FILTROS ATIVOS I

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FILTROS ATIVOS 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Circuitos importantes em sistemas de comunicação e 
instrumentação; 
Área vasta da eletrônica – conceitos fundamentais; 
Conjunto de modelos de filtros e métodos de projetos; 
 
CARACTERÍSTICAS 
 
Separam sinais desejados de sinais indesejados, bloqueiam 
sinais de interferência, fortalecem sinais de voz e vídeo e 
alteram sinais para outras evoluções. 
 
FILTRO “deixa passar” uma banda de freqüência e rejeita 
outra. 
FILTROS ATIVOS 
FILTROS PASSIVOS: 
Constituidos por resistências, capacitores e indutores; 
Funcionam bem em altas freqüências; 
Baixas Freqüências (cc até 100 kHz), bobinas 
volumosas, não podem ser produzidas em circuitos 
integrados; 
Não apresentam ganho em potência e são 
relativamente difíceis de sintonizar. 
FILTROS ATIVOS: 
Constituidos por resistências, capacitores e ampop’s; 
São compatíveis com as técnicas de fabricação de C.I’s; 
São úteis para freqüências abaixo de 1 MHz, têm ganho 
em potência e são fáceis de sintonizar. 
TRANSMISSÃO DE UM FILTRO 
0 (( )
(i
V j
T j
V j






Função de 
Transferência do Filtro: 
função complexa. 
TRANSMISSÃO – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
)(.)((  jejTjT 
Representação em termos 
de módulo e fase da 
função de transferência. 
Amplitude da transmissão é geralmente expressa em decibéis: 
)(log.20)(  jTG 
Função ganho: 
)(log.20)(  jTA 
Função atenuação: 
TIPOS DE FILTROS E CARACTERÍSTICAS IDEAIS 
FILTRO PASSA BAIXA 
)( jT │T │ = 1, atenuação A = 0 
│T │ = 0, atenuação A = ∞ 
fc = freq. de corte ou de transição 









2
f
TIPOS DE FILTROS E CARACTERÍSTICAS IDEAIS 
)( jT









2
f
FILTRO PASSA ALTAS 
TIPOS DE FILTROS E CARACTERÍSTICAS IDEAIS 
)( jT









2
f
FILTRO PASSA FAIXA OU PASSA BANDA 
│T │ = 1, atenuação A = 0 
│T │ = 0, atenuação A = ∞ 
f1 = freq. de corte inferior 
f2 = freq. de corte superior 
FILTRO PASSA BANDA 
Largura de banda: Lb = f2 – f1 
Frequência de centro (centro da banda): 
 21 fffo
Fator de qualidade de um filtro passa banda: 
20
2110 fffQ 
Q > 1 filtro de banda estreita 
Q < 1 filtro de banda larga 
bL
fQ 0
 21 fffo
TIPOS DE FILTROS E CARACTERÍSTICAS IDEAIS 
)( jT
Mesmas definições que no 
caso do filtro passa banda. 
FILTRO REJEITA FAIXA OU 
REJEITA BANDA 
PASSA TUDO 
)( jT
Útil para produzir um determinado 
defasamento no sinal sem variar a 
amplitude. 
Equalizador de fase. 
PASSA TUDO 
Sistema de Transmissão 
sem Distorção 
ESPECIFICAÇÃO DE UM FILTRO 
Respostas ideais: impossíveis de realizar; 
Especificação feita através de parâmentros que 
determinam transmissão aceitável; 
Aproximar-se do caso ideal: complexidade do circuito 
Transmissão para Filtro passa baixa, especificado por 04 
parâmetros: 
1) Frequência de corte; 
2) Frequência mínima da banda de rejeição; 
3) Máxima variação permitida para atenuação na banda 
passante; 
4) Atenuação mínima na banda de rejeição. 
ESPECIFICAÇÃO DE UM FILTRO PASSA BAIXA 
Para outros filtros, as especificações são baseadas em 
parâmetros idênticos. 
ESPECIFICAÇÃO DE UM FILTRO PASSA BAIXA 
Passa baixas real normalizado com detalhes das 
especificações e gabarito. 
ORDEM DE UM FILTRO: n 
FILTRO PASSIVO: n = No de bobinas (indutores) + No 
capacitores 
 
FILTRO ATIVO: n = No de circuitos RC 
 
Quanto maior a ordem do Filtro, mais complexo ele 
será! 
APROXIMAÇÕES DE FILTROS 
APROXIMAÇÕES NORMALIZADAS 
COMPROMISSO RESPOSTA IDEAL 
VANTAGENS E DESVANTAGENS 
 
 
ESCOLHA: DEPENDE DO QUE SE CONSIDERA 
ACEITÁVEL NA APLICAÇÃO PRETENDIDA. 
APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH 
B(s) polinômio de 
Butterworth 
com amplitude: 
APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH 
(s2+ 0.390s + 1)(s2+ 1.111s + 1)(s2+ 1.663s + 1)(s2+ 1.962s + 1) 
 
(s + 1)(s2+ 0.445s + 1)(s2+ 1.247s + 1)(s2+ 1.802s + 1) 
 
(s2+ 0.518s + 1)(s2+ 1.414s + 1)(s2+ 1.932s + 1) 
 
(s + 1)(s2+ 0.618s + 1)(s2+ 1.618s + 1) 
 
(s2+ 0.765s + 1)(s2+ 1.848s + 1) 
 
(s+1)(s2+ s + 1) 
 
s2+ 1.414s + 1 
 
s +1 
 
Fatores de Polinômios BN(s) Normalizados 
APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH 
Chamada de aproximação plana ótima (banda passante) 
Atenuação B.P. zero, diminuindo para Apas em fc 
f > fc: Declive ≈ 20.n dB/década = 6.n dB/oitava 
n = 6 
Apas = 2,5 dB 
fc = 1 kHz 
APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH 
Exemplo: 
Determine a ordem de um filtro de Botterworth passa baixas 
que proporcione uma atenuação de 40dB para ω / ω0 = 2. 
Para uma atenuação de 40 dB 
N = 7 
EXEMPLO - continuação 
APROXIMAÇÃO DE CHEBYSHEV 
O filtro Chebyshev é uma aproximação só com pólos. A 
função de transferência do filtro é dada por: 
APROXIMAÇÃO DE CHEBYSHEV 
O parâmetro ε relaciona-se com a ondulação da banda 
passante ʏ em decibels e é dado por: 
Ondulações na banda passante, com o mesmo valor pico 
a pico (chamada de “aproximação de igual ondulação”); 
Ordem do filtro: n = 2 x no de ondulações; 
Declive na zona de transição mais acentuado que na 
aproximação Butterworth. 
APROXIMAÇÃO CHEBYSHEV 
APROXIMAÇÃO CHEBYSHEV 
Ondulação(ʏ) de 0,5 dB (ε = 0.3493) 
(s2+ 0.0872s + 1.012)(s2+ 0.2484s + 0.7413)(s2+ 0.3718s + 0.3872)(s2+ 0.4386s + 
0.08805) 
 
(s + 0.2562)( s2+ 0.1014s + 1.015)(s2+ 0.3194s + 0.6657)(s2+ 0.4616s + 0.2539) 
 
( s2+ 0.1554s + 1.024)(s2+ 0.4142s + 0.5475)(s2+ 0.5796s + 0.157) 
 
(s + 0.362)(s2+ 0.224s + 1.036)(s2+ 0.586s + 0.477) 
 
( s2+ 0.351s + 1.064)( s2+ 0.845s + 0.356) 
 
(s + 0.626)(s2+ 0.626s + 1.142) 
 
s2+ 1.425s + 1.516 
 
s + 2.863 
APROXIMAÇÃO CHEBYSHEV 
n = 6 
Apas = 2,5 dB 
fc = 1 kHz 
APROXIMAÇÃO CHEBYSHEV 
Detalhe na banda passante 
EXEMPLO: 
Determine a ordem de um filtro de Chebyshev passa baixas 
com ondulação de 1dB, que proporcione uma atenuação de 
40dB para ω/ ωC =2. Determine a largura de banda do filtro. 
Para uma atenuação de 40 dB, 
|H(jω)/H0|=0,01 
EXEMPLO - CONTINUAÇÃO: 
Como a ordem do filtro deve ser um inteiro, 
então n = 5 
APROXIMAÇÃO DE CHEBYSHEV INVERSA 
Ondulações na banda de rejeição que pode atingir Acor (especificação 
necessária); 
Resposta plana na banda passante; 
Declive na zona de transição acentuado – comparável com a 
aproximação Chebyshev. 
n = 6 
Apas = 2,5 dB 
fc = 1 kHz 
APROXIMAÇÃO ELÍPTICA 
Ondulações na banda passante e de rejeição; 
Maior declive possível na zona de transição. 
n = 6 
Apas = 2,5 dB 
fc = 1 kHz 
APROXIMAÇÃO DE BESSEL 
Banda passante plana; 
Banda de rejeição sem ondulações; 
Declive na zona de transição menor do que um filtro 
Butterworth. 
Dado um conjunto de especificações para 
um filtro, a aproximação de Bessel é a que 
origina um filtro de maior ordem ou maior 
complexidade do circuito quando se 
comparam as diferentes aproximações. 
APROXIMAÇÃO DE BESSEL 
É utilizada para produzir defasamento linear da freqüência, 
comprometendo o declive. 
n = 6; Apas = 2,5 dB; fc = 1 kHz 
RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DE UM 
FILTRO PASSA BAIXA 
n = 10; Apas = 3 dB e fc = 1 kHz: 
BUTTERWORTH CHEBYSHEV 
RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DE UM 
FILTRO PASSA BAIXA 
n = 10; Apas = 3 dB e fc = 1 kHz: 
BESSEL: mais 
utilizada em 
comunicação digital 
DECLIVE DE DIFERENTES APROXIMAÇÕES 
Atenuação para n = 6 
Aproximação fc, dB 2.fc, dB 
Bessel 3 14 
Butterworth 3 36 
Chebyshev 3 63 
Cheby. Inverso 3 63 
Elíptico 3 93 
OUTROS TIPOS DE FILTROS 
Passa Banda: 
• Butterworth 
• Chebyshev 
• Cheby. Inverso 
• Elíptico 
• Bessel 
n = 12; Apas = 3 dB, fo = 1 kHz; Lb = 3 k Hz 
OUTROS TIPOS DE FILTROS 
Rejeita Banda: 
• Butterworth 
• Chebyshev 
• Cheby. Inverso 
• Elíptico 
• Bessel 
n = 12; Apas = 3 dB, fo = 1 kHz; Lb = 3 k Hz 
RESUMO - APROXIMAÇÕES 
TIPO DE 
FILTRO 
BANDA 
PASSANTE 
BANDA DE 
CORTE 
DECLIVE 
TRANSIÇÃO 
RESPOSTA 
DEGRAU 
BUTTER. PLANA NÃO 
ONDULADA 
BOM BOA 
CHEBY. ONDULADA NÃO 
ONDULADA 
MUITO BOM RUIM 
CHEBY. 
INVERSO 
PLANAONDULADA MUITO BOM BOA 
ELÍPTICO ONDULADA ONDULADA O MELHOR RUIM 
BESSEL PLANA NÃO 
ONDULADA 
RUIM A MELHOR