Matemática 2 UFSC

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Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1
AULA 01 
 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
 
1. Potenciação 
 
1.1. Definição 
 
 Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. 
 
 Sendo a  R e a  0 e m  Z. Tem-se que: 
 
 am = a. a. a. a. a..... a. 
  m fatores  
 
 Casos Particulares 
 
 a0 = 1 para a  0 
 a1 = a 
 a-n = 
1
a n
 
 
1.2. Propriedades 
 
 Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, 
 tem-se: 
 
 am.an = am + n 
 a
a
a
m
n
m n  
 (am)n = am.n 
 (a.b)n = an.bn 
 a
b
a
b
n n
n



  
 
1.3. Potência de base 10 
 
 Sabe-se que: 100 = 1 
 101 = 10 
 102 = 100 
 103 = 1000 
 
 Então 10n = 100...........00 
  n zeros 
 
 Observe ainda que: 10-1 = 
10
1
= 0,1 
 10-2 = 210
1
= 0,01 
 10-3 = 310
1
= 0,001 
 
 Então 10–n = 0,000.............001 
  n casas decimais 
 
 
 
 
 
2. Radiciação 
 
2.1. Definição 
 
 b é a raiz n-ésima de a, se bn = a. 
 
2.2. Representação 
 
 n a = b  bn = a 
 
2.3. Nomenclatura 
 
 Em n a = b, temos: 
 n é o índice 
 a é o radicando 
 b é a raiz 
 
2.4. Condição de existência 
 
 Em n a , se n for par, então é necessário que a 
 seja maior ou igual a zero. 
 Se n for ímpar então n a sempre existe. 
 
2.5. Propriedades 
 
 
n.m an m a
n.p m.pan ma
n ma
mn a
n
b
a
n b
n a
n a.bn b.n a





 
 n
m
n m aa  
 
2.6. Racionalização de denominadores 
 
 Dada uma fração com denominador contendo radical, 
racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma 
fração equivalente a primeira sem no entanto com o radical no 
denominador. 
 
 1º CASO: O denominador é do tipo n ma 
 Neste caso multiplica-se numerador e denominador 
 pelo fator: n mna  . 
 2º CASO: O denominador é do tipo ba  
 Neste caso multiplica-se numerador e denominador 
 Pelo fator: ba  
 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 2
Exercícios de Sala  
 
01) Calcule: 
 
a) 24 b) – 24 c) (– 2)4 
d) 17 e) 03 f) 2140 
g) 3-2 h) 
4
3
2




 
 
02) Transforme cada expressão em uma única potência de 
 base 3. 
 a) 37 . 3-5 . 36 = b) 33
53.23
 = 
 
 c) (34)2 = d) 
243 = 
 
03) Calcule: 
 
 a) 25,0 b) 01,0 
 c) 3 125 d) 3 64 
 e)  24 9 f) 242223250  
 
04) Racionalize: 
 
 a) 
2
3
 b) 
5
5
 c) 
5 2
3
 d) 
35
2
 
 
Tarefa Mínima 
 
01) Determine o valor das expressões: 
 
a) 34 b) – 34 c) (– 3)4 
d) 1201 e) 080 f) 5000 
g) 4-2 h) 
3
2
5




 i) 24 + 1201 + 03 + 40 
 
 j) 42
3)2(242)(


 k) 
12
2
3
3
2  




 
 
02) Transforme cada expressão em uma única potência de 
 base 2. 
a) 25.23.27 b) 
4
2.)2(
2323
 
03) Sendo A = 2100, obtenha: 
 
a) sucessor de A b) o dobro de A 
c) quádruplo de A d) quadrado de A 
e) metade de A f) raiz quadrada de A 
 
04) Usando a definição, calcule o valor de cada uma das 
 raízes: 
 
a) 4 625 b) 5 32 c) 5 0 
d) 3 1 e)
16
81
 f) 3 125,0 
05) Racionalize: 
 a) 
2
5
 b) 
3
6
 c) 
3 5
2
 d) 
23
5

 
Tarefa Complementar 
 
06) O valor da expressão 
01,0
)1,0.(100 3 é equivalente a: 
 
a) 102 b) 103 c) 104 d) 105 e) 10 
 
07) Assinale a soma dos números associados às 
 proposições VERDADEIRAS: 
 
 01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 
 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 
 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é 
 zero. 
 08. A metade de 48 + 84 é 17.211 
 
08) (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 
 
 
2 2 3 2 31 1 2 1 8a) b) c) d) e) 80 8 5 800 10
                           
 
 
09) ( FGV-SP ) Qual o valor da expressão 
 
   
   
a b a b a b
a b a b a b
    
     
  
  
2 1 2 4 1 2
3 2 1 1 quando a = 10
3 e 
 b = 102 
 
 a) 106 b) 102 c) 103 d) 109 e) 107 
 
10) ( FGV-SP ) Simplificando a expressão 
 12
124
22
222




nn
nnn
 temos: 
 
 
3
34
d 
3
82
c 
4
87
b 
4
3
a )))) 
 
11) ( Cesgranrio ) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, 
 então (abc)12 vale: 
 
a) 9912 b) 9921/2 c) 9928 
d) 9988 e) 9999 
 
12) Determine a soma dos números associados às 
 proposições VERDADEIRAS: 
 
 01. A expressão 
5
802045  é 
 equivalente a 153 
 02. O valor de 42222  é 2 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3
 04. O valor de 2
1
3
1
168  é 4 
 08. Racionalizando 
2
4
obtém-se 2 2 
 16. A expressão 
3
5
5
3  é igual a 
15
158
 
 
13) Calculando 35
1213
2:2
33 
 , acha-se: 
 
a) 32 b) 34 c) 36 
d) 38 e) n.d.a. 
 
14) ( UEL-PR ) A expressão 1
22
1
22
1  é 
 equivalente a: 
 
a) – 1 b) 2 – 2 c) 2 + 2 
d) 2 – 1 e) 2 + 1 
 
 
15) ( UEL-PR ) Seja o número real 
 x = 
15
522203500


. Escrevendo x na 
 forma x = a + b c , tem-se que a + b + c é igual a: 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
 
AULA 02 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
Considere o triângulo retângulo ABC 
 
Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: 
 
___
AB e AC
____
 são os catetos 
 
___
BC é a hipotenusa 
 
 C e 

B são os ângulos agudos 
 
Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos 
são complementares, ou seja, C 
 B = 90º 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
 
 SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o 
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 
 CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o 
cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. 
 TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o 
cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. 
Sendo assim, temos que: 
 
 sen  = 
a
b
 cos  = 
a
c
 tg  = 
c
b
 
 
Observação: 
 
Se  +  = 90° tem-se que sen  = cos  
 
Tabela de arcos notáveis 
 
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, 
dividimos o triângulo em dois triângulos 
retângulos congruentes. 
 
Observe, agora, o quadrado. Nele traça-se a diagonal e obtém-se 
dois triângulos retângulo isósceles 
 
 
Em resumo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4
Exercícios de Sala  
 
01) ( FUVEST ) Obter o valor de x na figura: 
02) No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é: 
 
 a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a. 
 
03) ( UFSC ) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio 
de margens paralelas econseguem ver um bote B na 
outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos BP1P2 
=  e BP2P1 =  e que tg  = 2 e 
 tg  = 4, a distância entre as margens (em metros) é: 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x 
 
 a) 
 
30°
X
12
 
 
 
 b) 
 
60°
X
6
 
 
c) 
 45°
x
5
 
 
02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre 
 de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. 
 Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo 
 de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da 
 torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de 
 comprimento. A que distância se encontra o ponto 
 mais alto da torre em relação ao solo? 
 (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4) 
 
a) 55 metros b) 15 metros 
c) 45 metros d) 42 metros 
e) 51 metros 
 
03) ( UFSC ) Num vão entre duas paredes, deve-se 
 construir uma rampa que vai da parte inferior de 
 uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que 
 a altura das paredes é de 4 3 m e o vão entre 
 elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, 
 que a rampa formará com o solo. 
 
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. 
Tarefa Complementar  
 
05) Com base na figura abaixo é correto afirmar: 
 01. h = 2 m 
 02. h = 3m 
 04. a = (1 + 3 ) m 
 08. O triângulo ACD é isósceles 
 16. O lado 
____
AC mede 6m 
 
06) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela 
à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é 
visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. 
 Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha 
perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à 
costa? 
 (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36) 
 
07) Determine o valor de x e y na figura abaixo: 
 
08) ( Unicamp-SP ) Uma pessoa de 1,65 m de altura 
 observa o topo de um edifício conforme o esquema 
 abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos 
 somar 1,65m a: 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5
 
a) b cos  b) a cos  c) a sen  
d) b tg  e) b sen  
 
09) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Na figura abaixo, em que o 
 ponto B localiza-se a leste de A, a distância 
 
___
AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo 
 ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o 
 ponto D. A partir destes dados, assinale o que for 
 correto. 
 01. 
___
AC = 10km 
 02. 
___
AD = 2,5 km 
 04. 
____
BC = 5 3 km 
 08. O ângulo DAB ˆ mede 60° 
 16. A velocidade média do barco é de 15km/h 
 
10) ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x 
 
30° 60°
A
B
CD 
 
 AD = x DC= x - 38 BD = y 
 
 
AULA 03 
 
TEOREMA DOS CO-SENOS 
 
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é 
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, 
menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo co-
seno do ângulo formado por eles. 
 
 
 
TEOREMA DOS SENOS 
 
Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Determine o valor de x na figura abaixo: 
 
02) ( FUVEST ) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o 
 ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o 
 raio da circunferência que circunscreve o triângulo 
 
03) Determine o valor de x na figura abaixo 
04) Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo 
 abaixo, é: 
 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Determine o valor de x na figura abaixo: 
 
 
02) ( UFSC ) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 
 cm. A medida, em cm, do lado AB será: 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6
 
A
B C
45° 30°
 
 
03) O triângulo ABC está inscrito na circunferência de 
centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a soma 
dos números associados às proposições verdadeiras: 
 
75°
60°
O
A
B C
 
 
 01. O triângulo ABC é equilátero 
 02. o raio da circunferência vale 2cm 
 04. 
___
AB = 2 2 cm 
 08. O comprimento da circunferência é 4 cm 
 
 
04) ( PUC-SP ) Dois lados consecutivos de um paralelogramo 
medem 3 2 cm e 5cm e formam um ângulo de 45°. Podemos 
afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: 
 
a) 4 b) 11 c) 3 
d) 13 e) 4 2 
 
05) ( FUVEST ) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 
 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: 
 
a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 
d) 2/3 e) 1/8 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( CESGRANRIO ) No triângulo ABC, os lados AC e 
 BC medem respectivamente 8cm e 6cm, 
 respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do 
 ângulo B vale: 
 
a) ½ b) 2/3 c) 3/4 
d) 4/5 e) 5/6 
 
07) ( FUVEST-SP ) Numa circunferência está inscrito um 
 triângulo ABC; seu lado 
___
BC é igual ao raio da 
 circunferência. O ângulo B Aˆ C mede: 
 
a) 15° b) 30° 
c) 36° d) 45° 
e) 60° 
 
08) ( ITA-SP ) Um navio, navegando em linha reta, passa 
 sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, 
 quando o navio está em A, observa o farol L e mede o 
 ângulo L Aˆ C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, 
 verifica o ângulo L Bˆ C = 75°. Quantas milhas 
 separam o farol do ponto B? 
 
a) 2 2 b) 3 
c) 2 3 d) 3 2 
e) 4 2 
 
 
09) Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e 
 BC = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa 
 ao lado BC. 
 
10) ( FUVEST ) No quadrilátero dado a seguir, 
 BC = CD = 3cm, AB = 2cm, A Dˆ C = 60° e 
 A Bˆ C = 90°. 
 
 A B
D
C
 
 
 O perímetro do quadrilátero, em cm, é: 
 
a) 11 b) 12 c) 13 
d) 14 e) 15 
 
 
AULA 04 e 05 
 
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA 
TRIGONOMÉTRICA 
 
1. ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Arco de uma circunferência é cada uma das partes que fica 
dividida uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos. 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7
 
 
A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui 
vértice no centro da circunferência). 
 
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. 
 
 Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento é 
igual a 
1
360
do comprimento da circunferência. 
 Logo a circunferência tem 360º. 
 Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: 
 
 1º = 60' 1'= 60'' 
 
 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio 
da circunferência onde está contido. 
 Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos. 
 
Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos. 
 
 360º  2 rad 
Portanto: 180º   rad 
 
 
2. CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um 
sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo 
trigonométrico. 
 
Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas 
quadrantes. 
 
 
ORIENTAÇÃO 
Anti Horario Positivo
Horario Negativo



 
 
 
 
3. ARCOS CÔNGRUOS 
 
Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus 
valores é um múltiplo de 360º. 
 
Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110.......... 
 
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidadee diferem 
apenas no número de voltas. 
 
A expressão x = 30º + 360º . k, com k  Z, é denominada 
expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira 
determinação positiva. 
 
A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: 
 
  + k . 360º, com k  Z. 
 
 Se um arco mede  radianos, a expressão geral dos arcos 
côngruos a ele é dada por: 
 
  + k . 2, com k  Z. 
 
SENO e CO-SENO DE UM ARCO 
 
1. Definição 
 
Considere o arco que possui extremidades na origem do 
ciclo trigonométrico e no ponto M ao qual corresponde o ângulo 
central . 
 
 
Denomina-se sen  a projeção do raio OM, pela extremidade M 
do arco sobre o eixo y. 
Denomina-se cos  a projeção do raio OM, sobre o eixo x 
 
 
2. Sinais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8
3. Tabela 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: – 1  sen   1 e – 1  cos   1 
 
 
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é possível 
determinar os valores de seno e co-seno de arcos do 2º, 3º e 4º 
quadrantes 
 
4. Equações trigonométricas num intervalo 
 dado 
 
Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções 
Trigonométricas em seus membros. 
São exemplos de equações trigonométricas: 
 
1) sen x = 1 
 
 
2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0 
 
Não é possível estabelecer um método para resolver todas 
equações trigonométricas, pois existe uma infinidade, para isso 
apresentaremos alguns tipos básicos. 
 
 sen x = sen a x a k
x a k
 
  

2
2

 
 (congruos)
 (suplementares)
 
 
 
 
 cos x = cos a x a k
a k
 
  

2
2


 (congruos)
x (suplementares)
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Expressar em radianos os seguintes arcos: 
 
a) 300º b) 60º c) 12º 
 
 
02) Um arco de 200° equivale em radianos a: 
 
 a) 
3
2
 b) 
2
5
 c) 4 d) 
9
10
 e) 6 
 
 
03) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão 
 geral dos arcos côngruos a: 
 
 a) 930º b) 
23
6

rad 
 
04) Determine o valor de: 
 
a) sen 150° 
b) cos 150° 
c) sen 210° 
d) cos 210° 
e) sen 330° 
f) cos 330° 
 
05) Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 
 admite solução. 
 
a) - 1  m  1 
b) - 2  m  5 
c) 2  m  3 
d) 2 < m < 3 
e) 1 < m < 2 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9
Tarefa Mínima  
 
01) Obter a medida em graus dos seguintes arcos: 
 
 a) 
3
2
 
 
 b) 
6

 
 
 
02) ( UFMG ) Transformando 7º30' em radianos, teremos: 
 
a) /24 
b) /25 
c) /30 
d) 3/25 
e) 5/32 
 
 
03) Determine o valor da expressão 
 

180cos0sen
270sen.180cos0cos.90sen
22 

 
 
 
 
04) Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do: 
 
 a) 1º quadrante 
 b) 2º quadrante 
 c) 3º quadrante 
 d) 4º quadrante 
 e) n.d.a. 
 
05) A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: 
 
a) 2  m  3 
b) 1  m  4 
c) -1  m  1 
d) 2 < m < 3 
e) 0  m  1 
 
 
06) Resolver, no intervalo 0  x < 2, as seguintes 
 equações: 
 
a) sen x = 1 
b) cos x = 0 
c) sen x = 
2
1 
d) cos x = 
2
2
 
 
07) Sabendo que 0  x < 2, o conjunto solução da 
 equação: sen 2 x  3sen x  4 = 0 é: 
 
 a) {90º} 
 b) {-90º} 
 c) {270º} 
 d) {180º} 
 e) {30º} 
 
Tarefa Complementar 
 
08) ( Mack-SP ) A menor determinação positiva de 4900º é: 
 
a) 100° b) 140º c) 40º 
d) 80º e) n.d.a. 
 
09) ( UFPA ) Qual a 1ª determinação positiva de um arco 
 de 1000º? 
 
a) 270º b) 280º c) 290º 
d) 300º e) 310º 
 
10) ( SANTO AMARO-SP ) Às 9 horas e 10 minutos, o 
 menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: 
 
a) 135º b) 140º c) 145º 
d) 150º e) n.d.a. 
 
11) ( UFPR ) O maior ângulo formado entre os ponteiros 
 de um relógio, às 23h45min, vale: 
 
a) 189º30' b) 277º30' c) 270º 
d) 254º45' e) 277º50' 
 
12) ( UFSC ) O maior valor numérico que y pode assumir 
 quando y 37 2senx
3
  , é: 
 
13) ( UFPA ) O menor valor positivo que satisfaz a 
 equação 2 sen x = 1 é: 
 
a) /6 b) /4 c) /3 
d) /2 e) n.d.a. 
 
14) ( UM-SP ) O menor valor positivo de x para o qual 
 9- cos x = 
1
3
 é: 
 
2
6 4 3 2 3
    a) b) c) d) e) 
 
15) Determinar o número de soluções da equação 
 2sen x cos x = sen x no intervalo 0  x < 2. 
 
 
AULA 06 
 
 RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA 
 TRIGONOMETRIA 
 
 sen2  + cos2  = 1 (Relação Fundamental) 
 
A relação vista também vale para arcos com extremidades fora 
do primeiro quadrante. 
 
Exemplos: sen230° + cos230° = 1 
 sen2130° + cos2130° = 1 
 
Vale lembrar que se  +  = 90°, sen  = cos . 
Logo vale também relações do tipo: 
 
sen2 50° + sen2 40° = 1 
sen 210° + sen2 80° = 1 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 10
TANGENTE DE UM ARCO 
 
1. Definição 
 
Associa-se ao circunferência trigonométrica mais um eixo, 
a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de 
coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM, ao 
segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes. 
 
 
 
2. Sinais 
 
 
 
 
3. Tabela 
 
 
 
 
 
 
4. Equação trigonométrica 
 
 tg x = tg a x a k  2  
 
Exercícios de Sala 
 
01) Sabendo que sen x = 
3
2
 e que   x
2
, calcule 
 cos x: 
 
02) ( F.C.Chagas-BA ) As sentenças sen x = a e 
 cos x = 2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se 
 e somente se: 
 
 a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 
 c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 
 e) n.d.a. 
 
03) Resolver no intervalo 0  x < 2, a equação 
 2cos2x = – 3sen x 
 
04) Determina o valor de: 
 
 
 a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330° 
 
05) Resolva no intervalo 0  x < 2 as seguintes equações: 
 
a) tg x = 
3
3
 b) tg2x – 1 = 0 
Tarefa Mínima 
 
 
01) No intervalo  2
2
3  x se sen x = 
3
1 , calcule 
 cos x. 
 
02) ( UFSC ) O valor, em graus, do arco x 0
2
 x  na 
 equação: 1  cos2x + sen x = 0 é: 
 
 
03) O valor de tg 315° + tg 225° é 
 
 
04) ( UFSC ) Considere o ângulo x = 1215°. Determine 
 |tg x | 
 
05) Resolva as seguintes equações no intervalo 0  x < 2 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 11
 
a) tg x = 3 
 
b) tg2x + tg x = 0 
 
Tarefa Complementar 
 
06) Determine m de modo que se obtenham 
 simultaneamente, sen x = m e cos x = m33 
 
 
07) No intervalo 0  x < 2, determine o número de 
 soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x 
 
 
08) ( FURG-RS ) O valor numérico da função 
 f(x) = sen2x – tg x + 2cos 3x para x = 
4
3
é: 
 
09) ( PUC-RS ) O valor numérico de 
 
x
xtgx
cos3
4
32
2
sen 
para x = 
3

 é: 
 
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0 
 
10) No intervalo 0  x < 2, a equação 3 tg2x + tg x = 0 
 possui quantas soluções? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 
AULA 07 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental) 
 
As Demais Relações Trigonométricas, com as condições de 
existência obedecidas são: 
 
tg x = sen xcos x
 cotg x = 1
tg x
 
 
 
sec x =1
cos x
 cossec x = 
x sen
1 
 
 
A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas 
relações Derivadas. 
 
Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x tem-se: 
 
 1 + cotg2 x = cossec2 x 
 
E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x tem-se: 
 
 tg2 x + 1 = sec2 x 
 
Sinais das Funções Trigonométricas 
 
 1°Q 2°Q 3°Q 4°Q 
seno e cossecante + +  
cosseno e secante +   + 
tangente e cotangente +  + 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Determine o valor de: 
 
a) cossec 30° b) sec 30° 
 
c) cotg 30° d) cossec 210° 
 
e) sec 315° f) cotg 300° 
 
02) Sendo sen  = 
5
4 e  2
2
3  , calcular: 
 
a) cos  b) tg  c) cotg  
 
d) sec  e) cosec  
 
Tarefa Mínima  
 
01) Determine o valor de: 
 
a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o 
 
02) ( Faap-SP )Se sen x = 3/5, com x  4º quadrante, 
 então tg x é: 
 
 a) 3/4 b) 1/2 
 c) 4/5 d) 3/4 
 e) 4/5 
03) ( UFSC ) Dados sen x =
3
5
 e 
 
2
 x , determine 
 o valor de:  32 tg x + 1 
 
04) ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão 
 
sena tga coseca
cosa cotga seca
 
  , obtém-se: 
 
 a) 0 b) sec2a 
 c) sen2a d) 1 
 e) tg2a 
Tarefa Complementar  
 
05) ( UFSC )Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro 
 quadrante, então o valor da expressão 
 9.(sec2 x + tg2 x) é: 
 
 
 
06) ( UFSC ) Calcule o valor numérico da expressão: 
 
  
  
sen30 cos120 cosec150 cotg330
sec300 tg60 cotg225
   
  
 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 12
07) ( UFCE ) Para todo x  1º quadrante, a expressão 
 (sec x - tg x)(sec x + tg x)  sen2x é igual a: 
 
 a) cos2x b) 1 + sen2x 
 c) cos x - sen x d) sec x + cos x 
 e) n.d.a. 
 
08) Determine a soma dos números associados à(s) 
 proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. A medida em radianos de um arco de 225º é 
 
6
11π
rad. 
 02. A menor determinação positiva de um arco de 
 1000° é 280°. 
 04. Os valores de m, de modo que a expressão 
 sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3]. 
 08. sen x > cos x para 
44
  x . 
 16. Se tg x = 
4
3
e   x  
2
 3 
, então o valor de 
 sen x – cos x é igual a 
5
1
. 
 32. Se sen x  0, então cosec x  0. 
 64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 
 0  x  2 é x = 
6
 
ou x = 
6
 5 
. 
 
09) ( UFSC ) Dado sen x = 
3
5
 e x  0
2
 

 , calcule o 
 valor numérico da expressão: 
 
sec x cotgx cosecx tgx
6 senx cosec x
2
2
 
 




1
 
 
10) ( FATEC ) Se x e y são números reais tais que 
 y = 
xxtgx
xtgee xx
sec.sec 2
4


, então: 
 
a) y = ex b) y = ex(1 + tg x) 
c) y = 
x
ex
cos
 d) y = 
x
ex
sec
 
e) n.d.a. 
 
 
 AULAS 08 e 09 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DO PONTO 
 
 O sistema cartesiano ortogonal como já vimos em funções, é 
composto por duas retas x e y perpendiculares entre si, no ponto 
O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas e a reta y é 
denominada eixo das ordenadas. 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas 
quadrantes numerados no sentido anti-horário. 
 
 
A cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado 
(x, y). 
 
 
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde o 
número real xp é chamado abscissa do ponto e o número real yp é 
chamado ordenada do ponto. 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua 
ordenada é nula. 
 P (xp, 0) 
 Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua 
abscissa é nula. 
 P (0, yp) 
 Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, 
então suas coordenadas são iguais 
 xp = yp 
 Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, 
então suas coordenadas são simétricas. 
 xp = - yp 
 
 
1. Distância entre dois pontos 
 
 Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano, 
a distância entre eles pode ser calculada em função de suas 
coordenadas. Observe a figura abaixo: 
 
 
 O triângulo ABC é retângulo em C, então: 
 
 AB AC BC2 2 2  
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 13
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos: 
 
 d x x y yAB B A B A      2 2 
 
2. Ponto Médio de um Segmento 
 
Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e B(xB, 
yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é 
encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B. 
 
Observe a figura: 
 
 
Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo 
no eixo x tem-se: 
xM  xA = xB  xM  x x xM A B 2 
no eixo y tem-se: 
yM  yA = yB  yM  y y yM A B 2 
 
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terá as seguintes 
coordenadas 
 
 M x x y yA B A B 

2 2 
 
 
3. Área de um Triângulo conhecendo as 
 coordenadas do vértice 
 
 Considere o triângulo abaixo: 
 
y
x
yC
xA
B
yA
xB
A
yB
xC
C
 
Quando se conhece as coordenadas dos vértices A, B e C pode-se 
demonstrar que a área desse triângulo é dada por: 
 
 
 A = 
1
1
1
.
2
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 O determinante 
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
 foi tomado em módulo, pois 
a área é indicada por um número positivo. 
 
 
 Se o determinante 
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
 for nulo, dizemos que 
os pontos estão alinhados. 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: 
 
 a) distância entre A e B 
 
 b) Ponto Médio do segmento AB 
 
02) Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos 
 pontos A(3,1) e B(2,4). Calcular a abscissa a do 
 ponto P. 
 
03) Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); C(4,5). O 
valor da medida da mediana AM do triângulo ABC 
 é: 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 c) 7 
 
04) Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de um 
triângulo ABC. Calcular a área desse triângulo. 
 
 Tarefa Mínima  
 
01) ( Mack-SP ) Identifique a sentença falsa: 
 
 a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. 
 b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x. 
 c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos 
 quadrantes ímpares. 
 d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes 
 pares. 
 e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos 
 quadrantes pares. 
 
02) ( Cesgranrio ) A distância entre os pontos M(4,-5) e 
 N(-1,7) do plano x0y vale: 
 
03) ( UFRGS ) A distância entre os pontos A(-2,y) e 
 B (6,7) é 10. O valor de y é: 
 
 a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 
 d) -1 ou 10 e) 2 ou 12 
 
04) ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas, 
 eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: 
 
 a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0) 
 d) D(0,2) e) E(4,0) 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 14
05) Calcular a área do triângulo ABC. Dados: 
 A(8, 3); B(4, 7) e C(2, 1) 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFSC ) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7)e C(x,2), 
 determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos 
 pontos A e B. 
 
 
07) ( FCC-BA ) O triângulo cujos vértices são os pontos 
 (1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: 
 
 a) eqüilátero b) escaleno 
 c) isósceles d) retângulo 
 e) n.d.a. 
 
08) ( PUC-SP ) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em 
 módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo 
 em B é: 
 
09) ( UFJF-MG ) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos 
 médios dos lados de um triângulo, quais são os seus 
 vértices? 
 
 a) (-1,2), (5,0), (7,4) 
 b) (2,2), (2,0), (4,4) 
 c) (1,1), (3,1), (5,5) 
 d) (3,1), (1,1), (3,5) 
 
10) ( UCP-RJ ) A distância da origem do sistema 
 cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos 
 (-2,-7) e (-4,1) é: 
 
 a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2 
 
11) ( Mack-SP ) A área de um triângulo é 25/2 e os seus 
 vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: 
 
 a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5 
 
12) A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: 
 A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em 
 unidades de área, é: 
 
 
 AULA 10 
 
ESTUDO DA RETA 
 
Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. 
Com tal equação pode-se determinar se um ponto pertence ou 
não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque: 
 A Equação Geral e 
 A Equação Reduzida 
 
1. Equação Geral da reta 
 
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de 
alinhamento de 3 pontos. 
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y). 
 
A, B e P estão alinhados se e só se: 
x y
x y
x y
A A
B B
1
1
1
0 
Desenvolvendo 0
1
1
1

BB
AA
yx
yx
yx
 temos: 
 
x . yA + xA . yB + y . xB  yA . xB  x . yB  y . xA = 0 
 
(yA  yB) x + (xB  xA) y + xAyB  xByA = 0 
 a b c 
 
Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. 
 
 
2. Equação Reduzida da Reta 
 
Pode-se obter a equação reduzida da reta isolando-se na equação 
geral y. 
Veja: ax + by + c = 0 
 by = ax  c 
 
y a
b
c
b
   substituindo  a
b
por m e  c
b
 por n temos: 
 
 y = mx + n Equação Reduzida da Reta 
 
onde o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e 
n o coeficiente linear da reta. 
 
3. Coeficiente Angular e Linear da 
 Reta 
 
Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é o 
coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta. 
Vejamos, agora, o significado geométrico deles. 
 
COEFICIENTE LINEAR 
 
O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eixo 
y. 
 
COEFICIENTE ANGULAR 
 
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo 
, onde  indica a inclinação da reta em relação ao eixo x. 
 
 m = tg  ou 
AxBx
AyBym 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 15
CASOS PARTICULARES 
 
 Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo  é igual a 0, 
logo o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. 
 
 
 
 Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo  é igual a 90º, 
logo o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é 
definido. 
 
 
4. Equação do Feixe de Retas 
 
Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um 
ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso usa-
se a relação: y  yo = m(x  xo) 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e 
 B(4, 9), determine: 
 
a) equação geral 
b) equação reduzida 
c) coeficiente angular e linear da reta 
 
02) Determine o coeficiente angular das retas abaixo: 
 
a) r: 2x + 3y + 1 = 0 
 
 b) 
 
c) 
 
03) Determine a equação da reta representada pela figura 
abaixo: 
 
Tarefa Mínima  
 
01) Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e 
 B(2, - 3), determine: 
 
a) equação geral 
b) equação reduzida 
c) coeficiente angular e linear da reta 
 
02) Considere a reta r indicada pela figura abaixo 
 
 
 
 Assinale a soma dos números associados às 
 proposições VERDADEIRAS: 
 
 01. A equação da reta r é y = x – 1 
 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 
 04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 
 45o 
 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 
 16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de 
 coordenadas (1,0) 
 
03) Determine a equação da reta r indicada abaixo 
 
 
 
04) ( FGV-SP ) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à 
 reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: 
 
 a) 3 b) 3,25 c) 2 13 
 d) 2 e) 9 
 
05) ( Fac. Moema-SP ) O coeficiente linear e angular da 
 reta 2x  3y + 1 = 0 são, respectivamente: 
 
 a) 2 e 3 b) 2/3 e 1 
 c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3 
 e) n.d.a. 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 16
Tarefa Complementar  
 
06) A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem 
 coeficiente angular 3. 
 
07) Considere as retas r e s indicadas abaixo: 
 
 
 
 Determine a soma dos números associados às 
 proposições VERDADEIRAS: 
 
 01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0 
 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 
 04. o ponto de interseccão das retas r e s possui 
 coordenadas (2, 1) 
 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3) 
 
 
08) ( UFSC ) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0, 
 e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo 
 ponto P(a,b). O valor de a + b é: 
 
 
 
09) Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 
 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0. 
 
 
 
10) ( UFPR ) No plano cartesiano os pontos A(1, -1), 
 B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um 
 quadrado. É correto afirmar que: 
 
 01. a origen do sistema de coordenadas está no interior 
 do quadrado. 
 02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente 
 angular 1/2 
 04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a 
 diagonal BD do quadrado. 
 08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto 
 (0, -4) 
 16. o centro do quadrado é o ponto (1,3) 
 
 
 AULA 11 
 
ESTUDO DA RETA 
 
1. Posição relativa entre 2 retas 
 
 No plano cartesiano duas retas r e s podem ser: 
 
 Concorrentes 
 Paralelas 
 Coincidentes 
 Considere as retas r e s de equações: 
 
 r = m1x + n1 e s = m2x + n2 
 
 Assim, podemos ter as seguintes situações: 
 
 PARALELAS DISTINTAS: 
 m1 = m2 
 
 PARALELAS COINCIDENTES: 
 m1 = m2 e n1 = n2 
 
 CONCORRENTES 
 m1  m2 
 
 CONCORRENTES E PERPENDICULARES: 
 m1 . m2 =  1 
 
 
2. Distância de ponto à reta 
 
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta 
 r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser 
calculada pela expressão: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta 
 r de equação 5x + 2y  6 = 0. 
 
Resolução: 4
5
20
34
63.24.5
22

 ddd 
 
 Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Considere a reta r indicada pela figura abaixo: 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 17
 Determinar: 
 
 a) a equação da reta s que passa peloponto P(3, 5) e é 
 paralela à reta r 
 b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é 
 perpendicular à reta r 
 
 
02) Determinar a distância do ponto A(2, 3) à reta r de 
 equação y = 2x + 5 
 
03) ( UFSC ) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e 
 s: 4x + ky -5 = 0. Determine a soma dos números 
 associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto 
 (1, -2) é 17. 
 02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam 
 no ponto 0
7
5


 é 25/7. 
 04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 . 
 08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s 
 no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 
 16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta 
 r é 20. 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( UFRGS ) As retas com equações respectivas 
 4x + 2y - 4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0 
 
 a) são paralelas 
 b) são coincidentes 
 c) são concorrentes mas não perpendiculares. 
 d) interceptam-se no 1º quadrante e são 
 perpendiculares. 
 e) interceptam-se no 4º quadrante e são 
 perpendiculares. 
 
 
 
02) A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é 
 paralela à reta de equação 5x + y = 0 é: 
 
a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0 
c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0 
e) – 5x + y – 10 = 0 
 
03) ( Cesgranrio-RJ ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e 
 (s) ax + 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o 
 parâmetro a vale: 
 
a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3 
 
04) Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e 
 C(4,1). A altura em relação à base BC mede: 
 
 
05) ( UEL-PR ) A distância entre as retas de equações 
 x - y + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e 
 somente se: 
 
 a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8 
 d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFSC ) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7), 
 determine a medida da altura do triângulo ABC 
 relativa ao lado BC. 
 
07) ( UFSC ) De acordo com o gráfico abaixo, assinale 
 a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 
 
 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. 
 02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 
 04. As retas r e s se interceptam no ponto de 
 abscissa 
5
4
. 
 08. A distância da origem do sistema de 
 coordenadas cartesianas à reta r é de 
2
2
 
 unidades. 
 16. A área da região do plano limitada pelas retas r, 
 s e pelo eixo das abscissas é igual a 
10
3
 
 unidades de área. 
 
08) ( UFRGS ) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são 
 extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A 
 equação da reta suporte da outra diagonal é: 
 
 a) 2x - 3y - 1 = 0 
 b) 2x + 3y - 7 = 0 
 c) 3x + 2y - 8 = 0 
 d) 3x - 2y - 4 = 0\ 
 
09) A medida da altura do trapézio cujos vértices são os 
 pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é: 
 
10) ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no 
gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 
 2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao 
eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é 
perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: 
 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 18
 01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). 
 02. o ponto C é (0, 
2
3
 ). 
 04. a distância entre r e s é 3. 
 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, 
 respectivamente, 
2
1
 , 
2
1
 e –2. 
 16. a equação da reta t é y = –2x + 6. 
 32. a equação da reta horizontal que passa por A é 
 x = 0. 
 64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3. 
 
 
 AULA 12 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
1. Definição 
 
 Denomina-se circunferência ao conjunto de pontos de um 
plano  que eqüidistam de um ponto C denominado centro da 
circunferência. Essa distância é denominada raio da 
circunferência. 
 
 
 
 R 
 C 
 
  
 
 
2. Equação da circunferência 
 
 
 
Seja C(a, b) o centro da cir cunferência e P(x, y) um ponto 
genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o 
raio da circunferência. 
Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes 
formas: 
 
2.1. Equação Reduzida: 
 
 (x  a)2 + (y  b)2 = R2 
 
 
Exemplo: Determinar a equação da circunferência de raio 
 3 e centro C(2, 5) 
 
 Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2 
 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 
 Logo, a equação procurada é: (x  2)2 + (y  5)2 = 9 
 
CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir 
 centro na origem então a equação 
 (x  )2 + (y  )2 = R2 
 fica reduzida a: x2 + y2 = R2 
 
2.2. Equação Geral: 
 
 A Equação Geral da circunferência obtém-se 
 desenvolvendo a equação reduzida. Veja: 
 
 (x  a)2 + (y  b)2 = R2 
 x2  2ax + a2 + y2  2by + b2 = R2 
 x2 + y2  2ax  2by + a2 + b2  R2 = 0 
 
 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 
 
 onde: A =  2a; B =  2b; C = a2 + b2  R2 
 
Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência 
 de raio 3 e centro C(2, 5) 
 
 Resolução: (x  )2 + (y  )2 = R2 
 (x  2)2 + (y  5)2 = 32 
 (x  2)2 + (y  5)2 = 9 
 x2  4x + 4 + y2  10y + 25  9 = 0 
 
 Logo, a equação geral é x2 + y2  4x  10y + 20 = 0 
 
3. Condição de existência 
 
Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma 
equação do 2º grau completa. 
x2 + y2 + Kxy + Ax + By + C = 0 
 
Sendo assim essa equação só irá representar a equação de uma 
circunferência se e só se: 
 
 Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero. 
 Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0. 
 A2 + B2  4AC > 0 
 
4. Posições relativas da circunferência 
 
4.1. Ponto e Reta 
 
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência 
(x  )2 + (y  )2 = R2. Em relação a circunferência, o ponto P 
pode assumir as seguintes posições: 
 
Para determinar a posição do ponto P em relação a 
circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da 
circunferência. Assim, podemos ter: 
 
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 < 0  P interior à circunferência 
 
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 = 0  P pertence à circunferência 
 
 (xP  )2 + (yP  )2  R2 > 0  P exterior à circunferência 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 19
4.2. Reta e Circunferência 
 
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x 
 )2 + (y  )2 = R2 . Em relação à circunferência, a reta pode 
assumir as seguintes posições: 
 
 
 
Para determinar a posição da reta r em relação a circunferência, 
substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. 
Assim, teremos uma equação do 
2º Grau. Então, se: 
 
  < 0  reta externa (não existe ponto de intersecção) 
 
 
  = 0  reta tangente (existe um ponto de intersecção) 
 
 
  > 0  reta secante (existe dois pontos de intersecção) 
 
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por 
um sistema de equações. 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Determinara equação da circunferência na forma 
 reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: 
 
a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5 
c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5 
e) C(0, 0) e R = 3 
 
02) A soma das coordenadas do centro da circunferência de 
 equação x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, é: 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
03) ( UFSC ) Seja C uma circunferência de equação 
 x2 + y2 -2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação 
 x + y = 6. Determine a soma dos números associados 
 à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da 
 circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente. 
 02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 
 8. 
 04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar 
 que C e r são secantes. 
 08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio 
 2 é tangente externamente à circunferência C. 
 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode- 
 se afirmar que o ponto P é exterior à C. 
 
 
 
 
Tarefa Mínima  
 
01) A equação da circunferÍncia de centro C(-2,2) e 
 tangente aos eixos coordenados é: 
 
a) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 
c) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 2 d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 
e) (x + 2)2 – (y – 2)2 = 4 
 
02) ( ACAFE-SC ) A circunferência de equação 
 x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de 
 q é: 
 
a) 2 b) – 3 c) 3 
d) – 2 e) – 1 
 
03) O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é 
 um ponto localizado no: 
 
a) primeiro quadrante b) segundo quadrante 
c) terceiro quadrante d) quarto quadrante 
e) eixo x 
 
04) ( UECE ) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma 
 circunferência que tem o segmento MN como um 
 diâmetro, então a equação de C1 é: 
 
 a) x2 + y2 - 12x - 2y + 27 = 0 
 b) x2 + y2 + 12x - 2y + 27 = 0 
 c) x2 + y2 + 12x + 2y + 27 = 0 
 d) x2 + y2 - 12x + 2y + 27 = 0 
 
05) ( PUC-SP ) Seja a circunferência , de equação 
 x2 + y2 - 4x = 0. Determinar a área da região limitada 
 por . 
 
 a) 4 b) 2 c) 5 
 d) 3 e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( Mack-SP ) O maior valor inteiro de k, para que a 
 equação x2 + y2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma 
 circunferência, é: 
 
 a) 10 b) 12 c) 13 
 d) 15 e) 16 
 
07) ( UFRGS ) O eixo das abscissas determina no círculo 
 x2 + y2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento 
 
08) ( FGV-SP ) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na 
 circunferência x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de 
 comprimento igual a: 
 
 a) 3 b) 3 c) 2 3 
 d) 6 e) 2 2 
 
09) Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que 
 a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência. 
 
 a) 16 b) 4 c) 2 
 d) 32 e) n.d.a. 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 20
10) ( UFSC ) Considere a circunferência C: 
    1634 22  yx e a reta 
r: 4x + 3y  10 = 0. 
 Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados 
à(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
 01. r  C = . 
 02. O centro de C é o ponto (3, 4). 
 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas 
 em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) 
 ponto. 
 08. A distância da reta r ao centro de C é menor do 
 que 4. 
 16. A função y dada pela equação da reta r é 
 decrescente. 
 
GABARITO – MAT B 
 
AULA 1 
 
1) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0 f) 1 
 g) 
16
1
 h) 
125
8
 i) 18 j) – 5 k) 35/12 
2) a) 215 b) 213 
3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2102 d) 2200 e) 299 f) 250 
4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4 f) – 0,5 
5) a) 
2
25 b) 32 c) 
5
2523 d) 5( 23  ) 
 
6) e 7) 15 8) c 9) d 10) e 11) e 
12) 31 13) c 14) d 15) e 
 
AULA 2 
 
1) a) 6 b) 3 c) 5 2 2) e 3) 30° 
4) x = 2 y = 2 3 5) 14 6) 180 m 
7) x = 100 3 y = 100 8) e 9) 31 10) 57 
 
 
 
AULA 3 
 
1) 4 2 2) 75 3) 14 4) d 
5) e 6) b 7) b 8) a 
9) 2 7 10) b 
 
AULAS 4 e 5 
 
1) a) 120° b) 30° 2) a 3) 2 
 
4) b 5) a 
6) a) S = 



2

 b) S = 



2
3,
2

 
 c) S = 



18
33,
6
7 
 d) 



4
7,
4

 
 
7) c 8) c 9) b 10) c 11) b 12) 13 
13) c 14) c 15) 04 
 
 
 
 
AULA 6 
 
1) 
3
22
 2) 00 3) 00 4) 01 
5) a) 4) 



3
4,
3

 b) 
3 70
4 4
, , ,     
 
6) 01 7) 01 8) 2 9) b 10) d 
 
 
AULA 7 
 
1) a) 2 b) 2 c) – 1 2) a 3) 25 4) e 5) 41 
 
6) 01 7) a 8) 86 9) 12 10) c 
 
 
AULAS 8 e 9 
 
1) e 2) 13 3) e 4) e 5) 16 6) 08 7) c 
8) 03 9) a 10) e 11) a 12) 81 
 
AULA 10 
 
1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7 c) – 5 e 7 
 
2) 23 3) y = x 3 - 2 4) c 5) d 6) y = 3x – 2 
7) 07 8) 55 9) 90 10) 20 
 
AULA 11 
 
1) c 2) a 3) c 4) 
2
25 5) d 
6) 04 7) 09 8) d 9) 02 10) 90 
 
AULA 12 
 
1) a 2) c 3) a 4) a 5) a 6) c 
7) 08 8) c 9) a 10) 28