Sistemas Digitais - Rascunho - Versao 1

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Bibliografia:
Ronaldi – Sistemas Digitais : Princípios e Aplicações. Prentice Hall do Brasil
Sistemas digitais - Editora Erica
Herbert Taub – Circuitos Digitais e Microprocessadores. McGraw Hill
A. Malvino – Microcomputadores e Microprocessadores. McGraw Hill
Arthur Friedman – Fundamentals of Logic Design Switching Theory – Computer
Science press
Capítulo I
1.1- Conceitos Básicos
Aplicação de circuitos digitais:
Representação analógica: uma quantidade é representada por outra proporcional à
primeira. As quantidades variam dentro de uma faixa de valores; exemplos:
- a deflexão do ponteiro do velocímetro é proporcional à velocidade.
- a altura da coluna de mercúrio do termômetro muda com a temperatura.
Representação digital: quantidades são representadas por dígitos e não por valores
proporcionais. Não mostra a variação de maneira contínua. Varia em passos discretos;
exemplos:
- o relógio digital representa horas, minutos e segundos na forma de dígitos
decimais.
1.2 – Sistemas digitais e analógicos
Sistema digital: resulta da combinação de dispositivos desenvolvidos para manipular
informações que são representadas de forma digital, isto é, tal sistema só pode
manipular valores discretos.
Sistema analógico: formado por dispositivos que manipulam quantidades físicas
representadas sob a forma analógica. Nestes sistemas, as quantidades variam
continuamente dentro de uma faixa contínua de valores.
Vantagens das técnicas digitais
contínuo
discreto
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- Fáceis de projetar: circuitos de chaveamento ( alto e baixo) onde os valores exatos
de tensão ou corrente não são necessários.
- Fácil armazenamento de informação.
- Operações podem ser programadas; programa controla os sistemas digitais.
- Precisão e exatidão são maiores, podem trabalhar com tantos dígitos de precisão
forem necessários.
- Circuitos digitais são menos afetados por ruídos provocados por flutuações de
tensão.
- Circuitos digitais são mais adequados à integração => Circuitos integrados => CIs
A grande maioria das variáveis física é em sua natureza analógicas.
Dispositivo de
medida
Conversor
Analógico - Digital
A/D
Conversor
Digital - Analógico
D/A
Controlador
Temperatura
(Analógico)
Analógico
Processamento
digital
Analógico
Ajuste de temperatura
ADC -> conversor digital - analógico
DAC -> conversor analógico - digital
Conversão AD/DA
Desvantagens: complexidade, maior custo, tempo de conversão.
Vantagens: Tempo de conversão é compensado com as vantagens das técnicas digitais.
1.3 - Sistemas numéricos digitais
Sistema Decimal:
Dígitos ou símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Sistema posicional: o valor de um dígito depende de sua posição dentro do
número.
Exemplo: 534 = 5.102 + 3.101 + 4.100 = 5.100 + 3.10 + 4
34,65 = 3. 101 + 4. 100 + 6. 10-1 + 5.10-2
Dígito mais significativo (MSD) = 5 (dígito mais a esquerda)
Dígito menos significativo (LSD) = 4 (dígito mais a direita)
Sistema binário
Razões:
Dificuldade em implementar circuitos lógicos com 10 níveis de tensão.
Fácil implementação de circuitos eletrônicos com dois valores, levando a
utilização do sistema binário como sistema básico para operações em circuitos
digitais.
Dígitos ou símbolos: 0,1 ( bit )
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Sistema posicional: peso expresso em potência de 2
Exemplo: 10112 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 = 1110
01012 = 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 510
1011,01012 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 + 0.2-3 + 1.2-4 =
11.312510
Decimal Binário Octal Hexadecimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
30 11110 36 1E
40 101000 50 28
50 110010 62 32
60 111100 74 3C
70 1000110 106 46
80 1010000 120 50
90 1011010 132 5A
100 1100100 144 64
200 11001000 310 C8
300 100101100 454 12C
400 110010000 620 190
500 111110100 764 1F4
600 1001011000 1130 258
700 1010111100 1274 2BC
800 1100100000 1440 320
900 1110000100 1604 384
1000 1111101000 1750 3E8
2989 101110101101 5655 BAD
Alternância do dígito = 2p, onde p é a posição do dígito.
N bits podemos contar 2n valores ou combinações.
2n-1 maior decimal obtido na contagem.
Exemplo: N = 3 bits 23-1 = 710 = 1112
1.4 – Representação de Quantidades Binárias
Nos sistemas digitais eletrônicos, a informação binária é representada por tensões que
estão presentes nas entradas dos circuitos.
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5v 5v
binário 1
2v
0.8v
Binário 0 0 0 0
0
0v
tempo Sinal Digital
Capítulo 2 – Sistemas Numéricos e Códigos
2.1 – Conversão Binário – Decimal
2.2 – Conversão Decimal – Binário
2.3 – Sistema Numérico Octal, Conversão Decimal – Octal e Conversão Octal– Decimal
2.4 – Sistema Hexadecimal, Conversão Decimal – Hexa e Conversão Hexa– Decimal
2.5 – O Código BCD
Código é um grupo de símbolos utilizados na representação de números, letras,
símbolos etc.
O código BCD (Binary Coded Decimal) é o resultado da substituição de um número
decimal por seu equivalente binário. Como o maior dígito é 9, são necessários 4 bits
para representar cada dígito.
Decimal Binário 874 = 8 7 4 
100001110100BCD
0 0000   
1 0001 1000 0111 0100
2 0010
3 0011
4 0100 943 = 9 4 3 
100101000011BCD
5 0101   
6 0110 1001 0100 0011
7 0111
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8 1000
9 1001
10 1010
Comparação BCD x Binário Puro
- BCD não é sistema numérico
- BCD não é binário puro
- Fácil conversão BCD para binário e vice-versa
- O BCD precisa de mais bits que o binário para a representação de um número com
mais de um dígito em razão dele não utilizar todas as combinações possíveis de 4
bits, tornando-se portanto ineficiente
Exemplo: 13710 = 100010012 ; e 137BCD = 000100110111BCD
2.6 – Código Gray ou Refletido
Neste código para quaisquer dois números decimais consecutivos, apenas um bit muda.
Esse código possui como principal característica possuir somente um bit diferente entre
2 palavras de código vizinhas. Ele é um código não ponderado.
É usado em situações em que outros códigos (que utilizam os dígitos 0s e 1s) podem
ocasionar ambigüidades pela transição de mais de um bit.
Exemplos:
Código de 1 bit
0 só 1 bit varia
1
Código de 2 bits
(É gerado por um processo semelhante a reflexão de um objeto frente a um espelho)
00 só 1 bit varia
01
11 só 1 bit varia
10
Código de 3 bits
000 só 1 bit varia
001
011 só 1 bit varia
010
110 só 1 bit varia
111
101 só 1 bit varia
100
Conversão do código binário para o código refletido:
Função XOR (OU exclusivo):
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A B A B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Dado o código binário bn-1 bn-2 ... b0 , para n bits.
O código refletido correspondente gn-1 gn-2 ... g0 é dado por:
gn-1= bn-1gi = bi+1  bi , i = 0, ... , n-2
Exemplo:
Seja o binário 10110
4 3 2 1 0
o refletido será: g4 = b4 = 1g0 = b1  b0 = 1  0 = 1g1 = b2  b1 = 1  1 = 0  g4g3g2g1g0 = 11101g2 = b3  b2 = 0  1 = 1g3 = b4  b3 = 1  0 = 1
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Decimal Binário Refletido
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 0 1 1
3 0 1 1 0 1 0
4 1 0 0 1 1 0
5 1 0 1 1 1 1
6 1 1 0 1 0 1
7 1 1 1 1 0 0
0  1  0 = 0 1 1
1 1
Conversão do código refletido para o código binário:
É feito da esquerda para a direita, aplicando a regra
bn-1= gn-1bi = bi+1  gi , i = 0, ... , n-2 ( n é o número de bits )
Exemplo: Código Refletido 110011R = ?2
1 1 0 0 1 1R  1 0 0 0 1 02
2.7 - Código ASCII (American Standard for Information Interchange Code)
É um código de caracteres. Engloba caracteres alfabéticos (minúsculas e maiúsculas),
dígitos, sinais de pontuação e outros símbolos.
O código ASCII é formado por 8 bits (1 byte). Inicialmente foi proposto com 7 bits
permitindo apenas 127 caracteres, posteriormente foi adicionado 1 bit a mais, totalizando 8
bits, o qual foi conhecido como ASCII estendido, permitindo a representaçãode até 256
caracteres. Os 32 caracteres iniciais do código são caracteres de controle (Exemplos: 0DH –
Carrige return; 0AH – Line feed; 08H – Backspace).
2.8 – Códigos para Detecção e Correção de Erros
A paridade indica se o número de bits iguais a 1 contido no dado é par ou impar. É um bit
adicional que é inserido no dado.
A paridade pode ser par ou impar.
Paridade Par: o total de bits iguais a 1 do pacote enviado (contando com bit de paridade)
deverá ser par.
Paridade Impar: o total de bits iguais a 1 do pacote enviado (contando com bit de paridade)
deverá ser impar.
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Exemplo: 10012
Se for convencionado que a paridade é par então será adicionado um bit a
informação cujo total de bits iguais a 1 será par. Assim, será enviado 100102 (foi
adicionado o bit 0 a direita).
Se for convencionado que a paridade é impar então será adicionado um bit a
informação cujo total de bits iguais a 1 será impar. Assim, será enviado 100112 (foi
adicionado o bit 1 a direita).
Distância de um código: é o menor número de bits que diferem duas palavras quaisquer do
código.
2
Exemplo: Código: { 00000 , 00011 , 11000 }
42
m = 2
1a Lista de exercícios:
1 – Diferencie o sistema binário, octal, hexadecimal, e o decimal. Caracterize cada um
deles.
2 – Qual o máximo valor que conseguimos com um número binário, octal, hexadecimal, e o
decimal com 4 dígitos ? Mostre este valor em decimal.
3 – Se x e y forem dois números binários, mostre o procedimento, em binário, de x + y e o
resultado (em binário e decimal). Sendo x = 1001010101112 e y = 100101010112.
4 – Converta x e y do exercício acima para os sistemas octal e hexadecimal mostrando o
procedimento da obtenção de x + y em cada um destes sistemas, semelhante ao pedido no
exercício acima.
5 – Obtenha o código de Gray para o binário 1001010101112 e obtenha o binário para o
código refletido 10010101011R. Qual a diferença entre o código refletido do código de
Gray ? O que caracteriza o código de Gray ?
6 – Suponha que você queira escrever uma página numa impressora matricial comum.
Nesta página devera conter duas frases.
A primeira será: Aluno: Marcelo de Paiva
A segunda será: Nro.: 1971109-2
Mostre como seria o código ASCII desta página (em hexadecimal) para que a primeira
frase saia na primeira linha iniciando na primeira coluna e a Segunda frase saia na segunda
iniciando na primeira coluna.
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7 – Se x e y forem dois números binários, mostre o procedimento, em binário, de x * y e o
resultado (em binário e decimal). Sendo x = 101012 e y = 110112.
8 – Monte uma tabela de conversão dos números em decimal para octal, hexadecimal, BCD
e binário. Os números em decimal são de 1 à 20, as dezenas de 30 à 90, as centenas de 100
à 900, 1000 e 2989.
9 – Explique o que vem a ser paridade par, paridade impar, e distância de um código. Dê
exemplos.
10 – Converta os números abaixo para os respectivos binários, com pelo menos 8 bits de
precisão:
a) 101.100110 b) 626.62610 c) 13.342610
11 – Converta os números abaixo para os respectivos decimais e octais:
a) 00101.10012 b) 1111 c) 10101010.010002
12 – Considere x, y, e z como sendo dígitos da base octal. Com eles formamos os números
xy e yx cuja soma é o número zxz. Então qual o valor de x e y ? Mostre como obteve a
resposta.
13 – Qual a distância de um código binário de 3 bits e de 5 bits ?
14 – Adicionando um bit de paridade impar, no exercício acima, qual a nova distância ?
15 – Explique o código de Hamming.
16 – Para um código Hamming com 8 bits, qual é a regra de formação e a de verificação ?
17 – Suponha que no receptor é recebida uma palavra em código de hamming igual a
110011100112. Pergunta-se: existe erro ? caso afirmativo, qual o bit errado ? justifique.
Suponha que a probabilidade de 2 ou mais erros seja zero.
18 – Faça x - y , usando complemento de um e complemento de dois para:
a) x = 101010112 e y = 001110112
b) y = 1111112 e y = 1110112
2.9 – Código de Hamming
Um método usado não apenas para detectar erros, mas também serve para corrigi-
los, foi projetado por Richard Hamming (1950). Neste código, k bits de paridade são
adicionados a um caracter de n bits, formando um novo caracter de n + k bits. Os bits são
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numerados começando de 1, não de 0, a partir do bit da esquerda (bit de alta ordem). Todos
os bits cujo número é potência de 2 são bits de paridade; os restantes são usados para
representar o dado. Para um caracter ASCII de 7 bits, são adicionados 4 bits de paridade.
Os bits 1, 2, 4 e 8 são bits de paridade, e os bits 3, 5, 6, 7, 9, 10 e 11 são bits de dado. O
código de Hamming pode ser usado em caracteres ou mensagens de qualquer tamanho.
Cada bit de paridade verifica bits em posições específicas; o bit de paridade é
estabelecido de modo que a quantidade de números 1 em posições verificadas é par. As
posições verificadas pelos bits de paridade são:
Bit 1 verifica os bits 1, 3, 5, 7, 9, 11.
Bit 2 verifica os bits 2, 3, 6, 7, 10, 11.
Bit 4 verifica os bits 4, 5, 6, 7.
Bit 8 verifica os bits 8, 9, 10, 11.
Genericamente, o bit n é verificado pelos bits b1 , b2 , ... , bj , tais que b1 + b2 + ... + bj = n.
Por exemplo, o bit 5 é verificado pelos bits 2 e 4 porque 2 + 4 = 6.
Código ASCII para “b” = 1 1 0 0 0 1 0 = 1428
0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Bits de paridade
2.10 – Números Binários Negativos
Têm sido utilizados 4 sistemas para a representação de números negativos em
computadores digitais. O primeiro é chamado de sinal magnitude. Neste sistema o bit mais
à esquerda é o bit de sinal (0 é + e 1 é - ) e os bits restantes contêm a magnitude absoluta do
número. Por exemplo:
011012 = + 1310
111012 = – 1310
O segundo sistema, chamado de complemento de um, tem também um bit de sinal
com 0 para positivo e 1 para negativo. Para negar um número, substitui-se cada 1 por 0 e
cada 0 por 1. Isto vale também para o bit de sinal. Por exemplo,C113 :
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011012 = + 1310
100102 = – 1310
O terceiro sistema, chamado de complemento de dois, tem também um bit de sinal
que é 0 para mais e 1 para menos. Negar um número é um processo de dois passos.
Primeiro, cada 1 é substituído por 0 e cada 0 por 1, tal como no complemento de um.
Segundo, 1 é somado ao resultado. Adição binária é feita da mesma forma que a adição
decimal exceto que um vai-um é gerado se a soma é maior que 1 em vez de maior que 9.
Por exemplo, convertendo 6 para complemento de dois é feito em dois passos:
00000110 (+6)
11111001 (-6 em complemento de um)
1 (soma 1)
________
11111010 (-6 em complemento de dois) (C 26 )
Se ocorrer um vai-um do bit mais à esquerda, ele é desprezado.
O quarto sistema, que para números de m bits é chamado de excesso de 2m-1,
representa o número armazenando-o adicionado de 2m-1. Por exemplo, para números de 8
bits, m = 8, o sistema é chamado de excesso de 128 e um número é armazenado com seu
valor real mais 128. Assim, -3 + 128 = 125, e -3 é representado pelo número binário de 8
bits para 12510(011111012). Os números de –128 a +127 são mapeados em 0 a 255, todos
os quais visualizados como um inteiro positivo de 8 bits. É interessante notar que esse
sistema é idêntico ao complemento de dois com o bit de sinal invertido.
Tanto sinal magnitude e complemento de um têm duas representações para o zero:
+0 e –0. Esta situação é altamente indesejável.
Decimal Complemento de 1 Complemento de 2
10 00001010 00001010
+ (-3) 11111100 11111101
_______ ___________ ___________
+7 1 00000110 1 00000111
vai um descartado
00000111
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Capítulo 3 – Portas Lógicas e Álgebra Booleana
Uma função é uma regra através da qual se determina o valor de uma Segunda
variável (dependente) y do valor da variável (independente) x, sendo que esta dependência
representada por y=f(x). Quando o número de valores permitidos a x for finito, é possível
especificar uma função construindouma tabela em que y é dado para cada valor de x.
Quando o número de valores de possíveis de x for pequeno, o uso de tal tabela não é só
possível mas também conveniente.
x y=f(x)
0 3
1 8
2
3
23
48
x y=f(x)
Verde
Amarelo
Vermelho
Prossiga
Devagar
Pare
Uma função númerica Uma relação funcional
y=5x 2+3
As variáveis, dependente e independente, não precisam ser numéricas. A variável
lógica só pode assumir um (ou o outro) de dois valores possíveis, mutuamente exclusivos.
Uma tabela com valores V e F chama-se tabela verdade.
A Z = f(A)
F V
V F
A Z = f(A)
Verde
Vermelho
Prossiga
Pare
A relação funcional torna-se a tabela verdade
A Z = f(A)
F F
V V
A Z = f(A)
F V
V F
A Z = f(A)
F F
V F
A Z = f(A)
F V
V V
Todas as funções possíveis Z = f(A) de uma variável lógica são mostradas nas
quatro tabelas verdades abaixo:
Consideraremos agora as funções Z = f(A,B) de duas variáveis lógicas A e B. Entre
estas funções há algumas de interesse que serão examinadas a seguir.
A
B C
C = A . B
C = A B
A B C
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1Tabela verdade
Função AND (E)
A
B C
C = A + B
A B C
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1Tabela verdade
Função OR (OU)
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Chave 1 Chave 2
Chave 2
Chave 1
Até agora vimos que:
A
B Z
Z = A . B
Z = A B
A
B Z
Z = A + B
AB Z
Z = A . B . C . ...
Z = A B C ...
C Z
ABC
Z = A + B + C + ...
Um inversor é uma porta lógica que tem uma única entrada e uma única saída que é
o complemento lógico da entrada. Quando a entrada for verdadeira, a saída será falsa e
vice-versa; isto é:
1
A Z = A
2
A
B Z = AB
A
B Z = AB
A AB
3
A
B Z = A + B
Os esquemas acima são de uma porta inversora1, NAND2, e NOR3.
A Notação 0 e 1: Até agora temos indicado os dois possíveis valores de uma variável lógica
A pela notação A = V (verdadeiro) ou A = F (falso). A notação alternativa, onde A = 0
como alternativa para A = F e A = 1 como alternativa para A = V, tem diversas vantagens.
Prof. Dr. Jamil Barbar – Versão 1 página 14
Deve-se enfatizar que o 0 e o 1 usados aqui não são números mas valores lógicos de uma
variável.
Teoremas da Álgebra de Boole
Existe um princípio especial, descrito pelo termo dualidade, que se aplica a
teoremas envolvendo as operações AND e OR. Este princípio já foi sugerido pelas tabelas
verdade descritas anteriormente. Examinando qualquer linha de uma destas tabelas,
observamos que, se (l) trocarmos os sinais + e - entre si e (2) trocarmos os 0s e 1s entre si,
teremos substituído a equação original por outra igualmente válida. Consideremos, por
exemplo, a equação 0 . 0 = 0, que aparece na primeira linha da tabela verdade da função
AND. Fazendo as duas trocas indicadas, a equação torna-se 1 + 1 = 1, que é uma equação
válida e aparece na quarta linha da tabela verdade da função OR. Do mesmo modo,
verifica-se que fazendo as trocas indicadas em todas as equações da tabela verdade da
função AND chega-se, em correspondência biunívoca, - às equações da tabela verdade de
OR e vice-versa.
Baseados neste princípio de dualidade, se tivermos um teorema relacionando
variáveis lógicas, podemos imediatamente escrever um outro teorema trocando os sinais + e
. e trocando os 0s e 1s. Os dois teoremas assim relacionados são chamados teoremas duais
e as expressões derivadas através das duas trocas são chamadas duais uma da outra.
Voltando agora à listagem dos teoremas, temos inicialmente um teorema muito
importante, embora evidente por si só. O fato de uma variável só poder assumir um de dois
valores nos conduz ao complemento do complemento de uma variável A ser a própria
variável A, isto é:
AA 
A equação acima nos leva às equações duais 10  e 01  . Continuando, temos:
AAAA  1.0
00.11  AA
AAAAAA  .
0.1  AAAA
Estes oito teoremas envolvem uma única variável e foram listados na forma de pares duais.
Listaremos agora alguns teoremas envolvendo duas e três variáveis, novamente sob a
forma de pares duais.
Prof. Dr. Jamil Barbar – Versão 1 página 15
))(())()((
))((
))((
)(
))((
)(
))((
)(
CABACBCABA
CAABBCCAAB
BAACCABA
BACACAAB
ACABCBA
CABABCA
ABBAA
BABAA
ABABA
ABAAB
ABAA
AABA












O TEOREMA DE De MORGAN
Um teorema tem suficiente importância para ser examinado à parte. Conhecido como
teorema de De Morgan, aplica-se a um número arbitrário de variáveis e, em suas formas
duais, é dado por
......
......


CBACBA
CBACBA
Estes teoremas querem dizer que (1) o complemento de um produto de variáveis é
igual à soma dos complementos de cada variável e (2) que o complemento de uma soma de
variáveis é igual ao produto dos complementos de cada uma das variáveis.
O teorema é facilmente comprovado para duas variáveis construindo uma tabela
verdade para testar as quatro possíveis combinações
Simplifique as seguintes expressões:
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))()()((
)]([(
)(
)(
ZWZYYXWYXWV
ZXYZYXWXV
WZYXWV
YZXWWV
ZYZYXXW
YXXW
ZYXXYW







Converta o número binário abaixo para octal e hexadecimal:
impar) 10110011.0101111102 Resposta: 263.2768 e B3.5FH (179.3710937510)
par) 11001100.1010100102 Resposta: 314.5228 e CC.A9H (204.6601562510)
Capítulo 4 – Funções Lógicas
Para o desenvolvimento de um processo de simplificação das funções lógicas, há
duas formas padrão nas quais as funções lógicas podem ser expressas:
1a) Forma padrão de soma de produtos.
2a) Forma de produto padrão de somas.
Exemplo: Dada a função lógica de quatro variáveis
))((),,,( DCBBCADCBAf 
expressar a função como uma soma de produtos.
Solução: Usando a lei distributiva, permitirá a remoção dos parênteses através da
multiplicação, como na álgebra comum, obtendo:
)()(),,,( DCBBCDCBADCBAf 
BCDCABA
DCBCBBCDCABA


Exemplo: Dada a função lógica de cinco variáveis
))((),,,,( BEDBCAEDCBAf 
expressar a função como uma soma de produtos.
Solução: Usando o teorema de De Morgan e a lei distributiva, obtém-se:
))((),,,,( BEDBCAEDCBAf 
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EDCDCBEDBDBEDADBA
EDDBCBA
EBDCBA
BEDCBA




))((
)]()[(
)]()[(
Exemplo: Dada a função lógica de quatro variáveis
))((),,,( DCBBCADCBAf 
expressar a função como um produto de somas.
Solução: Usando a lei distributiva, onde A + BC = (A + B)(A + C), obtém-se
))()()((),,,( DBCBCABADCBAf 
Exemplo: Dada a função lógica de cinco variáveis
))((),,,,( BEDBCAEDCBAf 
expressar a função como um produto de somas.
Solução: Usando o teorema de De Morgan e a lei distributiva, obtém-se:
))((),,,,( EDDBCBAEDCBAf 
))()()()((
))()()()((
))()((
EDEBDDBCBA
EDEBDDDBCBA
EDBDDBCBA



Exemplo: Dada a função lógica de três variáveis
BCACBAf ),,(
expressar a função como uma soma de produtos, em que apareça todas as variáveis em
cada termo.
Solução: Usando a lei distributiva, permitirá a remoção dos parênteses através da
multiplicação, como na álgebra comum, obtendo
BCACBAf ),,(
se multiplicar o primeiro termo A por )( CC  e por )( BB  , não alterará o valor e
o segundo termo por )( AA  , não alterará o valor.
BCACBACBACABABCCBAf
BCAABCCBACBACABABCCBAf
BCAACCBBACBAf



),,(
),,(
)())((),,(
A função f(A,B,C) agora está na forma padrão de soma de produtos, onde “padrão”
significa que cada uma das variáveis aparece (às vezes complementada ou não) em cada um
dos termos produto. Cada um destes termos é chamado de mintermo.
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Exemplo: Dada a função lógica de três variáveis
)(),,( CBACBAf 
expressar a função como um produto de somas, em que apareça todas as variáveis em
cada termo.
Solução: Usando a lei distributiva, permitirá a remoção dos parênteses através da
multiplicação, como na álgebra comum, obtendo
)(),,( CBACBAf 
se adicionar ao primeiro termo A com )( CC e com )( BB , não alterará o valor, e ao
segundo termo com )( AA , não alterará o valor.
))((),,( CBAACCBBACBAf 
aplicando o teorema A + BC = (A+B)(A+C) temos:
))()()()()((),,())()()((),,(
CBACBACBACBACBACBACBAf
CBACBACBBACBBACBAf


Tirando as duplicações, temos:
))()()()((),,( CBACBACBACBACBACBAf 
A equação acima apresenta a função na forma padrão de produto de somas em que
cada variável (complementada ou não) aparece em cada parênteses. Cada um desses termos
“soma” é denominado maxtermo.
Especificação de funções em termos de mintermos e maxtermos.
Considere a função expressa na forma de padrão de soma de produtos:
ABCCABCBACBABCACBAf ),,(
011 100 101 110 111
3 4 5 6 7
os mintermos foram colocados em ordem numérica, gerando a representação binária
do número de cada mintermo. Assim, temos:
f(A,B,C)= m3 + m4 + m5 + m6 + m7
ou de forma compacta:
f(A,B,C)= m(3,4,5,6,7) ou ainda: f(A,B,C)=  (3,4,5,6,7)
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Considere a função expressa na forma de padrão de produto de somas, ou seja soma
de maxtermos:
))()()()((),,( CBACBACBACBACBACBAf 
000 010 001 011 110
0 2 1 3 6
de modo que f(A,B,C)= M0 .M2 .M1 .M3 .M6
ou f(A,B,C)= M(0,2,1,3,6) ou ainda f(A,B,C)= (0,2,1,3,6)
Relação entre mintermos, maxtermos e a tabela verdade
Linha número A B C f(A,B,C)
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
)5,4,1(
))()((
)7,6,3,2,0(




f
CBACBACBAf
f
ABCCABBCACBACBAf
Exercícios propostos
Circuitos Combinacionais , Codificadores e Decodificadores:
1- Elabore um circuito lógico que permita controlar uma bomba para encher uma caixa
d’água no alto de um edifício a partir de outra, como reservatório, colocada no térreo.
O circuito, através da informação de eletrodos, convenientemente dispostos nas caixas,
deve atuar na bomba e numa eletro-válvula ligada à canalização de entrada.
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2 - Esquematize um codificador Decimal/Binário para, a partir de um teclado com chaves
numeradas de 0 a 9, fornecer nas saídas o código binário correspondente. Considere que,
neste teclado, só fique acionada uma chave de cada vez.
3 - Desenvolva o decodificador Binário/Decimal representado na figura abaixo. O circuito
deve ativar (nível 1 ) uma única saída correspondente a cada combinação binária de
entrada.
4 - Projete um decodificador para, a partir de um código binário, escrever a seqüência da
figura abaixo em um display de 7 segmentos catodo comum.
5 - Uma indústria possuí 4 máquinas de alta potência, podendo ser ligadas, no máximo, 2
delas simultaneamente. Elabore um circuito lógico para efetuar este controle, respeitando
a prioridade de funcionamento da máquina l sobre a 2, da 2 sobre a 3 e da 3 sobre a 4.
6 - Elabore o circuito lógico para controlar o elevador representado esquematicamente na
figura abaixo:
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As variáveis de saída MS e MD deverão comandar o motor para fazer o elevador subir( MS = 1 e MD = 0),descer( MS = 0 e MD = 1 ), parar (MS = MD = 0) e ainda continuar um movimento iniciado (MS = MD = 1 ).
As variáveis de entrada serão os interruptores memorizadores dentro da cabine (T interligado com o
botão de chamada no piso térreo e S interligado com o do piso superior ) e os sensores (PT e PS) colocados nospisos, para indicar a presença correta do compartimento na andar. Considere o não funcionamento do motor
com qualquer das portas aberta, o desativamento da chamada na chegada ao piso de destino e a devida
temporização antes do início de um novo ciclo de operação.
7 - Desenhe um circuito para, em um conjunto de 5 chaves, detectar um número par destas
ligadas.
8 - Esquematize um codificador Hexadecimal/Binário para, a partir de um teclado com
chaves numeradas de 0 a F, fornecer nas saídas o código binário correspondente.
Considere, neste teclado, só fique acionada uma chave de cada vez.
9 - Elabore um decodificador 2 para 4, onde, conforme as combinações entre os 2 fios de
entrada, 1 entre os 4 fios de saída é ativado.
10 - Utilizando um display de 7 segmentos anodo comum, elabore a ponta de prova lógica
representada na figura abaixo:
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11 - Projete um decodificador para, a partir de um código binário, escrever a seqüência do
sistema hexadecimal em um display de 7 segmentos catodo comum. Determine apenas as
expressões simplificadas.
12 - Elabore um circuito lógico, o qual, a partir de um teclado com chaves numeradas de 0
a 9, acione um dísplay de 7 segmentos catodo comum, acendendo o respectivo número.
Considere que, neste teclado, só fique acionada uma chave de cada vez e que as portas
lógicas pertencem à família TTL.
Flip-Flops, Registradores de Deslocamento e Contadores:
13 - A figura abaixo apresenta um flip-flop RS e as respectivas formas de onda das
entradas. Determine a forma de onda da saída Q.
14 - Determine as formas de onda das saídas Q e Q do flip-flop tipo D, visto na figura
abaixo:
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15 - Desenhe o esquema de um registrador de deslocamento de 4 bits, utilizando flip-flop
do tipo D. Esboce as formas de onda das saídas para os sinais de entrada vistos na figura
abaixo:
16 - Projete e desenhe o circuito de um contador síncrono para gerar a seqüência da
tabela abaixo:
Q3 Q2 Q1 Q0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
17 – Projete o contador síncrono para gerar a seqüência do diagrama de estados visto na
figura abaixo:
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0 1 3
2
7 5 4
6
18 - Interligue os contadores da figura abaixo de maneira a formar um de 0-23.
19 - Determine as formas de onda de Q2, Q1 e Q0 para o contador da figura abaixo, emfunção dos sinais de clock e clear aplicados.
20 - Para o exercício anterior, desenhe o diagrama de estados.
21 - Levante a tabela da verdade do flip-flop da figura abaixo e identifique as entradas S e
R.
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22 - A figura abaixo apresenta um ftip-flop do tipo JK Mestre/Escravo e as respectivas
formas de ondas das entradas. Determine a forma de onda da saída Q.
23 - Determine as formas de onda das saídas Q e Q do flip-flop tipo T, visto na figura
abaixo:
24 - Esboce as formas de onda, para o registrador de deslocamento da figura abaixo, em
função dos sinais aplicados vistos nos gráficos e com a entrada enable igual a zero.
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25 - Determine a situação das saídas Q2, Q1 e Q0 para o circuito do exercício anterior,após 2 descidas de clock, sabendo-se que PR2 = 1, PR1 = 0, PR0 = 1 e E = 0, queinicialmente houve a passagem do clear de 0 para 1, que o enable passou de 0 para 1 e
logo após de 1 para 0.
26 - Elabore um contador assíncrono de 0 a 59, com uma entrada clear geral para
utilização externa.
27 - Desenhe o circuito de um contador assíncrono de 0 a 7 para operar de forma
crescente/decrescente, conforme nível aplicado a uma entrada X de controle (X = 1 =>
crescente e X = 0 => decrescente).
28 - Elabore um contador assíncrono de 29 a 0. O circuito deve possuir um terminal que,
quando aterrado, estabelece o caso inicial (29).
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29 - Projete e desenhe o circuito de um contador síncrono para gerar a seqüência da
tabela abaixo:
Q2 Q1 Q0
1 1 1
0 1 0
1 0 1
0 0 1
30 - Projete o contador síncrono para gerar a seqüência do diagrama de estados visto na
figura abaixo:
1 2 3 4 5 6
789101112
13 14 150
31 - Escolha 2 blocos contadores e interligue-os de maneira a formar um sistema contador
de 0 a 45. Desenhe o esquema de ligação.
32 - Esquematize um contador para trabalhar como divisor de freqüência por 4. Esboce as
formas de onda da entrada e saída para tal finalidade.
33 - Idem ao anterior, para dividir a freqüência por 10.
34 - Determine as formas de onda de Q2, Q1 e Q0 para o contador da figura abaixo, emfunção dos sinais de clock e início aplicados.
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35 - A partir das formas de onda do contador do exercício anterior, determine o diagrama
de estados.