Al2-2011.2_Matrizes

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ALAp 2 - Matrizes com entradas Reais 
 
 As aplicações da Álgebra linear dependem fundamentalmente de manipulações algébricas com matrizes. 
Sobretudo na implementação computacional de métodos da Álgebra Linear. Este capítulo está destinado a 
familiarizá-lo com as propriedades algébricas das matrizes. Poderíamos trabalhar a teoria de modo a admitir 
que as matrizes fossem formadas com entradas em C (conjunto dos números complexos) ou apenas em Q 
(conjunto dos números racionais), ou até mesmo com quocientes de polinômios. Tudo neste capítulo, 
essencialmente, permanece válido nestes casos. Mas achamos melhor fixar idéias estudando apenas matrizes 
com entradas em . 
 
 
2.1 – Soma de matrizes e multiplicação por números. 
 
mxn denotará o conjunto das Matrizes de números reais com m linhas e n colunas. 
 
Fixaremos, ao longo de todo o livro, como notação que, se A é uma matriz: 
 
 Aij denota a entrada de A na linha i e na coluna j 
 
 Ai denota a i-ésima linha de A ( Ai = (Ai1 Ai2 Ain) ) 
 
 
 
A
(j) 
denota a j-ésima coluna de A ( 
mj
j2
j1
)j(
A
A
A
A
 ) 
 
 Assim como é natural “somar” tabelas e “multiplicá-las” por números reais, definimos a soma de 
matrizes mxn e sua multiplicação por números, entrada por entrada como: 
 
 
 (A + B)ij = Aij + Bij 
( A)ij = Aij 
 
 Por exemplo, 
062
602
430
321
432
321
 e 
864
642
432
321
2
 
 
Vendo matrizes mxn como pontos do 
mn
 
 
Alguns softwares, como, por exemplo, o Fortran armazenam matrizes coluna por coluna. Ou seja, 
como pontos de algum 
mn
, de tal forma que as m primeiras coordenadas correspondem à primeira coluna da 
matriz, as m seguintes correspondem à segunda coluna e assim por diante.. A soma de matrizes mxn e sua 
multiplicação por números reais funciona exatamente da mesma forma que a soma de pontos no 
mn
 e a 
multiplicação de pontos do 
mn
 por números reais. 
 
 2 
 1 2
1 1
 + 3 2
1 0
 = 4 4
0 1
 
1
1
2
1
3
1
2
0
4
0
4
1
 (ordenando as entradas por colunas) 
3 1 2
1 1
 = 3 6
3 3
 3
1
1
2
1
3
3
6
3
 
 
 Neste ponto de vista, podemos ver matrizes de m linhas e n colunas como pontos do 
mn
. Mais 
ainda, podemos identificar ( mxn , +,*) com (
mn 
, +,*). 
 
(Mmxn , +,*) só começa a se diferenciar de (
mn
 , +,*) quando multiplicamos matrizes por vetores. 
Em particular, as propriedades estruturais EV1-EV6 satisfeitas pela soma de vetores bem como pela 
multiplicação de vetores por números reais em V = (
n
,+,*) igualmente valem para a soma de matrizes e a 
multiplicação de matrizes por números. 
 
Exercício da seção 2.1 
 
 
Exercício 2.1 – Verifique que o conjunto das matrizes Mmxn, com a soma e a multiplicação por números 
definidas acima satisfaz as propriedades EV1-EV6 lã da seção 1.4 
 
2.2 - Matrizes particionadas por linhas e por colunas 
 
 Freqüentemente é conveniente olhar para matrizes como particionadas em blocos de matrizes menores. 
Por exemplo: 
 
A = 
8
7
6
5
7654
6543
5432
4321
 pode ser pensada como A = 
WZ
YX
 , onde: 
 
X = 
32
21
 , Y = 
654
543
 
 
Z = 
54
43
 , W = 
876
765
 
 
Desta forma, A fica particionada em dois blocos de matrizes 2x2 e dois blocos 2x3. 
 
 3 
 Duas maneiras de particionar matrizes se destacam, por faciltarem bastante a compreensão de alguns 
resultados. . Podemos ver uma matriz mxn como formada por linhas de vetores do 
n
 ou por colunas de 
vetores do 
m
. Por exemplo, a matriz A = 
654
321
 , pode ser vista como : 
 
A = 
2
1
A
A - Particionada nas matrizes A1 = (1 2 3 ) e A2 = ( 4 5 6 ) . (Vetores-linha) 
 
A = (A
(1)
 A
(2)
 A
(3)
) - Particionada nas matrizes A
(1)
 = 
4
1
, A
(2)
 = 
5
2
 e A
(3)
 = 
6
3
. (Vetores coluna) 
 
 
OBS. 2.2 - Denominamos uma matriz nx1 de vetor-coluna, e uma matriz 1xn de vetor-linha. É natural 
pensá-las como pontos do 
n
 e assim o faremos freqüentemente. Softwares como o Matlab sempre 
identificam vetores do 
n
 como matrizes nx1, ou 1xn, conforme se deseje. Ou seja, ora como vetores-coluna, 
ora como vetores-linha, a depender de como sejam registrados. Também adotaremos esta identificação. 
Conforme veremos adiante, tal identificação pode ajudar muito na manipulação algébrica com vetores e 
matrizes. 
 
2.2.1 - Matrizes particionadas em vetores-coluna 
 
Na seção 1.6, definimos o produto de uma matriz A por um vetor x como uma combinação linear de 
colunas da matriz A, tendo como pesos as coordenadas de x: 
 
 Ax = x1 A
(1)
 + x2 A
(2)
 + ....... + xn A
(n)
 = 
nmnmm
nn
nn
xAxAxA
xAxAxA
xAxAxA
2211
2222121
1212111
................
................
................
 
 
Isto torna bastante natural olhar uma matriz como particionada em n vetores-coluna de Mmx1 m, ou 
seja, como A = (A
(1)
 A
(2)
 .... A
(n)
) 
 
Observe que podemos pensar na soma de duas matrizes, olhando-as particionadas em vetores-colunas. 
Por exemplo, se A = (A
(1)
 A
(2)
 .... A
(n)
) e B = (B
(1)
 B
(2)
 .... B
(n)
) são matrizes mxn, podemos escrever sua 
soma A + B como a matriz particionada nos vetores-coluna A
(i)
 + B
(i)
, para i = 1,2, ,n. Ou seja: 
 
A + B = (A
(1)
 + B
(1)
 A
(2)
 + B
(2) 
 A
(n) 
+ B
(n)
) 
 
 Igualmente, ao multiplicarmos matrizes por números, se é um número real, então 
 
 A = (A
(1)
 A
(2)
 .... A
(n)
) = ( A
(1)
 A
(2)
 .... A
(n)
) 
 4 
 
2.2.2 - Matrizes particionadas em vetores-linha 
 
Exemplo 2.1 Produto de uma matriz 1x3 por um vetor do 
3 
 Considere a matriz A = ( 1 2 4 ) e o vetor x = 
2
3
1
 do 
3 
 Podemos formar o produto Ax, que resulta ser a matriz 1x1 dada por: 
 
 Ax = x1A
(1)
 + x2A
(2)
 + x3 A
(3)
 = (1*1 + 2*3 + 4*2 ) = ( 15 ) 15 . 
 
Exemplo 2.2 - Apresentamos abaixo a tabela de preços, em R$ por kg, das frutas nas prateleiras de um certo 
mercado. 
 
Laranja Maçã Banana Melão Mamão Uva Goiaba Pinha Manga Sapotí 
0,50 2,00 1,30 0,95 0,65 2,20 1,45 3,50 1,80 3,20 
 
Denotando por C = (0.50 2.00 3.20) a matriz 1x10 que representa os preços das frutas e 
escrevendo em x = 
10
2
1
x
x
x
 o vetor das respectivas quantidades, em kg, compradas por João , então Cx = 0.5x1 
+ 2x2 + + 3.2 x10 representa o gasto de João com frutas. 
 
OBS. 2.3: Matrizes 1x1 denotadas como números reais. 
 
Matrizes 1x1 se confundem naturalmente como números reais. Daí serem usualmente denotadas como 
tais. Daquí por diante, sempre que não houver confusão possível denotaremos uma matriz 1x1 sem os 
parênteses, apenas pelo número real que a caracteriza. 
 
OBS. 2.4: Produtos de vetores-linha (matrizes nx1) por vetores do 
n
 
 
Veja que, analogamente ao que aconteceu nos exemplos 2.1 e 2.2, se A = ( 1 2 n) é uma matriz 
1xn, e x = 
n
2
1
x
x
x

 é um vetor do 
n
, o produto Ax se escreve como 
Ax = ( x1 1 + x2 2 + + xn n) = 1x1 + 2x2 + + nxn (2.1) 
 
Observe na fórmula 2.1, que a i-ésima coordenada de Ax se escreve como o produto da i-ésima linha 
de A, pelo vetor x, já que : 
 5 
 Ai1x1 + Ai2 x2 + + Ainxn = (Ai1 Ai2 Ain ) 
n
2
1
x
x
x

 =Aix 
Ou seja, se olhamos para a matriz A como particionada por linhas, o produto matriz-vetor se define pela 
fórmula: 
 Ax = 
nmn22m11m
nn2222121
nn1212111
xAxAxA
................
................
................
xAxAxA
xAxAxA
 = 
xA
......
......
xA
xA
m
2
1
 (2.2) 
 
Na verdade, a forma mais usual de introduzir o produto matriz-vetor nos livros textos de Álgebra 
Linear é pela fórmula acima. Provavelmente por ser mais fácil de memorizar já que, nela, cada coordenada 
de Ax seescreve como o produto de uma linha de A pelo vetor x. Muito embora só venhamos a trabalhar o 
produto interno de vetores no capítulo 5, vale registrar (vide as fórmulas 1.2 e 2.1) que o produto matriz-
vetor da linha Ai pelo vetor x se confunde com o produto interno dos vetores Ai e x, pensados como vetores 
do 
n
. 
 
Esta dualidade na forma de enxergar o produto matriz-vetor, ora pensando cada uma das 
coordenadas de Ax como produto de vetores no 
n
, ora vendo-o como combinação linear das colunas de A é 
extremamente útil na manipulação com matrizes, e será muito explorada ao longo de todo este livro. 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 2.2 
Exerc. 2.2 - Sejam A = 1 0 1
2 1 0
, x = 
0
0
1
 e y = 
1
2
0
. Verifique que Ax = Ay 
Exerc. 2.3 - Considere o sistema de equações lineares 
3 2 5
1
2 4
1 2 3
1 2
1 2 3
x x x
x x
x x x
 
 Escreva a matriz A do sistema, ou seja, tal que Ax = 
4
1
5
 represente o sistema acima. 
 
Exerc. 2.4 - Certo ou errado? Justifique suas respostas: 
 
i - Se A é uma matriz e Ax = 0 então x=0. 
 6 
ii - Se A é uma matriz 3x3 então A 
1
0
0
 = A1 
 
iii - Se A é uma matriz 3x3 então A 
1
1
0
 = A
(1)
 - A
(2)
 
 
iv - Se A é uma matriz 3x3 e Ax=0, para todo x no 
3
, então A = 0. 
 
Exerc. 2.5 - Seja A = 
1 0
2 1
3 1
 
i - Calcule o produto Ax nas duas maneiras indicadas acima, conforme considere a partição de A por colunas 
ou por linhas. 
 
ii - b = 
1
0
1
 é combinação linear das colunas de A? Qual a relação que existe entre b ser combinação linear 
das colunas de A e as soluções do sistema Ax = b ? 
 
 
iv - O vetor c = (1,2) é combinação linear das linhas de A? Qual relação existe entre c ser 
combinação linear das linhas de A e a matriz A
T
 = 1 2 3
0 1 1
 ? 
 
 
2.3 - Produto de Matrizes 
 
Exemplo 2.3 Consideremos ainda uma vez o exemplo 1.2.v, no qual uma empresa fabrica três tipos de 
brinquedos (B1, B2 e B3) e a despesa total, em função das quantidades x1, x2 e x3, discriminada por mão de obra, 
insumos, comercialização e outras despesas, é dada por 
 
D = Cx = 
5.2
5.3
5.8
2
5.2
4
9
3
3
6
12
5
x = 
321
321
321
321
x5,2x5,2x3
x5,3x4x6
x5,8x9x12
x2x3x5
 
 
 Na tabela abaixo apresentamos as quantidades de brinquedos B1, B2 e B3 produzidas, por trimestre no 
ano passado, na referida fábrica (representadas em milhares de unidades): 
 
 1
0
 Trimestre 2
0
 Trimestre 3
0
 Trimestre 4
0
 Trimestre 
B1 (milhares de unidades) 2,5 2,8 2,95 3,2 
B2 5 5.5 6,2 6,5 
 7 
B3 11 11,6 12,4 15,2 
 
 
 Representamos a tabela pela matriz B = 
2,154,126,1111
5,62,65,55
2,395,28,25,2
. 
 
A despesa de cada trimestre , discriminada por item, seria CB
(1)
, CB
(2)
, CB
(3)
 e CB
(4)
 
 
A despesa discriminada no ano será: 
 
Da = CB
(1)
 + CB
(2)
 + CB
(3)
 + CB
(4)
 = 
85,63
4,98
1,226
9,65
35,55
9,85
6,196
15,58
15,51
4,79
7,181
7,53
5,47
5,73
168
5,49
 = 
85,217
2,337
9,772
25,227
 
 
Observe que também poderíamos escrever Da como o produto matriz-vetor: 
 
Da = ( CB
(1)
 CB
(2)
 CB
(3)
 CB
(4)
 ) 
1
1
1
1
 = 
85,63
4,98
1,226
9,65
15,51
4,79
7,181
7,53
15,51
4,79
7,181
7,53
5,47
5,73
168
5,49
 
1
1
1
1
 = 
85,217
2,337
9,772
25,227
 
 
Se no ano seguinte, no primeiro e segundo trimestres a fábrica reduz sua produção em 10% e nos demais 
a mantem, podemos escrever: 
 
Dt = C( 0,9B
(1)
 + 0,9B
(2)
 + B
(3)
 + B
(4)
 ) = C(Bx), onde x = 
1
1
9,0
9,0
 
 Por outro lado, usando a linearidade, também poderíamos escrever Da como: 
 
Da = 0,9 CB
(1)
 + 0,9CB
(2)
 + CB
(3)
 + CB
(4)
 = ( CB
(1)
 CB
(2)
 CB
(3)
 CB
(4)
 ) 
1
1
9,0
9,0
 = Px 
 Ou seja, Da se escreve produto da matriz P = ( CB
(1)
 CB
(2)
 CB
(3)
 CB
(4)
 ) por x = 
1
1
9,0
9,0
 
 
 8 
OBS. 2.6 - O exemplo acima ocorre com frequência. É um caso particular de uma situação na qual temos uma 
função linear do 
p
 no 
n
 que leva x em Bx, e outra, do 
n
 no 
m
 que leva Bx em A(Bx). Neste caso, A é 
mxn, B é nxp e a função que leva x em A(Bx) é a composição das duas. Dado x no 
p
 e usando a linearidade 
do produto matriz-vetor, 
 A(Bx) = A(x1B
(1) 
+
 
x2B
(2) 
+ + xpB
(p) 
) = 
 
 = x1AB
(1) 
+
 
x2AB
(2) 
+ + xpAB
(p) 
 = 
 
 = (AB
(1) 
AB
(2) 
 AB
(p) 
)x = Px 
 
Mas isto significa que A(Bx) é também um produto matriz-vetor Px. Ou seja, o produto da matriz P = 
(AB
(1) 
AB
(2) 
AB
(p)
), por x. Isto motiva a seguinte definição para o produto de matrizes. 
 
Def. 2. 2 Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxp. 
 
 Seu produto é a matriz mxp que, na forma particionada por colunas, se define por: 
 
 A*B = AB =( AB
(1)
 AB
(2)
 ........................ AB
(p)
) 
 
 Observe que, equivalentemente, poderíamos definir AB por: 
 (A*B)ij = (AB)ij = (Ai B
(j)
) = Ai1B1j+ Ai2B2j + + AinBnj - (Produto de Ai por B
(j)
) 
 
Exemplo 2.4: Sejam A = 
2
1
A
A = 
110
101 e B = 
11
20
12
BB )2()1(
 
Pela definição: AB = (AB
(1)
 | AB
(2)
) = 
3
2
1
3 
 
Equivalentemente, olhando entrada por entrada: AB = 
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
BABA
BABA = 
31
23 
 
Observe ainda que podemos pensar no produto AB como particionado por linhas 
 
AB = 
)2(
1
)1(
1
)2(
1
)1(
1
BABA
BABA = 
BA
BA
2
1 = 
31
23 
 
 Neste caso interpretamos A1B = (3 -2) como o produto da matriz A1 que é 1x3, pela matriz B. 
Analogamente A2B = (-1 3). Isto nos dá uma terceira interpretação para o produto matriz-matriz, como 
formado por linhas dadas pelo produto das linhas de A por B. 
 
 O produto AB pode se escrever também como matriz particionada por linhas, na forma: 
 
 9 
 A*B = AB = 
BA
...
...
BA
BA
n
2
1
 , onde o produto vetor-matriz se definiria, analogamente ao produto matriz-vetor, por: 
 
AiB=(AiB
(1) 
 AiB
(2)
 ..... AiB
(p)
 ) 
 
OBS. 2.7 - Observe que, até agora, tanto escrevemos os vetores de (
n
, +, *)
 
 “deitados” como “em pé”. De 
fato, no (
n
, +, *), não há ambiguidade possível pelo fato dos pontos de 
n 
 se escreverem ora “deitados”, ora 
“em pé”. Enquanto não se opera com produto de matrizes, podemos identificar pontos do n com matrizes 
1xn, ou com matrizes nx1, indistintamente. Já enquanto matrizes, ou seja, quando se leva em conta o produto 
de matrizes, uma matriz 1xn é um objeto matemático distinto de uma matriz nx1. Por exemplo, considere as 
matrizes. 
A = ( 1 2 3 ) e B = 
3
2
1
. 
 Observe que: AB = ( 1 2 3 ) 
3
2
1
 = (14 ) e BA = 
3
2
1
(1 2 3) = 
963
642
321
 
 
Ou seja, enquanto pontos do 
3
, A e B não são diferentes, uma vez que se definem pelo fato de terem as 
suas três coordenadas respectivamente idênticas. Por exemplo, enquanto vetores do 
3
, podemos calcular A+B 
= (2 4 6) somando A e B coordenada a coordenada, como pontos do 
3
, apesar de ser muito pouco usual como 
notação somar vetores do 
3, escrevendo um “deitado” e o outro “em pé”. No entanto, enquanto matrizes com 
as quais se pode operar a multiplicação matricial, A é uma matriz 1x3, B é 3x1 e AB dá um resultado 
completamente diferente de BA. Como já frisamos acima, é possível trabalhar com vetores como matrizes 1xn, 
ou como matrizes nx1. No entanto, para evitar ambiguidades, é melhor fixar uma delas como padrão. 
Relembramos que, na prática, a definição de produto matriz-vetor Ax já foi feita tratando x como uma matriz 
nx1. Na verdade, o produto matriz-vetor, automaticamente o constitui como um caso particular do produto 
matriz-matriz AB, no caso onde B é nx1. Nós o introduzimos antes apenas por questões didáticas. Como o 
objetivo central da disciplina é estudar o produto Ax, torna-senatural convencionarmos que os vetores do 
n
 
se confundam com as matrizes nx1, isto é, sejam considerados como vetores-coluna. Em resumo, 
estabelecemos como convenção: 
 
Salvo menção em contrário, faremos a identificação (
n
,+,*)
 
 (Mnx1,+,*). 
 
Deste modo, os vetores do 
n
, passam a ser identificados como matrizes nx1 de números reais, salvo 
menção em contrário. A multiplicação matriz-vetor, por exemplo, é, de fato, uma multiplicação matriz-
matriz, a soma de vetores é a soma de matrizes nx1, etc. Isto nos facilitará enormemente o jogo algébrico 
com vetores e matrizes. 
 
 10 
OBS. 2.8: Analogamente ao que se dá com o produto matriz-vetor Ax, se y = (y1,y2, , yn) é um vetor-linha 
(matriz 1xn) e B é uma matriz nxp então yB é um vetor-linha (matriz 1xp) que se escreve como combinação 
linear das linhas de B, ou seja: 
 
 yB = (y1 y2 .... yn) B = 
 
(y1B11 + y2B21 +......+ynBn1 y1B12 + y2B22 +......+ynBn2 y1B1n + y2B2n +......+ynBnm ) 
 
(y1B11 y1B12 y1B1n) + (y2B21 y2B22 y2B2n) + + (ynBn1 ynBn2 ynBnn) 
 
 = y1B1 + y2B2 +......+ynBn 
Exemplo 2.5 - Sejam y = ( -3 2 -2) e B = 
1 0
1 2
2 0
 . 
Observe que yB = ( -1 4 ) = -3 (1 0) + 2 (-1 2) -2 (-2 0). 
 
Propriedades básicas do produto de matrizes: 
 
Para matrizes A, B e C coerentemente definidas e em : 
 
P1 - Associativa - (AB)C = A(BC) 
 
P2 - Linearidade à direta - 
 
A(B + C) = AB + AC e A( B) = AB 
 
P3 - Linearidade à esquerda - 
 
(A + B)C = AC + BC e ( A)B = (AB) 
 
P4 – A matriz I = , que vale 1 na diagonal e zero fora dela, é também conhecida 
como matriz identidade, por ser tal que: 
 
 AmxnInxn = Amxn e ImxmAmxn = Amxn 
 
DEM - A OBS. 2.6 e a Def. 2.2 já nos garantem que, olhando cada coluna C(j) como um vetor do p: 
 
 (AB)C
(j)
 = A(BC
(j)
) 
 
 Mas então, para todo j = 1, ,p, a j-ésima coluna de (AB)C coincide com a j-ésima coluna de A(BC), 
visto que, da definição de produto de matrizes: 
 
 ((AB)C)
(j)
 = (AB)C
(j)
 e (A(BC))
(j)
 = A(BC)
(j)
 = A(BC
(j)
) 
 
 11 
 Deixamos as demonstrações das propriedades P2, P3 e P4 para o leitor (exerc. 2.8). 
 
 
OBS. 2.9: Pensando na definição 2.1, P2 pode também ser vista como linearidade da função, 
 
 PA : Mnxp Mmxp 
 
que a cada matriz X = Xnxp, lhe associa
 
 o produto AX, para uma dada matriz A = Amxn prefixada. Daí o nome 
linearidade à direita. Analogamente P3 corresponde a uma linearidade à esquerda. Diz-se ainda que o produto 
de matrizes AB é bilinear, como função das matrizes A e B. 
 
 
 
OBS. 2.10 - Armadilhas do produto de matrizes 
 
Algumas das propriedades algébricas com as quais estamos acostumados a lidar ao tratar com números 
reais não valem para matrizes. Isto costuma criar dificuldades na manipulação algébrica das matrizes e 
constituem verdadeiras armadilhas para quem começa a trabalhar com matrizes.. Destacamos duas delas 
como centrais: 
 
i - O produto de duas matrizes pode não comutar. Por exemplo, 
 
 
Se A = 
11
21 e B = 
01
11 então AB = 3 1
2 1
 BA = 0 1
1 2
 
 
ii - Não vale a “lei do corte”: 
 
Lembramos que se a, b e c são números reais, a 0 e ab = ac, então podemos “cortar” a e obter b = c. 
Considere A = 
00
01 , B = 
10
00 e C = 0. 
 
Observe que A 0, AB = AC = 0, mas B C. 
 
Em particular, AB = 0, mas nem A = 0, nem B = 0. Isto significa que podemos ter duas matrizes não-
nulas, cujo produto se anula, coisa que não acontece com números reais. 
 
Exercícios da seção 2.3 
 
Exerc. 2.6 - Considere as matrizes B = 1 1
1 2
 e C = 1 1 0
1 2 1
. 
Verifique que as colunas de BC são combinações lineares das colunas de B. 
 
 
 12 
Exerc. 2.7 - Considere as matrizes B = 1 1
1 2
 e C = 1 1 0
1 2 1
. 
Verifique que as linhas de BC são combinações lineares das linhas de C. 
 
Exerc 2.8 + - Demonstre as propriedades P2, P3 e P4 do produto de matrizes. 
 
Exerc. 2.9 - Considere as matrizes A = 2 1
1 2
, B = 1 2
1 2
. Calcule AB e BA. A comparação de AB com 
BA indica alguma diferença importante nas propriedades algébricas do produto de matrizes com relação ao 
produto de números reais? 
 
Exerc. 2.10 - Considere as matrizes A = 1 0
0 0
 e B = 0 0
1 1
 e calcule AB. O que você observa aí de 
diferente nas propriedades algébricas das matrizes com relação aos números reais? 
 
Exerc. 2.11 - Certo ou errado? Justifique: 
i - Se A e B são matrizes 2x2 então AB BA 
ii - Se A, B e C são matrizes quadradas 3x3 não nulas e AB=AC então B=C. 
iii - Se A e B são 3x3 e AB = 0 então A=0 ou B = 0 
iv - Se A e B são 2x2 e todas as suas entradas são positivas então AB 0 
v - Se A e B são quadradas e nenhuma de suas entradas é nula então AB 0 
vi - Se A é uma matriz quadrada e A
2 
= 0 então A=0 
vii- Se A = BC então toda coluna de A é combinação linear das colunas de B 
viii - Se A=BC então toda linha de A é combinação linear das linhas de B 
ix - Se A=BC então toda linha de A é combinação linear das linhas de C 
 
 
Exerc. 2.12 + - Seja A uma matriz mxn e considere a função LA: Mnxp Mmxp dada por LA(X) = AX. Mostre 
que LA é uma função linear, no sentido que, para cada par de matrizes X e X´, com n linhas e p colunas, e cada 
número real , teremos: 
 
i - LA(X +X´) = LA(X) + LA(X´) 
ii - LA( X) = LA(X) 
 
 
 13 
2.4 Transposição de matrizes 
 
 
 
 A matriz transposta A
T
 se obtem de A definindo: 
 
Exemplo 2.6: Se A = 2 3 1
3 1 5
 então A
T
 = 
2 3
3 1
1 5
 
 
 Ou seja, A
T
 troca as linhas de A pelas suas colunas e vice-versa. 
 
 
 Se A = 
A
A
Am
1
2
...
...
 A
T
 = 
B B B A A Am T T m
T( ) ( ) ( )..... ( ) ( ) ....... ( )1 2 1 2
 
 
 Formalmente, (A
T
)
(i)
 = (Ai)
T
 e (A
T
)i = (A
(i)
)
T
 
 
Exemplo 2.7: Sejam x e y vetores do 
n
, ou seja matrizes nx1. 
 
 Pensando na matriz nx1, x = 
x
xn
1
 , sua transposta é a matriz x
T
 = (x1 x2 ..... xn) 
 Em particular o produto interno x y = x1y1 + + xnyn = x
T
y = y
T
x 
 
 Isto é, podemos escrever o produto interno usual entre x e y como produto das matrizes x
T
 e y. Ou, 
equivalentemente como o produto das matrizes y
T
 e x. 
 
Cuidado para o fato que o produto interno de x e y é comutativo, mas o produto matricial de x
T
 e y 
não. (Vide o exercício 2.19) 
 
Propriedades da transposição - Se A e B são matrizes mxn, C é nxp e 
 
 
i - Linearidade da transposição: 
 
 (A + B)
T
 = A
T
 + B
T
 
 ( A)
T
 = A
T
 
 
ii - (AC)
T
 = C
T
 A
T 
 
iii – (AT)T = A 
 (A
T
 )ij = Aji 
 14 
 
 
DEM: Deixamos como exercício a verificação da linearidade da transposição. 
 
Para verificar ii, basta garantir ((AC)
T
)ij = (C
T
A
T
)ij , para todo i e j. Ou seja: 
(C
T
 A
T
)ij = (C
T
)i (A
T
)
(j) 
 = (C
(i) 
)
T
 (Aj)
T
 
 
= (C1i C2i Cni )
jn
2j
1j
A
A
A
 = 
 
 = C1i Aj1 + C2i Aj2 + + AjnCni = Aj1 C1i + Aj2C2i + + AjnCni = Aj C
(i)
 = (AC)ji =((AC)
T
)ij 
 
Para verificar iii: ((A
T
)
T
)ij = (A
T
)ji = Aij 
 
Exercício da seção 2.4 
 
Exerc. 2.13 - Sejam x = 
1
2
1
 e y = 
2
0
1
. Calcule x
T
y, y
T
x, xy
T
 e yx
T 
 
2.5 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES 
 
 Nossa intenção, nesta seção é apresentar alguns dos tipos especiais de matrizes mais relevantes, com a 
preocupação de evitar uma lista extensa. Começamos definindo matrizes diagonais como as matrizes quadradas 
que têm nulos todos os seus elementos que não estão na diagonal principal. Ou seja, A é diagonal se Aij=0, 
sempre que i j. Emparticular a matriz identidade 3x3, é um exemplo de matriz diagonal : 
 
I x3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
Em particular, assim como dois números tais que reais a e b tais que ab = 1 são ditos inversos um do 
outro, as matrizes identidade desempenham um papel equivalente ao número 1 na definição de matrizes qeu 
admitem inversas. 
 
2.5.1 - Matrizes Invertíveis 
 
Resolvendo a equação ax = b para números reais: 
 
Se ax = b e a 0 então a
-1
(ax) = a
-1 
b implica x = a
-1 
b 
 
Def. 2.3 - Seja A uma matriz nxn 
 
 Diz-se que A é invertível se existir à tal que ÃA = Aà = I 
 
 15 
Dizemos ainda que uma matriz A = Amxn tem uma inversa à esquerda se existir à tal que ÃA = I e que tem uma 
inversa à direita se existir  tal que A = I. Neste contexto uma matriz A só é dita invertível se admitir uma 
mesma matriz  inversa dos dois lados. O que estabeleceremos, ao final do capítulo 3, é que as matrizes que 
não são quadradas podem ter inversas de um dos lados, mas nunca são invertíveis e que se uma matriz 
quadrada admitir inversa de um dos lados, então é invertível. 
 
OBS. 2.11 - Analogamente ao que acontece com ax = b em , para a 0, se A é invertível e à é inversa de A, 
ou seja, ÃA = AÃ = I = Inxn , então Ax = b sempre tem uma única solução, pois: 
 
i - x = Ãb resolve Ax = b, uma vez que, neste caso, Ax = A(Ãb) = (AÃ)b =Ib = b 
ii - Se y também for solução de Ax = b, então y = Iy = (ÃA)y = Ã(Ay) = Ãb. 
 
Exemplo 2.8: Vamos achar uma inversa para a matriz A = 
11
21 . 
Procuramos uma inversa à = 
42
31
xx
xx para a matriz A, tentando obrigar que à seja uma inversa à 
direita de A, isto é, que AÃ =
10
01 . Neste caso, teremos 
 AÃ = 
11
21
42
31
xx
xx = 
4321
4321
xxxx
x2xx2x =
10
01 . 
Isto equivale a dizer que deveremos satisfazer simultaneamente 4 equações, quais sejam: 
 
 
É fácil ver que a primeira e a segunda equações do sistema ao lado admitem como única 
solução x1= -1 e x2 = 1 e que a terceira e a quarta equações admitem x3 = 2 e x4 = -1 
como solução única. Ou seja, resolvendo o sistema acima encontramos 
 
 Ã = 
11
21 
Veja que, não só obtemos AÃ = 
10
01 , mas também que ÃA = 
11
21
11
21 = 
10
01 
 
Exemplo 2.9- A matriz A = 
000
913
121
 não é invertível. 
Veja que, para toda matriz X = X3x3, (AX)3 = A3X = ( 0 0 0 ) ( 0 0 1) 
 
OBS. 2.12 - No exemplo 2.9 vimos que, diferentemente do que acontece com números reais, há matrizes não 
nulas que não admitem inversas. No exemplo 2.8 obtivemos uma inversa à direita à para a matriz A, ou seja, 
tal que Aà = I2x2. Até aqui nada nos garantiria, a priori, que ÃA = Aà = I2x2, ou seja, que à também seja uma 
inversa à esquerda de A. No entanto, no exemplo acima, Ã também resultou uma inversa à esquerda de A. 
1xx
0x2x
0xx
1x2x
43
43
21
21
 
 16 
Ou seja, Ã resultou uma inversa verdadeira de A, no sentido da definição 2.3. Além disto, obtivemos ainda 
que à é a única inversa que A admite. 
 No capítulo 3 desenvolveremos ferramentas que nos possibilitarão, não apenas caracterizar teoricamente 
quando uma matriz é invertível, mas também entender melhor a inversão de matrizes e calcular matrizes 
inversas de forma sistemática. Em particular mostraremos que não foi por coincidência que a matriz à do 
exemplo anterior comutava com A. Ou seja, veremos que se A for uma matriz quadrada e à for uma 
inversa de um dos lados de A, então à comuta com A e resulta, portanto, uma inversa de A no sentido 
da definição 2.3. É relativamente simples ver que a inversa de A, se existir, é única (vide exerc. 2.23 x-xi). Já 
para ver que dada uma matriz quadrada com inversa de um dos lados, para garantir que ela também tenha 
inversa do outro, precisaremos desenvolver a resolução de sistemas de equações lineares (capítulo 3) 
 
No exercício 2.19, pedimos ao leitor para verificar que uma dada matriz 3x2 admite mais de uma 
inversa à esquerda, mas nenhuma inversa à direita. No capítulo 3 mostraremos que as matrizes que não são 
quadradas nunca admitem inversas dos dois lados . 
 
Propriedades da inversão: Considere A e B nxn, invertíveis e número real 0. Então: 
 
I1 - A também é invertível e ( A)
-1
 = 1/ A
-1 
 
I2 - A
-1
 também é invertível e (A
-1
)
-1
 = A 
 
I3 - AB também é invertível e (AB)
-1
 = B
-1 
A
-1 
 
I4 - A
T
 também é invertível e (A
T
)
-1
 = (A
-1
)
T 
 
 
 Deixamos a demonstração das propriedades I1-I4 a cargo do leitor (vide exerc. 2.14+) 
 
Exercícios da subseção 2.5.1 
 
Exerc. 2.14 + - Verifique as propriedades I1, I2, I3 e I4 da inversão de matrizes acima. 
 
Exerc. 2.15 - Dê um exemplo de uma matriz não nula 2x2 e que não tenha inversa. 
 
Exerc. 2.16 - Considere A = 2 0
0 3
 e B = 
2 0 0
0 3 0
0 0 4
 . Calcule A
-1
 e B
-1
 . Como você generalizaria este 
resultado para matrizes quadradas de ordem n.? 
 
Exerc. 2.17 Certo ou errado? Justifique: 
 
i - A matriz identidade nxn é invertível. 
ii - A matriz 0 0 0
0 0
, é invertível. 
 17 
iii +- Se x 0 e Ax = 0 então A não admite inversa à esquerda. 
iv +- Se x y e Ax=Ay então A não admite inversa à esquerda 
v - Se A é uma matriz 1x3 então A não tem inversa à esquerda 
vi - Se A é uma matriz 1x3, não nula, então A admite uma inversa à direita 
vii - Nenhuma matriz admite duas inversas à direita distintas. 
viii +- Se A tem uma linha toda nula então A não é invertível 
ix - Se A tem todos os seus elementos positivos então A é invertível. 
x + – Se uma matriz quadrada tiver uma inversa à esquerda à e outra à direita Â, então  =Ã. 
 (Sugestão: Observe que se ÃA=AÂ=I Ã =ÃI = Ã(AÂ) = (ÃA)Â =IÂ=Â 
xi + - Uma matriz invertível não pode ter duas inversas distintas entre si. 
 
Exerc. 2.18 – Sejam A = 
120
101
 e b = 
0
1
. 
I - Ache duas inversas à direita distintas de A, digamos à  ( tais que Aà = I2x2 e A = I2x2). 
ii - Mostre que A não admite inversa à esquerda 
iii – Verifique que x = Âb e y = Ãb são soluções de Ax = b. 
iv – Mostre que Ax = b tem, pelo menos duas soluções distintas. 
 
Exerc. 2.19 – Sejam A =
11
20
01
, b =
0
2
1
 e c = 
0
0
1
. 
i- Ache duas inversas à esquerda distintas de A, digamos à  (tais que ÃA = I2x2 e ÂA = I2x2). 
ii - Mostre que A não admite inversa à direita 
iii – Verifique que y = Âb = Ãb e que y é uma solução de Ax = b. 
iv – Verifique que Ãc e Âc não são soluções de Ax = c 
v - Mostre que Ax = c não tem solução. 
 
2.5.2 - Matrizes simétricas e matrizes ortogonais 
 
 Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = A
T
. Vale dizer, caso Aij = Aji, sempre. Ou seja, 
se for simétrica em relação à sua diagonal principal. 
 
Exemplo 2.10 - A = 
011
102
121
 e B = 
101
012
121
 são matrizes simétricas 
 
 Uma matriz A é dita ortogonal, caso seja quadrada e A
T
A =AA
T
 = I. 
 
Exemplo 2.11 São matrizes ortogonais: 
 
i - A matriz identidade Inxn 
 
 18 
ii - Toda matriz obtida da matriz identidade permutando-se suas linhas. (matrizes de permutação) 
 
 Se A = 
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
 A
T
 = 
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
 A
T
A = AA
T
 = I 
 
iii - R 
 = 
cossin
sincos
 
(Vide exerc. 2.28)
 
 
 Matrizes simétricas e matrizes ortogonais surgem naturalmente em muitas aplicações. As veremos com 
mais detalhes nos capítulos 5, 8 e 9. Nos exercícios a seguir situamos algumas de suas propriedades 
elementares. 
 
Exercícios da subseção 2.5.2 
 
Exerc. 2.20 - Verifique que AB não é simétrica, para as matrizes A e B do exemplo 2.10 
 
Exerc. 2.21- Seja f:
2
 , dada por f(x,y) = x
2
 + 2xy
2
 + y
3
. 
2
f(x,y) = 
),(),(
),(),(
2
22
2
2
2
yx
y
f
yx
yx
f
yx
xy
f
yx
x
f
 é denominadade matriz Hessiana da f em (x,y) . 
Calcule 
2
f(x,y) e verifique que é uma matriz simétrica para todo (x,y). 
 
Exerc. 2.22 - Verifique que R
 
 = cos sen
sen cos
 é uma matriz ortogonal para todo 
 
Exerc. 2.23 - Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Mostre que se A e B são matrizes simétricas, então A + B também é uma matriz simétrica. 
 
ii - Se A é uma matriz simétrica e B não é então A+B não é uma matriz simétrica. 
iii - Se A e B são matrizes simétricas AB também é simétrica. 
iv - Para toda matriz A, A
T
A é simétrica 
v - A matriz identidade nxn é ortogonal, para todo número natural n. 
vi - Se A é uma matriz ortogonal então suas colunas são ortogonais, isto é, A
(i)
A
(j)
 = 0, se i j. 
vii - Uma matriz obtida da matriz identidade trocando de posição duas de suas linhas é ortogonal. 
viii - Se A e B são matrizes ortogonais então A + B também é uma matriz ortogonal 
ix - Se A e B são matrizes ortogonais então AB também é uma matriz ortogonal 
 19 
2.6 Aplicações (Opcional) 
 
 Nesta seção veremos alguns exemplos típicos de como se pode modelar problemas reais com matrizes, 
de forma a ilustrar um pouco o uso de operações algébricas com elas. Vamos tratar quatro problemas nos 
exemplos a seguir. Os tres primeiros serão modelados usando grafos. Grosso modo, um grafo pode ser 
representado por um conjunto de pontos do plano (vértices ou nós do grafo) e de ligações entre pares de 
vértices (arestas ou ramos do grafo). A quantidade de fenômenos que podem ser modelados por grafos é 
enorme. Um exemplo natural de grafo é o das rotas de uma companhia aérea. Seus vértices são as cidades nas 
quais pousam suas aeronaves, e suas arestas são os trechos voados entre uma decolagem e o pouso 
subsequente. Abaixo apresentamos um mapa das rotas de uma companhia aérea operando no Brasil, ligando 18 
capitais. Para simplificar, supomos que todos os trechos percorridos num sentido, também são percorridos no 
sentido inverso. 
 
Exemplo 2.12 Grafo de rotas aéreas 
Be
Ma S.L.
For
Nat
J.P
Rec
Mac
S.S
Vit
R.J.
S.P.
Cur
Flo
P.A.
Bra
B.H.
Cui
 20 
Uma matriz naturalmente associada ao grafo acima é a matriz de adjacências A. Cada cidade é associada a 
uma coluna e a uma linha de mesmo índice. A entrada Aij vale 1 se alguma aeronave decolando na cidade i, 
pousa na cidade j e zero, se isto não ocorre. Em particular, neste nosso caso A resulta ser uma matriz 
simétrica, já que estamos supondo que se uma aeronave decola em i e pousa em j, há alguma que faz o 
percurso inverso. 
 
 
 P.A. Flo. Cur. S.P. R.J. Vit. S.S. Mac Rec J.P. Nat. For. S.L. Bel. Man Bra Cui B.H. 
 
 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 P. Al. 1 
 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Flor. 2 
 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 Curit. 3 
 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 S.P. 4 
 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 R.J. 5 
 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Vit. 6 
 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 S.Salv. 7 
 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Maceió 8 
A= 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 Recife 9 
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 J. Pes. 10 
 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 Natal 11 
 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 Fort. 12 
 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 S. Luís 13 
 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 Belém 14 
 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 Manaus 15 
 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 Bras. 16 
 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Cuiabá 17 
 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 B. Hor. 18 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
 
 Observamos que as entradas de A2 representam a diferentes maneiras de se ir de uma cidade a uma outra 
voando com um pouso intermediário, já que: 
 
 (A
2
)ij = Ai1A1j + Ai2A2j + + Ai18A18j 
 
e cada um dos 18 termos AikAkj é 1 se alguma aeronave decola na cidade i para pousar em k, e outra faz o 
mesmo entre as cidades k e j e zero em caso contrário. Desta forma, a matriz A
2
 registrará a quantidade dos 
diferentes percursos possíveis para se viajar entre duas cidades, com um pouso intermediário. Registramos a 
seguir a matriz A
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 P.A. Flo Cur. S.P. R.J. Vit. S.S. Mac Rec J.P. Nat. For. S.L. Bel. Man Bra Cui B.H. 
 
 9 4 7 8 8 4 7 3 6 2 7 6 5 6 5 8 2 7 P. Al. 1 
 4 5 4 4 4 2 5 1 5 0 3 4 2 5 3 4 2 4 Flor. 2 
 7 4 9 8 8 5 7 3 6 1 6 8 4 5 5 8 2 5 Curit. 3 
 8 4 8 15 12 4 10 3 11 3 6 9 4 9 4 13 1 7 S.P. 4 
 8 4 8 12 14 4 11 2 11 3 6 8 5 8 4 11 2 7 R.J. 5 
 4 2 5 4 4 5 4 3 4 1 4 5 2 3 3 5 1 4 Vit. 6 
 7 5 7 10 11 4 12 2 10 3 6 8 5 7 5 9 2 7 S.Salv. 7 
 3 1 3 3 2 3 2 3 2 1 3 3 1 2 2 3 0 3 Maceió 8 
A
2 
= 6 5 6 11 11 4 10 2 14 2 6 9 3 10 3 10 2 7 Recife 9 
 2 0 1 3 3 1 3 1 2 3 2 2 2 2 1 3 0 2 J. Pes. 10 
 7 3 6 6 6 4 6 3 6 2 8 7 5 5 5 6 2 6 Natal 11 
 6 4 8 9 8 5 8 3 9 2 7 11 4 7 5 9 2 5 Fort. 12 
 5 2 4 4 5 2 5 1 3 2 5 4 5 3 4 4 2 4 S. Luís 13 
 6 5 5 9 8 3 7 2 10 2 5 7 3 10 3 9 2 6 Belém 14 
 5 3 5 4 4 3 5 2 3 1 5 5 4 3 5 4 2 4 Manaus 15 
 8 4 8 13 11 5 9 3 10 3 6 9 4 9 4 14 1 6 Bras. 16 
 2 2 2 1 2 1 2 0 2 0 2 2 2 2 2 1 2 2 Cuiabá 17 
 7 4 5 7 7 4 7 3 7 2 6 5 4 6 4 6 2 8 B. Hor. 18 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
 
 
 Podemos observar que só há zeros nas entradas correspondentes às viagens entre João Pessoa e 
Florianópolis, João Pessoa e Cuiabá, Maceió e Cuiabá. Para viajar entre estas cidades são necessárias pelo 
menos duas paradas. Pela mesma razão apontada acima, as entradas de A
3
 indicarão a quantidade de 
possibilidades para ir de uma cidade a outra, fazendo dois pousos intermediários. Se calculamos (A
3
)ij, 
correspondentemente a estas viagens: 
 
(A
3
)2 10 =12 (12 maneiras de ir de Florianópolis a João Pessoa com dois pousos intermediários). 
(A
3
)17 10 = 6 (6 maneiras de ir de Cuiabá a João Pessoa com dois pousos intermediários). 
(A
3
)17 8 = 6 (6 maneiras de ir de Florianópolis a João Pessoa com dois pousos intermediários). 
 22 
Exemplo 2.13 Tratamento matricial de um circuito elétrico 
 
 Consideremos o circuito elétrico formado por 8 resistências e uma bateria, dispostos como abaixo. A 
cada fio atribui-se uma corrente com uma orientação hipotética. A convenção que se faz na teoria de circuitos 
é que se a orientação da corrente física coincidir com a hipotética, seu sinal será positivo. Caso contrário, será 
negativo. 
 
 
 
O “esqueleto geométrico” do circuito é formado pelos seus ramos e nós. A cada um dos ramos 
atribuimos, uma orientação definida pela orientação dada à corrente no ramo. Este “esqueleto geométrico” é 
denominado grafo orientado do circuito. Os ramos R1, R2, ....., R8 correspondem aos fios do circuito 
correspondem por onde a corrente circula, e os nós aos pontos de encontro de dois ou mais fios. Podemos 
representá-lo por: 
 23 
 Ao grafo orientado está naturalmente associada uma matriz de incidência M, definida por: 
 
Cada linha Mi corresponde a um nó do grafo. 
 
Cada coluna M
(j)
 corresponde a um ramo do grafo. 
 
 
 
 
 
 
 M = 
11110000
10001001
01001100
00100110
00010011
 
 
. 
Seja I =(i1, i2 ,....,i6,i7,i8) 
T
 o vetor das correntes nos ramos. Observe que, o fato da soma algébrica das 
correntes em cada nó se anular, do ponto de vista matricial, corresponde a: 
 
1
a
 Lei de Kirchhoff: 
 
 
 
 Considere p1 = 0, e seja p = 
5
2
1
p
......
......
p
p
 o vetor dos potenciais elétricos em cada nó. 
 
Observe ainda que E = M
T
p = 
11000
10100
10010
10001
01100
00110
00011
01001
5
2
1
p
......
......
p
p
 = 
45
21
14
pp
......
......
pp
pp
 
 
representa as diferenças de potencial em cada ramo. Considere ainda: 
 
Ri - Resistência em cada ramo. 
 
R - Matriz diagonal. com os Rina diagonal. 
 
Mij = +1 - indica que a corrente no ramo j começa no nó i. 
Mij = -1 - indica que corrente no ramo j termina no nó i. 
Mij = 0 - indica que o ramo j não encontra o nó i. 
MI = 0 
 24 
e = (e1, e2, ......., e8)
T
 - Fontes de tensão em cada um dos ramos. 
 
 No circuito acima e = (e1 ,0,0,0,0,0,0,0)
T
 . 
 
Observe que, do ponto de vista matricial, a segunda lei de Kirchhoff se escreve: 
 
E = M
T 
p = RI - e 
 
Como R é uma matriz diagonal, sem zeros na diagonal, é fácil ver que ela é invertível (vide exerc. 
2..22). Portanto, 
 
I = R
-1
 (M
T 
p + e) 
 
Juntando com a primeira lei MI = 0, obtemos: 
 
 MI = MR
-1
 (M
T 
p + e) = 0 
 
OBS. 2.13: Veja que a equação acima é do tipo Ap = b, onde A = MR
-1
M
T
 e b = - M R
-1
 e 
 
Observe que isto 
nos dá um sistema de 5 equações lineares nas 5 incógnitas representadas pelos potenciais nos nós. No próximo 
capítulo veremos como se resolve um tal sistema. Podemos pensar a bateria como um agente externo atuando 
sobre um circuito formado por resistências. A equação final a qual chegamos nos diz que a resposta do circuito 
elpode ser obtida calculando o potencial em cada nó com um sistema de equações lineares cuja matriz é M R
-1
 
M
T
. A matriz do circuito, M R
-1
 M
T
, se escreve como o produto de três matrizes. A 1
a 
e a 3
a 
 são 
transpostas uma da outra e representam a geometria do problema. A do meio carrega a lei física. O 2
o
 membro 
da equação (- M R
-1
 e), representa o agente externo aplicado ao sistema, no caso as fontes de tensão aplicadas 
sobre um circuito formado por resistores. Esta forma aparece com frequência em diferentes aplicações. No 
próximo exemplo, analisaremos um sistema mecânico formado por hastes articuladas e obteremos um 
equacionamento inteiramente análogo ao do exemplo acima. 
 
M R
-1
 M
T
 p = - M R
-1
 e 
 25 
Exemplo 2.14 - Uma estrutura de hastes articuladas com rótulas 33 
 
Considere a estrutura plana abaixo, formada com hastes conectadas por rótulas em suas extremidades. 
Isto significa que cada haste pode girar na sua extremidade à esquerda, porém mantendo-se presa à parede fixa 
e articuladas numa mesma rótula na outra extremidade. Além disto supomos que cada haste sofre uma pequena 
deformação quando tensionada, proporcional à tensão sobre ela exercida. Estruturas com rótulas ligadas por 
hastes deste tipo são mecanismos muito usados em construção civil, sobretudo em edificações submetidas a 
vibrações, pois têm flexibilidade para pequenos deslocamentos. Uma força f = (f1, f2)
T
, atuando em P, provoca 
uma tensão nas hastes que sofrerão leve deformação, produzindo um deslocamento com relação à posição de 
equilíbrio. Para equacionar tal deslocamento d=(d1,d2)
T
, sejam t =(t1,t2,t3)
T
 o vetor das tensões nas hastes e 1, 
2 e 3 os ângulos que cada uma das hastes fazem com a parede, conforme a figura abaixo. Temos que: 
 
 
 Para ler este exemplo é aconselhável que você tenha alguma familiaridade com propriedades geométricas do produto interno em 2 
A
3
A
2
A
1
E
P
t
3
d f
1
f
2
t
2
t
1
A
3
A
2
A
1
E
P
t
3
d f
1
f
2
t
2
t
1
 26 
A força f se equaciona com as tensões nas hastes na forma: 
 
f1 = t1 sen 1 + t2 sen 2 + t3 sen 3 
 f2 = - t1 cos 1 - t2 cos 2 - t3 cos 3 
 
 Do ponto de vista matricial, podemos escrever: 
 
f = Mt, onde M = 
321
321
coscoscos
sensensen 
 
Para relacionar o deslocamento d com o alongamento ei, considere o ponto O como o ponto E do 
sistema sem força externa atuando (caso f = 0), e considere o triângulo formado por Ai, E e P. Considerando 
que o alongamento ei de cada haste é muito menor que o comprimento da haste, podemos considerar que cada 
alongamento ei vale aproximadamente a projeção ortogonal de d na direção da haste correspondente e que isto 
significa aceitar (vide exercício 5.***): 
 ei d1 sen i – d2 cos i = (sen i –cos i ) 
2
1
d
d = (M
T
)i d 
Do ponto de vista matricial, consideraremos e = 
3
2
1
e
e
e
 = M
T
d. 
 Por sua vez, cada alongamento ei é proporcional à tensão ti, ou seja, ei =kiti, para cada i = 1,2 ,3. Do 
pondo de vista matricial, podemos considerar a matriz diagonal K = 
3
2
1
k00
0k0
00k
 
 Resulta e = K t e t = K
-1
e, onde K
-1
 = 
3
2
1
k
100
0
k
10
00
k
1
 
 Levando e = M
T
d em t = K
-1
e e o resultado em f = Mt, chegamos a: 
 
 f = Mt = MK
-1
e = (MK
-1
M
T
)d 
 
 Vejam que , neste caso, a força f agindo sobre o sistema provoca como resposta um deslocamento d, e 
que d é a solução de um sistema de 2 equações lineares, com duas incógnitas. A matriz do sistema MK
-1
M
T
 é o 
produto de três matrizes. Analogamente ao que aconteceu com o circuito elétrico, a primeira e a terceira são 
transpostas entre si e carregam informações sobre a geometria do problema, enquanto que a matriz do meio 
carrega as informações físicas. 
 
 
 27 
Exemplo 2.15 – Modelo Entrada/Saída de W. Leontieff 
 
 Wassily Leontieff, que ganhou o prêmio Nobel de Economia em 1973, formulou um modelo para 
relacionar o que cada setor de uma dada economia produz com aquilo que é consumido pela sociedade como 
um todo. Em linhas gerais a economia é pensada como constituída de uma parte produtiva, subdividida em 
diversos setores que produzem bens e serviços e noutra que apenas consome. Por exemplo, imaginemos uma 
economia cuja produção esteja subdividida em três setores: primário (agricultura, pecuária e extração mineral), 
secundário (indústria) e terciário (serviços). Observe que para cada bilhão de reais produzido para consumo 
final pelo setor primário, ele vai precisar de consumir um pouco de cada um dos três setores produtivos. Por 
exemplo, ao produzir soja, o setor primário estará demandando sementes, adubo e alimentos do setor primário, 
tratores e defensivos agrícolas do setor secundário, e movimentando toda uma rede de armazenamento e 
comercialização no setor terciário da economia. Em linhas gerais, o modelo Entrada/Saída de Leontieff 
pressupõe que: 
 
 Possamos relacionar quanto o setor j gasta com o setor i, para cada bilhão de reais que produz num dado 
ano. Por exemplo: 
 
 Primário Secundário Terciário 
Primário 0,20 0,20 0,25 
Secundário 0,20 0,40 0,40 
Terciário 0,40 0,30 0,25 
 
Consideremos a matriz associada C = 
25,030,040,0
40,040,020,0
25,020,020,0
. Cada coluna C
(j)
 representa o quanto o setor 
j gasta, em bilhões de reais, com insumos dele mesmo e dos demais setores, para cada bilhão de reais 
que produz. 
 
 Denotando por x a produção total nos tres setores e por d a demanda final, existe um equilíbrio entre o 
que é produzido ( x ), a demanda intermediária ( Cx ) e o consumo do setor não produtivo ( d ). Ou 
seja, tomando por base uma medida em reais, pressupõe-se que, para cada setor, xi = Ci x + di (a 
produção xi iguala, em reais, a soma da demanda indermediária Cix com a final di ) . Por exemplo, se 
num certo ano, o setor primário produziu 300 bilhões de reais, o secundário 500 e o terciário 400, então 
o consumo da sociedade com o setor primário terá sido, em bilhões de reais: 
 
d1 = x1 - C1x = 300 - (0,20 0,20 0,25) 
400
500
300
 = 40 
 
 Do ponto de vista matricial, temos a equação da produção 
 
 x = Cx + d 
 
Observe que, denotando a matriz identidade 3x3 por I, temos que x = Ix e podemos reescrever a equação 
da produção como x - Cx = Ix – Cx = d. Ou seja, na forma: 
 28 
 
 (I – C)x = d 
 
 
No próximo capítulo desenvolveremos técnicas para inverter matrizes. Verifique diretamente que, neste 
caso: 
 
 I – C = 
100
010
001
25,030,040,0
40,040,030,0
25,020,020,0
= 
75,030,040,0
40,060,030,0
25,020,080,0(I – C)-1 = 1/209 
840640660
7901000770
460450660
 
 
Observe que, neste caso, podemos determinar um valor para a produção x em função da demanda final 
d, já que: 
 x = (I – C)-1 (I – C)x = (I – C)-1d = 1/209 
840640660
7901000770
460450660
d 
 
Observe que não apenas obtemos I - C invertível neste caso, mas também com coeficientes não-
negativos. Felizmente é possível mostrar que isto sempre acontecerá, desde que a soma das entradas em cada 
coluna de C seja menor que 1. (Vide exercícios 2.45 e 2.46) Observe que supor a soma das entradas em cada 
coluna de C menor que 1, significa supor que o gasto com insumos em cada setor produtivo é inferior ao valor 
do que nele é produzido, o que é bastante razoável de se esperar. 
 
Exercícios da seção 2.6 (opcionais) 
 
Exerc. 2.24 - Considere um conjunto de seis cidades, interligadas entre si por linhas de ônibus cujo grafo está 
abaixo. A seta indica a direção na qual há ônibus trafegando entre as respectivas cidades. Seta com dois 
sentidos indica que há ônibus trafegando nos dois sentidos. 
 
i - Escreva a matriz de adjacências A, considerando que :Aij = 1 significa a 
existência de uma linha indo de i para j, e Aji = 0 significa que não há 
linha de ônibus trafegando no sentido inverso. 
ii – Calcule A2 = A*A e verifique que (A2)ij representa, para cada (i,j), o 
número de maneiras de ir de uma cidade para outra com uma parada 
intermediária 
 
iii – Calcule A3 e verifique que (A3)ij representa, para cada (i,j), o número de maneiras de ir de uma cidade 
para outra com duas paradas intermediárias. 
 
 
 C1 C2 
 
 
 C3 C4 
 
C5 C6 
 29 
Exerc. 2.25 - Considere o grafo abaixo, formado por 5 nós e 8 ramos: 
 
i – Forme a matriz de adjacências AG. Ou seja, as entradas de AG 
valem 1 caso o vértice i esteja ligado ao vértice j por um ramo. 
Ii – Forme a matriz de incidência IG. Ou seja, na j-ésima coluna de 
IG todas as entradas valem zero, exceto aquelas correspondentes 
aos nós ligados pelo ramo Rj. 
Iii - Calcule o produto IGIG
T
. 
Iv - Observe que fora da diagonal principal, as entradas de IGIG
T
 
são as mesmas que as entradas de AG. Terá sido uma 
coincidência, ou você tem o argumento pelo qual isto seria 
esperado? 
 
 
Exerc. 2.26 - Considere uma força F = (500 N, 500 N) atuando no sistema de rótulas do exemplo 2.14. Os 
comprimentos das hastes são de 2 m, 1 m e 2 m. A haste menor faz, quando F = 0, um ângulo de 90
0
 com a 
parede e as constantes de deformação das hastes valem 10
-7 
 m/N. Considerando desprezíveis as variações nos 
ângulos após a aplicação da força F, determine o deslocamento provocado pela aplicação de F. 
 
 
Exerc. 2.27 Considere o circuito formado por 6 resistências e uma bateria dispostas na forma: 
 
 
 
 N1 R1 N2 
 
 
 R5 R6 
R4 R2 
 N5 
 R8 R7 
 
 N4 R3 N3 
R
3
N
2
e R
6
R
4
R
2
R
5
R
1
N
3
N
4
 
I - Atribua orientação às correntes nos ramos 
dos circuitos e, analogamente ao exemplo 
2.12, calcule a matriz de incidência M 
correspondente. 
 
ii - Atribua a cada resistência o valor de 5 
k e à bateria o valor e. Escreva as 
equações de Kirchoff matriciais, Mi = 0, bem 
como a equação M
T
p = Ri - e para os 
potenciais nos nós. 
 
iii – Escreva um sistema de equações 
lineares que relacione o vetor de correntes i 
ao valor da tensão na bateria. 
 30 
Exercícios suplementares 
 
Exerc. 2.28- Dada função linear T:
3
 
3
, tal que: 
 
 T(
1
1
1
)
0
0
1
, T(
2
1
1
)
0
1
0
 e T(
4
1
0
)
1
0
0
 , 
 
Ache uma matriz A tal que T(x) = Ax para todo x no 
3 
 
Exerc 2.29 - Sem usar determinantes, verifique que A= 1 2
2 4
 não é invertível. 
 
Exerc 2.30 - Sem usar determinantes, mostre que se a segunda coluna de uma matriz A é múltipla da primeira 
então A não admite inversa à esquerda. (Sugestão: verifique neste caso que A
1
0
0

 = A
0
0
0
k

 , para algum 
número real k e use o exerc. 2.23.iv). 
 
Exerc 2.31 - Sem usar determinantes, mostre que se a última coluna de uma matriz é uma combinação linear 
das demais, então A não admite inversa à esquerda. 
 
Exerc. 2.32 - Seja A = 
1 0 2
0 1 2
1 1 2
. Verifique que A
T
A AA
T
, mas que ambas as matrizes AA
T
 e A
T
A são 
simétricas. 
 
Exerc. 2.33- Certo ou errado? Justifique: 
 
i - Se A e B são matrizes tais que A=B
2
 então A e B são matrizes quadradas 
 
ii - Se A e B são matrizes nxn invertíveis então (A+B) também é invertível. 
 
iii - Se A é nxn e invertível, então A + I também é invertível 
 
iv - Se uma matriz quadrada é invertível então sua transposta também é. 
 
v - Se a segunda linha de uma matriz é múltipla da primeira então não admite inversa à direita. 
 
vi - Se a segunda linha de uma matriz é múltipla da primeira então não admite inversa à esquerda. 
 
vii - Se uma matriz 3x3 contiver algum vetor-linha contido no plano formado pelos demais, então ela não é 
invertível. 
 
viii - Se A=BC, então toda solução do sistema de equações Cx=0 também satisfaz Ax=0. 
 
 31 
ix - Se A, B e C são matrizes 3x3, A = BC e B é invertível então Ax=(1,0,0)
T
 e Cx=(1,0,0)
T
 têm exatamente as 
mesmas soluções. 
 
x - Se A = BC e B é uma matriz invertível então Ax=0 e Cx=0 têm exatamente as mesmas soluções. 
 
xi - Se x e y 
3
 então x
T
y
 
= xy
T
 
xii - Se A é uma matriz simétrica então A
T
A
 
= AA
T 
xiii – Se A admite uma inversa à direita, então Ax = b sempre tem solução. 
xiv - Se A admite uma inversa à esquerda, então Ax = b sempre tem solução. 
xv - Se A tem uma inversa à direita então Ax = b nunca tem duas soluções distintas. 
xvi - Se A admite uma inversa à esquerda então Ax = b nunca tem duas soluções distintas. 
 
Exerc. 2.34 - Sejam A = 3 2 1
1 2 1
 e B = 
1 2 1 2
1 4 0
0 3 2
/ /
/
/
 . 
 
i - Calcule AB e BA. 
ii - Conclua que se x e y são vetores do 
2 
 e Bx = By então x=y 
iii - Encontre vetores do 
3
 , x y e tais que Ax = Ay 
iv - Conclua que A tem inversa à direita, mas não tem inversa à esquerda. (Sugestão: Use o exerc. 2.23.iv) 
 
Exerc. 2.35 - Seja A = 1 2
0 1
1 1
 . 
i - Observe que B = 0 1 1
1 2 1
 e C = 1 2 0
0 1 0
 são inversas à esquerda de A 
ii - Verifique que Ax = (0,1,1)
T
 não tem solução. 
iii - Conclua de ii que A não pode ter inversa à direita. 
 
Exerc. 2.36 - Seja A = 1 1 0 0 1
0 0 2 3 2
 . 
Com a 1
a
 e a 3
a
 colunas de A forme a matriz AB e com as demais forme AL, ou seja, considere as 
matrizes AB = (A
(1)
 A
(3)
)
 
= 1 0
0 2
 e AL = 1 0 1
0 3 2
. 
i - Verifique que, para todo x 
5
, podemos escrever Ax = AB x
x
1
3
+ AL
x
x
x
2
4
5
 
ii - Use o item anterior para descrever todas as soluções da equação Ax = 1
0
 em função de x2 , x4 e x5. 
 
Exerc. 2.37 - Escolha à vontade 8 matrizes 2x2 A , A’, B, B’ ,C, C’, D e D’. Considere duas matrizes E e 
E’, 4x4, e particionadas em 4 blocos de matrizes 2x2 pelas matrizes que você criou. Ou seja considere as 
 32 
matrizes 4x4 particionadas como 
E
A B
C D
 e 
E
A B
C D
. Calcule E*E’ e verifique diretamente que 
E*E’= AA BC AB BD
CA DC CB DD
. 
 
Exerc. 2.38 - Sejam A e B matrizes 2nx2n particionadas em blocos nxn, na forma 
 
A = A A
A A
1 2
3 4
 e B = B B
B B
1 2
3 4
 . Mostre que A*B = A B A B A B A B
A B A B A B A B
1 1 2 3 1 1 2 4
3 1 4 3 3 2 4 4
 
 
Exerc. 2.39 - No exemplo 2.15, observe que, para uma demanda final d, há necessidade de uma demanda 
intermediária de valor Cd. Mas para produzir este acréscimo Cd de demanda intermediária, faz-se necessária 
uma segunda rodadade demanda intermediária de valor C(Cd). Por sua vez, a este acréscimo C
2
d na demanda 
intermediária faz-se necessário acrescentar uma nova demanda intermediária valendo C(C
2
d)= C
3
d. E assim 
por diante... 
 
i - Comente por que seria razoável esperar para que a produção total x correspondente fosse bem aproximada 
por: 
 
 x = d + Cd + C
2
d + + C
m
d = (I + C + C
2
 + + C
m
)d 
 
Ii - Observe que ( I + C + C
2
 + + C
m
) (I – C) = (I – C) ( I + C + C2 + + Cm) = I – Cm+1 
 
Iii - Calcule os valores de C
2
, C
4
, C
8
, C
16
 e C
32
, para a matriz C, dada no exemplo 2.15 e verifique que as 
entradas de C
32 
 são bem menores que as entradas de C. 
 
Iv - Supondo que cada entrada de (I + C + C
2
 + + C
m
) é uma sequência convergente e que cada entrada de 
C
m
 tende a zero, verifique que isto corresponde a dizer que 
 
 (I – C)-1 = I + C + C2 + C3 + é uma matriz de entradas não negativas. 
 
 Para cada demanda d que se queira obter (com coordenadas não-negativas) é possível fixar x = (I – 
C)
-1
d, igualmente com coordenadas não negativas. 
 
Exerc. 2.40* - O objetivo deste exercício é verificar que se C é uma matriz de entradas não positivas e a soma 
das entradas de cada coluna é menor que 1, então I-C tem uma inversa com entradas não negativas. 
Recomendamos que se faça antes o exercício anterior. 
 Sejam e números positivos e menores que 1. Considere ainda matrizes C e D, nxn, de números não-
negativos e tais que a soma das entradas de cada coluna de C seja menor ou igual a ( 0 
1
1
n
i
ijC
 ), 
 33 
assim como a soma das entradas de cada coluna de D seja menor ou igual que (0 
1
1
n
i
ijD
), para 
cada j = 1,2, ,n . 
 i – Mostre que a soma das entradas de cada coluna de CD é menor ou igual a ou seja, que 
 
n
i
ij)CD(
1
 , para todo j = 1,2, ,n 
 (Sugestão: Verifique que n
1k
n
1i
kjik
n
1i
n
1k
kjik
n
1i
ij DCDC)CD(
=

n
1i
ik
n
1k
kj CD
 n
1i
kjD
) 
ii – Conclua que a soma dos elementos de cada coluna de Am é menor ou igual a m. 
 
iii – Conclua que (I + A + A2 + + Am)ij 1 /1- e que (I – A)
-1
 = I + A + A
2
 + 
 
(Sug: Use o fato que toda sequência crescente e limitada de números reais é convergente)
 
 
Exerc. 2.41 - Verifique que, se A é uma matriz com 4 linhas , então 
 0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
A
A
A
A
1
2
3
4
 = 
A
A
A
A
2
1
3
4
 
 
Exerc. 2.42 - Verifique que, se A é uma matriz com 4 colunas então 
 
A A A A
1 2 3 4
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
= 
A A A A
2 1 3 4
 
 
Exerc. 2.43* - Diz-se que uma matriz é de permutação se ela é obtida de alguma matriz identidade Inxn 
fazendo uma permutação nas linhas de Inxn . Por exemplo, a matriz do exercicio acima é obtida da 
identidade trocando as duas primeiras linhas. 
 
i - Mostre que se P é uma matriz de permutação nxn e A tem n linhas, então P*A corresponde a efetuar em A a 
mesma troca de linhas que se fez na matriz identidade para chegar em P. 
 
ii - Verifique que uma matriz de permutação pode se obter igualmente fazendo alguma permutação nas colunas 
da matriz identidade. 
 34 
 
iii - Mostre que se P é uma matriz de permutação nxn e A tem n colunas, então A*P corresponde a efetuar em 
A a mesma troca de colunas que se fez na matriz identidade para chegar em P. 
 
iv - Mostre que se P é uma matriz de permutação nxn então P é ortogonal. 
 
v - Se P e P’ são matrizes de permutação nxn então P*P’ também é. 
 
Exerc. 2.44 - Sejam G1 = 
1 0 0
2 1 0
2 0 1
 e G2 = 
1 0 0
0 1 0
0 5 1
. 
 
 Verifique que se A é uma matriz com 3 linhas e n colunas: 
 
i - G1 A = 
A
A A
A A
1
2 1
3 1
2
2
 e G2 A = 
A
A
A A
1
2
3 25
 
 
ii - G1
2
 = G1*G1 = 
1 0 0
4 1 0
4 0 1
 , G1*G2 = 
1 0 0
2 1 0
2 5 1
 e G1*G2 G2*G1 . 
 
iii - (G1 )
-1
 = 
1 0 0
2 1 0
2 0 1
 e (G2)
-1
 = 
1 0 0
0 1 0
0 5 1
 
 
 35 
Exerc 2.45* - (1-matriz de Gauss) Generalizando o que obtivemos no exercício 2.50: 
 
 Denominamos de 1-matriz de Gauss, à que se obtem da identidade mxm, substituindo os (m-1) 
zeros da primeira coluna, situados abaixo da diagonal principal, por um vetor qualquer do 
(m-1)
, 
digamos g
(1)
 = (g21 ,g31 ,........, gm1)
T
. 
 
 
Ou seja, G1 = 
1 0 0
1
1 1
......
( )
( ) ( )
g I
m x m
 = 
1 0 0
1 0
0 1
21
1


   

g
g
m
. 
 
 g
(1)
 é denominado vetor de Gauss correspondente a G1 . 
 
 Seja A uma matriz com m linhas qualquer. Mostre que 
 
i - G1 A = 
A
A g A
A g Am m
1
2 21 1
1 1



 
 
ii - Se H1 é outra 1-matriz de Gauss, então G1*H1 também é uma 1-matriz de Gauss, cujo vetor de Gauss é a 
soma dos vetores de Gauss correspondentes a G1 e H1 . 
 
iii - G1 é invertível e sua inversa se obtem de G1 , substituindo g
(1) 
 por - g
(1) 
na primeira coluna de G1 
 
 
Exerc. 2.46* - (i-matriz de Gauss). 
 Denominamos de i-matriz de Gauss, à que se obtem da identidade mxm substituindo sua i-ésima 
coluna, por um vetor do 
m 
na forma g
(i)
 = (0,0,...,0,1,gi+1 ,gi+2 ,........, gm )
T
. Ou seja, o vetor de Gauss g
(i)
 
só difere da i-ésima coluna da matriz identidade, nas coordenadas i+1, i+2, ..... , m. 
 
 g
(i)
 é denominado vetor de Gauss correspondente a Gi . 
 
 Seja A uma matriz com m linhas qualquer. Mostre que: 
 
i - Gi A se obtem substituindo Ak pela soma de Ak com gk Ai, para k = i+1, ,n. Ou seja: 
 
 36 
Gi A = 
A
A
A
A g A
A g A
i
i i i
m m i
1
2
1 1


 
ii - Se i j , Gi é uma i-matriz de Gauss e Hj uma j-matriz de Gauss, então Gi*Hj se obtém da matriz 
identidade substituindo cada zero fora diagonal principal pela soma dos valores correspondentes em G i e Hj. 
Ou seja: 
(Gi*Hj )pq = 1,
( ) ( ) ,
se p q
G H se p qi pq j pq
 
 
Mostre ainda que isto pode não valer se i > j . 
 
iii - Gi é invertível e Gi
-1 
 se obtem trocando-se o sinal de todas as componentes do vetor de Gauss g
(i)
 , exceto a 
primeira não-nula, gi , que vale sempre gi =1. 
 
 37 
EXERCÍCIOS A SEREM FEITOS COM O AUXÍLIO DE UM COMPUTADOR: 
 (Opcional) 
 
Os exercícios abaixo podem ser feitos com a ajuda de programas como Matlab, Mathematica, Maple, 
Mathcad, Scilab, Derive, etc... Até mesmo em máquinas de calcular que programam operações com matrizes 
como algumas HP científicas é possível trabalhar os exercícios a seguir. Cuidado para o fato que a maioria dos 
programas distinguem entre letras maiúsculas e minúsculas... Tanto nos exercícios abaixo como na grande 
maioria dos demais exercícios deste livro, as entradas das matrizes serão números trabalhados como pontos 
flutuantes, ou seja aproximados por um certo número de algarismos (8 ou 16, em geral). Mesmo para matrizes 
20x20, esta é quase sempre a alternativa razoável para se trabalhar nas aplicações. Algumas questões 
importantes se impõem em função disto e no apêndice do livro situamos um pouco da aritmética com pontos 
flutuantes. Por ora, basta prestar atenção para o fato que há erros de arredondamento em operações com pontos 
flutuantes... Neste sentido, o número 0, não se distingue de 10
-16
, se trabalharmos com 16 casas decimais. 
 
2.C1 - Um dos objetivos deste exercício é que você se familiarize com operações usuais com matrizes do 
programa matemático que você esteja usando. Em geral, com uma procura bem feita no help, ou num tutorial, 
ou ainda no manual de seu programa é possível encontrar as funções capazes de realizar as operações 
solicitadas. Os ítens deste exercício estão relacionados de forma a serem usados numa mesma sessão de seu 
programa. 
 
i – Armazene A = 
0.10.00.10.0
0.40.30.20.1
0.10.20.30.4
0.40.30.20.1
, b = 
0.1
0.1
0.0
0.1
 e faça c =A*b 
 
ii– Procure no seu programa a sintaxe para formar matrizes com entradas de A, e peça ao seu computador para 
armazenar em A23, a entrada A23 de A, para criar a matriz A1 4x1, formada pela primeira linha de A, bem 
como X1, 1x4, formada pela primeira coluna de A. Crie em X23 uma matriz 2x2, coincidente com o bloco 
formado pelas entradas de A nas linhas 2 e 3, bem como nas colunas 2 e 3. 
 
iii - Armazene em LIX a matriz formada a partir de A, substituindo A23 e A32 por zero. 
 
iv - Armazene em LIX a matriz formada a partir de A, substituindo o bloco formado pelas entradas de A nas 
linhas 2 ou 3 e nas colunas 2 ou 3, pela matriz identidade 2x2. Faça-o em bloco, ou seja sem trocar entrada por 
entrada. 
 
v - Armazene em AA a matriz formada a partir de A, substituindo a sua primeira linha pela soma das duas 
últimas. Também aqui, nenhuma entrada de AA deve ser obtida isoladamente, muito menos somando-se na 
mão as entradas correspondentes de A. 
vi – Procure no seu programa os comandos correspondentes a calcular matrizes mxn formadas todas com zeros, 
a matriz identidade nxn, números e matrizes aleatórias (com entradas aleatoriamente escolhidas como números 
entre 0 e 1, com pelo menos oito casas decimais) e armazene em Z uma matriz 4x4 toda formada com zeros, 
em I4 a matriz identidade 4x4, em B e em C duas matrizes aleatórias 4x4. 
 38 
 
vii –Mande seu computador calcular B*C e C*B. Apostamos que você obteve resultados diferentes. 
 
viii - Renove as matrizes aleatórias B e C do item vi e peça ao computador para calcular B*C e C*B 
novamente. Apostamos que continua dando diferentes. Se tiver paciência, repita a operação umas 6.243 vezes. 
Continuamos apostando que, considerando pelo menos oito casas decimais, em nenhuma vez você obteve B*C 
= C*B. 
 
ix - Compute (B - C)(B + C) e B
2
 – C2. Não era para dar o mesmo resultado? 
 
x - Procure o comando no seu programa que inverte matrizes e armazene em invA a matriz inversa de A. 
Verifique que ele funciona, calculando A*invA e invA*A. Deu o que você esperava? Compute ainda a 
inversa de B em invB. Cheque para ver se invB*invA é, de fato, a inversa de A*B. Compute também 
invA*invB e verifique que ela não é uma inversa de A*B. 
 
xi - Faça x = invA*b e calcule A*x – b. Não deveria dar 0? Interprete o resultado que você obteve. 
 
xii -. Peça ao seu computador para armazenar em invAA a matriz inversa de AA que você obteve no item v. 
Preste bem atenção na resposta que ele vai lhe dar. Caso ele lhe dê uma matriz invAA, leia atentamente a 
advertência que ele lhe estará fazendo, tente calcular AA*invAA e invAA*AA e analise o resultado. 
 
xiii - Caso o seu computador tenha lhe devolvido uma matriz invAA no item anterior, faça x = invAA*b . 
Calcule AA*x – b e explique porquê não deu zero. 
 
xiv – Se certifique que b e c ainda são matrizes 4x1, como no item i, compute os produtos bTc, cTb, bem como 
bc
T
 e cb
T 
e compare os resultados obtidos. 
 
xv - Faça F = B + B
T
 e G = C + C
T
. Verifique que F e G resultaram simétricas, mas F*G não é simétrica. 
Calcule F
T 
*G
T
 e G
T
*F
T
. Qual delas resulta ser (F*G)
T
 ? 
 
2.C2 - Escreva matrizes A e B formadas, cada uma, por blocos de matrizes aleatórias 2x2, ou seja, A = 
2221
1211
AA
AA
 e B = 
2221
1211
BB
BB
 , onde cada um dos Aij e dos Bij são matrizes 2x2. Peça ao computador para 
calcular C = A*B. Verifique que cada um dos 4 correspondentes blocos 3x2 de C é da forma Cij = Ai1B1j + 
Ai2B2j 
 
2.C4 - Faça o mesmo que no exercício anterior para o caso de A ser uma matriz aleatória 6x6, particionada 
em 6 matrizes 3x2 e B uma matriz aleatória 6x4 particionada em 6 matrizes 2x2. Ou seja, faça A =
23
13
2221
1211
A
A
AA
AA , B = 
3231
2221
1211
BB
BB
BB
 . Particione o produto C = A*B correspondentemente em 4 matrizes 
3x2 e verifique que cada um dos 4 correspondentes blocos 2x2 de C é da forma Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai3B3j 
 
 39 
2.C5 - Monte matrizes A (mxn) e B (nxp), ou seja, multiplicáveis, e particionadas em blocos rxs e sxt, 
respectivamente. Verifique, em cada caso, que o produto C = A*B pode se escrever correspondentemente 
numa forma particionada em blocos rxt e que cada um dos tais blocos se escreve como Cij = Ai1B1j + + 
Ai B j , onde = n/s, Ai é um bloco rxs de A e B j é um bloco sxt de B 
 
 
 
 40 
2.C6 – Considere o grafo abaixo e monte sua matriz de adjacências A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um caminho num grafo é uma sequência de arestas adjacentes ligando um vértice do grafo a outro. Diz-se que 
um caminho tem comprimento k, se ele é constituído por k arestas. Peça ao computador para computar A
4
 e 
A
5
 e diga quantos caminhos de comprimento 4 e quantos de comprimento 5 existem entre o vértice mais a 
esquerda e o mais a direita do grafo 
 
2.C7* – Armazene em H uma matriz aleatória 10x10, com entradas entre 0 e 1 e mande calcular a matriz 
inversa de Id – H, onde Id é a matriz identidade 10x10. Muito provavelmente invH = (Id – H)-1 resultará uma 
matriz com algumas entradas positivas e outras negativas. Calcule a inversa de Id – H/10 e observe que todas as 
suas entradas são positivas. A priori, nada nos garante que uma matriz aleatória seja invertível. No entanto, na 
prática, isto resulta acontecer quase sempre. A explicação para este fato utiliza argumentos de análise bastante 
elaborados e está além do que poderíamos tentar fazer, neste momento. Admitindo que Id-H/10 é invertível, 
tente explicar porque os coeficientes de (Id – H/10)-1 resultam positivos. 
 
 (Sugestão: Use o exercício 2.46. ) 
 
 41 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 (Ímpares e pares com +, exceto os para serem feitos com computador) 
 
Exercício 2.1 
Seja V = 
n 
= { ( x1 , x2 ,..., xn ) ; xi }. 
Dados dois elementos x = ( x1 , x2 ,..., xn ) e y = ( y1 ,y2 ,...,yn) e vamos definir a soma 
usual de elementos do 
n 
e o produto de um número por um elemento do 
n
 como se segue: 
 x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,... xn + yn ) 
 .x = ( x1 , x2 ,..., xn) 
Verificando que ( 
n
 , + , . ) satisfaz as propriedades P1 -P6. 
 
P1. Propriedade Associativa. 
 Sejam x = ( x1 , x2 ,..., xn ) y = ( y1 ,y2,..., yn) e z = ( z1 , z2 ,... zn ) 
 [ x + y ] + z = [( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn )] + ( z1 , z2 ,..., zn ) = 
 = ( x1 + y1+z1 , x2 + y2 +z2 ,..., xn + yn +zn ) = 
 = (x1 , x2 ,..., xn ) + [( y1+z1 , y2 +z2 ,..., yn +zn )] = 
 = x + [ y + z] 
 
P2. Propriedade Comutativa. 
 x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) = ( y1 + x1 , y2 + x2 ,..., yn + xn) = y + x 
 
P3. Existência de um Elemento Neutro ( Elemento Zero) para a soma. 
 Existe um elemento 0 = ( 0 , 0 ,...,0 ) 
n
 tal que 0 + x = x + 0 qualquer que seja x 
n
, 
 Isto é: 
 ( 0 ,0 ,..., 0 ) + ( x1 , x2 ,..., xn ) = ( 0+x1, 0 + x2 ,..., 0 + xn ) = (x1, x2 ,..., xn) 
 
P4. Existência de um Simétrico em relação a soma. 
 Para todo x 
n
 existe um elemento x’ n ( que chamaremos x’= -x ) tal que x + x’ = 0. 
 Isto é: 
 Dado x = ( x1 , x2 ,..., xn ) tome x’ = -x = ( -x1 , -x2 ,..., -xn ) e teremos: 
 x + x’= ( x1 , x2 ,..., xn ) + ( -x1 , -x2 ,..., -xn ) = ( 0 , 0 ,..., 0 ) = 0 
 
P5. Sejam x , y como antes e e ’ números reais então: 
i. Distributividade da soma de escalares pelo produto por vetor. 
 ( + ’).x = ( ( + ’)x1 , ( + ’)x2 ,..., ( + ’)xn ) = 
 = ( x1 + ’x1 , x2 + ’x2 ,..., xn ’xn) = 
 = ( x1 , x2 ,..., xn ) + ( ’x1 , ’x2 ,... ’xn) = 
 =( x1 , x2 ,..., xn ) + ’( x1 , x2 ,..., xn ) = .x + ’x. 
 
ii. Distributividade do produto de um escalar pela soma de vetores. 
( x + y ) = ( x1 +y1, x2 + y2 ,..., xn + yn ) = ( ( x1 + y1) , ( x2 +y2) ,..., ( xn + yn)) = 
 = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn) = 
 = ( x1 , x2 ,..., xn) +( y1 , y2 ,..., yn) = .x + .y 
 
iii. Associatividade do produto de escalares pelo produto por vetor. 
 ( ’).x = ( ’x1 , ’x2 ,..., ’xn ) = ( ’x1 , ’x2 ,..., ’xn) = ( ’x). 
 
P6. O número 1 é neutro na multiplicação de números por vetores. Isto é: 
 42 
 1.x = ( 1x1 , 1x2 ,..., 1xn ) = ( x1, x2,..., xn ) = x 
 
Exercício 2.3 - 
 Basta ver que 
112
011
213
1
0
2
1
1
1
2
1
3
2
23
321
321
21
321
Axxx
xxx
xx
xxx 
 
 
 
Exercício. 2.5 ->2.5 Ok 
 
i - 
21
21
1
3
2
1
3
2
xx
xx
x
xA
xA
xA
 ; x1A
(1)
 + x2A
(2)
 = 
1
1
0
3
2
1
21 xx
21
21
1
3
2
xx
xx
x
 
 
 
ii - b = 
1
0
1 será combinação linear de A
(1)
 e A
(2)
 , caso exista um vetor x = (x1 , x2 )
T
 tal que Ax= x1A
(1)
 
+ x2A
(2)
 = b. 
Ou seja, se Ax = b tiver alguma solução. Neste caso, é fácil verificar que não tem. 
 
iii - c = (1,2) será combinação linear das linhas de A caso c = y1A1 + y2A2 + y3A3. 
 
Ou seja, se (y1 + 2 y2 + 3y3 , y2 - y3) = (1,2) . Neste caso 
2
132
32
321
yy
yyy 
É fácil encontrar uma solução para este sistema. Por exemplo y3 = 0, y2 =2 e y1= -3 
 
Observe que o sistema acima corresponde exatamente a resolver A
T
y = c
T
 
 
Exercício 2.7 
 Temos que BC = 1 1
1 2
 1 1 0
1 2 1
 = 2 1 1
1 5 2
 
 
Podemos fazer este exercício de duas maneiras: 
i - Pela definição: 
Veja que se fizermos (2, 1, 1) = c1(1 -1,0) +c2(1,2,1) 
 obteremos o sistema 
c c
c c
c
1 2
1 2
2
2
2 1
1
 , que tem solução c1= c2=1 
 
Faça o mesmo para a linha (-1,-5,-2). 
ii – Pela pela leitura que fizemos para o produto BC particionado por linhas, ( ver pg. 12) temos que (BC)j = 
BjC= Bj1C1 + Bj2 C2, para cada j = 1,2. 
 43 
 
Exercício 2.8+ 
 Sejam A = ( A
(1) 
A
(2) 
. . . A
(m) 
) , B = ( B
(1) 
 B
(2) 
. . . B
(p) 
) e C = ( C
(1) 
 C
(2) 
. . . C
(p) 
) matrizes particionadas 
por colunas. Temos que: 
P2 - A( B + C) = ( A( B + C)
(1) 
 A(B + C)
(2) 
. . . A( B + C )
(p) 
) = 
 = ( A(B
(1) 
+ C
(1) 
) A(B
(2) 
+ C
(2) 
) . . . A(B
(p) 
+ C
(p)
) ) = 
 = ( A B
(1) 
+ AC
(1) 
 AB
(2) 
+ AC
(2) 
 . . . AB
(p) 
+ AC
(p) 
) = 
 = ( AB
(1) 
AB
(2) 
. . . AB
(p) 
) + ( AC
(1) 
 AC
(2) 
. . . AC
(p) 
) = AB + AC 
 
 A( B) = ( A( B)
(1) 
A( B)
(2) 
. . . A( B)
(p) 
) = ( AB
(1) 
AB
(2) 
. . . AB
(p) 
) = 
 ( AB
(1)
 AB
(2)
 . . . AB
(p)
 ) = (AB). 
 
Obs. Na verificação de P2 estamos usando o importante fato que o produto matriz-vetor satisfaz as 
propriedade P2 ( ALAP2 pg. 7 ). 
A verificação de P3 se faz de forma análoga. 
 
Exercício 2.9 Se a e b são números reais vale a comutatividade ab=ba mas no caso 
 
do produto de matrizes esta propriedade não é válida pois, por exemplo: 
 
 AB = 1 6
3 0
 e BA = 0 5
4 1
 
 
 
Exercício 2.11 
 
 i. Falso. Contra-exemplo : 2 1
1 2
 1 1
1 1
= 1 1
1 1
 2 1
1 2
 
 
 ii. Falso. Tome A e B do item abaixo e C = 
000
100
000
. Temos AB = AC = 0 mas B C. 
 
 iii - Falso. Considere A = 
1 0 0
0 0 0
0 0 0
 e B = 
0 0 0
0 0 0
0 0 1
e observe que AB = 0, mas A 0 e B 0 
iv - Certo - Neste caso (AB)ij
 
 = Ai B
(j)
 > 0, para todas as entradas de AB. 
 
v - Falso - Tome A = 1 1
1 1
e B = 1 1
1 1
. Observe que AB = 0 
 
vi. Falso. Contra-exemplo: Tome A = 0 1
0 0
 
 
vii. Certo. A = BC = (BC
(1)
 BC
(2)
 . . . BC
(p)
). Mas BC
(i) 
 = C1iB
(1)
 + C2iB
(2)
 + . . .+ C(mi)B
(m)
 
 
 44 
viii Falso. Considere A = 2 3
2 3
 1 2
1 0
 = 7 4
7 4
. Neste caso ( 7, 4 ) k( 2, 3) qualquer 
 
que seja o número real k. 
 
ix. Certo. A = BC = 
B C
B C
B Cm
1
2
.
.
.
. Mas BiC = Bi1C1 + Bi2C2 + . . . + BimCm. 
 
Exercício 2.12+ 
 
i. Temos que LA(X+X’) = A(X+X’) = AX +AX’ = LAX +LAX’ 
ii. LA( X) = A( X) = (AX) = LAX 
 
Exercício 2.13 
 
 x
T
y = (1 2 -1 ) 
2
0
1
= -1 = y
T
x ; xy
T
 = 
1
2
1
2 0 1 = 
2 0 1
4 0 2
2 0 1
; 
 yx
T
 = 
2
0
1
1 2 1 = 
2 4 2
0 0 0
1 2 1
 
 
Exercício 2.14+ 
Para provar as propriedades 11 , 12 , 13 ,14 basta verificar se cada matriz 
C
~ proposta como inversa da matriz 
C dada satisfaz C
C
~ =
C
~ C = I. Vamos verificar apenas que C
C
~ = I pois pela observação 2.12 fica garantido 
também que 
C
~ C = I. 
Propriedade 11: C = A , 
C
~ = 1/ A
-1
 , temos C
C
~ = ( A)(1/ A
-1
) = ( 1/ )(AA
-1
) =I. 
Propriedade 12 : C = A
-1
 , 
C
~ = A , temos C
C
~ = A
-1
A = I. 
Propriedade 13 : C = AB , 
C
~ = B
-1
A
-1 
, temos (AB)(B
-1
A-1) = A(BB
-1
)A
-1
 = AIA
-1
 = AA
-1
 = I 
Propriedade 14 : C = A
T
 , 
C
~ = (A
-1
)
T
 , temos A
T
(A
-1
)
T
 = (A
-1
A)
T
 = I
T
 = I. 
Obs: Na Propriedade 14 usamos o fato que (AB)
T
 = B
T
A
T
 ( propriedade ii de transposição de matrizes ,ALAP 
2 pg.16). 
 
Exercício 2.15 
 Tome A = 
00
01 , pois para toda matriz C = 
dc
ba AC = 
00
ba . 
 
Exercício 2.17 
 
 45 
i - Certo, pois se I = Inxn, então II = I, portanto I é a própria inversa de I. 
ii - Errado, pois 0 A = A0 = 0 I , para toda matriz A. 
iii - Certo. Se existisse inversa à a esquerda, Ã(AB) = Ã(AC) (ÃA) B = (ÃA) C B=C 
iv - Certo. Se Ax = Ay A(x -y) = 0. Use item iii. 
v. Falso. Seja A = ( a1 a2 a3 ) e suponha que existe à = ( x1 x2 x3)
T
 tal que: 
 
 ÃA = 
x a x a x a
x a x a x a
x a x a x a
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 Logo xiai = 1 para todo i=1,2,3. 
 Portanto, todos os xi e todos os ai são não-nulos. Portanto, por exemplo, x1a2 0. 
 
vi. Certo. Se A=( a1 a2 a3 ) então A(x1 x2 x3)
T
 = (a1x1+a2x2+a3x3) = (1) sempre tem solução se algum dos ai 0. 
Por exemplo se a1 0, podemos fazer (x1 , x2 , x3) = (1/a1 , 0, 0) 
 
vii - Falso. Seja A = (1 1) , B = (1 -1)
T
 e C = (-1 1)
T
. Observe que AB = AC = (1) 
 
viii - Certo. Se a i-ésima linha de A = Anxn é nula, então a i-ésima linha de AÃ igualmente é nula, para toda 
matriz Ã, nxn. Portanto AÃ nunca pode ser Inxn. 
 
ix - Falso. Basta verificar que A = 1 1
1 1
 não é inversível. 
x – Certo. Pois se A, à e  são nxn e tais que ÃA = A = Inxn Â=I = (ÃA) = Ã(AÂ) = ÃI=à 
xi – Certo, pois se à e  fossem duas inversas distintas de A, isto nos garantiria que à é uma inversa a 
esquerda de A e  uma inversa a direita de A.. Neste caso, o argumento do item anterior nos garante que Ã=Â. 
 
Exercício 2.19 
Suponhamos que X = 
654
321
xxx
xxx seja uma inversa a direita de A. Neste caso 
XA = 
6564
3231
2
2
xxxx
xxxx = 
10
01
 
12
02
0
1
65
32
64
31
xx
xx
xx
xx
 
 
É fácil ver que o sistema ao lado admite solução para quaisquer valores arbitrados de x3 e x6. Por exemplo, se x3 
= 1 e x6 = 0, obtemos Ã= 
02/10
12/10
 e se fazemos x3 = 0, x6=1, obtemos 
 = 
111
001
. à e  são obviamente inversas a esquerda de A . 
 46 
Ii – Do mesmo jeito que em i, podemos mostrar diretamente que ao tentar forçar A
654
321
xxx
xxx =I, obtemos 
um sistema de 9 equações com seis incógnitas, para o qual é fácil ver que não tem solução. 
 Uma alternativa é usar o fato que se A admite uma inversa a direita X, então y=Xc é sempre solução