UNIDADE I - aula 4

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Coordenadas e 
Gráficos Polares
Coordenadas Polares
Pra definirmos as coordenadas polares 
para o plano, começamos com a origem, 
chamada de pólo, e um raio inicial.
�
r
O
P (r, �)
Raio inicial
Origem (pólo)
Exemplo
O ponto 2 unidades a partir da Origem 
ao longo do raio tem coordenadas 
polares , . Tem também 
coordenadas , . 
� =
⇥
6
� =
⇥
6r = 2
r = 2 � =
�11⇥
6
Existem também ocasiões em que 
desejamos que r seja negativo. Essa é a 
razão pela qual usamos a distância 
orientada ao definir . P (r, �)
Equação Gráfico Polar
 Círculo de raio centrado em
 Reta passando por formando 
um ângulo com o raio inicial 
Gráficos Polares
r = a | a | O
⇥ = � O
�
Equações relacionando Coordenadas 
Polares e Cartesianas.
x = r cos � y = r sin �
x2 + y2 = 1
y
x
= tan �
Equações Equivalentes
Equação Polar Equação Cartesiana 
r cos � = 2 x = 2
r2 cos � sin � = 4 xy = 4
r2 cos2 � � r2 sin2 � = 1 x2 � y2 = 1
r = 1 + 2r cos � y2 � 3x2 � 4x� 1 = 0
r = 1� cos � x4 + y4 + 2x2y2 + 2x3 + 2xy2 � y2 = 0
Convertendo Equações 
Cartesianas em Polares
Encontre uma equação polar para o 
círculo . Justifique 
graficamente.
x2 + (y � 3)2 = 9
Convertendo Equações 
Polares em Cartesianas 
Encontre uma Equação cartesiana 
equivalente para a equação polar. 
Identifique o gráfico.
(a)
(b)
r2 = 4r cos �
r =
4
2 cos � � sin �
Cálculo de Curvas 
Polares
Coeficiente Angular da 
Curva Polar 
O coeficiente angular de uma curva polar 
é dado por , e não por . Para saber 
por quê, pense no gráfico de f como o gráfico 
das equações paramétricas 
se f é uma função derivável de , x e y também 
são , e , quando , podemos calcular a 
partir da fórmula paramétrica
r = f(�)
r = f(�)
dy
dx
r� =
df
d�
x = r cos � = f(�) cos � y = r sin � = f(�) sin �
�
dx
d�
�= 0 dy
dx
dy
dx
=
dy/d�
dx/d�
=
d
d� (f(�) sin �)
d
d� (f(�) cos �)
=
df
d� sin � + f(�) cos �
df
d� cos � � f(�) sin �
Coeficiente Angular da 
Curva Polar r = f(�)
dy
dx
=
f �(�) sin � + f(�) cos �
f �(�) cos � � f(�) sin �
desde que em . dx
d�
�= 0 (r, �)