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Extremo de funções Teste da 1ª derivada

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►Observe o gráfico da função f abaixo:Observe o gráfico da função f abaixo:
Extremo de funções – Extremo de funções – 
Máximos e MínimosMáximos e Mínimos
a c1 c2 c3 c4 c5 b
x
y
f
c1 é ponto de máx. local em 
[a;c2]
f(c1) é o valor máx. local em [a;c2]
 
Crescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento
Considere o gráfico da função y = f(x):Considere o gráfico da função y = f(x):
 
Crescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento
Definição: uma função Definição: uma função 
f é crescente num f é crescente num 
intervalo intervalo II se x1 > x2 se x1 > x2 
então f(x1) > f(x2)então f(x1) > f(x2)
 
Crescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento
Definição: uma função Definição: uma função 
f é decrescente num f é decrescente num 
intervalo intervalo II se x1 > x2 se x1 > x2 
então f(x1) < f(x2)então f(x1) < f(x2)
 
Derivada e crescimento e Derivada e crescimento e 
decrescimento de funçõesdecrescimento de funções
► Se f é contínua e diferenciável em (a,b) seSe f é contínua e diferenciável em (a,b) se
 f´(x) >0 para todo x f´(x) >0 para todo x ∈∈ (a,b) então f é crescente em (a,b) então f é crescente em 
(a,b)(a,b)
Sabendo que h>0 para (x+h)>x então temos queSabendo que h>0 para (x+h)>x então temos que
 
que implica em , ou seja, que implica em , ou seja, 
se x1 > x2 então f(x1) > f(x2).se x1 > x2 então f(x1) > f(x2).
 f´(x) < 0 para todo x f´(x) < 0 para todo x ∈∈ (a,b) então f é decrescente em (a,b) então f é decrescente em 
(a,b)(a,b)
0)()(lim)´( 0 >
−+
= → h
xfhxfxf h
0)()( >−+ xfhxf
)()( xfhxf >+
 
Ponto crítico e extremosPonto crítico e extremos
►Se possui um extremo em c então este Se possui um extremo em c então este 
ponto é chamado de ponto crítico e é um ponto é chamado de ponto crítico e é um 
ponto tal que f´(c)=0 ou f´(c) não existe.ponto tal que f´(c)=0 ou f´(c) não existe.
Máximos e/ou mínimos
Pontos Críticos
Extremos
 
Teste da primeira derivada
c c
0)´( =cf
Máximo se passa de crescente 
para decrescente em c
Mínimo se passa de + para − em c
 
ObservaçõesObservações
c c
f´(x)>0
f´(x)>0
f´(x)<0
f´(x)<0
f(c) não é extremo
 
Concavidade e extremosConcavidade e extremos
►Se f´´(x) existe em um intervalo I então o Se f´´(x) existe em um intervalo I então o 
gráfico de f é:gráfico de f é:
 Côncavo para cima em I se f´´(x)>0 em ICôncavo para cima em I se f´´(x)>0 em I
 Côncavo para baixo em I se f´´(x)<0 em ICôncavo para baixo em I se f´´(x)<0 em I
OBS: Se f´´(x)< 0f´´(x)< 0 (concavidade para baixo) implica que a função f´ 
 é decrescente, ou seja, os coeficientes angulares das retas 
tangentes a f diminuem e na concavidade para cima vemos que 
passam de - para +
f´>0 f´<0
f´´>0
 
Teste da segunda derivadaTeste da segunda derivada
►Se f é diferenciável em um intervalo Se f é diferenciável em um intervalo 
contendo c e f´(c)=0 então se:contendo c e f´(c)=0 então se:
 f´´(c)<0, f tem máximo local em cf´´(c)<0, f tem máximo local em c
 f´´(c)>0, f tem mínimo local em cf´´(c)>0, f tem mínimo local em c
c
f´(c)=0
f´´(c)>0
c
f´(c)=0
f´´(c)<0
 
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