3z = 1
[89] pi : X = (1, 4, 1) + λ(1,−1, 1) + µ(−1, 2,−1) e r passa pelos pontos A = (2, 3, 2) e
B = (0, 0, 1).
[90] r : x− 1 = 2y = 4− z e pi : x+ 2y− 2z+ 1 = 0.
[91] Decomponha o vetor #«v = −3
#«
i + 4
#«
j − 5
#«
k paralela e ortogonalmente ao plano
pi :

x = 1− λ− µ
y = λ+ µ
z = λ
(λ, µ ∈ R)
[92] Mostre que o lugar geométrico dos pontos deE3 que equidistam dos pontosA = (2, 1, 1),
B = (−1, 0, 1) e C = (0, 2, 1) é uma reta, perpendicular ao plano que passa por A,B e C.
Dê equações paramétricas dessa reta.
[93] Ache uma equação geral do plano pi, que contém r : X = (1, 1, 0) + λ(2, 1, 1) e é perpen-
dicular a s : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0).
Posição relativa entre retas e planos
[94] Determine α e β reais para que as retas
r : X = (1, α, 0) + λ(1, 2, 1) e s :
{
x = z− 2
y = βz− 1
sejam coplanares e obtenha nesse caso, uma equação geral para o plano delas.
Enunciado das cinco questões a seguir. São dadas r :
{
x = my− 1
z = y− 1
, s : x =
y
m
= z e
t : −x+ z = y = −z− 1. Calculem para que:
[95] r e s sejam paralelas.
[96] r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano.
8
[97] r e t sejam concorrentes.
[98] s e t sejam coplanares.
[99] r e s sejam reversas.
[100] Determinem para que as retas r : X = (1, 0, 2)+λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,−1)+λ(1,m, 2m)
sejam coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa.
[101] Calculem para que a reta X : (1, 1, 1) + λ(2,m, 1) seja paralela ao
plano
pi : X = (0, 0, 0) + α(1, 2, 0) + β(1, 0, 1)
[102] Calcule m,n ∈ R para que a reta r : X = (n, 2, 0) + λ(2,m,m) esteja contida no plano
pi : x− 3y+ z = 1.
[103] Calculem para que a reta r :
x− 1
m
=
y
2
=
z
m
seja transversal ao plano pi : x+my+z = 0.
[104] Mostre que os planos
pi1 : X = (0, 0, 0) + λ(−1,m, 1) + µ(2, 0, 1)
e
pi2 : X = (1, 2, 3) + α(m, 1, 0) + β(1, 0,m)
são transversais, para todom ∈ R.
[105] Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 3, 4) e é paralelo ao
plano pi : x+ y+ z+ 1 = 0.
[106] Existe alguma reta paralela à reta r : X = (0, 1, 1) + λ(1,−1,−1), contida no plano
pi : x− 2y+ 3z− 1 = 0 ? Por quê? E paralela ao eixo das abscissas?
[107] Calcule o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s e t e pelo plano pi. São dados
pi : x+ y+ z− 5 = 0, r : x = z = 0, s : x = y = 0 e t : x− 2y = z = 0.
[108] Um paralelogramo de vértices A, B, C e D tem lados AB e CD paralelos à reta de
equação r : X = (0, 0, 0) + λ(3, 4, 5) e os outros dois paralelos ao plano pi : x+y+ 3z = 0.
Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados: A = (0, 0, 0) e
D = (1, 1, 1).
[109] Projete o ponto P = (1, 4, 0) sobre o plano pi : x + y − 2z + 1 = 0, paralelamente à reta
r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1).
[110] Dada a reta r : x− y = x+ z− 1 = 0, seja pi um plano que contém r e determina com os
três planos coordenados um tetraedro de volume V = 1/12. Determine os vértices do
tetraedro e uma equação geral de pi.
Perpendicularismo e Ortogonalidade
9
[111] Verifique se as retas r : x+ 3 = y =
z
2
e s :
x− 4
2
= y− 4 = −z são ortogonais, e em caso
afirmativo, se são também perpendiculares.
[112] Dê equações paramétricas da reta que passa por P = (2, 6, 1) e é perpendicular a
r :

x = −3+ λ
y = λ
z = 3λ
[113] Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi, perpendicular à reta AB, e que
intercepta a reta s, sendo pi : 2x − y + 3z − 1 = 0, A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 2) e s : X =
(4, 5, 0) + λ(3, 6, 1).
[114] Verifique se a reta r :
{
x+ y+ z = 1
2x+ y− z = 0
é perpendicular ao plano pi : x− y+ z = 0.
[115] Ache equações paramétricas da reta que passa por P = (1,−1, 0) e é perpendicular ao
plano pi : X = (1,−1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1).
[116] Ache o simétrico de P = (1, 1, 1) em relação ao plano pi : 4y− 2z+ 3 = 0.
[117] Ache o simétrico de P = (1, 1,−1) em relação à reta r :
x+ 2
3
= y = z.
[118] Determine a projeção ortogonal do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano pi : 3x− 4y+ 2 = 0.
[119] Determine a projeção ortogonal da reta r : x + 1 = y + 2 = 3z − 3 sobre o plano
pi : x− y+ 2z = 0.
[120] Determine a projeção ortogonal da origem sobre a reta interseção dos planos pi1 : x +
y+ z = 1 e pi2 :

x = 1+ λ
y = 1+ µ
z = 1+ λ+ µ
.
[121] O vértice de uma pirâmide regular é P = (
√
2, 2, 0) e sua base é um quadrado ABCD
contido no plano pi : x− z = 0. Sendo A = (0, 2, 0), determine os outros três vértices e o
volume da pirâmide.
[122] Dados os planos pi1 : x − y + z + 1 = 0, pi2 : x + y − z − 1 = 0 e pi3 : x + y + 2z − 2 = 0,
ache uma equação do plano que contém pi1 ∩ pi2 e é perpendicular a pi3.
[123] Um cubo tem diagonal AB e uma de suas faces está contida no plano pi : x − y = 0.
Determine seus vértices, dados A = (1, 1, 0) e B = (1, 3,
√
2).
Ângulos
[124] Encontre o ângulo entre as retas r : x =
1− y
2
=
z
3
e s :
{
3x+ y− 5z = 0
2x+ 3y− 8z = 1
.
10
[125] Encontre o ângulo, em radianos, entre a reta r :

x = 1+ λ
y = λ
z = −2λ
e o planopi : x+y−z−1 = 0.
[126] Ache a reta que intercepta as retas r :
x− 1
3
=
y− 1
2
= −
z
3
e s :

x = −1+ 5λ
y = 1+ 3λ
z = λ
e forma
ângulos congruentes com os eixos coordenados.
[127] Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi : x + y + z = 0 e que forma 45
graus com o plano pi1 : x− y = 0.
[128] Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r :
{
3z− x = 1
y− 1 = 1
e forma com
s : X = (1, 1, 0) + λ(3, 1, 1) um ângulo cuja medida em radianos é θ := arccos
2
√
3
11
.
Distâncias
[129] Calcule a distância entre os pontos P = (−1,−3, 4) e Q = (1, 2,−8).
[130] Calcule a distância do ponto P = (1,−1, 4) à reta r :
x− 2
4
= −
y
3
=
1− z
2
.
[131] Calcule a distância entre as retas r :
1− x
2
= 2y = z e s : X = (0, 0, 2) + λ(−2, 1/2, 1).
[132] Calcule a distância do ponto P = (9, 2,−2) ao plano pi : X = (0,−5, 0) + λ(0, 5/12, 1) +
µ(1, 0, 0).
[133] Calcule a distância entre os planos pi1 : x+ y+ z = 0 e pi2 : x+ y+ z+ 2 = 0.
[134] Calcule a distância entre as retas r :

x = 2− λ
y = 1+ λ
z = −λ
e s :
{
x+ y+ z = 0
2x− y− 1 = 0
.
[135] Encontre os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y+ z
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
[136] Determine o ponto depi : 2x−y+z−2 = 0 tal que a soma de suas distâncias a P = (2, 1, 0)
e Q = (1,−1, 2) seja mínima.
[137] Ache que o ponto de pi : x − 3y + 2z = 0 tal que o módulo da diferença entre suas
distâncias a P = (3, 0, 2) e Q = (1, 1, 1) seja máximo.
[138] Ache os pontos de r :
{
x+ y = 2
x = y+ z
que distam
√
14/3 de s : x = y = z+ 1.
[139] Um quadrado ABCD tem diagonal BD contida na reta r :
{
x = 1
y = z
. Sabendo que
A = (0, 0, 0), determine os vértices B, C e D.
11
[140] Ache os pontos da reta r : x− 1 = 2y = z que equidistam dos planos
pi1 : 2x− 3y− 4z− 3 = 0 e pi2 : 4x− 3y− 2z+ 3 = 0
[141] Obtenha uma equação vetorial da reta t, paralela ao plano pi : z = 0, que dista 3 dele, e
é concorrente com as retas
r : X = (1,−1,−1) + λ(1, 2, 4) e s :
{
x− y = 1
3y− 2z+ 6 = 0
[142] Num tetraedro OABC, as arestas OA, OB e OC medem, respectivamente, 2, 3 e 4; e os
ângulos ÂOB, B̂OC e ĈOAmedem respectivamente, 30, 45 e 60 graus. Calcule o volume
do tetraedro.
[143] Dê uma equação vetorial da reta r, contida no plano pi : x+y = 0, que forma um ângulo
de 30◦ com o plano α : y− z = 1 e dista 1 do eixo dos x.
Referência: Boulos, P., Camargo, I., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2a. edição,
Makron Books, 2004.
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