UNIDADE V - aula 8

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UNIDADE V: INTEGRAIS DE LINHA 
5.1. CURVAS PARAMETRIZADAS. ARCOS. DEFINIÇÃO E 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE LINHA. TRABALHO
5.2. REGIÕES PLANAS. TEOREMA DE GREEN
5.3. CAMPOS GRADIENTES. POTENCIAIS. INDEPENDÊNCIA DO 
CAMINHO. TEOREMA DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA
5.4. DIVERGENTE E ROTACIONAL DE UM ESPAÇO VETORIAL
5.5. FORMAS FECHADAS E FORMAS EXATAS.
Integração para 
Campos Vetoriais
Integrais de Linha
Suponha que seja uma função real 
cujo domínio contém a curva
Dividimos a curva em um número finito de 
subarcos. 
O subarco típico tem comprimento .
Em cada subarco, escolhemos um ponto 
 e formamos a soma 
 
f(x, y, z)
r(t) = g(t)i+ h(t)j+ k(t)k a � t � b
�sk
(xk, yk, zk)
Sn =
n�
k=1
f(xk, yk, zk)�Sk
Se for contínua e as funções e tiverem derivadas 
de primeira ordem contínuas, então essas somas se 
aproximarão de um limite à medida que aumentar e os 
comprimentos se aproximarem de zero.
Chamamos esse limite de integral de linha de sobre a 
curva de a .
Se a curva for denotada por uma única letra, por 
exemplo, a notacão para a integral será
f g, h k
n
�sk
f
a b
C�
C
f(x, y, z)ds
Para integrar uma função contínua sobre uma 
curva :
etapa1: Encontre uma parametrizacão lisa de ,
etapa2: Calcule a integral como
f(x, y, z)
C
C
r(t) = g(t)i+ h(t)j+ k(t)k a � t � b
�
C
f(x, y, z)ds =
� b
a
f(g(t), h(t), h(t))|v(t)|dt
O satélite Seasat da Nasa usou 
radar por um período de 3 dias para 
tomar 350.000 medidas de vento 
sobre os Oceanos do mundo. As 
flechas indicam o sentido do vento; 
seu comprimento e a cor indicam o 
módulo da velocidade. 
O Campo Gradiente de uma função diferenciável 
é o campo de vetores gradiente
Campo Gradiente
f(x, y, z)
�f = �f
�x
i+
�f
�y
j+
�f
�z
k
Trabalho sobre uma curva lisa
O trabalho realizado por uma força 
sobre uma curva lisa de a é
F =M i+N j+ Pk
r(t) t = a t = b
W =
� t=b
t=a
F ·Tds
Como calcular uma Integral de Trabalho
passo1. Calcule sobre a curva como uma função de 
parâmetro .
passo2. Encontre .
passo3. Calcule o produto escalar de e .
passo4. Integre de a 
F
t
dr
dt
F
dr
dt
t = a t = b
Fluxo, Integral de Escoamento e Circulação
Se é uma curva lisa no domínio de um campo de 
velocidade contínuo , o escoamento ao longo da curva de 
a é
A integral, neste caso, é chamada de integral de 
escoamento. Se a curva é um laço fechado, o escoamento é 
chamado de circulação ao redor da curva.
r(t)
F t = a
t = b
Escoamento =
� b
a
F ·Tds
Fluxo através de uma curva Fechada no plano
Se for uma curva lisa e fechada no domínio de um campo 
vetorial contínuo no plano e 
se for o versor normal exterior de , o fluxo de 
através de é:
C
F =M(x, y)i+N(x, y)j
n C F
C
Fluxo de F atrave´s de C =
�
C
F · nds
Para movimentos no sentido 
horário k X T aponta para fora.
Para movimentos no sentido anti-
horário k X T aponta para fora.
Seja um campo vetorial cujas 
funções componentes são contínuas em uma região aberta e 
conexa no espaço. Então existe uma função diferenciável 
tal que : 
se e somente se para todos os pontos e em o valor 
de for independente do caminho que liga e 
em .
Se a integral for independente do caminho de até , seu 
valor é 
T1. Teorema Fundamental das Integrais de linha
F =M i+N j+ Pk
D f
F = �f = �f
�x
i+
�f
�y
j+
�f
�z
k
A B D� B
A
F · dr A B
D
A B
� B
A
F · dr = f(B)� f(A)
T2. Propriedade do Laço Fechado de Campos Conservativos
As afirmações a seguir são equivalente.
 ao redor de todo laço fechado em .
O Campo é conservativo em 
� B
A
F · dr = 0 D
F D
Densidade de Fluxo ou Divergente no plano
A densidade de fluxo ou divergente de um campo vetorial 
 no ponto éF =M i+N j (x, y)
div F =
�M
�x
+
�N
�y
Componente da Densidade de Circulação ou Rotacional
A componente da densidade de circulação , ou rotacional, 
de um campo vetorial no ponto é 
o escalar
F =M i+N j (x, y)
(rot F) · k = �N
�x
� �M
�y
k
k
T3. Teorema de Green (Fluxo-Divergência ou Forma Normal)
O fluxo exterior de um campo através de 
uma curva fechada simples é igual à integral dupla de
 sobre a região limitada por .
F =M i+N j
C
div F C
⇤
C
F · nds =
⇤
C
Mdy �Ndx =
⌅ ⌅
R
�
�M
�x
+
�N
�y
⇥
dxdy
R
Fluxo exterior Integral da Divergência
T4. Teorema de Green (Circulacão-Rotacional ou Forma Tangencial)
A Circulação no sentido anti-horário de um campo
 em torno de uma curva fechada simples no plano é igual à 
integral dupla de sobre a região limitada 
por .
F =M i+N j
C
(rot F) · k
C
R
⇤
C
F ·Tds =
⇤
C
Mdx+Ndy =
⌅ ⌅
R
�
�N
�x
� �M
�y
⇥
dxdy