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►Observe o gráfico da função f abaixo:Observe o gráfico da função f abaixo: Extremo de funções – Extremo de funções – Máximos e MínimosMáximos e Mínimos a c1 c2 c3 c4 c5 b x y f c1 é ponto de máx. local em [a;c2] f(c1) é o valor máx. local em [a;c2] Crescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento Considere o gráfico da função y = f(x):Considere o gráfico da função y = f(x): Crescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento Definição: uma função Definição: uma função f é crescente num f é crescente num intervalo intervalo II se x1 > x2 se x1 > x2 então f(x1) > f(x2)então f(x1) > f(x2) Crescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento Definição: uma função Definição: uma função f é decrescente num f é decrescente num intervalo intervalo II se x1 > x2 se x1 > x2 então f(x1) < f(x2)então f(x1) < f(x2) Derivada e crescimento e Derivada e crescimento e decrescimento de funçõesdecrescimento de funções ► Se f é contínua e diferenciável em (a,b) seSe f é contínua e diferenciável em (a,b) se f´(x) >0 para todo x f´(x) >0 para todo x ∈∈ (a,b) então f é crescente em (a,b) então f é crescente em (a,b)(a,b) Sabendo que h>0 para (x+h)>x então temos queSabendo que h>0 para (x+h)>x então temos que que implica em , ou seja, que implica em , ou seja, se x1 > x2 então f(x1) > f(x2).se x1 > x2 então f(x1) > f(x2). f´(x) < 0 para todo x f´(x) < 0 para todo x ∈∈ (a,b) então f é decrescente em (a,b) então f é decrescente em (a,b)(a,b) 0)()(lim)´( 0 > −+ = → h xfhxfxf h 0)()( >−+ xfhxf )()( xfhxf >+ Ponto crítico e extremosPonto crítico e extremos ►Se possui um extremo em c então este Se possui um extremo em c então este ponto é chamado de ponto crítico e é um ponto é chamado de ponto crítico e é um ponto tal que f´(c)=0 ou f´(c) não existe.ponto tal que f´(c)=0 ou f´(c) não existe. Máximos e/ou mínimos Pontos Críticos Extremos Teste da primeira derivada c c 0)´( =cf Máximo se passa de crescente para decrescente em c Mínimo se passa de + para − em c ObservaçõesObservações c c f´(x)>0 f´(x)>0 f´(x)<0 f´(x)<0 f(c) não é extremo Concavidade e extremosConcavidade e extremos ►Se f´´(x) existe em um intervalo I então o Se f´´(x) existe em um intervalo I então o gráfico de f é:gráfico de f é: Côncavo para cima em I se f´´(x)>0 em ICôncavo para cima em I se f´´(x)>0 em I Côncavo para baixo em I se f´´(x)<0 em ICôncavo para baixo em I se f´´(x)<0 em I OBS: Se f´´(x)< 0f´´(x)< 0 (concavidade para baixo) implica que a função f´ é decrescente, ou seja, os coeficientes angulares das retas tangentes a f diminuem e na concavidade para cima vemos que passam de - para + f´>0 f´<0 f´´>0 Teste da segunda derivadaTeste da segunda derivada ►Se f é diferenciável em um intervalo Se f é diferenciável em um intervalo contendo c e f´(c)=0 então se:contendo c e f´(c)=0 então se: f´´(c)<0, f tem máximo local em cf´´(c)<0, f tem máximo local em c f´´(c)>0, f tem mínimo local em cf´´(c)>0, f tem mínimo local em c c f´(c)=0 f´´(c)>0 c f´(c)=0 f´´(c)<0 Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11
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