9 - Introdução a funções de várias variáveis

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Capítulo # 9 
 
 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES 
DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
9.1 Funções de duas variáveis 
 
9.2 Funções de três variáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
1 
9.1 Funções de duas variáveis 
 
 
Chamamos função de duas variáveis a qualquer correspondência que associe a 
cada par ordenado de números reais, (x,y) ∈ Df ⊆ IR2, um único número real, 
z ∈ Cf ⊆ IR : 
 
 
 
O conjunto de partida, Df, é designado por domínio (de definição) da função f, e 
o conjunto de chegada, Cf, por contradomínio da mesma função. 
 
Os números x e y que constituem o par ordenado (x,y) dizem-se variáveis 
independentes ou argumentos da função f, enquanto que o número z = f(x,y) é 
designado por variável dependente, ou valor da função no “ponto” (x,y). 
 
 
9.1.1 Tipos de domínios em IR2 
 
 
Se escolhermos um sistema de coordenadas rectangulares Oxy no plano, é 
possível, em geral, representar graficamente o domínio Df de uma função de 
duas variáveis como sendo uma região bem definida desse plano. 
 
A curva plana que delimita essa região (se tal curva existir) chama-se fronteira 
do domínio Df . Os pontos situados na fronteira chamam-se pontos-fronteira, 
quer pertençam ou não a Df . 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 2 
Os pontos de Df que não estejam situados sobre a fronteira são designados por 
pontos interiores do domínio. 
 
Se os pontos-fronteira pertencerem todos ao domínio Df, este diz-se fechado; 
caso contrário, o domínio dir-se-á aberto. 
 
Se a distância de qualquer ponto do domínio Df à origem das coordenadas for 
limitada superiormente, o domínio diz-se limitado; caso contrário, dir-se-á 
ilimitado. 
 
Muitos resultados importantes relativos a funções de duas variáveis são válidos 
para domínios que são simultaneamente fechados e limitados, designados em 
geral pelo nome de domínios compactos. 
 
No caso mais frequente, uma função de duas variáveis será definida por 
intermédio de uma fórmula ou expressão analítica, que nos permite calcular os 
valores da função se forem conhecidos os valores de x e de y. 
 
É costume chamar-se domínio natural de definição da função f(x,y) ao conjunto 
de todos os pares ordenados (x,y) para os quais a fórmula que é utilizada para 
definir a função faz sentido, isto é, “produz” apenas valores reais. 
 
Se nada for dito acerca do domínio de uma função f(x,y), subentende-se sempre 
que esse domínio é o domínio natural de definição associado à fórmula que é 
utilizada para definir essa função. 
 
Exemplo 9.1 Qual é o domínio natural de f(x,y) = 
� 
16 − x2 − y2 ? 
 
 
16 – x2 – y2 ≥ 0 ⇒ Df = {(x,y): x2 + y2 ≤ 16} 
 
Como toda a fronteira faz parte do domínio, é um domínio fechado e limitado, 
ou seja, é um domínio compacto. 
 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
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3 
 
Exemplo 9.2 Qual é o domínio natural de f(x,y) = 
� 
1
16 − x2 − y2
? 
 
 
16 – x2 – y2 > 0 ⇒ Df = {(x,y): x2 + y2 < 16} 
 
Neste caso, temos um domínio aberto e limitado, já que a fronteira do domínio 
não faz parte do mesmo. 
 
Exemplo 9.3 Qual é o domínio natural de f(x,y) = 
� 
y
x − y2
? 
 
 
x – y2 > 0 ⇒ Df = {(x,y): x > y2} 
 
Este é um domínio aberto e ilimitado, constituído por todos os pontos para a 
direita da parábola com vértice na origem de equação x = y2: 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
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 4 
9.1.2 Gráfico de uma função de duas variáveis 
 
 
Qualquer função de duas variáveis pode ser interpretada como sendo um 
conjunto de tripletos ordenados (x,y,z) de números reais, em que o par ordenado 
(x,y) ∈ Df e z = f(x,y). 
 
Se Oxyz for um sistema qualquer de coordenadas rectangulares no espaço a três 
dimensões, podemos associar a cada tripleto ordenado (x,y,z) um e um só ponto 
desse espaço. A totalidade desses pontos é aquilo a que chamamos o gráfico da 
função f(x,y) ou, o que é o mesmo, o gráfico da equação z = f(x,y). Em geral, 
esse gráfico será uma superfície no espaço a três dimensões. 
 
Em consequência da definição da função f(x,y), podemos afirmar que: 
 
• A projecção do gráfico de f(x,y) no plano Oxy é o domínio Df da referida 
função; 
 
• Se (x,y) ∈ Df, e se fizermos passar por esse ponto uma linha vertical, ela 
deverá intersectar o gráfico de f(x,y) num único ponto. 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
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5 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = ax + by + c 
 
é o plano de equação 
 
z = ax + by + c 
 
Na figura junta, apenas se 
encontra representada a porção 
deste plano que está situada no 
1º octante. O domínio natural 
desta função é o conjunto IR2. 
 
Embora o gráfico de uma função de duas variáveis seja, em geral, uma 
superfície no espaço a três dimensões, nem todas as superfícies são gráficos de 
uma única função de duas variáveis. É o caso, por exemplo, da superfície 
esférica de raio a centrada na origem, cuja equação é x2 + y2 + z2 = a2: 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = 
� 
a2 − x2 − y2 , com a > 0 
 
é a metade “superior” da superfície 
esférica de raio a centrada na origem, 
cuja equação é 
 
x2 + y2 + z2 = a2 
 
A metade “inferior” desta superfície é 
o gráfico da função simétrica de f(x,y), 
ou seja, g(x,y) = – 
� 
a2 − x2 − y2 . 
 
O domínio natural destas funções é o 
conjunto {(x,y) ∈ IR2: x2 + y2 ≤ a2}. 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
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 6 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = 
� 
x2 + y2 
 
é a folha “superior” da superfície cónica 
com vértice na origem e eixo de simetria 
Oz, cuja equação é 
 
z2 = x2 + y2 
 
A folha “inferior” desta superfície é o 
gráfico da função simétrica de f(x,y), ou 
seja, g(x,y) = – 
� 
x2 + y2 . 
 
O domínio natural destas funções é o 
conjunto IR2. 
 
 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = x2 + y2 
 
é o parabolóide circular com vértice na 
origem e eixo de simetria Oz, cuja 
equação é 
 
z = x2 + y2 
 
O domínio natural desta função é o 
conjunto IR2. 
 
 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
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7 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = x2 – y2 
 
é o parabolóide hiperbólico com 
“ponto de sela” na origem, eixo de 
simetria Oz e “abas para cima” na 
direcção de Ox, cuja equação é 
 
z = x2 – y2 
 
O gráfico da função g(x,y) = y2 – x2 é 
semelhante ao apresentado, mas está 
rodado de 90º em torno de Oz. 
 
O domínio natural destas funções é o 
conjunto IR2. 
 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = sen 
� 
x2 + y2 
 
é a superfície de revolução que pode 
ser obtida rodando a curva z = sen x, 
com x ≥ 0 (ou z = sen y, com y ≥ 0), 
em torno do eixo Oz, e cuja equação é 
 
z = sen 
� 
x2 + y2 
 
O domínio natural desta função é o 
conjunto IR2. 
 
Na figura junta, apenas se encontra 
representado o gráfico da função na 
restrição definida por x2 + y2 ≤ 4π2. 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
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 8 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = 
� 
1
a + x2 + y2
 , com a > 0 
 
é a superfície de revolução obtida ao 
rodar a curva z = 
� 
1
a + x2
 , com x ≥ 0 
(ou z = 
� 
1
a + y2
 , com y ≥ 0), em 
torno do eixo Oz, e cuja equaçãoé 
 
z = 
� 
1
a + x2 + y2
 
 
Como por hipótese a ≠ 0, o domínio 
natural desta função é o conjunto IR2. 
 
 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = x exp (– x2 – y2) 
 
é a superfície de equação 
 
z = x exp (– x2 – y2) 
 
O domínio natural desta função é 
o conjunto IR2. 
 
Na figura junta, apenas se 
encontra representado o gráfico 
desta função na restrição {(x,y): 
� 
x ≤ 2 ∧ 
� 
y ≤ 2}. 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
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9 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = 
� 
a2 − x2 
 
é a metade “superior” duma superfície 
cilíndrica circular paralela a Oy, cuja 
equação é: 
 
x2 + z2 = a2 
 
A metade “inferior” desta superfície é 
o gráfico da função simétrica de f(x,y), 
ou seja, g(x,y) = – 
� 
a2 − x2 . 
 
O domínio natural destas funções é o 
conjunto {(x,y) ∈ IR2: 
� 
x ≤ a}. 
 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = 
� 
x2 − a2 
 
é a metade “superior” duma superfície 
cilíndrica hiperbólica paralela a Oy, 
cuja equação é: 
 
x2 – z2 = a2 
 
A metade “inferior” desta superfície é 
o gráfico da função simétrica de f(x,y), 
ou seja, g(x,y) = – 
� 
x2 − a2 . 
 
O domínio natural destas funções é o 
conjunto {(x,y) ∈ IR2: 
� 
x ≥ a}. 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
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 10 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = 
� 
a2 + x2 
 
é a metade “superior” duma superfície 
cilíndrica hiperbólica paralela a Oy, 
cuja equação é: 
 
z2 – x2 = a2 
 
A metade “inferior” desta superfície é 
o gráfico da função simétrica de f(x,y), 
ou seja, g(x,y) = – 
� 
a2 + x2 . 
 
O domínio natural destas funções é o 
conjunto IR2. 
 
 
O gráfico da função 
 
f(x,y) = k x2 
 
é uma superfície cilíndrica parabólica 
paralela a Oy, cuja equação é: 
 
z = k x2 
 
O domínio natural desta função é o 
conjunto IR2. 
 
Nos quatro exemplos anteriores, se trocarmos x2 por y2 na expressão que define 
a função f(x,y), o gráfico sofre uma rotação de 90º em torno de Oz, passando a 
ser representado por uma superfície cilíndrica paralela a Ox. 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
11 
9.1.3 Curvas de nível para funções de duas variáveis 
 
 
As curvas de nível são uma forma alternativa de representar geometricamente 
funções de duas variáveis. Como vimos, o gráfico de uma tal função é, em geral, 
uma superfície no espaço a três dimensões. Se intersectarmos essa superfície por 
um plano horizontal de equação z = k, obtemos uma curva situada sobre a 
superfície z = f(x,y), chamada curva de contorno do gráfico de f(x,y). 
 
À projecção vertical de cada curva de contorno sobre o plano Oxy chamamos 
curva de nível (de equação) f(x,y) = k da função f(x,y), ou seja: 
 
{(x,y) ∈ IR2: (x,y) ∈ Df ∧ f(x,y) = k} 
 
 
Curvas de contorno e correspondentes curvas de nível de uma função f(x,y) 
 
Exemplo 9.4 Escrever as equações das curvas de contorno e das curvas de 
nível da função f(x,y) = y2 – x2, e em seguida descrever 
essas curvas, e representar graficamente algumas delas. 
 
 
As curvas de contorno são as curvas do espaço a três dimensões representadas 
pelo par de equações simultâneas: 
 
� 
z = y2 − x2
z = k
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
, com k ∈ IR . 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
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 12 
As curvas de nível são as curvas do plano Oxy representadas pelas equações: 
 
y2 – x2 = k, com k ∈ IR 
 
• se k < 0, as equações x2 – y2 = – k representam hipérboles equiláteras 
com centro em (0, 0), tendo o eixo Ox como eixo focal; 
 
• se k = 0, a equação y2 – x2 = 0 ⇒ y2 = x2 ⇒ y = x ∨ y = – x tem 
como gráfico um par de rectas (as bissectrizes dos quadrantes ímpares e 
dos quadrantes pares, respectivamente); 
 
• se k > 0, as equações y2 – x2 = k representam hipérboles equiláteras com 
centro em (0, 0), tendo o eixo Oy como eixo focal. 
 
Na figura seguinte estão representadas 7 curvas de nível de f(x,y), 3 para valores 
de k > 0, 3 para valores de k < 0, e ainda a curva correspondente a k = 0, que é o 
par de rectas que passa pela origem. 
 
Repare-se que o “ponto de sela” do gráfico da função f(x,y) = y2 – x2, que é a 
origem das coordenadas, corresponde a um ponto de auto-intersecção de uma 
curva de nível (neste caso, da curva de nível correspondente a k = 0): 
 
 
 
Exemplo 9.5 Escrever as equações das curvas de nível da função f(x,y) = 
= 
� 
4 − x2 − y2 , e em seguida descrever essas curvas e 
representar graficamente algumas delas. 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
13 
� 
4 − x2 − y2 = k ⇒ x2 + y2 = 4 – k2, com 0 ≤ k ≤ 2 
 
Estas equações representam uma família de circunferências centradas na 
origem, de raio 
� 
4 − k2 , em que 0 ≤ k ≤ 2. 
 
Na figura seguinte estão representadas 5 curvas de nível de f(x,y), para k = {0; 
0.5; 1; 1.5; 2}; a última destas circunferências reduz-se a um ponto (a origem): 
 
 
 
Exemplo 9.6 Escrever as equações das curvas de nível da função f(x,y) = 
= x2 + 2y2, e em seguida descrever essas curvas e 
representar graficamente algumas delas. 
 
 
x2 + 2y2 = k (k ≥ 0) ⇒ 
� 
x
k
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
+
y
k /2
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ 
2
= 1, se k > 0
(0, 0), se k = 0
⎧ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Estas equações representam uma família de elipses centradas na origem, de 
semieixos 
� 
k e 
� 
k /2 , em que k ≥ 0. 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
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 14 
Na figura junta estão representadas 5 curvas de nível de f(x,y), para k = {0; 1; 2; 
3; 4}; a primeira destas elipses reduz-se a um ponto (a origem): 
 
 
 
 
 
9.1.4 Limite de uma função de duas variáveis 
 
 
9.1.4.1 O conceito de limite de f(x,y) 
 
 
Dizemos que o número l é o limite de f(x,y) quando (x,y) tende para (a,b), e 
escrevemos que: 
 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y) = l 
 
se conseguirmos que f(x,y) se aproxime tanto quanto quisermos de l, bastando 
para que isso aconteça que (x,y) se aproxime suficientemente de (a,b), sem 
contudo igualar (a,b): 
 
 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
15 
 
 
Repare-se que a função f(x,y) não precisa de estar definida no ponto (a,b) para 
que exista 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y); e, mesmo que a função esteja definida nesse 
ponto, o valor de f(a,b) não tem de coincidir com o valor do limite. 
 
Por outro lado, o percurso que o ponto (x,y) deve “percorrer” no plano Oxy ao 
aproximar-se do ponto (a,b) é arbitrário. Ao contrário do que acontece com 
funções de uma variável, para as quais só há dois percursos possíveis na 
aproximação ao ponto a (pela direita, e pela esquerda), quando lidamos com 
funções de duas variáveis temos de considerar uma infinidade de percursos 
possíveis na aproximação ao ponto (a,b). 
 
 
9.1.4.2 Teoremas mais importantes sobre limites 
 
 
Os teoremas mais importantes sobre limites de funções de duas variáveis são 
extensões naturais dos resultados correspondentes para funções de uma variável. 
 
O teorema seguinte é o resultado básico que nos permite calcular limites de 
funções a partir dos limites conhecidos de funções mais simples: 
 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 16 
Teorema: 
� 
lim(x,y)→(a,b)
 f(x,y) = l ∧ 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
 g(x,y) = m ⇒ 
 
⇒ 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y) + g(x,y)( ) = l + m
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y) .g(x,y)( ) = l .m
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y)
g(x,y)
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
=
l
m , se m ≠ 0
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Se z = f(u) e u = g(x,y), dizemos que z é uma função composta de x e de y por 
intermédio de u, ou seja, z = f(g(x,y)) = h(x,y). O teorema seguinte permite-nos 
calcular o limite desta função composta se soubermos os limites (em pontos 
diferentes) das duas funções que intervêm na composição: 
 
Teorema: 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
g(x,y) = m ∧ 
� 
lim
x→m
f(x) = f(m ) ⇒ 
 
⇒ 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(g(x,y)) = f 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
g(x,y)
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ = f(m) 
 
Notar a restrição que é imposta à função f neste teorema, a qual corresponde a 
considerar que esta função é contínua no ponto m. Nestas condições, e só nestas 
condições, é válido “trocar a ordem dos símbolos f e 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
”. 
 
 
9.1.4.3 Limites direccionais 
 
 
Salientemos novamente que, se existir 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y), então o valor obtido 
para este limite deve ser sempre o mesmo, qualquer que seja o percurso 
escolhido na aproximação ao ponto (a,b). Portanto, se conseguirmos encontrar 
um percurso para o qual o limite não possa ser calculado, ou se conseguirmos 
encontrar dois percursos que conduzam a dois valores diferentes para o referido 
limite, podemos concluir imediatamente que o limite da função não existe. 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
17 
Para provar que o limite de uma função de duas variáveis não existe, recorremos 
em geral à técnica dos limites direccionais. No caso mais simples, os percursos 
utilizados são os percursos rectilíneos correspondentes ao “feixe” de rectas que 
passa pelo ponto (a,b), de equações paramétricas 
� 
x = a + p t
y = b + q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
, em que t ∈ IR : 
 
Limites direccionais: 
(percursos rectilíneos) 
 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
x = a + p t
y = b + q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 f(x,y) = 
 
= 
� 
lim
t→0
 f(a + pt, b + qt) 
 
 
Teorema: 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
 f(x,y) = l ⇒ 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
x = a + p t
y = b + q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 f(x,y) = l , ∀p,q 
 
Ou seja, se o limite direccional depender de p e/ou de q, isto é, se depender do 
declive do percurso rectilíneo, podemos dizer que não existe 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y); 
porém, se o limite direccional assim calculado tiver um valor numérico que não 
dependa de p nem de q, nada podemos concluir acerca da existência do limite da 
função: apenas podemos afirmar que o limite, se existir, terá de ter esse valor. 
 
Se for conveniente, podemos utilizar percursos não-rectilíneos na aproximação 
ao ponto (a,b), como por exemplo a família de parábolas com eixo paralelo a Oy 
que passam por (a,b), que podem ser representadas quer pelas suas equações 
paramétricas 
� 
x = a + t
y = b + k t2
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 quer pela equação (y – b) = k (x – a)2. De facto, 
podemos utilizar qualquer outra curva suave ou família de curvas suaves que 
passe(m) pelo ponto (a,b) no plano Oxy como percurso(s) na aproximação ao 
ponto (a,b). 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 18 
Sejam quais forem os percursos utilizados, importa salientar mais uma vez que 
este procedimento serve exclusivamente para mostrar que 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y) não 
existe, e nunca poderá ser utilizado para provar que este limite existe. 
 
Exemplo 9.7 Mostrar que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x2 − y2
x2 + y2
 não existe, pelo método 
dos limites direccionais (percursos rectilíneos). 
 
 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
x = p t
y = q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 
� 
x2 − y2
x2 + y2
 = 
� 
lim
t→0
 
� 
p2 t2 − q2 t2
p2 t2 + q2 t2
 = 
� 
lim
t→0
 
� 
t2 p2 − q2( )
t2 p2 + q2( ) = 
 
(porque t ≠ 0) = 
� 
lim
t→0
 
� 
p2 − q2
p2 + q2
 = 
� 
p2 − q2
p2 + q2
 . 
 
Como o limite direccional depende dos valores de p e de q, isto é, depende do 
declive do percurso rectilíneo escolhido, o limite da função não pode existir. 
 
Exemplo 9.8 Mostrar que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
xy
x2 + y2
 não existe, pelo método 
dos limites direccionais (percursos rectilíneos). 
 
 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
x = p t
y = q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 
� 
xy
x2 + y2
 = 
� 
lim
t→0
 
� 
(p t) (q t)
p2 t2 + q2 t2
 = 
� 
lim
t→0
 
� 
t2 p q
t2 p2 + q2( ) = 
 
(porque t ≠ 0) = 
� 
lim
t→0
 
� 
p q
p2 + q2
 = 
� 
p q
p2 + q2
 . 
 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
19 
Como o limite direccional depende dos valores de p e de q, isto é, depende do 
declive do percurso rectilíneo escolhido, o limite da função não pode existir. 
 
O aspecto do gráfico da função f(x,y) = 
� 
xy
x2 + y2
 na vizinhança da origem 
mostra claramente que os diversos percursos rectilíneos no plano Oxy passando 
pela origem produzem valores diferentes para os correspondentes limites 
direccionais. Na figura junta, estão assinalados os percursos correspondentes a 
p = q (a recta de equação y = x) e p = – q (a recta de equação y = – x); o limite 
direccional é igual a 
� 
1
2 se p = q, e é igual a – 
� 
1
2 se p = – q: 
 
 
 
 
 
9.1.4.4 Cálculo de limites utilizando coordenadas polares 
 
 
Os limites de funções de duas variáveis em pontos de descontinuidade podem 
por vezes ser calculados utilizando uma mudança de variáveis apropriada. 
 
Em particular, a mudança para coordenadas polares, definida pelas equações 
simultâneas {x = r cos θ, y = r sen θ}, com r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π, é especialmente 
útil quando estamos a tentar calcular 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
f(x,y), já que se tem: 
 
r = 
� 
x2 + y2 ≥ 0 ⇒ (x,y)→(0, 0) ⇔ r→0+ 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 20 
e portanto o limite acima referido poderá ser calculado da seguinte maneira: 
 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
f(x,y) = 
� 
lim
r→0+
f(r cos θ, r sen θ) = 
� 
lim
r→0+
g(r,θ) 
 
Este último limite pode, em geral, ser calculado, se conseguirmos mostrar que 
ele é independente de θ, ou então se a própria função g(r,θ) não depender de θ. 
 
Exemplo 9.9 Mostre que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
xy
x2 + y2
 = 0, utilizando para o 
efeito coordenadas polares. 
 
 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
xy
x2 + y2
 =
� 
lim
r→0+
� 
(r cos θ) (r sen θ)
r =
� 
lim
r→0+
(r sen θ cos θ) = 
 
= 
� 
lim
r→0+
(r) 
� 
lim
r→0+
(sen θ cos θ) = 0 
 
pois o 2º limite é sempre finito, independentemente da forma como θ varia com 
r na aproximação ao ponto (0, 0). Isto é assim porque, como sabemos, se tem 
� 
sen θ cos θ ≤ 1, ∀θ . 
 
Também é possível utilizar a mudança para coordenadas polares para provar que 
o limite de uma função de duas variáveis no ponto (0, 0) não existe: 
 
Exemplo 9.10 Mostre que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
xy
x2 + y2
 não existe, utilizando 
para o efeito coordenadas polares. 
 
 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
xy
x2 + y2
 = 
� 
lim
r→0+
� 
(r cos θ) (r sen θ)
r2
 = 
� 
lim
r→0+
(sen θ cos θ) = 
 
(se θ for constante, isto é, se não depender de r) 
 
= sen θ cos θ = g(θ). 
9.1 FUNÇÕES DE DUASVARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
21 
Como obtivemos um valor diferente para cada valor de θ no intervalo [0, 2π], o 
limite da função não pode existir. 
 
 
 
9.1.5 Continuidade de funções de duas variáveis 
 
 
Dizemos que a função f(x,y) é contínua no ponto (a,b) se existir o limite de 
f(x,y) quando (x,y) tende para (a,b) e esse limite for igual ao valor que f(x,y) 
assume no ponto (a,b): 
 
� 
lim
(x,y)→(a,b)
f(x,y) = f(a,b) 
 
Para a função f(x,y) poder ser contínua no ponto (a,b), tem de estar definida 
numa vizinhança desse ponto, e também no próprio ponto (a,b). 
 
Se o limite não existir, ou se f(a,b) não existir, ou se existirem ambos mas forem 
diferentes, a função f(x,y) dir-se-á descontínua no ponto (a,b). 
 
O resultado básico que nos permite decidir sobre a continuidade de funções a 
partir da continuidade conhecida de funções mais simples é o seguinte: 
 
Teorema: f(x,y) e g(x,y) são contínuas no ponto (a,b) ⇒ 
 
⇒ 
� 
f(x,y) + g(x,y)[ ] é contínua no ponto (a,b)
f(x,y) g(x,y)[ ] é contínua no ponto (a,b)
f(x,y)
g(x,y)
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ 
é contínua no ponto (a,b), seg(a,b) ≠ 0
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎩ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
 
 
Frequentemente, uma função de duas variáveis pode ser escrita como o produto 
de uma função só de x por uma função só de y. É a este tipo de funções de duas 
variáveis que se refere o teorema seguinte: 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 22 
Teorema: Se g(x) for contínua no ponto x = a e h(y) for contínua no 
ponto y = b, então f(x,y) = g(x) h(y) é contínua em (a,b). 
 
Como vimos atrás, quando z = f(u) e u = g(x,y), dizemos que z é uma função 
composta de x e de y por intermédio de u, ou seja, z = f(g(x,y)) = h(x,y). O 
teorema seguinte refere-se à continuidade desta função composta: 
 
Teorema: Se g(x,y) for contínua no ponto (a,b) e f(u) for contínua em 
u = g(a,b), então a função composta h(x,y) = f(g(x,y)) 
também é contínua em (a,b). 
 
Exemplo 9.11 A função h(x,y) = sen (3x2y5) é uma função contínua, 
∀(x,y) ∈ IR2, porque g(x,y) = 3x2y5 é uma função 
polinomial, que é contínua ∀(x,y) ∈ IR2 , e porque a função 
f(u) = sen u também é contínua, ∀u ∈ IR . 
 
Uma função de duas variáveis f(x,y) diz-se contínua num domínio compacto 
(isto é, fechado e limitado), se for contínua em todos os pontos desse domínio 
(incluindo os pontos-fronteira). Uma função nestas condições tem as seguintes 
três propriedades importantes: 
 
• É limitada nesse domínio; 
 
• Assume um valor máximo e um valor mínimo algures nesse domínio; 
 
• Assume no mesmo domínio todos os valores intermédios entre o valor 
máximo e o valor mínimo. 
 
Estas três propriedades são o equivalente das correspondentes propriedades de 
uma função f(x) contínua num intervalo fechado [a,b]. 
 
 
Problemas propostos / Secção 9.1 
 
1. Descreva por palavras de forma resumida o domínio natural das seguintes 
funções de duas variáveis: 
(a) f(x,y) = exp (– x2 – y2); 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
23 
(b) f(x,y) = ln (x2 – y2 – 1); 
(c) f(x,y) = 
� 
4 − x2 − y2 ; 
(d) f(x,y) = 
� 
x y
x2 − y2
 . 
 
2. Descreva por palavras de forma resumida o gráfico das seguintes funções 
de duas variáveis: 
(a) f(x,y) = x + y; 
(b) f(x,y) = x2 + y2; 
(c) f(x,y) = 
� 
4 − x2 − y2 ; 
(d) f(x,y) = 10 – 
� 
x2 + y2 . 
 
3. Obtenha as equações das curvas de nível para cada uma das funções 
seguintes, e descreva essas curvas por palavras de forma resumida: 
(a) f(x,y) = y – x3; 
(b) f(x,y) = x2 + y2 – 6x + 4y + 7; 
(c) f(x,y) = exp (– x2 – y2); 
(d) f(x,y) = 
� 
1
1 + x2 + y2
 . 
 
4. Calcule os seguintes limites de funções de duas variáveis, ou mostre que 
não existem: 
(a) 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x − y
x2 + y2
 ; 
(b) 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
sen x2 + y2( )
x2 + y2
 ; 
(c) 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x4 − y4
x2 + y2
 ; 
(d) 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x y
3x2 + 2y2
 ; 
(e) 
� 
lim
(x,y)→(1, − 2)
 
� 
sen (x − 1)2 + (y + 2)2( )
(x − 1)2 + (y + 2)2
 ; 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 24 
(f) 
� 
lim
(x,y)→(− 3, 2)
 
� 
(x + 3) (y − 2)
(x + 3)2 + (y − 2)2
 . 
 
5. Mostre que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x2 y
x4 + y2
 não existe, utilizando sucessivamente 
os percursos 
� 
x = p t
y = q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 e y = x2 para o cálculo do limite indicado. 
 
6. Prove que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x3 y
2x6 + y2
 não existe, utilizando sucessivamente 
os percursos 
� 
x = p t
y = q t
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 , 
� 
x = t
y = m t2
⎧ 
⎨ 
⎩ 
 e y = x3 para o cálculo do limite 
indicado. 
 
7. Prove que 
� 
lim
(x,y)→(0, 0)
 
� 
x2 y2
x2 + y2
 = 0 utilizando coordenadas polares. 
 
Soluções dos problemas propostos / Secção 9.1 
 
1. (a) Df = IR2; 
(b) Df = {(x,y): x2 – y2 > 1}; 
(c) Df = {(x,y): x2 + y2 ≤ 4}; 
 
 
x2 – y2 > 1 
 
x2 + y2 ≤ 4 
 
(d) Df = {(x,y): y ≠ x ∧ y ≠ – x}. 
 
9.1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
25 
2. (a) Plano que passa pela origem; 
(b) Parabolóide circular com vértice em O e eixo de simetria Oz, em 
que z ≥ 0; 
(c) Semiesfera de raio 2 centrada na origem, com z ≥ 0; 
(d) Parte inferior de um cone circular com vértice em (0, 0, 10) e eixo 
de simetria Oz. 
 
 
 
 
3. (a) y = x3 + k, com k ∈ IR : parábolas cúbicas com ponto de inflexão 
 no eixo Oy; 
(b) (x – 3)2 + (y + 2)2 = k + 6, com k ≥ – 6: circunferências centradas 
em (3, – 2), de raio r = 
� 
k + 6 ; 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 26 
(c) x2 + y2 = – ln k, com 0 < k ≤ 1: circunferências centradas na 
origem, de raio r = 
� 
− ln k ; 
(d) x2 + y2 = 
� 
1 − k
k , com 0 < k ≤ 1: circunferências centradas na 
origem, de raio r = 
� 
1 − k
k . 
 
 
 
4. (a) Não existe limite; 
(b) 1; 
(c) 0; 
(d) Não existe limite; 
(e) 0; 
(f) Não existe limite. 
 
5. 
 
9.2 FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
27 
9.2 Funções de três variáveis 
 
 
Chamamos função de três variáveis a qualquer lei de correspondência que 
associe a cada tripleto ordenado de números reais, (x,y,z) ∈ Df ⊆ IR3, um único 
número real, w ∈ Cf ⊆ IR : 
 
 
 
A terminologia utilizada para os domínios destas funções é análoga à que é 
utilizada para funções de duas variáveis. A fronteira do domínio Df, se existir, 
será constituída por superfícies e curvas no espaço a três dimensões. 
 
Exemplo 9.12 Qual é o domínio natural das funções de três variáveis: 
(a) f(x,y,z) = 
� 
9 − x2 − y2 − z2 ; 
(b) f(x,y,z) = 
� 
x2 + y2 + z2 − 9 ? 
 
 
(a) 9 – x2 – y2 – z2 ≥ 0 ⇒ Df = {(x,y,z): x2 + y2 + z2 ≤ 9} 
 
O domínio natural é constituído pelos pontos da superfície esférica de equação 
x2 + y2 + z2 = 9, e por todos os pontos do espaço interiores a essa superfície: é 
um sólido esférico de raio 3 centrado no ponto (0,0,0). Como toda a fronteira faz 
parte do domínio, é um domínio fechado e limitado, ou seja, é um domínio 
compacto. 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 28 
(b) x2 + y2 + z2 – 9 ≥ 0 ⇒ Df = {(x,y,z): x2 + y2 + z2 ≥ 9}O domínio natural é constituído pelos pontos da superfície esférica de equação 
x2 + y2 + z2 = 9, e por todos os pontos do espaço exteriores a essa superfície. 
Como toda a fronteira faz parte do domínio, é um domínio fechado e ilimitado. 
 
Para conseguirmos representar o gráfico de uma função de três variáveis, seriam 
necessárias quatro dimensões, três para as variáveis independentes (x,y,z) mais 
uma para a variável dependente w. Portanto, esta representação é claramente 
impossível, ao contrário do que acontece com as funções de duas variáveis. 
 
 
9.2.1 Superfícies de nível para funções de três variáveis 
 
 
Como não é possível traçar o gráfico de uma função de três variáveis, utiliza-se 
como alternativa um conceito análogo ao das curvas de nível para funções de 
duas variáveis. 
 
De facto, se f(x,y,z) for uma função qualquer de três variáveis, e se k for uma 
constante, então uma equação da forma f(x,y,z) = k representa, em geral, uma 
superfície no espaço a três dimensões, para cada valor de k. Por analogia, 
designamos essa superfície pelo nome de superfície de nível f(x,y,z) = k da 
função f(x,y,z), ou seja: 
 
{(x,y,z) ∈ IR3: (x,y,z) ∈ Df ∧ f(x,y,z) = k} 
 
Nos casos mais simples, as superfícies de nível da função f(x,y,z) poderão ser 
visualizadas ou representadas graficamente, utilizando para o efeito uma 
projecção qualquer de um sistema de coordenadas rectangulares Oxyz. 
 
Exemplo 9.13 Obtenha as equações das superfícies de nível da função de 
três variáveis f(x,y,z) = x2 + y2 – z2, e descreva de forma 
resumida essas superfícies. 
 
 
As superfícies de nível de f(x,y,z) = x2 + y2 – z2 têm as seguintes equações: 
9.2 FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
29 
x2 + y2 – z2 = k, com k ∈ IR 
 
• se k > 0, vem 
� 
x
k
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
+
y
k
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
−
z
k
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
= 1: é a equação de uma 
família de hiperbolóides circulares de uma folha centrados na origem, que 
têm o eixo Oz como eixo principal de simetria; 
 
• se k = 0, obtém-se x2 + y2 – z2 = 0, ou z2 = x2 + y2: é a equação de um 
cone circular centrado na origem, que tem o eixo Oz como eixo principal 
de simetria; 
 
• se k < 0, vem 
� 
x
− k
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
+
y
− k
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
−
z
− k
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
= − 1: é a equação de 
uma família de hiperbolóides circulares de duas folhas centrados na 
origem, que têm o eixo Oz como eixo principal de simetria. 
 
Na figura seguinte, estão representadas três destas superfícies (k = – 1; 0; 1): 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 30 
9.2.2 Limite de uma função de três variáveis 
 
 
9.2.2.1 O conceito de limite de f(x,y,z) 
 
 
Afirmar que 
� 
lim(x,y,z)→(a,b,c)f(x,y,z) = l significa que é possível fazer com que a 
função f(x,y,z) se aproxime tanto quanto quisermos de l, bastando para que isso 
aconteça que (x,y,z) se aproxime suficientemente de (a,b,c), sem contudo ter de 
igualar (a,b,c). 
 
Como no caso das funções de duas variáveis, é essencial notar que também 
neste caso o percurso que o ponto (x,y,z) deve percorrer ao aproximar-se do 
ponto (a,b,c) é completamente arbitrário. Se o limite l existir, deve obter-se o 
mesmo valor para todos os percursos possíveis. Portanto, basta encontrar um 
percurso para o qual o limite não possa ser calculado, ou então encontrar dois 
percursos que conduzam a dois valores diferentes do limite, para podermos 
concluir imediatamente que o limite não existe. 
 
 
9.2.2.2 Limites direccionais 
 
 
Para mostrarmos que 
� 
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
f(x,y,z) não existe, podemos utilizar a 
técnica dos limites direccionais. Os percursos escolhidos serão, no caso mais 
simples, os percursos rectilíneos que passam pelo ponto (a,b,c), cujas equações 
paramétricas são as seguintes: 
 
� 
x = a + p t
y = b + q t
z = c + r t
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 , com t ∈ IR . 
 
Se calcularmos o limite da função ao longo dos percursos acima referidos, e se 
verificarmos que esse limite depende de p e/ou de q e/ou de r, podemos concluir 
que o 
� 
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
f(x,y,z) não existe. 
 
9.2 FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
31 
Contudo, se obtivermos o mesmo valor (finito) para o limite ao longo de todas 
as rectas do feixe, não podemos daí inferir que o limite da função exista; quando 
muito, podemos afirmar que o limite da função, se existir, terá de ter esse valor. 
 
Exemplo 9.14 Analisar o 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0,0)
 
� 
x y z
x3 + y3 + z3
 pelo método dos 
limites direccionais (percursos rectilíneos). 
 
 
O feixe de rectas que passa pela origem tem as seguintes equações: 
 
� 
x = p t
y = q t
z = r t
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 , com t ∈ IR . 
 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0, 0)
x = p t
y = q t
z = r t
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 
� 
x y z
x3 + y3 + z3
 = 
� 
lim
t→0
 
� 
(p t) (q t) (r t)
(p t)3 + (q t)3 + (r t)3
 = 
 
= 
� 
lim
t→0
 
� 
t3 (p q r)
t3 p3 + q3 + r3( ) = 
� 
lim
t→0
 
� 
p q r
p3 + q3 + r3
 = 
� 
p q r
p3 + q3 + r3
 
 
Como o limite direccional depende dos valores de p, de q e de r, isto é, depende 
do percurso rectilíneo escolhido, então o limite da função não pode existir. 
 
 
 
9.2.2.3 Cálculo de limites utilizando coordenadas esféricas 
 
 
Os limites de funções de três variáveis podem por vezes ser obtidos utilizando 
uma mudança de variáveis apropriada. 
 
 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 32 
Em particular, a mudança para coordenadas esféricas, definida pelas equações 
simultâneas 
� 
x = ρ senφ cosθ
y = ρ senφ senθ
z = ρ cosφ
⎧ 
⎨ 
⎪ 
⎩ ⎪ 
 , com ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ π e 0 ≤ θ < 2π, é muito útil 
quando estamos a tentar calcular 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0,0)
f(x,y,z), já que se tem: 
 
ρ = 
� 
x2 + y2 + z2 ≥ 0 ⇒ (x,y,z)→(0, 0, 0) ⇔ ρ→0+ 
 
e portanto o limite pretendido poderá ser calculado da seguinte maneira: 
 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0,0)
f(x,y,z) = 
� 
lim
ρ→0+
g(ρ,φ,θ) 
 
em que g(ρ,φ,θ) é a função que resulta depois de efectuada a mudança de 
variáveis para coordenadas esféricas. 
 
Exemplo 9.15 Utilize coordenadas esféricas para demonstrar que 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0,0)
 y ln 
� 
x2 + y2 + z2( ) = 0. 
 
 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0,0)
 y ln 
� 
x2 + y2 + z2( ) = ((0) (– ∞)) = 
 
(porque y = ρ sen φ sen θ e x2 + y2 + z2 = ρ2) 
 
= 
� 
lim
ρ→0+
 ρ sen φ sen θ ln 
� 
ρ2( ) = 
 
= 
� 
lim
ρ→0+
ρ ln ρ2( )
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
 
� 
lim
ρ→0+
sen φ sen θ
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
 = 
 
(porque 
� 
lim
ρ→0+
ρ ln ρ2( ) = (0) x (– ∞) = 0, pela regra de L'Hôpital) 
9.2 FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
33 
 
= (0) 
� 
lim
ρ→0+
sen φ sen θ
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
 = 0, 
 
porque 
� 
sen φ sen θ = 
� 
sen φ 
� 
sen θ ≤ 1, ∀φ,θ . 
 
 
 
9.2.3 Continuidade de funções de três variáveis 
 
 
A função de três variáveis f(x,y,z) diz-se contínua no ponto (a,b,c) se o limite da 
função existir, e se for igual ao valor que a função assume no mesmo ponto: 
 
� 
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
f(x,y,z) = f(a,b,c) 
 
Segue-se pois que a função f(x,y,z) terá de estar obrigatoriamente definida não 
só no ponto (a,b,c), mas também numa vizinhançadesse mesmo ponto. 
 
Se o limite no ponto (a,b,c) não existir, ou se f(a,b,c) não existir, ou se existirem 
ambos mas forem diferentes, diremos que a função f(x,y,z) é descontínua no 
ponto (a,b,c). 
 
Os resultados enunciados atrás, relativos à continuidade de uma função de duas 
variáveis num ponto e num domínio compacto, são facilmente generalizáveis a 
funções de três variáveis. 
 
 
Problemas propostos / Secção 9.2 
 
1. Descreva por palavras de forma resumida o domínio natural das seguintes 
funções de três variáveis: 
(a) f(x,y,z) = 
� 
1
z − x2 − y2
 ; 
(b) f(x,y,z) = ln (x y z); 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 34 
(c) f(x,y,z) = 
� 
25 − x2 − y2 − z2 ; 
(d) f(x,y,z) = 
� 
x y z
x + y + z . 
 
2. Obtenha as equações das superfícies de nível para cada uma das funções 
seguintes, e descreva essas superfícies por palavras de forma resumida: 
(a) f(x,y,z) = x2 + y2 – z; 
(b) f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 – 4x – 2y – 6z; 
(c) f(x,y,z) = z2 – x2 – y2; 
(d) f(x,y,z) = z + 
� 
x2 + y2 . 
 
3. Calcule os seguintes limites de funções de três variáveis, ou mostre que 
não existem: 
(a) 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0, 0)
 
� 
sen x2 + y2 + z2( )
x2 + y2 + z2
 ; 
(b) 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0, 0)
 
� 
y z
x2 + y2 + z2
 ; 
(c) 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0, 0)
 
� 
sen x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
 ; 
(d) 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0, 0)
 
� 
x z2
x2 + y2 + z2( )3/2
 ; 
(e) 
� 
lim
(x,y,z)→(1, 2, −1)
 
� 
sen (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2
 . 
 
4. Prove que 
� 
lim
(x,y,z)→(0, 0, 0)
 
� 
x y z
x2 + y2 + z2
 = 0 utilizando coordenadas 
esféricas. 
 
Soluções dos problemas propostos / Secção 9.2 
 
1. (a) Df = {(x,y,z): z > x2 + y2}; 
9.2 FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
35 
(b) Df = {(x,y,z): x y z > 0}; 
 
 
 
(c) Df = {(x,y,z): x2 + y2 + z2 ≤ 25}; 
(d) Df = {(x,y,z): x + y + z ≠ 0}. 
 
2. (a) z + k = x2 + y2, com k ∈ IR : parabolóides circulares com vértice 
 em (0, 0, – k) e eixo de simetria Oz, em que z ≥ – k; 
(b) (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = k + 14, com k ≥ – 14: esferas 
centradas em (2, 1, 3), de raio r = 
� 
k + 14 ; 
 
 
 
(c) x2 + y2 – z2 = – k, com k ∈ IR : hiperbolóides circulares de uma 
folha (k < 0), ou cone circular (k = 0), ou hiperbolóides circulares 
de duas folhas (k > 0), com centro na origem e eixo de simetria Oz; 
CAPÍTULO # 9: INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
________________________________________________________________ 
 36 
(d) x2 + y2 – (z – k)2 = 0 ∧ z ≤ k, com k ∈ IR : folha inferior de cones 
circulares com vértice em (0, 0, k) e eixo de simetria Oz. 
 
 
 
3. (a) 0; 
(b) Não existe limite; 
(c) ∞; 
(d) Não existe limite; 
(e) ∞.