Aula sobre expressões algébricas e fatoração

Prévia do material em texto

UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 1 
 
 Expressões Algébricas: 
 
Definição 
 
 As letras, na matemática, são usadas para representar números desconhecidos ou para generalizar propriedades 
e fórmulas da Geometria. 
 
As expressões que apresentam letras, além de operações e números são denominadas de EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS e as letras são chamadas de variáveis. 
 
Exs.: 
 
1. 
2. – 
3. 
4. – – – 
 
Valor numérico de uma expressão algébrica 
Em expressões algébricas quando substituímos variáveis de uma sentença por números e efetuamos as devidas 
operações, o resultado encontrado é o valor numérico da expressão. 
Ex.: 
O valor numérico da expressão , para o valor de é: 
 
 
 
Monômios e Polinômios: 
 
Monômios: Expressão algébrica que apresenta apenas multiplicações de números e letras. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. 
 
Ex.: 
 
1) 
2) 
3) 
 
Obs.: Expressões algébricas que possuem letras no denominador nem sempre são polinômios. A essas 
expressões chamamos de frações algébricas. 
 
 
 
 
UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 2 
 
Polinômios com uma só variável: 
Ex.: 
1) 
2) – 
3) – 
Costuma-se apresentar os polinômios com uma variável, ordenados segundo os expoentes decrescentes dessa 
variável. 
Ex.: 
1) 
2) – 
3) – 
Grau de um polinômio com uma variável 
Denominamos grau de um polinômio não nulo como sendo o maior expoente que apresenta a variável 
 
Ex.: 
1) , polinômio de grau 1 
2) – , polinômio de grau 2 
3) – , polinômio de grau 3 
 
Operações com polinômios 
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) 
Soma e subtração de polinômios 
 Para determinarmos a soma ou subtração de polinômios, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. 
Obs.: Convém lembrar do jogo de sinais. 
Ex.: 
1) 
2) 
3) – – 
 
Multiplicação e Divisão de polinômios 
Multiplicação: A multiplicação de polinômios é feita através da propriedade distributiva e usando propriedades 
de potências. 
Ex.: Monômio por polinômio 
 
 – – 
Polinômio por polinômio 
 
 – – – – 
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
Divisão: De um modo geral, usamos a propriedade distributiva, observando as particularidades nos seguintes 
casos. 
Monômio por monômio: 
UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 3 
 
Dividi-se parte literal por parte literal e coeficiente por coeficiente. 
Ex.: 
 
 
Polinômio por monômio: distributividade 
Ex.: 
 
(2a
4
b
3
 – a3b2) : (4a3b) = – = 
 
 
 
Polinômio por Polinômio: Sendo dados dois polinômios A e B na variável x, sendo B ≠ 0, é sempre possível 
encontrar os polinômios Q e R tais que: 
 e grau de grau de 
 Q é chamado quociente da divisão de A por B 
 R é chamado resto da divisão de A por B 
 A é chamado dividendo 
 B é o divisor 
Para efetuar a divisão de um polinômio A por um polinômio B, seguimos o seguinte algoritmo: 
- dividimos o termo de maior grau de A pelo termo de maior grau de B 
- multiplicamos o quociente obtido pelo divisor e subtraímos o resultado do dividendo. Obtemos, assim, um 
resto parcial. 
- dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor. O resultado é um termo 
que acrescentamos ao quociente. 
- continuamos esse procedimento até obter o resto zero ou que não seja mais divisível pelo divisor. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
Nesse caso, como o resto da divisão obtido foi zero, dizemos que a divisão é exata. 
Produtos Notáveis e Fatoração 
Produtos Notáveis 
São aqueles produtos que são frequentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem 
algumas fórmulas que convém serem memorizadas. 
 
Quadrado da soma de dois termos 
O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por 
Para calculá-lo, basta multiplicar por : 
 
 
 
 
UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 4 
 
Como a.b = b.a vem que 
 
 
 + + 
 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do 
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por – 
Para calculá-lo basta multiplicar – por – : 
 
 – – – 
 – – 
 – 
 
O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto 
do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
 – 
 – 
 – 
 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
 
 – – 
 – 
 
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do 
segundo termo. 
 
Exemplos: 
 
 – 
 – 
 
Cubo da soma de dois termos 
 
Quadrado 
do 
primeiro 
Quadrado 
do 2º 
termo 
Duas vezes 
o produto 
dos dois 
termos 
UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 5Exemplos: 
 
a) 
 
b) 
 
 
Cubo da diferença de dois termos 
 
 – – – – 
 
 – 
 
Exemplos: 
 
a) – – 
 b) – 
 
Fatoração de Polinômios 
 
Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de um produto indicado. Fatorar é o mesmo que decompor 
em fatores ou transformar em produto (indicado). 
 
Métodos de Fatoração 
 
Fator comum em evidência 
Quando os termos de um polinômio apresentam um fator comum, podemos coloca-lo em evidência, obtendo ma 
forma fatorada do polinômio. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
Fatoração por agrupamento 
 
Podemos fatorar certos polinômios agrupando os seus termos de tal maneira que: 
 
1º) Em cada grupo haja fator comum 
2º) Fatorando cada grupo, observamos que eles apresentam um novo fator comum que, ao ser posto em 
evidência, completa a fatoração. 
Ex.: 
UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 6 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
Fatoração por diferença de quadrados: 
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz 
quadrada de cada quadrado. 
Assim: 
Exs: 
a) 
b) 
c) 
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes 
 
Fatoração do trinômio quadrado perfeito: 
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito. 
Por exemplo, os trinômios ( ) e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos 
quando se eleva e ao quadrado, respectivamente. 
 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3y 
 
 
 Note que é igual ao segundo termo de 
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito. = forma fatorada 
 
 
Sinal 
x é fator 
comum 
 é 
fator 
comum 
a é fator 
comum 
Forma 
fatorada 
 é fator 
comum 
 é fator 
comum 
 é fator 
comum 
Forma 
fatorada 
UFRN | Centro de Ciências Exatas e da Terra | Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática 
CAPES Aula Sobre Expressões Algébricas e Fatoração 22/03/2013 
 
Polinômios 27/09/2008 7 
 
Logo: = forma fatorada 
 
 
Sinal 
Exs: 
a) 
 b) 
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo: 
Exs: 
a) 
b)