Al1-2010.1_introdução às funções lineares

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ALAp 1 - INTRODUÇÃO 
 
O objetivo deste capítulo incial é introduzir algumas idéias básicas que nos ocuparão 
transversalmente em praticamente todos os demais capítulos desta disciplina. As duas mais importantes são: 
 O espaço vetorial n, no qual trabalharemos em 90% deste livro. 
 A idéia de LINEARIDADE, que tem muitos desdobramentos e traduz uma propriedade tão 
fundamental na modelagem de muitos dos fenômenos naturais, que você a continuará vendo de 
muitas formas diferentes em várias outras disciplinas de seu curso. Em particular faremos, ainda 
neste primeiro capítulo, uma rápida introdução às funções lineares, que é o objeto central de estudo 
nesta disciplina. 
 
Ao final deste capítulo introdutório daremos um panorama do que tratará este livro, situando aquilo 
que nos parece relevante numa disciplina introdutória de Álgebra Linear Aplicada, dirigida a cursos de 
Engenharia e Ciências Exatas. Em particular, diremos como se distribuem os demais capítulos. Na seção 1.l 
lhe damos algumas orientações sobre o uso deste texto. 
 
1.1 - PRELIMINARES 
 
 Uma das características mais relevantes da Álgebra Linear consiste na sua vocação para modelar, 
matematicamente, fenômenos tão diversos quanto problemas de difusão, circuitos elétricos, imagens de 
tomografia computadorizada, cálculo de estruturas em construção civil, sistemas de controle, problemas de 
otimização, de estatística, econometria, etc... Historicamente, o grande problema no uso da Álgebra Linear 
para modelar problemas da realidade, residia no fato de resultarem em problemas por vezes muito simples, 
do ponto de vista teórico, porém impossíveis de se resolver, na prática, por conta de exigirem uma 
capacidade computacional inimaginável até meados deste século. A álgebra linear é, sem dúvida, um dos 
campos da matemática cuja importância para as Engenharias e Ciências Exatas mais se expandiu com a 
fantástica multiplicação da capacidade computacional colocada a disposição da humanidade a partir da 
década de 60. Na primeira metade do século XX seria praticamente impossível realizar a multiplicação de 
duas matrizes 100x100. Mesmo em meados da década de 70, tal tarefa requeria um computador bastante 
sofisticado para a época. Hoje, em 2009, multiplicar duas matrizes 1000x1000 em menos de um segundo é 
o padrão, nos microcomputadores mais simples disponíveis no mercado. Tradicionalmente, a álgebra 
linear era dada de uma forma mais abstrata e o tratamento mais numérico era visto em disciplinas como o 
Cálculo Numérico (hoje correspondente, em muitos cursos de engenharia, a uma disciplina 
frequentemente denominada “Métodos Computacionais”). Nestes últimos vinte anos, expandiu-se 
fantasticamente o acesso a softwares matemáticos muito amigáveis e poderosos. Isto tem produzido novos 
enfoques no ensino da Álgebra Linear, na direção de aproximá-la mais de aspectos computacionais 
usualmente situados no Cálculo Numérico. Nas referências [1], [2], [3], [4], [5], [6] e [9], indicadas na 
bibliografia complementar recomendada ao final do capítulo, pode-se claramente perceber os sinais desta 
tendência. 
 
Apesar de preocupado com aplicações e dirigido para alunos de Engenharia e Ciências Exatas, não 
podemos perder de vista que este é um livro introdutório de Álgebra Linear. Entendemos que, numa primeira 
disciplina de Álgebra Linear o tratamento cuidadoso dos conceitos básicos e a compreensão dos principais 
 
 
2 
 
resultados matemáticos continua sendo a questão central, mesmo que o enfoque possa ser bastante diferente 
do tradicional. Portanto, o fundamental é compreender bem os conceitos que permitem aos seres humanos 
construir algoritmos com a Álgebra Linear e aplicá-los para resolever problemas. A novidade destes 
últimos 10 anos em termos de ensino, tem sido levar também em conta, em alguma medida, mesmo num 
curso inicial de Álgebra Linear, que as contas são executadas em computadores. Daí que um cuidado bem 
maior com o formalismo matricial tem sido a tônica. Alguma atenção a aspectos numéricos derivados de 
erros de arredondamento já se insinuam também por aqui, muito embora de forma bem secundária. 
Gostaríamos, ainda, de explicitar melhor o significado do termo “Aplicada” no título do livro. Percebemos 
que, em alguns de nossos alunos, ele gera a expectativa de uma disciplina centrada em aplicações, . 
inclusive com muitas delas voltadas para o seu campo profissional específico. Se, por um lado, certamente 
trataremos de algumas aplicações importantes da Álgebra Linear, de outra parte não nos parece possível, e 
nem mesmo recomendável, um primeiro contato com a Álgebra Linear carregado de aplicações muito 
específicas. Para nós, o termo “Aplicada”, no título, significa duas coisas: 
 
i - Dar um enfoque à Álgebra Linear mais “pé no chão”, ou seja, antenado no formato matricial segundo o 
qual se codifica a programação matemática relativa à Álgebra Linear nas aplicações às Engenharias e 
Ciências Exatas. Contudo, não cobraremos familiaridade dos alunos com a programação (computacional) 
dos métodos a serem apresentados. Como já dissemos acima, a tarefa de programar métodos numéricos 
usualmente faz parte de uma disciplina posterior, no currículo dos alunos de Engenharia e Ciências Exatas. 
Ainda assim, frequentemente tangenciaremos, no texto, questões ligadas à programação computacional dos 
algoritmos discutidos e, temos em mente que, para esta disciplina é importante realizar algumas aulas em 
laboratórios de informática, com o uso de softwares como o Scilab, Matlab, Maple ou Mathematica. Ao final 
de cada capítulo, propomos uma série de questões a serem realizadas com o auxílio do computador. 
 
ii - Apresentar exemplos e problemas que permitam aos alunos vislumbrar a importância que a Álgebra 
Linear pode ter na modelagem de fenômenos, bem como entender melhor a teoria apresentada ao vê-la 
“funcionando” como modelo matemático de fenômenos. No entanto, não nos preocuparemos em aprofundar 
a análise de fenômenos muito específicos de aplicações a um ou outro campo do conhecimento, até mesmo 
pelo fato que isto fatalmente ocorrerá em disciplinas específicas de cada curso que necessitem de Álgebra 
Linear. 
 
 Este texto começou a ser escrito em 1997, num trabalho que os autores estavam se propondo a fazer, 
em equipe, para ministrar a disciplina “Álgebra Linear Aplicada”, num esforço de adequá-la aos cursos das 
Engenharias e a alguns dos cursos de Ciências Exatas e da Terra, na UFRN. Na ocasião, sequer podíamos 
contar com textos como [1], [2] e [3], cuja abordagem nos parece a desejável para a disciplina. Desde 
1997, ele foi servindo como principal texto de referência para a disciplina, e colocado à disposição dos 
alunos para xerox. Volta e meia tem sido renovado em função das críticas, autocríticas e sugestões que nos 
iam chegando. Começou a ser escrito a partir de transparências que usávamos nas aulas. Foram sendo 
complementadas com notas explicativas e muitos exercícios. A idéia é que cada aluno tente os exercícios 
logo após ver, no texto, os conceitos introduzidos em cada seção. Ao final de cada capítulo colocamos 
também alguns exercícios suplementares a disposição dos alunos. Colocamos dois tipos de qualificação nos 
exercícios. 5* significa que o exercício n
o
 5 é mais difícil. 5+ significa que o exercício n
o
 5 é importante do 
ponto de vista teórico (não necessariamente difícil). 5+* significa que, além de importante teoricamente, ele 
também representa um desafio superior aos demais, em dificuldade. Os exercícios ímpares, bem como 
 
 
3 
 
aqueles qualificados como importantes teoricamente (+), mesmo que pares, estarão resolvidos com a 
resolução colocada à sua disposição. 
 
Achamos fundamental a compreensão e correta manipulação dos conceitos e resultados, o que não é 
a mesma coisaque ter habilidade em deduzir formalmente lemas e teoremas. Procuramos evitar excessos 
de formalismo, privilegiando uma abordagem bem mais informal do que a que se encontra na maioria dos 
livros textos. Mesmo assim, para poder manipular adequadamente os conceitos da Álgebra Linear, algum 
formalismo é minimamente necessário. Em muitas situações, ao invés de sobrecarregar o texto com 
demonstrações, preferimos pedir ao aluno que tente verificar alguma propriedade que provavelmente teria 
sido trabalhada em sala de aula, com o cuidado de registrar tal verificação junto com os exercícios 
resolvidos. Uma proposição é uma afirmação que se faz sobre uma realidade. Por exemplo, “todo homem é 
mortal”. Ou ainda, um teorema matemático. Um prerequisito que julgamos essencial no trabalho em 
Álgebra Linear (aliás em qualquer área ligada às Ciências Exatas) é o entendimento do que significa uma 
proposição correta em Matemática. Ou seja, as proposições que nos interessam na Álgebra Linear só 
admitem dois julgamentos de valor. Ou bem são verdadeiras, ou falsas. Saber discernir se uma determinada 
proposição é verdadeira ou falsa corresponde a saber em que condições podemos usar informações úteis para 
resolver os problemas que surgem. Tal discernimento, essencialmente, depende do conteúdo matemático 
em questão, mas há também algumas questões de forma que são basicamente questões de lógica. Ao longo 
de todo o texto há algumas questões tipo “Certo ou Errado? Justifique”, nas quais esperamos que você 
aprimore sua compreensão dos conceitos e da teoria apresentados. No apêndice A, relembraremos alguns 
aspectos bem elementares de lógica que podem ajudá-lo nesta tarefa. 
 
Ao final deste capítulo introdutório daremos uma idéia panorâmica dos principais temas a serem 
abordados no texto, concluindo a introdução que faremos, neste capítulo, de alguns conceitos que se farão 
transversalmente presentes em todos os capítulos. 
 
1.2 - IDENTIFICAÇÃO FUNDAMENTAL DA MATEMÁTICA 
 
 Uma das características fundamentais na evolução da matemática reside na generalização de seus 
conceitos e paradigmas, num sentido de tornar as teorias matemáticas relevantes cada vez mais 
abrangentes. Por exemplo, os primeiros homens primitivos aprenderam a contar e, desde cedo, a associar 
objetos a pequenas marcas sequenciadas num pedaço de osso. Depois vieram as frações, que generalizam a 
idéia de números naturais, no sentido que podemos entender os números naturais como as frações de 
números naturais cujo denominador vale 1. A associação destas frações a pontos de uma reta se dá de uma 
maneira bastante natural, conforme aprendemos no 1
0
 grau. Os gregos, há cerca de 2.500 anos levaram um 
grande susto ao descobrirem que, num certo sentido, há mais pontos numa reta do que frações. Por exemplo, 
a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos valem 1, não pode ser escrita como quociente de dois 
números naturais. Muito embora, a civilização grega de então tenha contornado brilhantemente esta 
dificuldade e centrado sua matemática em idéias fundadas na geometria, a idéia de um conjunto contínuo de 
números (ou seja, a idéia de se associar univocamente os pontos de uma reta a um conjunto de números) 
permaneceu por muitos séculos um ideal a se perseguir do ponto de vista teórico. Os gregos passaram a 
conceituar números como segmentos geométricos de uma reta e, grosso modo, também foi assim na Europa, 
após o renascimento, até o século XIX. Isto corresponde a uma primeira maneira de generalizar a idéia de 
 
 
4 
 
números racionais. Só no século XIX se chegou à generalização da idéia de números racionais com uma 
construção do conjunto dos números reais mais abstrata e independente de conceitos geométricos. Tal 
construção estabelece teoricamente uma identificação fundamental na matemática, qual seja a identificação 
formal entre uma reta geométrica e o conjunto dos números reais. Uma generalização do conjunto dos 
números racionais que, curiosamente, se deu bem antes, foi a dos números negativos, ou seja, de forma a 
poder resolver equações do tipo x + 1 = 0. Um “defeito” do conjunto dos números reais é o de não admitir 
soluções para equações do tipo x
2
 +1 = 0. O conjunto dos números complexos, cuja construção se colocava 
já a partir do século XVI, constitui uma generalização do conjunto dos números reais que visa sanar este 
“defeito” do conjunto dos números reais. [ ILUSTRAÇÃO !!!!!***] 
 
 Extraímos como lição da “historinha” acima, a importância da generalização na formação dos 
conceitos fundamentais em matemática. Cada uma das generalizações dos conceitos de números se refletiu 
na criação de ferramentas matemáticas mais poderosas e que, num certo sentido, englobavam as anteriores. 
A matemática no século XX tem como característica fundamental o estudo de estruturas mais gerais que 
englobam, de forma natural, várias situações particulares aparentemente bastante diferentes. Um exemplo 
típico é a teoria dos conjuntos. Podemos estabelecer vários resultados matemáticos sobre conjuntos. Por 
outro lado muitos dos objetos relevantes da matemática podem ser pensados como conjuntos. Por exemplo, o 
conjunto dos números reais, o conjunto das funções definidas em 
2
, etc. Portanto afirmações que forem 
verdadeiras sobre conjuntos em geral, podem ser aplicadas a cada um destes conjuntos. 
 
 Esperamos conseguir deixar este ponto mais claro ao longo do curso, uma vez que a Álgebra Linear 
tem esta característica típica do século XX, ou seja de comportar uma apresentação bem mais geral, com 
resultados que se aplicam em várias situações aparentemente bem diferentes. A grande maioria dos livros-
texto de Álgebra Linear disponíveis expõem a teoria de Espaços Vetoriais numa forma mais abstrata, 
dentro do paradigma do século XX, ou seja, indo do mais geral ao particular. Embora consideremos 
importante que, mesmo num curso inicial, o estudante já tenha um primeiro contato com esta forma mais 
abstrata de fazer matemática, típica do século XX, preferimos ir mais devagar e consolidar primeiro os 
conceitos importantes da álgebra linear no 
n
. Só no penúltimo capítulo trabalharemos sua generalização 
para o C
n
 e dedicamos o capítulo final do livro a indicar como se faz a generalização dos conceitos para 
espaços vetoriais abstratos, tendo porém a preocupação de mostrar aplicações específicas que explicitem as 
vantagens de uma abordagem mais abstrata. Acreditamos que, desta forma, fazemos o caminho inverso do 
que é seguido usualmente nos textos de álgebra linear disponíveis no mercado, mas nos mantemos mais 
próximos da construção histórica dos conceitos a serem estudados. Ou seja, os principais resultados da 
álgebra linear já eram conhecidos em meados do século XIX no R
n
 e no C
n
, embora sem a roupagem na 
qual os escrevemos atualmente, dada pela teoria dos conjuntos e alguns aspectos de notação que facilitam 
imensamente a abordagem. Entendemos que desta forma fica mais fácil para alunos com relativamente 
pouca vivência da matemática do século XX, não só apreender os conceitos básicos da álgebra linear, mas 
igualmente a importância da generalização dos conceitos para estruturas mais abstratas. 
 
 Generalizações importantes da identificação de uma reta geométrica com o conjunto dos números 
reais consistem na identificação cartesiana usual de um plano com o conjunto 
2
 = x = {(x1,x2) | xi 
, para i = 1,2}, bem como do espaço tridimensional com o conjunto 
3
 = x x = {(x1,x2, x3) | xi , 
 
 
5 
 
para i = 1,2,3}. Num certo sentido, no segundo grau você já teve contato com problemas típicos de álgebra 
linear no 
2 
 e no 
3
, através de aplicações à geometria analítica. Por exemplo, para achar a interseção de 
duas retas no 
2
, tipicamente, se recai num problema de resolver um sistema com duas equações lineares e 
duas incógnitas. Podemosdizer que o grosso da álgebra linear que estudaremos se fará no conjunto 
 
n
= x x.......x ={(x1,x2,......,xn) : xi , para i = 1,2,....,n} 
 
 (conjunto dos nos reais) 
 0 
 ________________________________________ 
 
PLANO CARTESIANO 
 
 
 (2,1)
 
 
 
 
2 
= x ={( x1,x2): x1 e x2 } (0,0) 
 
 
__________________________________________ 
 
ESPAÇO TRIDIMENSIONAL CARTESIANO 
 
 
 (1,1,2)
 
 
 
3 = x x = {( x1, x2, x3): x1, x2 e x3 } (0,0,0) 
 
 
 
_____________________________________________ 
 
 
4
= x x x ={(x1,x2,x3 ,x4 ): xi } Espaço-tempo 
 
 
n
= x x.......x ={(x1,x2,......,xn) : xi } Fenômenos modelados por n n
os 
 
 
 
 
6 
 
 Observamos que, do ponto de vista da teoria dos conjuntos , o 
125
 é um conjunto tão bem definido 
como 
2 
 ou o 
3
. No entanto, não sabemos mais experimentá-lo geometricamente com nossa percepção 
visual, se n > 4. Apesar disto, conforme veremos nos capítulos 4 e 5, saberemos pensar geometricamente o 
n
, para qualquer número natural n, por maior que seja. Por incrível que pareça, tal fato tem aplicações 
muito importantes. Na verdade, podemos desenvolver uma intuição sensorial sobre o 4, com a idéia de 
movimento, já que para descrever movimentos precisamos de uma quarta variável tempo. Se quisermos 
pensar no 
5
, podemos pensar em movimentos nos quais haja uma quinta variável relevante, por exemplo 
temperatura. Na verdade, sempre que a descrição de um fenômeno pedir 5 variáveis independentes teremos 
um fenômeno modelado no 
5
.
.
 Abaixo, no exemplo 1, descrevemos a digitalização de uma fotografia 
representada por um ponto em 
240.000
. 
A importância de trabalharmos no 
n
, com n qualquer e não apenas com n = 2 ou 3, reside no fato 
que n, usualmente, representa o número de variáveis dos problemas em questão. A maioria dos problemas 
relevantes de aplicação da Álgebra Linear necessitam de muitas variáveis para seu equacionamento. 
Tipicamente, em 2009, um problema até cinco mil variáveis poderia ser classificado como de médio porte e 
um de grande porte pode chegar a milhões de variáveis. No capítulo 3 exemplificaremos problemas típicos 
de pequeno, médio e grande porte. 
 
 
Exemplo 1 - Digitalização de uma fotografia 
 
Uma fotografia em preto e branco, num retângulo Q, pode ser pensada como uma função 
 f: Q [0,1] 
que a cada ponto x ∈ Q, associa f(x) como sendo a intensidade de cinza naquele ponto x. Em geral f(x) = 0 
indica um ponto preto, f(x) = 1 um ponto branco. f(x) = 1/5 corresponderá a um tom de cinza mais escuro 
que um outro para o qual f(y) = 1/3. Contudo, uma tal função é uma idealização da fotografia, no sentido 
que, por um lado, não temos como expressar f(x) por meio de fórmulas que dêm o valor exato de f(x) num 
número finito de operações, para todos os infinitos valores de x ∈ Q. Pelo outro, não faz muito sentido 
querer distinguir o valor de f(x) em dois pontos muito próximos, pois nossa vista não consegue mesmo 
discernir como distintos, dois pontos que estejam a uma distância suficientemente pequena entre si. 
Tampouco adianta considerar todos os infinitos tons de cinza possíveis em [0,1]. Nossa vista tampouco 
consegue distinguir entre dois tons de cinza muito próximos. D aí surge a possibilidade de digitalizar a 
fotografia, que corresponde a particionar o retângulo Q em retângulos bem pequenos, de forma a substituir a 
função F por uma aproximação que seja constante em cada um destes pequenos retângulos, bem como 
discretizar o conjunto de tons de cinza para um número finito de possibilidades. Digamos em 256 tons 
distintos, para poder representar o tom de cinza em cada um dos pequenos retângulos por 1 Byte (= 8 bits 
2
8 
distintos valores de cinza). Na prática, particiona-se Q usando uma malha com M linhas horizontais e N 
verticais, gerando MN pequenos retângulos, ou pixels. A cada um destes pixels, o tom de cinza é 
representado como um número inteiro entre 0 e 255. Podemos representar a foto de duas maneiras: 
 Como uma matriz FM, de M linhas e N colunas, cuja entrada FMij seja a melhor aproximação, dentre 
os 256 tons de cinza disponíveis, para o valor de f(x) em algum ponto do correspondente pixel Qij, 
imediatamente abaixo da linha i e vizinho, pela direita da coluna j. 
 
 
7 
 
 Podemos enumerar cada um dos MN pixels, linha por linha, de cima para baixo e da esquerda 
para a direita. Ao i-ésimo deles associa-se o tom de cinza por um número inteiro Fi, entre 0 e 255, 
do mesmo jeito que antes. Neste caso, Fi = FMkj, com i = mk+j. Com isto obtemos um ponto F = ( 
F1, F2, ... , FMN) ∈ MN como representação digital da fotografia f(x).
1
 
 
Para fixar idéias, a foto de Hanna e Leno
2
 que reproduzimos abaixo, foi digitalizada com 671 linhas 
horizontais e 917 linhas verticais, gerando um ponto no 
615307
 
 
 
 
. A segunda figura corresponde a um trecho destacado num retângulo, perto do pescoço de Hanna. 
Trata-se de um trecho da foto com 90x123 =11070 pixels, amplificado cerca de 56 vezes, relativamente ao 
tamanho da foto original. A terceira foto corresponde a um trecho bem pequeno da coleira de Hanna, 
correspondente a 18x26 = 468 pixels e está amplificada cerca de 1300 vezes, relativamente ao tamanho com 
o qual reproduzimos acima a foto original. 
 
 
 
1
Na verdade as duas formas de representar digitalmente a fotografia expressam o fato que toda matriz MxN pode ser igualmente 
expressa como um ponto de 
MN
, desde que a armazenemos linha por linha. Na seção ***, veremos uma situação na qual a 
representação de uma imagem por um ponto do 
MN
 se impõe naturalmente e voltaremos a isto no começo do capítulo 2. O que 
importa, matematicamente, é que a fotografia fica representada com MN bytes, ordenados numa malha bem definida. 
Matematicamente, isto pode ser modelado como um ponto de 
MN
. 
 
2
 Leno (à direita) e Hanna (à esquerda) eram, digamos assim, lindos, queridíssimos e virgens os dois, quando esta foto foi feita. 
Nunca tinham, digamos assim, namorado antes. Num fim de semana, Hanna estava no cio e seus donos os juntaram, pela 
primeira vez, para ver no que dava. Hanna não queria de jeito nenhum e Leno se comportou como um perfeito cavalheiro. Não 
forçou em nenhum momento. O máximo que se conseguiu flagrar foi esta foto aí dos dois meio que nariz com nariz, dando a 
impressão de um beijo canino, agora ia.... Mas que nada, logo em seguida, Hanna sentava-se e não tinha conversa. Bem, ao final 
de semana, pensamos, fica para o próximo cio. Pelo menos ficaram amigos e foi divertido ver os dois, tiramos lindas fotos. Mas 
qual nada, os donos de Leno ficaram muito orgulhosos de seu jeitosíssimo cavalheiro e *** meses depois Hanna deu à luz 7 
lindos filhotes... 
 
 
8 
 
 
Trecho com 90x123 pixels = 11.07 Kb. Amplificação de aprox. 56 vezes 
 
 
 
 Trecho da coleira de Hanna com 18x26 pixels = 468 Bytes. Amplific. de aprox. 1300 
 
 
 
 O ponto a destacar é que aí fica bem nítida a digitalização da imagem. Ou seja, os 468 quadradinhos 
nos quais o tom de cinza é constante ficam bem visíveis. Contudo, a a resolução da digitalização desta foto 
não suporta uma tal amplificação, tornando quase irreconhecível a imagem reproduzida . Matematicamente 
a foto original é usualmente tratada ora como matriz com 671 linhas e 917 colunas, ora como um ponto de 
671x917
= 
615307
. Em particular, há um arsenal de ferramentas na álgebra linear muitoútil para tratar destas 
imagens. Teremos a oportunidade, mais ao final do livro, de ver uma técnica muito interessante de Álgebra 
Linear para compactar esta foto, de forma a representá-la satisfatoriamente com bem menos Kilobytes.
3 A 
 
3
 Na matriz 18x26 que reproduzimos representando o pequeno trecho fica bem nítido que os valores de alguns pixels, como os 
correspondentes à coleira, variam fortemente com relação a vizinhos, indicando contrastes bem marcantes na foto. Já outros tem 
tons de cinza com bem pouca variação entre vizinhos, como é o caso da submatriz formada pelas 9 colunas ao final das 3 
primeiras linhas, na matriz abaixo, indicando pouca variação na fotografia. Isto indica redundância na informação. Por exemplo, 
se tomássemos todos os valores nestas 27 posições como sendo um tom médio, digamos, 115, dá para perceber nas figuras 
apresentadas, que isto seria praticamente imperceptível, na foto original. É este fato que permite diminuir drasticamente a 
 
 
9 
 
tabela abaixo corresponde a uma matriz 18x26 e suas entradas representam exatamente os tons de cinza em 
cada um dos 468 pontos do trecho da foto logo acima. Ou ainda, como um ponto de 
468
, 
 
por exemplo, 
lendo a tabela abaixo, linha por linha. 
 
 132 122 118 122 122 99 151 204 123 83 105 120 126 128 122 116 116 117 114 113 109 110 114 111 104 102 
 108 92 110 123 122 105 113 202 236 148 92 116 126 124 123 119 116 116 112 111 112 114 112 112 108 101 
 78 77 99 111 111 101 96 174 254 237 142 103 123 125 120 119 120 117 109 108 110 112 107 103 106 103 
 63 66 74 81 97 136 188 195 194 227 228 141 105 124 120 114 116 114 108 103 104 108 104 99 98 104 
 63 94 116 134 166 217 220 160 101 124 217 216 119 121 115 110 110 107 105 99 97 105 107 104 102 108 
 179 224 236 219 196 186 142 104 85 76 132 207 147 115 115 107 103 104 103 99 98 104 108 108 112 111 
 249 254 243 184 125 109 104 99 94 80 122 173 137 106 109 107 100 100 100 103 104 103 106 109 107 107 
 196 206 156 100 85 88 97 103 86 82 166 236 182 107 99 108 102 99 98 103 105 104 104 105 102 106 
 119 112 95 91 94 97 99 114 81 87 154 229 237 151 103 94 99 102 101 102 101 107 112 104 100 106 
 109 105 101 96 100 105 97 152 185 162 150 166 171 147 126 100 101 104 103 101 99 104 113 103 108 104 
 94 98 102 98 102 107 95 151 247 242 154 115 96 100 128 117 107 102 101 95 92 102 110 102 114 107 
 101 98 99 101 103 100 99 120 191 194 120 83 87 92 109 118 112 102 99 97 90 94 97 101 104 112 
 106 101 97 97 100 97 98 96 105 106 96 90 79 89 106 106 103 99 97 97 92 90 92 99 103 113 
 101 101 98 96 97 96 94 94 93 100 111 102 87 91 94 107 137 103 79 92 93 87 94 101 106 116 
 97 100 100 98 97 92 89 88 87 93 116 133 91 83 79 135 232 201 127 109 74 74 94 102 103 109 
 101 102 100 98 95 94 91 86 87 88 102 172 118 69 71 146 230 224 168 196 165 91 74 97 102 104 
 103 102 98 96 94 95 96 94 90 94 91 158 213 166 113 172 180 133 113 124 213 224 102 67 96 102 
 104 105 103 98 96 98 97 96 93 98 95 108 219 252 179 181 132 77 75 95 117 179 176 85 78 102 
 
 
1.3 – Soma de pontos de 2 e 3 e multiplicação de pontos por números 
 
Apenas definir os conjuntos 
2
 e no 
3
 é pouco. Precisamos saber como operar com seus pontos 
No 
2
 e no 
3
, a física aponta o caminho. Veja que podemos representar vetores da física como pontos do 
2 
ou do 
3 
aplicados na origem. Na verdade, esta identificação de vetores como pontos 
2
 e do 
3
 é uma 
antiga conhecida sua e corresponde à maneira mais fácil de somar duas forças aplicadas sobre um corpo. Ou 
seja, em linguagem da física, se F = F1 + F2 e G = G1 + G2 e c ∈ então: 
 
 F+G = (F1+G1) + (F2 +G2) 
 cF = cF1 + cF2 
 
 Em termos de coordenadas, = (1,0) , = (0,1), F = (F1, F2), G = (G1, G2) e estas operações 
correspondem a: 
 
 F+G = (F1+G1, F2 +G2) 
 cF = (cF1 , cF2) 
 Este é o mote para definir soma de pontos do 
2
 e multiplicá-los por números. Denotamos o 
2
 
com esta soma usual de pontos e a multiplicação por números reais como: 
 
V = (
2
, +, *) 
 
 
quantidade de números necessária para reproduzir adequadamente a foto, muito embora haja dezenas de formas diferentes de 
fazer a compactação da imagem. A grande maioria recorrendo a algoritmos de álgebra linear, de uma forma ou de outra. 
 
 
10 
 
 A soma de pontos do 2, conforme a definimos acima, leva ainda o nome de regra do paralelogramo, em 
alusão ao fato que, como você bem sabe, a soma de dois vetores no 
2
, com origem comum em (0,0), é a 
diagonal do paralelogramo definido pela origem e pelos pontos F = (F1,F2), G = (G1 ,G2), conforme a 
figura abaixo. (Vide ainda os exercícios 1.1 e 1.2) 
 
 
 x2 
 
 2 v (F1 + G1,F2 + G2) 
 (G1,G2) 
 
 
 
 v (F1,F2) 
 
 x1 
 
 
 
 Desta forma, temos uma maneira bem natural de operar com pontos do 
2
. Talvez do fato de 
corresponder a soma de vetores da Física, daí se tenha começado a pensar na estrutura algébrica (R
2
, +,*) 
como um espaço vetorial e a se designar os pontos de 
2
 como vetores. Da mesma maneira poderíamos ter 
definido V = (
3
, + , *) de modo a honrar a soma de vetores tridimensionais da física. Como muitas vezes 
sucede, esta estrutura algébrica é muito útil para representar vetores da física, mas se mostrou importante 
também em outras áreas. Por exemplo, o Cálculo Diferencial e Integral em várias variáveis nela se baseia. A 
soma de pontos e sua multiplicação por números é facilmente generalizável para pontos com n coordenadas 
e é isto que faremos na próxima seção. 
 
Observação 1.1 Propriedades Estruturais de (
2
, + , *) 
 
Desde criancinhas vocês estão acostumados com propriedades satisfeitas por números reais a, b e c 
tais como a + (b + c) = (a+b) + c, a+b = b+a, a + 0 = 0 + a, a + (-a) = 0, (a+b)c = ac + bc, etc. Deve ter 
tido algum professor de matemática, destes tidos como chato, que tentou lhe fazer decorar os nomes destas 
propriedades: associativa, comutativa, etc. Depois, no segundo grau, você viu que estas mesmas 
propriedades eram herdadas pela soma de vetores do 
2
 e do 
3
, sendo que a multiplicação era feita entre 
vetores e números reais. Por exemplo, se a = (2,3) e b = (4,5) 
 
a + b = (2,3) + (4,5) = (2+3, 4+5) = (3+2, 5+4) = (3,2) + (5,4) = b + a, ou seja, a+b = b+a 
 
Se você observar bem esta conta aí de cima, a soma de a e b é comutativa por herdar esta propriedade 
dos números reais, em cada uma das duas coordenadas. O mesmo acontece com outras propriedades 
 
 
11 
 
elementares da aritmética. Por exemplo, a associatividade. Desde criancinha, você sabe que (2+3) + 4 = 2 + 
(3 + 4). Ao tomarmos pontos no 
2
, isto se transformaem: 
(a+b) + c = ((a1, a2) + (b1,b2) ) + (c1,c2) = (a1+b1,a2+b2) + (c1,c2) = (a1+b1+c1,a2+b2+c2) = a + (b+c) 
 
Ou seja, a soma de pontos do 
2 
 é associativa. Uma outra mais fácil ainda: 2 + 0 = 2. 
Quando olhamos pontos no 
2
, isto fica: a + (0,0) = (a1,a2) + (0,0) = (a1 + 0, a2 + 0) = a. Ou seja, 
há um elemento nulo no 
2
, que somado a qualquer ponto a do 
2
, não altera o valor de a. 
 
 A relação 2 + (-2) = 0 você sabe desde criancinha. No segundo grau, você se acostumou ao fato 
que, dado a = (a1,a2) sempre podemos considerar seu simétrico –a = (-a1, -a2) , de tal modo que a + (-a) = 
0. 
Igualmente você também sabe, desde criancinha, distribuir produtos a forma 2*(3+4) = 2*3 + 2*4. 
Com pontos do 
2
, isto acaba gerando a propriedade distributiva: 
 
 *(a+b) = *((a1,a2) + (b1,b2)) = *(a1+a2,b1+b2) = ( *a1 + *b1, *a2 + *b2) = *a + *b 
 
Do mesmo jeito, você provavelmente já incorporou que muitas das propriedades que valiam para 
soma e multiplicação de números, continuam valendo para soma de vetores no plano e para multiplicação de 
vetores no plano por números. Contudo, apesar de sua verificação formal ser muito fácil, são MUITO 
importantes. Nelas se baseia a visão moderna, mais geral, de espaços vetoriais. Por isto as chamamos de 
estruturais. Serão denotadas por EV1, EV2, ..., EV6. Volta e meia voltaremos a elas. 
 
Dados v, v‟,v‟‟ em V = (R2, + , * ) , bem como números reais e ‟: 
 
EV1 - A soma de vetores é associativa, isto é, (v + v’) + v’’ = v + (v’+ v’’) 
 
EV2 - A soma de vetores é comutativa, isto é, v + v’ = v’+ v 
 
EV3 - 0 = (0,0) é o elemento nulo de 
2
, ou seja, v + 0 = 0 + v = v 
 
EV4 - Existe sempre um simétrico (-v) com relação à soma, no sentido que 
 
v + (-v) = (-v) + v = 0 
 
EV5 - A multiplicação por escalares é distributiva com relação à soma e produto: 
 ( v + v’) = v + v’ 
 
( + ‟) v = v + ’v 
’ v ’ v 
 
EV6 - O número 1 é o elemento neutro da multiplicação de números por vetores, ou seja, 
 
 1*v = v 
 
 
 
12 
 
Exercícios da seção 1.3 
 
Exerc. 1.1 - Considere x = (1, 2) e x‟ = (2, -4 ). Calcule x +x‟, represente geométricamente x, x‟ e x+x‟ num 
mesmo plano cartesiano e explique porque o segmento que liga a origem (0,0) ao ponto x +x „ é a diagonal 
de um paralelogramo cuja outra diagonal é o segmento que liga x e x‟. 
 
Exerc. 1.2 + - Verifique que a regra do paralelogramo acima descrita vale em geral. Ou seja, dados dois 
pontos quaisquer x, x‟ em 2, não colineares com a origem (0,0), o segmento que liga a origem a x +x„ é a 
diagonal de um paralelogramo cuja outra diagonal é o segmento que liga x e x‟. 
 
Exerc. 1.3 + - Defina V = (
3
, +, *) e esboce um desenho que represente a soma de pontos no 
3
 ( + ), bem 
como a multiplicação de pontos do 
3
 por números reais ( * ). 
 
 
1.4 Soma de pontos de 
 n
 e multiplicação de pontos por números 
 
 A soma de pontos no 
2
 e no 
3
, bem como sua multiplicação por números reais se generalizam 
naturalmente para o 
n 
 como: 
 
(x1,x2,…,xn) + (x1’,x2’,…, xn’) = (x1 + x1’, x2 + x2’ ,…, xn + xn’) 
 
*(x1,x2, …, xn) = (x1,x2…, xn) = ( x1, x2, …, xn) 
 
Ou seja, do mesmo jeito que antes podemos definir V = (
n
,+,*). 
 
 Por exemplo, no (
4
,+,*): 
(2,3,1,3) + ( 1,-3,2,-4) = (3,0,3,-1) 
 
3*(1,4,-2,-4) =3 (1,4,-2,-4) =(3, 12,-6,-12) 
 
Observação 1.2 Como seria uma interpretação geométrica disto? O que poderia significar, 
geometricamente, somar pontos do 
4
? Por enquanto, não temos como saber. Afinal, perdemos a 
interpretação geométrica da regra do paralelogramo, neste primeiro momento. A boa notícia é que com a 
definição de V = (
4
,+,*) iniciamos uma viagem surpreendente para nós, seres humanos condenados a uma 
visão espacial de 3 dimensões. Informalmente, se entendemos um espaço de 4 dimensões como um espaço 
no qual são necessários 4 números reais para descrever seus pontos, todos nós vivemos experiências em 
quatro dimensões. Um movimento precisa de quatro números para ser descrito. Portanto, um movimento é 
um fenômeno que ocorre num espaço de quatro dimensões. Contudo, faria sentido pensar geometricamente 
espaços com dimensão maior do que nossa capacidade visual? Exatamente aí reside a boa notícia. 
Pretendemos convencê-lo, já ao final do capítulo 5 deste livro, que uma compreensão geométrica de 
espaços com quatro ou mais dimensões não apenas é possível, mas é algo muito fértil do ponto de vista da 
matemática e suas aplicações. 
 
Observação 1.3 - Observe que + e * podem ser pensados como funções 
 
 
13 
 
 
+: 
n
 x 
n
 
n 
e 
 * : 
 x 
n 
 
n 
 
 
 (x , y) x + y ( , y) y 
 
 
 
Exercício da seção 1.4 
 
Exerc. 1.4 + - O objetivo deste exercício é que você se convença que as propriedades estruturais EV1-EV6, 
listadas para pontos do 
2
, como estão na observação 1.1, funcionam do mesmo jeito em qualquer 
n
, 
para qualquer n. 
i - Verifique que as propriedades EV1-EV6 valem em V = (
3
,+,*). 
ii - Verifique que as propriedades EV1-EV6 valem em V = (
4
,+,*). 
Iii – E em V = ( n,+,*), também valem? 4 
 
 
1.5 COMBINAÇÃO LINEAR (CL) NO n. 
 
Da geometria analítica no plano, você sabe que, dados X = (X1, X2) e Y = (Y1, Y2) , ponto médio M, do 
segmento de reta que liga X a Y, tem coordenadas 
 
 M = 
 
Podemos entender que o ponto M combina linearmente os pontos X e Y com pesos iguais. Esta idéia de 
Combinação Linear (CL) é uma idéia recorrente na álgebra linear. De maneira mais geral: 
 
Definição 1.1 COMBINAÇÃO LINEAR (CL) 
 
 Sejam v1, v2, , vm vetores do 
n
 e c1, c2, , cm números reais. Diz-se que 
 
 c1v1 + c2v2 + + cmvm 
 
é uma combinação linear de v1, v2, , vm com pesos (ou coeficientes) c1, c2, , cm. 
 
Veremos a seguir 8 exemplos de combinações lineares, em diferentes contextos: 
 
Exemplo 1.2 – O ponto médio do segmento que liga X a Y, M = ½ X + ½ Y, é uma CL de X e Y com 
pesos ½ e ½. 
 
4
 No capitulo 2, você verá que EV1-EV6 valem também para somas de matrizes mxn e multiplicação de matrizes por números. 
Na observação *** e no capítulo 4 comentaremos que EV1-EV6 também valem quando v, v‟e v‟‟ são funções de em , a soma 
é entendida como a soma usual de funções e a multiplicação é entendida como a usual multiplicação de funçoes por números. O 
fato é que podemos encontrar muitas situações na matemática nas quais dispomos de um conjunto V, com uma soma de elementos 
definida em V e uma multiplicação por números, satisfazendo EV1-EV6. Este fato é a ponte que gerou um tratamento bem mais 
abstrato da Álgebra Linear e que virou um padrão no século XX. A boa notícia aí, é que o para o conteúdo usual da Álgebra 
Linear, e que é um pedacinho bem pequeno de toda a teoria abstrata de Espaços Vetoriais, fazer quase tudo no 
n
 e, ao final, sair 
para o C
n
 é o essencial, está de bom tamanho e é um bom treino no formalismo matricial, tão necessário para as aplicações. No 
último capítulo deste livro, voltamos a este tema... 
 
 
 
14 
 
 
Exemplo 1.3 - Sejam v1 = (1,2,3,4), v2 = (2,4,6,8) e v3 = (3,6,9,12) e c1 = 3, c2 = -2 e c3 = 1. Então 
 
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 3 (1,2,3,4) + (-2)2 (2,4,6,8) + 1 (3,6,9,12) = (2, 4,6, 8) 
 
é uma combinação linear de v1, v2 e v3, com pesos 3, -2 e 1. 
 
Exemplo 1.4– Suponha que as médias aritméticas das notas nas provas de Matemática, Português, 
Geografia e História das 3 turmas de uma mesma série de um certo colégio estejam armazenadas, 
respectivamente, como coordenadas dos vetores T1 = ( 6.2 , 6.5, 7.2 , 7.3) , T2 = (5.8, 6.4, 7.4, 6.9) e T3 = 
(6.0, 5.8, 6.6, 7.2). Sabendo que T1 e T2 correspondem a turmas de 30 alunos, eT3 de 40, qual o vetor que 
armazena as médias aritméticas das notas nas provas dos 100 alunos das três turmas? 
 
Verifique que se fosse só matemática, a média aritmética das notas dos 100 alunos seria dada por 
0.6
100
40
8.5
100
30
2.6
100
30
 = 6.0. Nas quatro matérias simultaneamente, será: 
 
321 T
100
40
T
100
30
T
100
30
 = 
 = .3 ( 6.2 , 6.5, 7.2 , 7.3) + .3 (5.8, 6.4, 7.4, 6.9) + .4 (6.0, 5.8, 6.6, 7.2) = 
 = (6.00, 6.19, 7.02 7.14) 
 Ou seja, a média aritmética nas quatro matérias de toda a série é uma CL de T1, T2 e T3 com pesos 
30/100, 30/100 e 40/100. 
 
Exemplo 1.5 - Da mecânica sabemos que , se temos pontos materiais de massas m1, m2 , ... e mk no 
3
, 
situados nos pontos P1, P2, e Pk, sabemos que seu centro de massa é definido por: 
 
k
k
2
2
1
1 P
M
m
P
M
m
P
M
m

 , onde M = m1 + m2 + + mk. 
Ou seja, o centro de massa dos pontos considerados é uma CL de P1, P2, e Pk com pesos 
M
m
,,
M
m
,
M
m k21 
. 
 
Exemplo 1.6 - – Uma empresa fabrica três tipos de brinquedos. O gasto, em reais, de cada unidade de 
brinquedo com mão de obra, insumos, comercialização e outras despesas é apresentado na tabela abaixo: 
 
 B1 (R$) B2 (R$) B3 (R$) 
Mão de obra 5,00 3,00 2,00 
Insumos 12,00 9,00 8,50 
Comercialização 6,00 4,00 3,50 
Outras despesas 3,00 2,50 2,50 
 
 A fábrica produz, num dado mês, x1 unidades do brinquedo B1, x2 unidades do brinquedo B2 e x3 
unidades de B3. Representando pelo vetor D no 
4
 a despesa da fábrica, neste mês, discriminada, 
respectivamente, por cada um dos itens da tabela, teremos: 
 
 
15 
 
 D = 
4
3
2
1
D
D
D
D
 = x1 
3
6
12
5
 + x2 
5,2
4
9
3
 + x3
5,2
5,3
5,8
2
 = 
321
321
321
321
x5,2x5,2x3
x5,3x4x6
x5,8x9x12
x2x3x5
 
 
O vetor de despesas D é, neste caso, uma CL das colunas da tabela, com pesos x1, x2, x3. Veja que 
neste caso foi mais conveniente, do ponto de vista visual, representar um ponto do 
4
 por um vetor disposto 
na forma de coluna. Como representação de pontos do 
4
 não há nenhum problema nisto, uma vez que 
sabemos perfeitamente a ordem de cada coordenada no vetor, estejam as coordenadas do ponto do 
4
 em 
questão dispostas numa coluna ou numa linha. 
 
Exemplo 1.7 - Pergunta: X = (1,1) é CL de A = (1,2) e B = (2,1)? 
 
Se for, existem c1 e c2, tais que (1,1) = c1A + c2B = (c1+2c2, 2c1+c2). Resolvendo o sistema de duas 
equações e duas incógnitas 
1cc2
1c2c
21
21
 , achamos c1 = 1/3 e c2=1/3. 
 
Ou seja, (1,1) é combinação linear de (1,2) e (2,1) com pesos 1/3 e 1/3. 
 
O exemplo a seguir mostra que a CL do exemplo anterior depende apenas do fato que A e B não 
estão numa mesma reta que a origem (0,0). 
 
Exemplo 1.8 – Se A e B são pontos do 2 e não estão numa mesma reta contendo a origem (0,0), então 
todo ponto do 
2
 se escreve como CL de A e B. 
 
 Seja Q um ponto qualquer do plano e considere um paralelogramo OPQR tal que: 
 
i – A diagonal OQ tem seus vértices na origem O = (0,0) e em Q. 
ii –P e R estão na direção de A e de B respectivamente, ou seja, P = c1A e R = c2B. 
 
 
Observe que neste caso, pela regra 
do paralelogramo, 
 
 Q = P + R = c1A + c2B. Ou seja, 
 
 
Q resulta como CL de A e B. 
 
 
Exemplo 1.9 – Se A e B são pontos do 3, então o conjunto = {c1A + c2B | c1 e c2 são n
os 
reais}, formado 
por todas as combinações lineares de A e B, representa: 
 
i - Uma reta contendo a origem (0,0,0) e A, caso B seja um múltiplo de A e A 0. Ou seja, se B = cA, 
então c1A + c2B = (c1 + c2c)A também é múltiplo de A. 
 
ii – Um plano contendo O = (0,0,0), A e B, caso O, A e B não sejam colineares. A razão, neste caso, é 
muito parecida com a do exemplo anterior, já que os pontos O, P = c1A, Q = c1 A + c2B e R = c2B serão, 
para todo par de números reais c1 e c2, vértices de um paralelogramo no plano que contem O, A e B. 
 
 Q = P+R=c1A+c2B
 P=c1A R =c2B
 B
 A
 
 
 
16 
 
Observação 1.4 - Na verdade, a idéia de Combinação Linear é importante não apenas no 
n
, mas também é 
muito útil em outras situações. Por exemplo, é natural pensar na função f: , dada por f(x) = 3x + 2 
sen(x) –3 cos(x) como uma CL das funções f1(x) = x, f2(x) = sen(x) e f3(x) = cos(x), com pesos 3,2 e –3. 
 
Exercícios das seção 1.5 
 
Exerc. 1.5 - Ache o vetor do 
4
 que somado a 2*(1,-3,-2,4) dá (2,5,3,-1) 
Exerc. 1.6 - Ache o ponto médio do segmento que liga (1,2,1) a (2, -1,1) 
 
Exerc. 1.7 - Sejam v1 = (1,2,3), v2 = (2,3,4) e v3 = (1,1,1). 
i – Calcule a combinação linear de v1, v2 e v3 com pesos c1 = 2, 2 e –2. 
ii – Ache c1 e c2 de tal forma que v3 seja combinação linear de v1 e v2 com pesos c1 e c2. 
iii – Verifique que v = (1,0,0) não é combinação linear de v1 e v2. 
iv - Verifique que v = (1,0,0) não é combinação linear de v1 , v2 e v3. 
v - Verifique que todo ponto do 
3
 é combinação linear de v, v1 e v2. 
vi - Interprete o significado geométrico de ii,iii,iv e v. 
 
 
Exerc. 1.8 - Mostre que as coordenadas do centro de massa G de três corpos de igual massa e situados em 
A, B e C será o baricentro do triângulo ABC. (Ponto de encontro das medianas) 
Exerc. 1.9 - Como você definiria o ponto médio do segmento que une dois pontos do 
4 
? 
 
1.6
 
 - PRODUTO MATRIZ -VETOR 
 
Voltando ao exemplo 1.5, o vetor que representa os custos mensais da produção de brinquedos em 
função do vetor das quantidades de brinquedos produzidos x = (x1, x2,x3), pode ser escrito na forma: 
D = 
4
3
2
1
D
D
D
D
 = x1 
3
6
12
5
 + x2 
5,2
4
9
3
 + x3 
5,2
5,3
5,8
2
 = 
321
321
321
321
x5,2x5,2x3
x5,3x4x6
x5,8x9x12
x2x3x5
 
 
 
Isto motiva as definições de matriz (de números reais), bem como do produto matriz-vetor. Uma 
matriz mxn, pode ser pensada como uma tabela com m linhas e n colunas (de números reais, no caso). 
No exemplo 1.5, por exemplo, a tabela lá apresentada pode ser entendida como uma matriz C, 4x3. 
Convenciona-se apresentá-la na forma: 
 
 C = 
5.2
5.3
5.8
2
5.2
4
9
3
3
6
12
5
 
 
Denotando as colunas de C como C
(1)
, C
(2)
 e C
(3)
, o produto da matriz C pelo vetor x define-se pela 
expressão acima para D, ou seja: 
 
 
17 
 
 D = Cx = x1 C
(1)
 + x2 C
(2)
 + x3C
(3)
 = 
321
321
321
321
x5,2x5,2x3
x5,3x4x6
x5,8x9x12
x2x3x5
 
Imaginamos que você tenha reconhecido, do lado esquerdo da identidade acima o produto de uma 
matriz por um vetor, conforme viu no 2
0
 grau. O produto matriz-vetor é o tijolo de toda nossa construção, 
nesta disciplina. 
 
Definição 1.2 - PRODUTO MATRIZ-VETOR 
 
Podemos pensar numa matriz A com m linhas e n colunas de números reais como formada por n 
colunas de vetores do 
m
. Dado ainda um vetor x no 
n
, definimos o produto A*x como o vetor do 
m
 
formado pela combinação linear das colunas de A, com pesos x1, x2 , , xn. Se A
(1)
, A
(2)
, , A
(n)
 
denotam as colunas de A, o produto de A por x, também denotado por Ax, se escreve: 
Ax = x1 A
(1)
 + x2 A
(2)
 + + xnA
(n)
 = 
nnn22n11n
nn2222121
nn1212111
xAxAxA
................
................
................
xAxAxA
xAxAxA
 (1.1) 
 
 
Observação 1.5 – Talvez pareça um pouco de exagero dar toda esta volta para definir uma coisa que você 
já conhecia de maneira mais simples. Afinal, para multiplicar uma matriz por um vetor é tão fácil 
“multiplicar” cada linha Ai da matriz pelo vetor x, do jeito que está à direita nas duas fórmulas acima. 
Inclusive com o jeitão de lado esquerdo de um sistema de equações lineares, um conhecido seu ainda do 2
0
 
grau. Isto você provavelmente ainda se lembra lá do 2
0 
grau, não? Pois bem, pode continuar a lembrar deste 
jeito, por que isto é verdade, importante e a relação acima é muitofácil mesmo de verificar. É só notar que o 
vetor mais a direita é facilmente identificável como a soma de n vetores na forma, 
 
knk
kk2
kk1
)k(
k
xA
....
....
....
xA
xA
Ax
, onde k = 1,...,n 
 
 
 
18 
 
Ou seja, para multiplicar C = 
5.2
5.3
5.8
2
5.2
4
9
3
3
6
12
5
, por b = 
3
2
1
é fácil fazê-lo na forma usual: 
 
 Cb = 
5.2
5.3
5.8
2
5.2
4
9
3
3
6
12
5
 
3
2
1
= 
 
Com matrizes e vetores numéricos, só para fazer uma continha na mão, é verdade que basta esta maneira de 
ver. De quebra ainda dá para reconhecer uma coisa muito importante que é o fato de podermos ver cada 
linha de C*b como o produto interno de um vetor-linha Ci por b, para quem lembra de produto interno entre 
dois vetores, lá do segundo grau, ou da Física. Nosso ponto aqui é que se trata de duas maneiras distintas de 
olhar para o produto matriz-vetor, ambas MUITO importantes. Você se surpreenderá de ver, em vários 
momentos nesta disciplina, que às vezes olhar de um jeito resolve facilmente um determinado problema, 
enquanto que olhar do outro só complica e vice versa. O exercício 1.11 é um primeiro exemplo disto. 
 
 
1.7 - QUESTÕES IMPORTANTES DE NOTAÇÃO 
Aqui gostaríamos de fixar algumas notações fundamentais para nós nesta disciplina e que seguiremos à risca 
até o final deste livro. 
 
 A = Amxn, significa que A é uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. A exceção 
se dará a partir do capítulo 8, no qual começarão a aparecer matrizes de números complexos. 
 Se A é uma matriz, Aij denotará o elemento na linha i e na coluna j de A 
 Se A é uma matriz, Ai denotará sempre a i-ésima linha de A. 
 Se A é uma matriz, A(j) denotará sempre a j-ésima coluna de A. 5 
 
Gostamos de pensar numa matriz A = A4x5 como particionada de duas maneiras distintas: 
 
 Como 4 vetores do 5, um em cada linha da matriz. Ou seja 
 , onde cada linha Ai é um vetor do 
5 
: Ai= (Ai1 Ai2 Ai3 Ai4 Ai5). 
 
 Como 5 vetores do 4, um em cada coluna da matriz. Ou seja: 
 
5
 O parêntesis (i), em A
(i)
, é para distinguir da potência i de A. Ou seja, A
2
 significará A*A e A
(2)
 a segunda coluna de A 
 
 
19 
 
A = ( A
(1)
 A
(2)
 A
(3)
 A
(4)
 A
(5)
) , onde cada coluna A
(j)
 é um vetor do 
4
: A
(j)
 = 
Neste contexto, o produto da matriz A = Amxn por um vetor x ∈ n, 
 Se vemos A como particionada em colunas, Ax é uma combinação linear das colunas de A, 
 Ax = x1A
(1)
 + x2A
(2)
 + + xnA
(n) 
 Se vemos A como particionada em linhas, a i-ésima coordenada de Ax é o número 
 Aix = (Ai1 Ai2 Ain) = Ai1x1 + Ai2x2 + + Ainxn 
 
 Como você viu acima, às vezes escrevemos vetores deitados numa linha, às vezes em pé, numa 
coluna. Na verdade, a idéia de vetor do 
n
 se presta a isto mesmo, visto que se trata de uma n-upla ordenada 
e que não faz diferença nenhuma representá-la de uma maneira ou de outra. Contudo, cometeremos ao longo 
da disciplina, um certo abuso de notação que é deliberadamente “confundir” um vetor do n, ora como 
uma matriz 1xn, às vezes chamada de matriz-linha, ora como uma matriz nx1, às vezes também 
chamada matriz-coluna, apesar de, a rigor serem objetos matemáticos diferentes. Tal “abuso”de notação 
fica justificado pelo fato que, em cada contexto estará bem claro o que se quer e pelas enormes vantagens 
operacionais que teremos em fazê-lo. Softwares numéricos como o matlab e o scilab sequer reconhecem 
vetores como objetos matemáticos distintos de matrizes. Vetores no Matlab e no Scilab sempre estão 
definidos ora como matriz-linha, ora como matriz-coluna. Em particular, a forma default (padrão) de 
representar um vetor é na vertical, dado que a definição usual de produto matriz-vetor utiliza vetores 
representados na vertical, como se fossem matrizes-coluna. 
 
Exercícios da seções 1.7 e 1.8 
 
Exercício 1.10 i - Calcule a despesa mensal da fábrica de brinquedos, no nosso exemplo 1.6, da subseção 
1.7, para produzir 100 unidades de cada um dos 3 brinquedos. 
 ii – Sabendo que a receita com os brinquedos é dada pela função R(x) = Cx – b, onde C = (30 20 20) 
e b = 1000, ela terá lucro ou prejuízo se x1 = x2 = x3 = 100. Qual é a menor produção da fábrica, com iguais 
quantidades produzidas de x1 , x2 e x3 , de modo a que não haja prejuízo. 
 
Exercício 1.11 - Considere A = e b = 
i - Calcule A*b, coordenada a coordenada, com Ai*b 
ii – Tente mostrar que a terceira coluna de b é uma combinação linear das duas primeiras colunas de A, sem 
resolver nenhum sistema linear e sem usar que A*b é uma combinação linear das colunas de A. 
(Sugestão: Se estiver muito difícil desista e tente o item iii. Provavelmente é bem difícil mesmo resolver este item ii, 
satisfazendo as condições pedidas. A idéia é você ver que pensando em A*b como uma combinação linear das 
 
 
20 
 
colunas de A, neste caso, dá para escrever a terceira coluna de A como combinação linear das outras duas sem ter que 
resolver nenhum sistema linear adicional 
iii – Calcule A*b como combinação linear das colunas de A e tente, novamente escrever a terceira coluna de 
A como uma combinação linear das duas primeiras colunas de A, sem resolver nenhum sistema linear. 
 
Exercício 1.12 - Dados A = , x = , y = e z = , calcule Ax , Ay e Az 
 
Exercício 1.13 - Considere A = , B = e x = 
i - Ache uma matriz C tal que A(Bx) = Cx e mostre que C = (AB
(1)
 AB
(2)
), ou seja, mostre que as colunas 
de C são os vetores AB
(1)
 e AB
(2)
 
ii – Mostre que o que aconteceu acima não foi uma coincidência, ou seja, que para quaisquer matrizes A, B e 
vetor x, teremos A(Bx) = Cx , onde C = (AB
(1)
 AB
(2)
) 
iii – Este item é para quem já viu produto de matrizes. O que esta matriz C dos itens i e ii tem a ver com o 
produto das matrizes A e B? 
Exercício 1.14 Dados A = , x = e y = e número real c, verifique que 
i - A(x+y) = Ax+ Ay. 
Ii = A(cx) = cAx 
 
 1.8 – LINEARIDADE DO PRODUTO MATRIZ-VETOR 
 
No exercício 1.14 lhe pedimos que verificasse valer , naquele caso particular, que: 
LP1 A(x+y) = Ax + Ay 
LP2 A(cx) = cAx 
Agora vamos mostrar que LP1 e LP2 valem em geral, para toda matriz A = Amxn, vetores x e y no 
n 
e 
número real c. Tais propriedades, apesar de muito simples de estabelecer, constituem as propriedades mais 
fundamentais do produto matriz-vetor. Às duas, conjuntamente, chamamos de Linearidade do Produto 
Matriz-Vetor. Na verdade, a idéia de linearidade constitui um tema transversal em toda a disciplina e vai 
longe na matemática. Não é à toa que a disciplina se chama de Álgebra LINEAR. Provavelmente vocês 
ainda se lembram destas propriedades LP1 e LP2 lá do segundo grau ou da Física, no caso de vetores de 
2 
 
e 
3
, 
 
muito embora talvez não sob o nome de linearidade. Vamos treinar um pouquinho nossa notação, 
junto com as propriedades estruturais EV1-EV6, para fazer com todos os detalhes formais sua verificação. 
Elas merecem : 
I – A(x+y) = (x+y)1A
(1)
 + + (x+y)nA
(n)
 (A(x+y) como CL das colunas de A) 
 = (x1 + y1)A
(1) 
 + + (xn + yn)A
(n)
 (Definição de x+y) 
 = x1A
(1)
 + y1A
(1)
 + + xnA
(n)
 + ynA
(n)
 (Distribuindo soma de nos * vetor Prop. EV5.1) 
 
= + (Comutando vetores Prop. EV2) 
 = Ax + Ay 
 
 
21 
 
II – A(cx) = = c ( ) = cAx (Prop. EV5.2) 
 
Exercícios da subseção 1.8 
O exercício tem um + pelo fato que LP é uma definição alternativa importante de linearidade. O + do 
exercício 1.16 vem do fatode nele introduzimos a idéia de bilinearidade e a exemplificarmos com o 
produto usual de números. O + do exercício 1.17 é que lá você vai estabelecer uma propriedade muito 
importante para funções f: , a qual veremos na subseção seguinte ser generalizável para funções f:
n
 
m
. 
 
Exercício 1.15 + - Mostre que o produto Ax satisfaz a propriedade LP abaixo, para todos os vetores x e y 
no n e todos os números reais c e d 
 LP: A(cx + dy) = cAx + dAy 
 
Exercício 1.16 + - Mostre que o produto de números reais é bilinear, no sentido que: 
Linearidade à direita - Fixado x ∈ e dados nos reais , y e y‟ valem 
 LD1: x(y+y‟) = xy + xy‟ 
 LD2: x( y‟) = x*y‟ 
Linearidade à direita - Fixado y ∈ e dados nos reais ,x e x‟ valem 
 LE1: ( x + x‟)y = xy + x‟y 
 LE2: ( y)x = (yx) 
Exercício 1.17 + 
i – Mostre que f: , dada por f(x) = 3x é uma função linear no sentido que 
 L1: f(x+y) = f(x) + f(y), para todo par de n
os 
reais x e y
 
 L2: f(cx) = cf(x), sempre que c e x forem n
os 
reais 
ii – Mostre que f e g: , dadas por f(x) = 3x + 1 e g(x) = x2 não são funções lineares, no sentido que não 
satisfazem L1 e L2, conforme enunciadas no item i 
iii + – Mostre que se f: é uma função linear, então existe um número real c, tal que f(x) = cx. 
(Sugestão: Aplique a propriedade L2 a 1*x 
 
1.9 FUNÇÕES LINEARES 
 
No exercício 1.17, você pode brincar um pouco com a idéia de funçào linear f: . O modelo da fábrica 
de brinquedos do exemplo 1.6 gera uma função D: 
4
 
3
, que descreve os custos de produção da 
fábrica e é dada pela fórmula 
 D(x) = Ax = 
321
321
321
321
x5,2x5,2x3
x5,3x4x6
x5,8x9x12
x2x3x5
 
 
 
 
22 
 
Na verdade a toda matriz A = Amxn podemos associar uma função T:
n
 
m
, dada pela fórmula T(x) = Ax. 
Veja que, para uma tal função T, as propriedades LP1 e LP2 se escrevem como 
 
 T(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = T(x) + T(y) 
 T(cx) = A(cx) = cAx = cT(x) 
 
Isto gera a definição de função linear f: 
n
 
m
 como sendo uma que satisfaça as propriedades: 
 
 L1: f(x + y) = f(x) + f(y), para todos os vetores x e y em 
n 
 
L2: f(cx) = cf(x), para todo vetor x no 
n
 e todo n
0
 real c 
 
Uma definição mais enxuta de função linear, juntando L1 e L2 diria que uma f:
n m
 é uma função linear 
se satisfizer, para todo x,y ∈ n e todos os nos reais c e d, a propriedade: 
 
 L: f( cx + d y) = cf(x) + df(y) 
 
No exercício 1.18, lhe pedimos para demonstrar que uma função satisfazendo L1 e L2 satisfaz também L e 
vice versa. Acreditamos que você não terá dificuldade em fazê-lo. Olhando desta maneira, uma função L é 
uma função que leva uma combinação linear dos vetores x e y, numa correspondente combinação linear dos 
vetores f(x) e f(y). 
 Bem, já temos pelo menos uma classe de funções lineares, que são aquelas dadas pelo produto 
matriz-vetor. No caso m = n = 1, isto significa f(x) = (A11)x = A11x é uma função linear, se A = A11 = (A11). 
Para todos os efeitos práticos, podemos “confundir” a matriz A = (A11) com o número real A11. No 
exercício 1.17 você viu que as únicas funções lineares f: são estas. Cabe a importante pergunta aí: 
 
Que outras funções lineares f: 
n
 
m
 existem, além das definidas por T(x) = Ax, para A = Amxn? 
 
A resposta é: NENHUMA! Todas as funções lineares f: 
n
 
m
 são do tipo produto matriz-vetor. 
Demonstração: 
O argumento para vê-lo é bem fácil de acompanhar e generaliza o que lhe foi sugerido no exercício 1.17. 
Suponha que f: 
n
 
m
 seja uma função linear e que x ∈ n . 
Começamos com o caso n = 2. 
 x = f(x) = f ) (usando a suposta linearidade de f(x)) 
 = = = Ax, onde 
 A = 
 
No caso geral veja que, de modo análogo, ao partir de 
 
 
23 
 
 x = , 
a linearidade de f nos permite distribuir (vide exerc 1.18ii) e obter 
 f(x) = f ) 
 = ) = 
Em palavras, se f:
n m
 é linear, então f(x) = Ax, onde A = Amxn é uma matriz cujas colunas são A
(k) 
 = 
f(I
(k)
) . Cada I
(k) 
é um vetor que vale zero em todas as coordenadas exceto na k-ésima, onde vale 1. 
 Fim da demonstração 
Exercícios da seção 1.9 
Exerc. 1.18 - i - Mostre que uma função f: 
n
 
m
 satisfaz L1 + L2 sss satisfaz L, onde L1, L2 e L são 
definidas loga acima no texto. 
ii – Mostre que se f é linear, então a propriedade L vale para qualquer combinação linear de n vetores. Ou 
seja, f(c1A
(1)
 + c2A
(2)
 + ... + cnA
(n)
) = c1 f(A
(1)
) + c2 f(A
(2)
) + ... + cn f(A
(n)
) 
 
Exerc. 1.19 - Reproduzimos na tabela abaixo a quantidade, em kg, de substâncias I, II, III que se encontra 
em cada kg dos alimentos A, B, C. 
 
Suponha que uma pessoa combine os três alimentos comendo x1 gramas de A, x2 
gramas de B e x3 gramas de C. Denote por y = 
y
y
y
1
2
3
 o vetor das quantidades de 
substâncias I, II e III, respectivamente ingeridas. Ache a expressão da função que a cada vetor x de 
alimentos ingeridos associa o correspondente vetor y das substâncias. 
 
Exerc. 1.20 – A tabela abaixo nos dá as quantidades de calorias, gorduras, colesterol e sódio presentes em 
alimentos com os quais se deseja fazer sanduíches. 
 
 
 Pão 
(fatia) 
Queijo Prato 
(100 g) 
Presunto 
(100g) 
Manteiga 
(100 g) 
Margarina 
(100 g) 
Queijo magro 
(100 g) 
Calorias 70 122 120 360 360 95 
Gordura (g) 0,8 10 5 40 40 6 
Colesterol (mg) 0 32 50 120 0 5 
Sódio (mg) 127 209 1527 410 400 365 
 
 A B C 
I 0,1 0,2 0,2 
II 0,4 0,3 0,1 
III 0,2 0,3 0,2 
 
 
24 
 
 Considere que um sanduíche com duas fatias corresponde a um vetor x = 
6
2
x
x
2

, onde cada xi é, 
respectivamente, a quantidade de cada um dos alimentos da tabela, medida em gramas. 
 
Considere a correspondente matriz A = 
3654004101527209127
5012050320
640405108,0
9536036012012270
. 
 
I - Verifique que y = Ax é uma função que a cada sanduíche associa a quantidade de calorias, gorduras, 
colesterol e sódio nele contidas. 
 
ii – Calcule o vetor da quantidade de calorias, gorduras, colestorol e sódio num mixto quente feito com duas 
fatias de pão, 40 g de queijo, 40 g de presunto e 15 g de manteiga. 
 
iii – Calcule a quantidade de queijo magro a ser usada num sanduíche de queijo quente feito com duas fatias 
de pão, 15 g de margarina, queijo magro e a mesma quantidade de calorias que o anterior. Calcule também a 
quantidade de colesterol ingerida num tal sanduíche. 
 
Exercício 1.21 Suponha que T: 
2
 
2
 seja uma função linear tal que 
 
T(
0
1
) = 
2
1
, e T(
1
0 ) = 
1
3
 
 
 Mostre que T( 
2
1
x
x ) = x1
2
1
 + x2 
1
3
 = 
2
1
x
x
12
31 
 
Exercício 1.22 + - Verifique que se T: 
n
 
m
 é uma função linear, então T(0) = 0 
 
 
1.10 – FUNÇÕES LINEARES EM e 2 
 
 As funções lineares f: são todas do tipo f(x) = mx. São tão simples que pouco há o que dizer 
sobre elas. 
 No 
2
, já há bem mais funções lineares. Em particular, muitas das funções que são usadas na 
computação gráfica tais como zoom, rotação, projeção, reflexão numa reta e, cizalhamento podem ser 
realizadas com funções lineares de 
2
 em 
2
. Vale dizer, como produto matriz-vetor. 
 
Exemplo 1.10 - Zoom 
 
 
25 
 
Sejam , 
A
0
0
 e TA : 
2 2
 dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.11 Reflexão em torno do eixo dos x 
 
 
Seja 
A
1 0
0 1
 e considerey y 
 
 
 TA 
 (x,y) 
 
 
 x x 
 (x,-y) 
 
Exemplo 1.12 - Esticando arestas de um quadrado, de forma a transformá-lo num retângulo: 
 
 Sejam S
(1)
 = 1
1
, S
(2)
 = 1
1
 . 
 Procuramos T: 
2
 
2 
, linear e tal que: 
 
T
x
y
x
y
x
yA
0
0
 
T
x
y
A
x
y
x
yA
 
 
 
 y y 
 
 
 TA v 
 v v 
 
 
 x x 
 
 
 
26 
 
 
2
2
1
1
T
 - T multiplica por 2 os vetores na direção 1
1
 
 
4
4
1
1
T
 - T multiplica por 4 os vetores na direção S(2) = 1
1
 
 Veja que S
(1) 
e S
(2)
 não são colineares com a origem. No exemplo 1.8, vimos que todo ponto do 
2
 se 
escreverá como combinação linear de S
(1)
 e S
(2)
. Neste caso particular, é fácil fazer esta conta. 
 Ou seja, dado x ∈ 2: 
 x = 1 
1
1 + 2 
1
1 
221
121
2
1
21
21
x
x
x
x 
 
 Resolvendo o sistema de duas equações lineares acima, obtemos 
 
 1 = e 2 = 
Impondo a linearidade, para x = 1 
1
1 + 2 
1
1 = 
1
1 + 
1
1 . teremos 
 
 Tx = 1T 
1
1 + 2T 
1
1 = 2 1 
1
1 + 4 2 
1
1 = 
 = 
21
21
42
42 = 
Ou seja, neste caso T(x) = Ax, com A = 3 1
1 3
 
Geometricamente: 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13 - Cizalhamento 
 
 Considere A = 1 1
0 1
 e TA(x) = Ax 
 
Dado que T( 1
0
) = 1
0
 e T( 0
1
) = 1
1
, a imagem de um 
 
quadrado [0,1]x[0,1] por TA será: 
 
 
 
 y y 
 
 
 T(1,1) = (2,2) 
 (1,1) T 
 
 (2,0) x x 
 
 (1,-1) 
 T(2,0) =(4,-2) 
 
 
 T(1,-1) = (4,-4) 
 
 
 
 
28 
 
Exemplo 1.14 - Rotação de um ângulo 
 
 
Uma rotação de um ângulo leva (x,y) =( r cos , r sen ) em (x‟,y‟) onde 
 
x r r r
x y
cos( ) cos cos sen sen 
 
obtemos x‟ = x cos ( ) - y sen( ) 
analogamente y‟ = r sen( + ( ) + ycos( ) 
 
Ou seja, rotações são transformações lineares no plano dadas por: 
 
 
 
 
Exercícios da seção 1.10 
 
Exercício 1.23 - i - Defina P:
2
 
2
, como sendo a projeção ortogonal na reta do 
2
, de equação y = mx. 
Ou seja, x – P(x) deve ser ortogonal a reta dada. Mostre que T é uma função linear 
ii - Considere a reflexão R: 
2
 
2
, com relação à reta y = mx. Ou seja R(x) é a imagem no espelho y = 
mx, do ponto x. Matematicamente isto significa que, se x não estiver na reta, o segmento que liga x e R(x) é 
ortogonal a reta de equação y = mx e seu ponto médio está em y = mx. Mostre que R também é uma função 
linear. 
 
Exercício 1.24 – Ache uma função linear T: 2 2 tal que T(2,1) = (1,2) e T(1,2) = (2,1). Mostre que 
T(T(x)) = x para todo x 
2
 
 
1.11 - Uma função linear em 
120000 
 y y
 (x,y) = R x,y) = (x‟,y‟) = (r cos( , r sen(
 (r cos , r sen )
 R (r cos , r sen 
 
 x x
 
R
x
y
x y
y x
x
y
cos sen
cos sen
cos sen
sen cos
 
 
 
29 
 
 
Se consideramos a densidade do tecido encefálico contido numa seção de um cérebro, podemos representá-
la por uma função : Q [0,1], onde Q é um retângulo contendo a imagem de tal seção. Nos pontos fora 
do cérebro, tal densidade vale 0. 1 seria um limite superior para os possíveis valores da densidade 
encefálica. Ou seja, seria calibrada de forma a que (s) < 1, sempre. A densidade pode ser visualizada, 
tal qual uma fotografia, os pontos mais densos corresponderiam a valores mais próximos de 0 e os menos 
densos a valores maiores. Tais imagens são muito úteis para um médico analisar visualmente a existência de 
anomalias, como tumores por exemplo, no cérebro de seus pacientes. 
 
 Ao emitirmos um feixe de partículas numa posição T da cabeça de um indíviduo, e medirmos a 
correspondente radiação que atravessa o cérebro e chega a uma posição R, este estreito feixe de raios será 
mais ou menos atenuado, conforme a densidade de tecido existente no percurso. Estamos interessados em 
representar a função yTR( ) que a cada par Transmissor-Receptor, associa a atenuação de energia no raio 
TR, transmitido em T e recebido em R. Estaremos supondo também que R e T estejam num mesmo plano 
horizontal, como na figura abaixo. 
 Do mesmo jeito que fizemos com a fotografia de Hanna e Leno, o usual é considerar-se uma 
digitalização desta densidade . Abaixo apresentamos uma digitalização da densidade numa seção horizontal 
do cérebro de um indíviduo e só para fixarmos idéias consideramos uma malha de 40 linhas horizontais e 30 
linhas verticais. Na verdade tal digitalização é grosseira demais, visto que visualmente pode-se perceber que 
 não é constante em cada pixel, nesta resolução. Contudo é útil na exposição e serve para entender como 
funciona a digitalização. Neste caso, é conveniente representarmos a digitalização de por um ponto s ∈ 
1200, ordenado linha a linha, da direita para a esquerda., conforme a figura abaixo. Isto nos permite 
associar, para este raio TR e a um dado pixel, digamos k, no percurso de TR, uma atenuação 
proporcional a densidade sk e ao comprimento Ak do raio no pixel k. Estamos considerando Ak = 0, 
caso o raio TR não atravesse o k-ésimo pixel. 
 
 Ou seja, no caso do raio TR da figura que começa no pixel 631 e atravessa os pixels 631, 632, 
633, 634, 635, 636, 606, 607, ······· , 591, 592, 593, 594, 595, 565, 566, 567, 568, 569, 570. Portanto a 
contribuição de cada um destes pixels na perda de energia do raio emitido em T vai ser k*Ai*si, onde 
Ai vale o comprimento do raio TR no i-ésimo pixel. Em particular, Ai = 0, se o i-ésimo pixel não estiver 
no caminho do raio TR. Ou seja: 
 
 YTR=k(A631s631 + A632s632 + ······· + A570s570) = k As, 
 
onde A = A1x1200 é um vetor linha com grande números de zeros e s é o vetor que discretiza a 
densidade 
 
 
30 
 
 
 
 
No caso de termos m pares transmissor-receptor, teremos m equações como a que obtivemos para yTR. 
Enumerando estas equações de 1 a m e os correspondentes vetores linhas como vetores A1, A2 , ..., Am , de 
forma a considerá-los como linhas de uma matriz A, podemos escrever as m equações na forma: 
 
y1=k(A11 s1 + A12 s2 + ······· + A1n sn) = k A1 s, 
y2= k(A21 s1 + A22 s2 + ······· + A2n sn) = k A2 s, 
 
 
ym= k(Am1 s1 + Am2 s2 + ······· + Amn sn) = k Am s, 
 
Moral da História: A discretização da função que a m pares de transmissor-receptor colocados na cabeça 
de um indivíduo associa a atenuação da energia detectada nos respectivos trajetos é uma função linear 
T:
1200
 
m
, dada por 
 
 
 
31 
 
 T(s) = kAs. 
 
onde Ai = A1x1200 armazena os comprimentos de passagem do raio correspondente ao i-ésimo par 
transmissor receptor pelos pixels que atravessa, e s é uma discretização da densidade de tecido na seção do 
cérebro estudada. Na prática, as resoluções são muito mais finas que esta. Por exemplo, a da imagem do 
cérebro que utilizamos acima corresponde a aprox. 300x400 pixels. Do mesmo modo, chegaríamos neste 
caso a uma função linear definida em 
120000
. Na verdade, usualmente o que se quer conhecer é a densidade 
discretizada s e o que a tomografia faz é medir as atenuações em milhares de pares transmissor-receptor 
colocados no cérebro de um indivíduo. De modo que mede-se y para tentar depois calcular a densidade s 
resolvendo o sistema linear (kA)s = y. Ou seja, um problema de tomografia médica pode corresponder a 
encontrar uma solução paraum sistema de equações lineares com 120.000 variáveis. Como a matriz A pode 
ser muito grande (tipo 40.000x120.000), os métodos para encontrar soluções de tais sistemas lineares 
fogem completamente do tema a ser tratado numa disciplina inicial de Álgebra Linear. Via de regra, se 
baseiam em explorar a particularidade desta matriz A ser muito esparsa, ou seja, o fato de A ter 
relativamente bem poucas entradas não nulas. 
 
1.11 ORGANIZAÇÃO DO LIVRO 
 
O principal objetivo de uma disciplina inicial de Álgebra Linear, para nós, consiste em entender bem 
as funções lineares no 
n
, vale dizer, entender bem o produto matriz-vetor. 
 
No capítulo 3, estudaremos a resolução dos sistemas de equações lineares, vale dizer da equação Ax 
= b, para algum vetor b no 
m
. Você certamente já se deparou com vários problemas que terminam num 
sistema de equações lineares. Este é, certamente, o problema de Álgebra Linear mais básico e que mais 
surge nas aplicações. Conforme ficará mais claro no capítulo 3, a quantidade de problemas concretos que se 
pode reduzir à resolução de um sistema de equações lineares Ax = b é impressionante. No capítulo 2 
trabalharemos ainda algumas propriedades algébricas de operações com matrizes, essenciais para resolver 
sistemas de equações lineares eficientemente, bem como em todos os demais capítulos deste texto. 
 
No capítulo 4, atacamos as propriedades algébricas de V= ( 
n
, +, *), importantes por si só, e 
essenciais para podermos estudar adequadamente o produto matriz-vetor como uma função. 
 
Define-se o produto interno usual de vetores x e y no 
n
 pela fórmula: 
x y = x1y1 + x2 y2 + + xnyn (1.2) 
 
Provavelmente você já se deparou com o produto interno de vetores no 
2
 e no 
3
, seja na física, 
seja no cálculo ou em geometria. No capítulo 5, trabalhamos as propriedades geométricas do 
n
, 
proporcionadas pelo produto interno. Faremos aplicações interessantes da idéia de projeção ortogonal em 
determinados tipos de subconjuntos do 
n
 como, por exemplo, o ajuste de funções que modelam 
fenômenos a dados experimentais. 
 
O capítulo 6 é dedicado a determinantes, e tem o papel de pré-requisito para o capítulo 8. É ainda um 
complemento dos capítulos 2 e 3. 
 
Nos capítulos 7 e 8 voltamos a trabalhar o produto matriz-vetor como uma função TA: 
n m
, 
dada por
 
TA(x) = Ax , de forma a entender como se “comportam” as funções lineares no 
n
 A 
 
 
32 
 
quantidade de problemas que podem ser modelados por este tipo de funções é impressionante. Trabalhamos 
alguns deles nos capítulos 7 e 8. Para cada A que se fixe, muita coisa relevante, não-trivial e com grande 
significado nas aplicações pode ser dita sobre o comportamento da função TA(x) = Ax. 
 
Já no capítulo 8 veremos que, para estudar a função TA(x) = Ax , mesmo considerando que a matriz 
A tem entradas reais, é muito útil permitir que x seja um vetor com entradas complexas. Vale dizer, um 
ponto de C
n 
.
 
A partir desta motivação, no capítulo 9 generalizaremos para o C
n
 a teoria feita para o 
n
. No 
capítulo 10, damos algumas indicações de como se pode generalizar, para espaços vetoriais abstratos, a 
teoria feita no 
n
. Trabalharemos algumas aplicações importantes no sentido de justificar o esforço. 
 
Este livro foi escrito com base numa disciplina oferecida durante mais de 10 anos a alunos de 
graduação em engenharia e ciências exatas na UFRN, com seis aulas semanais de 50 minutos, durante 15 
semanas úteis,. Ou seja, cerca de 90 aulas úteis de 50 minutos. Usualmente dividimos o programa em três 
partes, separadas entre si por uma avaliação. Na primeira parte trabalhamos os capítulos 1-3. Na segunda, os 
capítulos 4 e 5, e na terceira, usualmente trabalhamos os capítulos 6-9. Muitas vezes o capítulo 9 fica 
prejudicado e o 10 poucas vezes é efetivamente trabalhado, a depender da turma e do curso específico. A 
rigor, para trabalhar com alguma tranquilidade tudo o que está nestes 10 capítulos, o aconselhável seria 
fazê-lo em dois semestres com, pelo menos, 4 aulas semanais cada. Indicamos, a seguir, uma bibliografia 
complementar: 
 
Bibliografia Complementar 
 
 D. C. Lay, Álgebra Linear e suas aplicações, Livros Técnicos e Científicos. 
 B. Kolman, Introdução à Álgebra Linear com aplicações, Livros Técnicos e Científicos 
 D. Poole, Álgebra Linear, Thomson 
 H. Anton, R. C. Busby, Álgebra Linear Contemporânea, Bookman 
 T. Lawson, Álgebra Linear, Editora Edgard Bluecher, 
 S. J. Leon, Álgebra Linear com Aplicações, Livros Técnicos e Científicos, RJ. 
 Anton-Rorres – Álgebra Linear com Aplicações - Bookman 
 J. L. Boldrini, S. I. R. Costa, V. L. Figueiredo e H. G. Wentzler, Álgebra Linear - Harbra & 
Row do Brasil . 
 Lipschutz S. - Álgebra Linear - 3a edição (Coleção Schaum - 1994 em diante) -McGrawHill –Makron 
 G. Strang, Linear Algebra and its applications - Academic Press. 
 
1.12 (Opcional) DUAS OBSERVAÇÕES PARA QUEM GOSTA DE VER ADIANTE 
 
A primeira observação é para apontar em que sentido o conceito de função linear é bem mais 
abrangente que o de produto matriz-vetor. A segunda visa esclarecer um pouco como as idéias de 
função linear e matriz foram surgindo no tempo. 
 
 
 
33 
 
 O conceito de função linear aparece, não apenas no 
n
, mas em contextos bem diversos. Por 
exemplo, a derivação de funções é uma operação linear. Essencialmente você usou e abusou deste fato no 
Cálculo I. Para ser um pouco mais preciso, considere o conjunto 
 
 V = {f: : f tem derivadas de todas as ordens}. 
 
Do cálculo I você sabe que funções f: dadas como polinômios, sen(kx), cos(kx) ou e
kx
 são 
elementos de V. Em V temos as operações usuais de soma de funções e de multiplicação de funções por 
números. Por exemplo, se f: e g: são dadas por f(x) = x
2
 + 2x e g(x) = sen(3x), então: 
 
 f+g: é dada por (f+g)(x) = x2 + 2x + sen(3x), que também terá derivadas de todas as ordens 
 3f: é dada por (3f)(x) = 3*(x2 + 2x) = 3x2 + 6x, que também terá derivadas de todas as ordens 
 
Na verdade, isto acontece com todas as funções que estão em V, ou seja, ao somar duas funções com todas 
as derivadas, obtemos uma função com todas as derivadas. Ao multiplicar uma função com todas as 
derivadas por uma constante, obtemos uma nova função com todas as derivadas. 
 
Veja que, além disto, podemos pensar na derivada como uma função D:V V, que a cada f, lhe associa sua 
derivada D(f). Em resumo, D:V V é tal que: 
 
 D(f): e D(f)(x) = f’(x) 
 
Por exemplo, se f: é dada por f(x) = x
2
 + 3x, então D(f): será definida por D(f)(x) = 2x + 3. 
 
Como você sabe do cálculo I, se f e g estão em V e c é um número real: 
 
 L1: D(f+g) = D(f) + D(g) (Derivada da soma é a soma das derivadas) 
 L2: D(cf) = cD(f) ( A derivada de cf(x) é cf’(x) ) 
 
Portanto D é uma função linear. Para completar a analogia é bem fácil ver que em V valem as operações 
EV1-EV6. Modernamente se entende V como um espaço vetorial, por causa disto e D:V V é uma função 
linear. A diferença importante entre as funções lineares definidas em V e as definidas em 
n
 é que não faz 
sequer sentido dizer que D(f) é um produto matriz-vetor, no sentido usual. 
 
Moral da história: O conceito de função linear é bem mais amplo que o de produto matriz-vetor e se 
generaliza para contextos bem diversos. Contudo, quando f: 
n
 
m
 é linear, aí sim, podemos dizer que 
f(x) se descreve como um produto matriz-vetor. Inclusive esta é uma das grandes vantagens que temos de 
restringir o estudo da Álgebra Linear ao 
n
, como faremos nesta disciplina. 
 
Observação 1.6: Historicamente, a idéia de função linear é bem anterior à de matriz. Veja que a fórmula de 
D(x) no começo desta subseção, pode ser descrita como tendo um polinômio homogêneo