UNIDADE I - aula 5

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Área no Plano
dA =
1
2
r2d�
�
Área em coordenadas 
polares
a área da região entre a origem e a curva 
é
r = f(�) � � ⇤ � ⇥
A =
� ⇥
�
1
2
r2d�
Exemplo 
Encontre a área da região do plano limitada pela 
cardióide. 
r = 2(1 + cos �)
A =
1
2
� 2�
0
r2d� =
1
2
� 2�
0
4(1 + cos �)2d�
=
� 2�
0
2(1 + 2 cos � + cos2 �)2d�
=
� 2�
0
(2 + 4 cos � + 2
1 + cos 2�
2
)d�
=
� 2�
0
(3 + 4 cos � + cos 2�)d�
=
�
(3� + 4 sin � +
sin 2�
2
⇥2�
0
= 6⇥
cos2 � =
1 + cos 2�
2
Exemplo
Encontre a área dentro do laço de limaçon
Obs: Limaçon é uma palavra francesa para caracol
r = 2 cos � + 1
� = ⇥
� = 0
� =
2⇥
3
� =
4⇥
3
A = 2
� �
2�/3
1
2
r2d� =
� �
2�/3
r2d�
Área entre curvas 
polares
A área da região 
A =
� ⇥
�
1
2
r22d� �
� ⇥
�
1
2
r21d� =
� ⇥
�
1
2
(r22 � r21)d�
0 � r1(�) � r2(�) � � ⇤ � ⇥
Exemplo
* Encontrando a área entre as curvas
Encontre a área da região que está dentro do círculo de 
raio 1 e fora do cardióide 
A região mostrada. A 
curva externa é 
e a curva interna é 
e
r = 1� cos �
A =
� �/2
��/2
1
2
(r22 � r21)d�
r2 = 1
r1 = 1� cos �
�⇥
2
⇥ � ⇥ ⇥
2
� =
⇥
2
� = �⇥
2
Comprimento da curva
 Podemos obter uma fórmula em coordenadas polares 
para o comprimento de uma curva 
 
parametrizando a curva como: 
A fórmula paramétrica do comprimento dá então:
 
r = f(�) � � ⇤ � ⇥
x = r cos � = f(�) cos �
y = r sin � = f(�) sin �
L =
⇤ ⇥
�
⌅�
dx
d�
⇥2
+
�
dy
d�
⇥2
d�
=
⇤ ⇥
�
⌅
r2 +
�
dr
d�
⇥2
d�
Exemplo
Encontre o comprimento de uma cardióide 
r = 1� cos �
Vetores e movimentos 
no espaço.
z
y
x
*Coordenadas Cartesianas
Regra da mão direita
Os três planos coordenados (x=0, 
y=0, z=0) dividem o espaço em 8 
células chamadas octantes.
1˚ octante: x≥0, y≥0, z≥0
Os demais não existe mineração.
P (x, y, z)
Exemplos
Interpretando equações e desigualdades geometricamente.
a) z≥0 Semi-espaço constituído dos pontos sobre o plano xy e acima dele.
b) x= -3 O plano perpendicular ao eixo x em x= -3. este plano é // ao plano yz e 
está 3 unidades atrás dele.
c) z=0, x≤0, y≥0 Segundo quadrante do plano xy
d) x≥0, y≥0, z≥0 1˚ octante.
e) -1≤y≤1 A faixa entre os planos y= -1 e y= 1 (planos inclusos)
f) y= -2, z= 2 A reta na qual os planos y=-2 e z=2 se cruzam. 
Alternativamente, a reta que passa pelos pontos (0, -2, 2) // ao eixo x
Exemplo 2 Representando 
Equações Graficamente