CAPÍTULO I Compressibilidade e adensamento de solos 2vmmxii

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CAPÍTULO I – COMPRESSIBILIDADE E ADENSAMENTO DE SOLOS 
 
1.1 CONCEITOS DE COMPRESSIBILIDADE E EXPANSIBILIDADE DOS SOLOS 
 
 Todos os materiais existentes na natureza se deformam, quando submetidos a esforços. A es-
trutura multifásica característica dos solos confere-lhe um comportamento próprio, tensão-deformação, 
o qual normalmente depende do tempo. 
Um esforço de compressão aplicado a um solo fará com que ele varie seu volume, o qual pode-
rá ser devido a uma compressão da fase sólida, a uma compressão da fase fluída ou a uma drenagem 
da fase fluida dos vazios. 
Ante a grandeza dos esforços aplicados na prática, e admitindo-se o solo saturado tem-se que, 
tanto a compressibilidade da fase sólida como a da fase fluida serão quase desprezíveis. A única 
razão, para que ocorra uma variação de volume, será uma redução dos vazios do solo com a con-
sequente expulsão da água intersticial. 
A saída dessa água dependerá da permeabilidade do solo: 
 Para as areias, em que a permeabilidade é alta, a água poderá drenar com bastante faci-
lidade e rapidamente; 
 Para as argilas, a expulsão de água dos vazios necessitará de muito mais tempo, até 
que o solo atinja um novo estado de equilíbrio, sob as tensões aplicadas. Essas varia-
ções volumétricas que se processam nos solos finos, ao longo do tempo, constituem o fe-
nômeno de adensamento, e são as responsáveis pelos recalques a que estão sujeitas 
estruturas apoiadas sobre esses solos. 
 
Definição: ADENSAMENTO é o processo lento e gradual de redução do índice de vazios de um solo 
por expulsão do fluido intersticial e transferência da pressão do fluído para a estrutura sólida, devido a 
cargas aplicadas ou ao peso próprio das camadas sobrejacentes. 
 
Definição: COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS é a diminuição do volume sob a ação de cargas apli-
cadas. 
 
Definição: COMPACTAÇÃO é o processo manual ou mecânico de redução do índice de vazios, por 
expulsão do ar. 
 
Definição: RECALQUE ou ASSENTAMENTO é o termo utilizado em Engenharia Civil para designar o 
fenômeno que ocorre quando uma obra sofre um rebaixamento devido ao adensamento do solo sob 
sua fundação. 
 O recalque é a principal causa de trincas e rachaduras em edificações, principalmente quando 
ocorre o recalque diferencial, ou seja, uma parte da obra rebaixa mais que outra gerando esforços es-
truturais não previstos e podendo até levar a obra à ruína. 
 Causas de recalques de uma estrutura (Simons e Menzies, 1977). 
1. Aplicação de cargas estruturais; 
2. Rebaixamento do nível d’água; 
3. Colapso da estrutura do solo devido ao encharcamento; 
4. Inchamento de solos expansivos; 
5. Árvores de crescimento rápido em solos argilosos; 
6. Deterioração da fundação (desagregação do concreto por ataque de sulfatos, corrosão de 
estacas metálicas, envelhecimento de estacas de madeira); 
7. Subsidência devido à exploração de minas; 
8. Buracos de escoamento; 
9. Vibrações em solos arenosos; 
10. Inchamento de solos argilosos apos desmatamento; 
11. Variações sazonais de umidade; 
12. Efeitos de congelamento. 
2 
 
 
A Torre de 
Pisa é um exemplo 
típico de recalque 
diferencial, a qual 
permanece de pé 
devido às constan-
tes intervenções de 
especialistas em 
Geotecnia, visando 
o reforço do solo em 
sua base. 
 
 
Outro exemplo bastante citado no Brasil são os prédios na orla da cidade de Santos. 
 
1. ª etapa: execução de oito estacas de cada lado do edifício, com diâmetro 
variando de 1,0 a 1,4 m, e profundidade média de 57 m, atingindo um solo 
residual resistente e seguro situado abaixo da camada de argila mole. 
2.ª etapa: foram executadas 8 vigas de transição com cerca de 4,5 m de 
altura para receber os esforços dos pilares e transmiti-los às novas 
fundações. 
 
3.ª etapa: 14 macacos hidráulicos acionados por seis bombas, instalados 
entre as vigas de transição e os novos blocos de fundação, foram utilizados 
para reaprumar o edifício.Os vãos em que estavam os macacos foram 
preenchidos com calços metálicos e, após, concretados 
 
 
O Palácio de Belas Artes, na Cidade do 
México (foto ao lado), também, é um caso 
clássico de recalque de fundação. Após sua 
construção, ocorreu um recalque diferencial de 2 
m, entre a rua e a área construída; o recalque 
geral desta região da cidade foi de 7 m. Um 
visitante, ao invés de subir alguns degraus para 
entrar no prédio, como estabelecido no projeto 
original, hoje tem de descer. 
 
 
3 
 
 Grande parte das obras de engenharia civil (prédio, pontes, viadutos, barragens, estradas, etc.) 
é assentada diretamente sobre o solo. A transferência dos esforços da estrutura para o solo é feita 
através de fundações rasas (sapatas, radiers) ou profundas (estacas, tubulões). 
 No projeto geotécnico de fundações faz-se necessário avaliar se a resistência do solo é sufici-
ente para suportar os esforços induzidos pela estrutura e, principalmente, se as deformações (recal-
ques) estarão dentro dos limites admissíveis. Recalques diferenciais ou de magnitude elevada podem 
causar trincas na estrutura ou inviabilizar sua utilização. 
 Daí a necessidade do engenheiro conhecer os temas COMPRESSIBILIDADE e ADENSAMEN-
TO DE SOLOS. 
 O solo natural constitui simultaneamente um material complexo e variável de acordo com a sua 
localização. Contudo, devido à sua universalidade e baixo custo, apresenta normalmente uma grande 
utilidade enquanto material de construção para Engenharia Civil. 
 Por vezes, é normal que o solo de um determinado local não cumpra, total ou parcialmente, os 
requisitos necessários. Terá então de ser tomada uma decisão relativa à solução mais indicada para 
cada caso, e que irá geralmente contemplar uma das seguintes hipóteses: 
1. Aceitar o material original e ajustar o projeto às restrições por ele impostas; 
 
2. Remover o material do seu local original e substituí-lo por material de qualidade superior; 
 
3. Alterar as propriedades do solo existente de forma a criar um material capaz de responder 
às necessidades da tarefa prevista, normalmente designada por ESTABILIZAÇÃO DE SO-
LOS. As alterações às propriedades de um solo podem ser de ordem química, física e bio-
lógica. Contudo, devido à grande variabilidade dos solos nenhum método será bem sucedi-
do em mais do que alguns tipos de solos. 
 Fundações superficiais de pequenas estruturas também podem ser afetadas por estas varia-
ções de umidade no solo, mas é em pavimentos rodoviários que a estabilização dos solos requer maio-
res cuidados. Para o projetista de vias de comunicação rodoviárias a resistência do solo não é condi-
ção suficiente para garantir uma boa estabilização, visto que, por exemplo, ao compactar um solo ex-
pansivo aumenta-se a sua resistência, mas em contato com a água este poderá absorvê-la e expandir, 
diminuindo novamente a resistência. 
Muitos solos argilosos aumentam e diminuem de volume com as variações sazonais do seu teor 
de umidade. Estas variações de volume podem não coincidir com as alturas de máxima precipitação ou 
insolação, uma vez que em solos de baixa permeabilidade a velocidade de percolação da água pode 
ser substancialmente reduzida. Notar que as variações de volume referidas devem-se apenas à altera-
ção do teor de umidade, e só mantendo constante a quantidade de água presente no solo é que é pos-
sível evitar alterações ao seu volume inicial. 
 O ensaio edométrico1 demostra bem a correlação entre resistência e índice de vazios, e uma 
vez que este índice depende da tensão de consolidação, este ensaio demonstra também a correlação 
existente entre esta tensão e a resistência. Para tensões superiores à tensão de pré-consolidação o 
índice de vazios decresce linearmente com o logaritmo da tensão de consolidação. Esse decréscimo é 
indicado pelo índice de compressibilidade (Cc),Nas areias este índice é muito baixo, o que significa que é reduzido o efeito de diminuição da 
compressibilidade com o aumento da tensão de consolidação. Já nas argilas tende a assumir um valor 
elevado, traduzindo assim uma maior influencia na redução da compressibilidade deste tipo de solo. O 
efeito contrário ao da diminuição da compressibilidade com o aumento da carga é definido no ramo de 
descarga do ensaio edométrico e designa-se por índice de expansibilidade (Ce). Quanto maior for este 
índice, maior será a expansão do solo devido à descompressão. Mais uma vez se verifica que enquan-
to nas areias o efeito da expansibilidade é normalmente desprezável, nas argilas obriga muitas vezes a 
cuidados especiais. 
 
Definição: Expansibilidade é a propriedade que certos solos apresentam de aumentarem de volume, 
quando em contato com a água (NBR 6502/1995). 
 
1
 Edometria é a técnica empregada no estudo da consolidação e compactação de solos sobre a ação de cargas externas. Ensaio edométrico resposta do 
solo a uma dada solicitação no que diz respeito a deformações verticais, por ele se obtém o coeficiente de adensamento, coeficiente de consolidação 
entre outras características do solo estudado. 
4 
 
 
1.2 ENSAIO DE ADENSAMENTO 
 
O ensaio de adensamento ou de compressão unidirecional confinada pretende determinar dire-
tamente os parâmetros do solo, necessários para o cálculo de recalques. A realização do ensaio con-
siste basicamente em se instalar dentro de um anel rígido uma amostra de solo de pequena espessura 
(geralmente 2,5 cm). O corpo de prova é drenado, pelas faces superior e inferior, com o auxilio de pe-
dras porosas, conforme se mostra na figura. 
 
O conjunto é levado a uma prensa na qual são aplicadas tensões verticais ao corpo de prova, 
em vários estágios de carregamento. Cada estágio permanece atuando até que cessem as deforma-
ções originadas pelo carregamento (na prática, normalmente, 24 horas). Em seguida, aumenta-se o 
carregamento (em geral, aplica-se o dobro do carregamento que estava atuando anteriormente). 
As medidas que se fazem usualmente são as de deformação do corpo de prova (pela variação 
de altura) ao longo do tempo, em cada estágio de carregamento. 
Pode ser determinado ainda o coeficiente de permeabilidade do 
solo diretamente, fazendo percolar água através do corpo de 
prova. O resultado do ensaio, normalmente, é apresentado num 
gráfico semilogarítmico em que nas ordenadas se têm as varia-
ções de volume (representados pelos índices de vazios finais em 
cada estágio de carregamento) e nas abscissas, em escala loga-
rítmica, as tensões aplicadas. Podem-se distinguir nesse gráfico 
três partes distintas: a primeira, quase horizontal; segunda, reta 
e inclinada e terceira parte ligeiramente curva. 
O primeiro trecho representa uma recompressão do so-
lo, até um valor característico de tensão, correspondente à má-
xima tensão que o 
solo já sofreu na na-
tureza; de fato, ao 
retirar a amostra indeformada de solo, para ensaiar em la-
boratório, está sendo eliminadas as tensões graças ao solo 
sobrejacente, o que permite à amostra um alívio de tensões 
e, consequentemente, uma ligeira expansão. 
Ultrapassado o valor característico de tensão, o cor-
po de prova começa a comprimir-se, sujeita a tensões su-
periores às tensões máximas por ele já suportadas em a 
natureza. Assim, as deformações são bem pronunciadas e 
o trecho reto do gráfico que as representa é chamado de 
reta virgem de adensamento. Tal reta apresenta um coe-
ficiente angular denominado índice de compressão (Cc). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O índice de compressão é muito útil para o cálculo de recalque, em solos que se estejam com-
primindo, ao longo da reta virgem. O recalque total (ΔH) por causa, de uma variação do índice de vazi-
os (Δe), numa camada de espessura H, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Por último, o terceiro trecho corresponde à parte final do ensaio, quando o corpo de prova é 
descarregado gradativamente, e pode experimentar ligeiras expansões. 
SOLO-ENSAIO DE ADENSAMENTO UNIDIMENSIONAL 
NORMA DO MÉTODO DE ENSAIO - MB 3336 / 1990 
OBJETIVO: O ensaio de adensamento ou de compressão unidirecional confinada pretende determinar diretamente os parâ-
metros do solo, necessários para o cálculo de recalques. 
IMPORTÂNCIA PARA A ENGENHARIA Previsão de recalques: 
- quanto recalcará? 
- em quanto tempo? 
 
AMOSTRAS 
 DEFORMADAS 
 
 
AMOSTRAS 
INDEFORMADAS 
Tubos de parede fina 
tipo Shelby – para 
argilas moles e 
médias. 
 
AMOSTRAS INDEFORMADAS 
 
 
Retirada de tubo com amostra do 
solo 
Colocação da amostra no 
anel de adensamento 
(retirada do bloco indefor-
mado) 
Amostragem com 
tubo Shelby 
Amostra retirada do 
tubo 
Dimensões do anel biselado 
 
6 
 
Corpo de prova de amostra indefor-
mada 
Talhagem da amostra Procedimento de 
arrasamento 
Fase de acabamento Montagem do corpo de prova. na 
célula 
 
Ajuste da prensa Talhagem de amostra compactada Célula a ser usada no ensaio de adensamento 
 Colocação do anel com o corpo de prova na célula 
 
Visualização da prensa, 
antes da colocação da 
célula 
Colocação da célula 
na prensa 
Ajuste da célula na prensa Aplicação de carga 
 
Acompanhamento das leituras Saturação do corpo de prova pela inundação da célula 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
1.2.1 TENSÃO DE PRÉ-ADENSAMENTO 
 
O valor característico de tensão, anteriormente 
citado, a partir do qual o solo principia a comprimir-se, 
ao longo da reta virgem de adensamento, denomina-se 
tensão de pré- adensamento (σa’) e representa a 
máxima tensão a que o solo já esteve submetido na 
natureza. 
Submetendo uma amostra de solo a ciclos su-
cessivos de carregamento e descarregamento, tal qual 
se mostra na figura, pode-se observar que a curva de 
recompressão aproxima-se fielmente da curva inicial, 
e após ultrapassar um valor de tensão o solo volta a 
comprimir-se, ao longo da reta virgem. O valor σa’ obti-
do, quando se carrega o corpo de prova pela primeira 
vez, é a tensão de pré-adensamento. Ou seja, é a 
máxima tensão efetiva já sofrida pelo solo. 
 Se a tensão de pré-adensamento corresponde a tensão efetiva do 
solo no campo 
 
 SOLO NORMALMENTE ADENSADO 
(NA). 
 Se a tensão de pré-adensamento é maior que a tensão efetiva do solo no campo 
 
 SOLO PRÉ-ADENSADO (PA). 
 Se a tensão de pré-adensamento é maior que a tensão efetiva do solo no campo 
 
 SOLO SUB-ADENSADO (ou em pro-
cesso de adensamento). 
 
1.2.1.1 CAUSAS DO PRÉ-ADENSAMENTO: 
 Existência de pré-carregamento (geológico ou antrópico); 
 Variação na pressão neutra por rebaixamento do nível d’água; 
 Secamento superficial do solo com geração de sucção; 
 Trocas químicas, cimentação e tensões residuais da rocha de origem. 
Então, é definida a razão de pré-adensamento (OCR2) que ‘e a razão entre a tensão de pré-
adensamento e a tensão efetiva de campo. 
 
 
 
 
 
OCR=1 solo normalmente adensado – NA 
OCR>1 solo pré-adensado - PA 
OCR<1 solo em adensamento 
Fica claro que o conhecimento da tensão de pré-adensamento é de fundamental importância 
para o cálculo de recalques, pois, para acréscimos de tensões, que não superassem essa tensão, as 
deformações a se esperar seriam quase desprezíveis. 
O conhecimento da tensão de pré-adensamento é de fundamental importância para o cálculo de 
recalques, pois para acréscimos de tensões quenão superassem essa tensão, as deformações a se 
esperar seriam quase desprezíveis. 
 
1.2.2 ADENSAMENTO SECUNDÁRIO (CREEP) 
 
2
 OCR abreviatura do inglês Over Consolidation Ratio. 
8 
 
 
Karl Terzaghi 
1882-1963 
Ocorre quando o excesso de pressão neutra é praticamente nulo 
 0
 e a tensão efetiva é 
praticamente igual à tensão total
  '
. Em geral, verifica-se que no ensaio de adensamento, a de-
formação continua a se processar muito embora o excesso de pressão neutra seja praticamente nulo. 
Este efeito é atribuído a fenômenos viscosos. 
 
1.3 TEORIA DO ADENSAMENTO UNIDIMENSIONAL 
O processo de adensamento, entendido como a variação de volume que se processa num 
solo, graças à expulsão gradual da água de seus vazios, pode ser bem visualizado, quando se utili-
za o modelo de Analogia Hidromecânica do Processo de Adensamento idealizado 
por Karl Terzaghi3. 
 
1.3.1 MODELO HIDROMECÂNICO DE TERZAGHI 
 
O modelo compõe-se basicamente de um pistão com uma mola provido de uma 
saída. Inicialmente (antes de t = 0), o sistema encontra-se em equilíbrio. No tempo ini-
cial, há um incremento de pressão externa instantânea (ΔP) que provoca um aumento 
idêntico de pressão na água. Como não houve tempo para o escoamento da água (va-
riação de volume), a mola não sofre compressão e, portanto, não suporta carga. 
Há, a partir daí, processo de variação de volume com o tempo, pela saída da 
água, e, simultaneamente, ocorre à dissipação da pressão do líquido. Gradativamente, aumenta a ten-
são na mola e diminui a pressão da água até atingir-se a condição final da figura (e). Uma vez que a 
pressão externa está equilibrada pela pressão da mola, não há mais compressão e o adensamento 
está completo. 
a) exemplo físico b) analogia hi-
dromecânica 
estado inicial 
c) carga aplicada com a 
válvula fechada 
d) o pistão desce e a 
água começa a escapar 
e) equilíbrio sem mais 
saída de água 
 
 
 
u0 = pressão neutra 
 = poro-pressão 
PRESSÃO NEUTRA 
Pressão que se está sub-
metida à água que se 
u = u0 
σ = σ’0 
p’0 = 
 
 
 
 
 
 
3 Karl von Terzaghi (Praga, 2 de outubro de 1883 — Winchester, Massachusetts, Estados Unidos, 25 de outubro de 1963) foi um engenheiro austríaco 
reconhecido como o pai da Mecânica dos solos e da Engenharia Geotécnica. Desde o começo de sua carreira dedicou todos os seus esforços visando 
buscar um método racional que resolvesse os problemas relacionados com a engenharia de solos e fundações. A Coroação de seus esforços se deu em 
1925 com a publicação de Erdbaumechanik, considerada hoje como o ponto de partida da mecânica dos solos como novo ramo da ciência na engenharia. 
De 1925 a 1929 trabalhou no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, onde iniciou o primeiro programa Norte americano sobre mecânica dos solos e 
com isso fez com que esta ciência se convertesse em uma matéria importante na Engenharia Civil. Em 1938 passou para a Universidade de Harvard 
onde desenvolveu e lecionou seu curso sobre geologia aplicada à engenharia, aposentando-se com professor em 1953 com 70 anos de idade. Nacionali-
zou-se Norte Americano em 1943. Seu livro Soil Mechanics in Engineering Practice, escrito em parceria com Ralph B. Peck, é de consulta obrigatória para 
os profissionais da engenharia geotécnica. Ele é considerado um dos melhores engenheiros civis do século XX. 
9 
 
encontra nos poros exis-
tentes entre as partículas 
de um solo (equilíbrio) 
 
f) transferência gradual de carga 
 
 
1.3.2 TEORIA DO ADENSAMENTO DE TERZAGHI 
O estudo teórico do adensamento permite obter uma avaliação da dissipação das sobrepres-
sões hidrostáticas (excesso de pressão neutra gerada pelo carregamento) e, consequentemente, da 
variação de volume ao longo do tempo, a que um elemento, de solo estará sujeito, dentro de uma ca-
mada compressível. Tal estudo foi inicialmente realizado por Terzaghi, para o caso de compressão 
unidirecional, e constitui a base pioneira, para afirmação da Mecânica dos Solos como ciência. 
 
A partir dos princípios da Hidráulica, Terzaghi elaborou a sua teoria, tendo, entretanto, que fa-
zer algumas simplificações, para o modelo de solo utilizado. As hipóteses básicas de Terzaghi são: 
1. solo homogêneo e completamente saturado; 
2. partículas sólidas e a água intersticial4 são incompressíveis; 
3. adensamento unidirecional, isto é, compressão (deformação) e drenagem unidimensionais 
(vertical); 
4. determinadas propriedades do solo permanecem constante5 ( k, mv, Cv); 
5. escoamento de água unidirecional e validade da lei de Darcy ( v = k . i ); 
6. há relação linear entre a variação do índice de vazios e as tensões aplicadas; 
7. extensão a toda massa de solo das teorias que se aplicam aos elementos infinitesimais. 
Ao admitir escoamento unidirecional de água, algumas imprecisões aparecem, quando se tem 
o caso real de compressão tridimensional, entretanto, a hipótese condicionante de toda a teoria é a que 
prescreve a relação linear entre o índice de vazios e a variação de pressões. Admitir tal hipótese signi-
fica admitir que toda variação volumétrica se deve à expulsão de água dos vazios, e que se afasta em 
muitos casos da realidade, pois ocorrem juntamente com o adensamento, deformações elásticas e 
outras, sob tensões constantes, porém crescentes com o tempo (CREEP). As demais hipóteses podem 
facilmente ser reproduzidas em laboratório ou se aproximam bem da realidade. 
 
4
 Água contida nos vazios do solo, 
5
 Na realidade variam com a pressão. 
 
10 
 
A figura a mostra um perfil de solo muito comum. Uma camada de solo saturado compressível 
intercalada entre outras camadas pouco compressíveis. O carregamento que foi imposto é do tipo uni-
dimensional, isto é, não há distorção lateral do solo. Esta forma de solicitação ocorre quando a largura 
do carregamento é muito maior do que a espessura da camada, por exemplo, em aterros de aeropor-
tos, alguns aterros rodoviários, tanques de combustível, aterros industriais, etc. Na mesma figura (item 
b) mostra um elemento de solo da camada na qual o incremento de carga aplicada foi 
p
. 
Analisando a pressão neutra (u) dentro da camada, observa-se que ela será zero (ou igual a 
um valor hidrostático inicial constante, dependente do lençol freático na areia) no contato superior. A 
areia possui uma permeabilidade muito alta em relação à argila e fornece uma condição de drenagem 
livre, portanto. 
Para a dedução da equação fundamental do adensamento, considere-se a massa de solo re-
presentada na figura, para um elemento infinitesimal de solo situado à profundidade z, temos que: 
A água é expulsa dos vazios do solo com uma velocidade 
 
equação de Darcy, onde: k é o coeficiente de permeabilidade, 
 i é o gradiente hidráulico é expresso por: 
 
 
 
Para o caso em estudo, o gradiente é variável em função da profundidade z e do tempo t, temos: 
 
 
 
 
Como a carga hidráulica pode ser substituída pela poro-pressão u dividida pelo peso específi-
co da água, A pressão neutra é , isolando H, temos 
 
 
 , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade também varia com a profundidade (z), portanto, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Por outro lado, a variação de velocidade ao longo de (z) depende da variação de volume que ocorre 
nos elementos de solo. Portanto, a variação de volume depende do tempo, dado pela expressão:11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adotando-se Vtotal = 1 (volume unitário), tem-se: 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
Definindo-se coeficiente de compressibilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definindo-se coeficiente de variação volumétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que a variação de volume unitária (ΔV/V) é função da variação da tensão efetiva, e a 
variação da tensão efetiva é proporcional à dissipação da poro-pressão, temos: 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente (mv) definido nas expressões anteriores é determinado experimentalmente e de-
nomina-se coeficiente de variação volumétrica ou coeficiente de deformação volumétrica. Quanto 
maior esse coeficiente, maior será a variação de volume unitário do solo para certo incremento de 
tensão efetiva. O coeficiente de variação volumétrica é o inverso do módulo de elasticidade (mv = 1/E). 
Como o fluxo no elemento de solo é unidimensional (por definição do carregamento), toda a va-
riação de volume se dará na dimensão de z. Haverá uma variação da velocidade originada pelo au-
mento de vazão, isto é, há uma diferença entre o volume que sai e o que entra no elemento de solo, 
devido à própria variação de volume do elemento (solo saturado). Com isso poderemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Igualando-se as expressões (1) e (2), obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta última expressão é conhecida como EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO ADENSAMENTO. 
Sendo esta uma equação diferencial de derivadas parciais de 2.ª ordem que rege o fenômeno do 
adensamento unidimensional. 
Desta equação define-se o coeficiente de consolidação ou coeficiente de adensamento, 
pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
12 
 
Quanto maior o valor do Cv, tanto mais rápido se processa o adensamento do solo. Assim como 
mv e k, o Cv é uma propriedade dos solos. 
 
 ( )
 
 em que 
 
( )
 
A equação fundamental do adensamento pode ser assim expressa: 
 
 
 
 
 
 
 
Para a resolução da equação fundamental, deve-se atentar para as condições de contorno ine-
rentes à camada de solo compressível e ao carregamento. Evidentemente, cada condição de contorno 
particular afetará a solução. 
 
1.3.3 SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DO ADENSAMENTO 
A solução que será apresentada refere-se às seguintes condições de contorno: 
 
1. a camada compressível está entre duas camadas de elevada permeabilidade, isto é, ela será 
drenada por ambas as faces. Definindo-se distância de drenagem (Hd) como a máxima distân-
cia que uma partícula de água terá que percorrer, até sair da camada compressível, teríamos 
nesse caso (figura a), Hd = H/2. No caso da figura b, Hd = H, pois uma partícula de água situa-
da imediatamente sobre a rocha teria que percorrer toda a espessura da camada de argila até 
atingir uma face drenante; 
2. a camada de argila receberá uma sobrecarga que se propagará linearmente, ao longo da pro-
fundidade (como um carregamento ocasionado por um aterro extenso, por exemplo); 
3. imediatamente após a aplicação do carregamento, a sobrepressão hidrostática inicial, em 
qualquer ponto da argila, será igual ao acréscimo de tensões ( ), tal como se viu na 
analogia mecânica do adensamento. 
Aplicando essas condições a equação fundamental, obtém-se o valor da sobrepressão hidros-
tática, que resta dissipar em uma camada, em processo de adensamento. 
 ∑ (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
Nesta expressão, 
 
 
 ( ) e 
 
 
 é um fator adimensional, chamado de fator 
tempo e é adimensional. Ele correlaciona os tempos de recalque às características do solo, através do 
Cv, e às condições de drenagem do solo, através do Hd. 
13 
 
 
 1.3.4 GRAU ou PORCENTAGEM DE ADENSAMENTO 
O andamento do processo de adensamento pode ser acompanhado por meio da seguinte re-
lação, denominada porcentagem de adensamento: 
 
 
 
 
Nessa expressão, , representa a variação de volume após um tempo t; representa a 
variação total de volume, depois de completado o adensamento e é a porcentagem de adensamento 
de um elemento de solo, situado a uma profundidade z, num tempo t. 
A porcentagem de adensamento pode ser assim expressa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
em que e são as pressões neutras, após um tempo t e após ; é a sobrepressão hidros-
tática logo após a aplicação do acréscimo da carga ; é a sobrepressão num tempo t e é a pres-
são neutra existente na água. Se for igual a zero, 
 
 
 
 
 
 
 
Para se obter a porcentagem de adensamento Uz de um elemento situado a uma cota z, de-
corrido um intervalo de tempo t, basta substituir na expressão de Uz o valor de obtido: 
 
 
 
 ∑ (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
Atribuindo valores a 
 
 
 e Tv a pode-se construir um gráfico que ilustra bastante o processo de 
adensamento. 
14 
 
 
Como é possível verificar, a porcentagem média de adensamento de toda a camada é apenas 
função do fator tempo. Pode-se, por tanto, a partir das condições de contorno de cada situação, esta-
belecer U=f(Tv). 
 
A curva da figura acima indica como os recalques se desenvolvem ao longo do tempo. Todos os 
recalques por adensamento seguem a mesma evolução. Se o solo for mais deformável, os recalques 
serão maiores, mas a curva está indicando a porcentagem de recalque. Se o solo for mais impermeá-
vel, ou a distância de drenagem for maior, os recalques serão mais lentos, mas a curva está referida ao 
fator tempo, que se liga ao tempo real pelo coeficiente de adensamento e pela condição de drenagem 
de cada situação prática. 
Vale ressaltar que a equação teórica U= f(Tv) é expressa com bastante aproximação, pelas se-
guintes relações empíricas: 
15 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 para U<60% ( ) para U>60% 
 Estas relações nos fornecem valores para o fator tempo (T), em função da porcentagem de re-
calque para adensamento pela Teoria de Terzaghi, conforme pode ser visto na tabela abaixo. 
U (%) T U (%) T U (%) T U (%) T U (%) T 
1 0,0001 21 0,035 41 0,132 61 0,297 81 0,588 
2 0,0003 22 0,038 42 0,139 62 0,307 82 0,61 
3 0,0007 23 0,042 43 0,145 63 0,318 83 0,633 
4 0,0013 24 0,045 44 0,152 64 0,329 84 0,658 
5 0,002 25 0,049 45 0,159 65 0,34 85 0,684 
6 0,0028 26 0,053 46 0,166 66 0,352 86 0,712 
7 0,0038 27 0,057 47 0,173 67 0,364 87 0,742 
8 0,005 28 0,062 48 0,181 68 0,377 88 0,774 
9 0,0064 29 0,066 49 0,189 69 0,39 89 0,809 
10 0,0079 30 0,071 50 0,196 70 0,403 90 0,848 
11 0,0095 31 0,075 51 0,204 71 0,417 91 0,891 
12 0,0113 32 0,08 52 0,212 72 0,431 92 0,939 
13 0,0133 33 0,086 53 0,221 73 0,446 93 0,993 
14 0,0154 34 0,091 54 0,229 74 0,461 94 1,055 
15 0,0177 35 0,096 55 0,238 75 0,477 95 1,129 
16 0,0201 36 0,102 56 0,246 76 0,493 96 1,219 
17 0,0227 37 0,108 57 0,255 77 0,511 97 1,336 
18 0,0254 38 0,113 58 0,264 78 0,529 98 1,5 
19 0,0284 39 0,119 59 0,273 79 0,54799 1,781 
20 0,0314 40 0,126 60 0,283 80 0,567 100 
 
1.4 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ADENSAMENTO 
 
 
1.4.1 TENSÃO DE PRÉ-ADENSAMENTO 
 
Método de Casagrande6 
A figura mostra o procedimento gráfico para obtenção da tensão efetiva de pré-adensamento, 
pelo método de Casagrande, que segue os seguintes passos: 
i. determinar o ponto da curva de menor curvatura; 
ii. traçar retas horizontal e tangente a este ponto, de forma a obter a bissetriz ao ângulo forma-
do por estas retas; 
iii. a interseção entre a bissetriz e o prolongamento da reta virgem define a posição de σa′. 
 
6 Arthur Casagrande (Haidenschaft, 28 de Agosto de 1902 — Boston, 6 de Setembro de 1981) foi um engenheiro civil austro-estadunidense. Filho de 
portugueses, foi considerado um dos fundadores da engenharia geotécnica e o grande mentor da Sociedade Internacional de Mecânica dos Solos e 
Engenharia Geotecnica (antiga International Society for Soil Mechanics and Foundation Engineering atual International Society for Soil Mechanics and 
Geotechnical Engineering). O primeiro congresso internacional de Mecânica dos Solos ocorreu, por sua iniciativa, em Harvard,em 1936, com 206 partici-
pantes vindo de 20 países. À época poucos acreditavam na iniciativa de Casagrande pois não percebiam as necessidades do surgimento dessa nova 
área de conhecimento. Karl Terzaghi foi o primeiro Presidente da ISSMGE de 1936 a 1951. Casagrande criou o Sistema Unificado de classificação de 
solos (SUCS) na década de 1930 e, posteriormente, ele o adaptou para construção de aeroportos num esforço de guerra, quando deu um curso para as 
forças armadas norte-americanas que desejam um sistema simples, prático e de fácil uso para construção de aeroportos no seus esforços de guerra, por 
esse motivo esse sistema de classificação é também conhecido como sistema de aeroportos. Padronizou alguns ensaios de solos efetuados por Atterberg 
e para isso criou o aparelho para ensaio de determinação de limite de liquidez em solos que leva o seu nome. Efetuou estudos em praticamente todas as 
áreas da mecânica dos solos destacando-se classificação dos solos, percolação e liquefação do solo estudos de barragens e vários outros. 
16 
 
 
 Método de Pacheco Silva 
i. Prolonga-se a reta virgem até o encontro com a horizontal traçada do índice de vazios inicial; 
ii. Do ponto de intersecção baixa-se uma vertical até a curva; 
iii. Deste último ponto traça-se uma horizontal até o prolongamento da reta virgem. 
 
 
1.4.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ADENSAMENTO 
 
Quando, em caso de estágio de carregamento, registram-se as deformações do corpo de prova, 
ao longo do tempo, busca-se determinar, por meio de analogia com as curvas teóricas U=f(Tv), já apre-
sentadas na pág. 12 o coeficiente de adensamento. Esse coeficiente, admitido constante para cada 
incremento de tensão, determina a velocidade de adensamento. 
Os dois processos gráficos mais utilizados são os de Taylor e o de Casagrande. 
Método de Taylor 
Passos: 
i. Início do adensamento primário: como o trecho inicial é parabólico, prolonga-se o trecho 
inicial retilíneo até interceptar as ordenadas, o ponto de intersecção corresponde ao início 
do adensamento. A diferença em relação à altura inicial da amostra corresponde à com-
pressão instantânea; 
ii. Definição do tempo para 90% do adensamento primário: Traça-se uma reta com abcissas 
1,15 vezes maiores que aquela ajustada ao trecho retilíneo inicial. A intersecção desta re-
ta com a curva define U= 90%. 
iii. Calcula-se Cv: 
 v 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Método de Casagrande 
Utilizando um gráfico semilogarítmico, Casagrande admitiu encontrar a ordenada corresponden-
te a 100% do adensamento, pela intersecção entre a assíntota e a tangente da curva deformação x log 
t como se mostra na figura, a seguir. 
 
Passos: 
i. Início do adensamento primário: como o trecho inicial é parabólico para um tempo t da fase 
inicial soma-se à ordenada uma distância correspondente ao recalque entre t e 4.t; 
ii. Final do adensamento primário: intersecção de uma tangente ao trecho intermediário com a 
assíntota do trecho final da curva (adensamento secundário); 
iii. No ponto médio entre o início e o final do adensamento primário U=50%; 
iv. Calcula-se Cv: 
 v 
 
 
 
 v 
 
 
 
 
 
1.5 APLICAÇÃO DA TEORIA DO ADENSAMENTO – DETERMINAÇÃO DE RECALQUES 
Para o cálculo do recalque to-
tal Δ que uma camada de solo com-
preensível de espessura H passou 
por uma variação do índice de vazios 
Δe consideremos o esquema da figu-
ra. 
Admitindo que a compressão 
seja unidirecional e que os sólidos se-
jam incompressíveis, tem-se: 
 
18 
 
 , mas 
como a compressão só se dá na direção vertical, a área A da amostra de solo permanece constante 
desde o início até o final do processo de recalque, temos então: 
 
, ainda, considerando o índice de vazios do solo: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 ( ) 
e como, já dito, a compressão só se dá na direção vertical, a área A da amostra de solo per-
manece constante: 
 
 , também podemos escrever 
 
 
 , contudo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
As deduções efetuadas encontram grande aplicação na prática, pois possibilitam estimar os 
recalques a que determinada estrutura estará sujeita, quando esta aplica um acréscimo de tensões 
efetivas, numa camada de solo compressível. 
Conhecidos os seguintes parâmetros de compressibilidade, pode-se calcular os recalques to-
tais e os recalques parciais da camada em questão: 
 σa′ tensão de pré-adensamento; 
 Cc índice de compressão; 
 Cv coeficiente de adensamento. 
Para uma camada de espessura H, uma variação do índice de vazios, Δe provocará um 
recalque total ΔH, que é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso das argilas normalmente adensadas, se o acréscimo sobre a tensão de pré-
adensamento for Δσ′, os valores σ1’ e σ2’ ficam: 
σ1’ σa’ 
σ2’ σa’ + Δσ′ 
Tomando-se a variação linear do acréscimo de tensões ao longo da camada compressível, 
costuma-se calcular o acréscimo na cota média e admiti-lo como representativo de toda a camada. 
Conhecido o acréscimo Δσ′, pode-se calcular o recalque total da camada. 
Havendo necessidade de calcular o recalque parcial, após determinado tempo t, deve-se ava-
liar o fator tempo Tv correspondente. 
 
 
 
 
Com o valor de Tv, determinar a porcentagem média de recalque U: 
 
 
 
 
Onde ρ é o recalque parcial, após um tempo t e Δ H é o recalque total da camada. 
Na avaliação da distância de drenagem da camada, pode-se considerar como camada dre-
nante a que apresentar coeficiente de permeabilidade acima de dez vezes o coeficiente da camada 
compressível. 
19 
 
Por último, deve-se frisar que, no cálculo do recalque total, o valor de H a ser utilizado é a es-
pessura total da camada, quaisquer que sejam as faces drenantes, e na avaliação dos recalques parci-
ais, emprega-se a distância de drenagem Hd que pode ser igual a H (uma face drenante), ou a 
 
 
 (duas 
faces drenantes). 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. A altura inicial de uma amostra é 2 cm e o seu índice de vazios ei = 1,18. Submetida a um ensaio de 
adensamento, a altura se reduz para 1,28 cm. Qual o índice de vazios final?Solução: 
 ei = 1,18 
ef = ? 
índice inicial de vazios 
índice final de vazios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. O recalque total de um edifício construído sobre uma camada de argila rija, com 18 m de espessura, 
foi de 5,26 cm. Sabendo-se que a pressão média, na camada de argila, aumentou de 0,7 kgf/cm2. 
Determinar o coeficiente de decréscimo de volume mv. 
Solução: 
 
 
( )
 coeficiente de deformação volumétrica ou coeficiente de decréscimo de volu-
me 
 
 
 
 
 
 ̅
 coeficiente de compressibilidade 
 
 
( )
 
 
 ̅
( )
 
 
( ) ̅
 
 
( ) ̅
 , mas de 
 
 
 , temos 
 
 
 
 
 
 , temos então que 
 
 ̅
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O recalque de um edifício apoiado sobre uma camada de argila, com 20 m de espessura, estabili-
zou-se em 4 cm após certo número de anos. A pressão média aplicada à camada era de 0,8 
kgf/cm2. Calcular a perda especificada de água intersticial da camada de argila. 
Solução: 
 
 
 ̅
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma camada de solo compressível tem 6 m de altura e seu índice de vazios inicial é de 1,037. En-
saios de laboratório indicam que o índice de vazios final, sob o peso de um edifício projetado, será 
0,981. Qual será o provável recalque total desse edifício? 
Solução: 
H = 6 m = 600 cm ei = 1,037 
ef = 0,981 
índice inicial de vazios 
índice final de vazios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
5. Um laboratorista, em um ensaio edométrico, determinou o coeficiente de compressibilidade é 0,1071 
cm2/ kgf, o coeficiente de consolidação 12,96 cm2/ano e o índice de vazios médio 0,68, Como pode-
rá obter o coeficiente de permeabilidade em cm/s. 
Solução: 
av = 0,1071 cm
2/ kgf coeficiente de compressibilidade 
Cv = 12,96 cm
2/ano = 12,96/31536000 = 4,1.10-7 cm2/s coeficiente de consolidação ou de adensa-
mento 
e = 0,68 índice de vazios médio 
k = ? cm/s coeficiente de permeabilidade 
 = 10
-3 kgf/cm3 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k = 2,6.10-11 cm/s 
 
6. Em um ensaio de adensamento, uma amostra de 4 cm de altura exigiu 24 h para atingir um determi-
nado grau de adensamento. Calcular o tempo em horas para que uma camada de 8 m de altura do 
mesmo material atinja, sob as mesmas condições de carregamento, o mesmo grau de adensamen-
to. 
Solução: 
AMOSTRA CAMPO 
Hamostra= 4 cm Hcampo= 8 m = 800 cm 
t amostra= 24 h t campo= ? h 
 Para o mesmo grau de adensamento temos que o fator tempo é o mesmo: 
T amostra = Tcampo , onde 
 
 
 
t = tempo ao longo do processo de adensamento 
Hd = distância de drenagem 
Cv = coeficiente de adensamento 
 Sendo o mesmo solo, o coeficiente de adensamento também é o mesmo: 
 , 
logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não há sentido na precisão 109 anos 7 meses 2 dias 1 hora 18 minutos e 54,5 segundos, uma 
vez que é um cálculo provável, o importante é a ordem de grandeza dos valores. 
 
7 Uma camada de argila com 6 m de espessura situada entre dois estratos de areia. O valor médio do 
coeficiente de adensamento é de 4,92.10-4 cm2/s. A carga de um edifício aumentou a pressão verti-
cal média sobre a camada, havendo em consequência um recalque do edifício. Quantos dias serão 
necessários para que ocorra a metade do recalque total? 
Solução: 
 onsiderando a situação “metade do recalque total”, temos U% 50%, obtemos Tv = 0,196 (TABE-
LA) e 
 
 
 
 , logo: 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t = 415 dias 
 
8. Dois pontos sobre a curva virgem de compressão de uma argila normalmente adensada são: 
 e1 = 1,0 p1= 0,5 kgf/cm² 
 e2 = 0,9 p2= 2,5 kgf/cm² 
 Se a pressão média sobre uma camada de 6 m de espessura é 0,75 kgf/cm², calcular o decrésci-
mo de espessura da camada sob um acréscimo médio de pressão de 1,75 kgf/cm². 
Solução: 
 Por interpolação: 
e1 = 1,0 - p1= 0,50 kgf/cm² 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 ; e=0,9+0,0875 e=? - p = 0,75 kgf/cm² 
e2 = 0,9 - p2= 2,50 kgf/cm² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Dado o perfil abaixo determinar: 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
)
( ) 
 
 
 
Para T = 0,032 (TABELA) , ou 







100
U
2
.
4
T
 supondo U< 60% (HIPÓTESE) 
   




 %185,20
032,0..4T..4
U
100100
22 Hipótese adotada correta, de fato 20%< 60% 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 H4 anos = 16 cm 
 
b) TEMPO PARA 95% DOS RECALQUES 
U% = 95% T = 1,127 (TABELA), ou 
a) o recalque ocorrido em 4 anos sabendo-se que o 
recalque total é de 80 cm e o Cv = 10
-5 cm2/s; 
b) em quanto tempo ocorrerão 95% dos recalques? 
c) resolva os itens “a” e “b” supondo que a AMADA 
RÍGIDA E IMPERMEÁVEL seja uma CAMADA 
PERMEÁVEL. 
 
Solução: 
 
a) Recalque em 4 anos: 
22 
 
 ( ) para U>60%, 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Supondo que a CAMADA RÍGIDA E IMPER-
MEÁVEL seja uma CAMADA PERMEÁ-
VEL. 
 
Solução: 
Quando houver duas faces drenantes, H (que 
é o caminho máximo percorrido pela água) é 
igual á metade da espessura da camada, en-
tão: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
c.1) Recalque em 4 anos: 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
)
( ) 
 
 
 
Para T = 0,125 (TABELA) , ou 







100
U
2
.
4
T
 supondo U< 60% (HIPÓTESE) 
   




 %8947,39
125,0..4T..4
U
100100
22 Hipótese adotada correta, de fato 40%< 60% 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 H4 anos = 32 cm 
 
d) TEMPO PARA 95% DOS RECALQUES 
U% = 95% T = 1,127 (TABELA), ou 
 ( ) para U>60%, 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
10. Um aterro deve ser construído sobre o terreno cujo perfil é 
mostradona figura. O aterro aplica uma pressão de 40 kPa so-
bre o terreno e o recalque previsto é de 80 cm, O coeficiente de 
adensamento do solo é de 0,04 m2/dia. Represente, graficamen-
te, a evolução da porcentagem de recalque com o tempo, bem 
como a porcentagem de adensamento com o tempo para os 
pontos situados nas cotas -2,0 m, -3,0 m, -4,0 m, -5,0 m e no 
meio da camada (cota -6,0 m). 
 
SOLUÇÃO: 
▪ Hd= 8/2 = 4m Altura ou distância de drenagem (m). Há areia fofa acima da camada de argila e 
areia grossa compacta abaixo, portanto fluxo duplo. 
▪ T = Fator tempo (adimensional) 
▪ Cv = Coeficiente de adensamento ou de compressibilidade (m
2/dia) 
▪ T = tempo qualquer durante o processo de adensamento 
 
 
 
 
 
 
 
A evolução dos recalques com o tempo é obtida diretamente dos valores tabelados do gráfico 
de adensamento médio. A evolução das porcentagens de adensamento é obtida para cota do ábaco – 
Grau de adensamento de camada de solo saturado, determinando-se o valor de Uz% para os respecti-
vos fatores de tempo, interpolando-se quando necessário. 
Na cota – 2 m, a porcentagem de adensamento é de 100% desde o instante do carregamento, 
uma das condições limites do problema. Alguns dos valores assim determinados estão apresentados 
abaixo. 
Tempo 
(dias) 
Fator 
Tempo 
T 
U 
(%) 
Cotas - 2,00 m - 3,00 m - 4,00 m - 5,00 m - 6,00 m 
Z 0,00 m 1,00 m 2,00 m 3,00 m 4,00 m 
Z = z/Hd 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 
 
Uz(%) obtido do ÁBACO entradas: T e Z = z/Hd 
30 0,075 31 100 49 19 6 3 
60 0,150 44 100 64 36 19 14 
90 0,225 53 100 72 48 33 27 
120 0,300 61 100 76 56 44 39 
150 0,375 68 100 81 64 53 49 
180 0,450 73 100 84 70 61 58 
210 0,525 78 100 87 75 68 65 
240 0,600 81 100 89 80 74 71 
TABELA - Fator tempo em função da porcentagem de recalque para adensamento pela Teoria de Terzaghi 
U (%) T U (%) T U (%) T U (%) T U (%) T 
1 0,0001 21 0,035 41 0,132 61 0,297 81 0,588 
2 0,0003 22 0,038 42 0,139 62 0,307 82 0,61 
3 0,0007 23 0,042 43 0,145 63 0,318 83 0,633 
4 0,0013 24 0,045 44 0,152 64 0,329 84 0,658 
5 0,002 25 0,049 45 0,159 65 0,34 85 0,684 
6 0,0028 26 0,053 46 0,166 66 0,352 86 0,712 
7 0,0038 27 0,057 47 0,173 67 0,364 87 0,742 
8 0,005 28 0,062 48 0,181 68 0,377 88 0,774 
9 0,0064 29 0,066 49 0,189 69 0,39 89 0,809 
10 0,0079 30 0,071 50 0,196 70 0,403 90 0,848 
11 0,0095 31 0,075 51 0,204 71 0,417 91 0,891 
12 0,0113 32 0,08 52 0,212 72 0,431 92 0,939 
13 0,0133 33 0,086 53 0,221 73 0,446 93 0,993 
14 0,0154 34 0,091 54 0,229 74 0,461 94 1,055 
15 0,0177 35 0,096 55 0,238 75 0,477 95 1,129 
16 0,0201 36 0,102 56 0,246 76 0,493 96 1,219 
17 0,0227 37 0,108 57 0,255 77 0,511 97 1,336 
18 0,0254 38 0,113 58 0,264 78 0,529 98 1,5 
19 0,0284 39 0,119 59 0,273 79 0,547 99 1,781 
20 0,0314 40 0,126 60 0,283 80 0,567 100 ∞ 
24 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EVOLUÇÃO DA PORCENTAGEM DE RECALQUE COM O TEMPO – cota: – 2 m 
100 240
100 210
100 180
100 150
100 120
100 90
100 60
100 30
100 0
Uz
(%)
Tempo 
(dias)
0
20
40
60
80
100
120
2402101801501209060300
Uz (%)
Tempo (dias)
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EVOLUÇÃO DA PORCENTAGEM DE RECALQUE COM O TEMPO – cota: – 3 m 
89 240
87 210
84 180
81 150
76 120
72 90
64 60
49 30
0 0
Uz
(%)
Tempo 
(dias)
0
20
40
60
80
100
2402101801501209060300
Uz (%)
Tempo (dias)
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EVOLUÇÃO DA PORCENTAGEM DE RECALQUE COM O TEMPO – cota: – 4 m 
80 240
75 210
70 180
64 150
56 120
48 90
36 60
19 30
0 0
Uz
(%)
Tempo 
(dias)
0
20
40
60
80
100
2402101801501209060300
Uz (%)
Tempo (dias)
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EVOLUÇÃO DA PORCENTAGEM DE RECALQUE COM O TEMPO – cota: – 5 m 
74 240
68 210
61 180
53 150
44 120
33 90
19 60
6 30
0 0
Uz
(%)
Tempo 
(dias)
0
20
40
60
80
2402101801501209060300
Uz (%)
Tempo (dias)
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EVOLUÇÃO DA PORCENTAGEM DE RECALQUE COM O TEMPO – cota: – 6 m 
71 240
65 210
58 180
49 150
39 120
27 90
14 60
3 30
0 0
Uz
(%)
Tempo 
(dias)
0
20
40
60
80
2402101801501209060300
Uz (%)
Tempo (dias)
 
GRÁFICO DA EVOLUÇÃO DA PORCENTAGEM DE RECALQUE COM O TEMPO GRAU DE ADENSAMENTO MÉDIO 
81 240
78 210
73 180
68 150
61 120
53 90
44 60
31 30
0 0
Uz
(%)
Tempo 
(dias)
0
20
40
60
80
100
2402101801501209060300
Uz (%)
Tempo (dias)
 
26 
 
 
 
11. Uma camada de argila normalmente adensada está sujeita a uma pressão média de 1,2 kgf/cm2 
proveniente de um edifício. Pede-se: 
1) Determinar o tempo que se verificará o recalque de 6,25 cm, sabendo-se que a 
camada de argila é duplamente drenada. 
2) Construir a curva tempo X recalque supondo-se a camada de argila como sim-
plesmente drenada. 
São dados as características da camada de argila: 
e0 = 1,40 índice de vazios 
 ̅̅ ̅ = 2,40 kgf/cm
2 pressão neutra 
H = 6 m = 600 cm altura da camada de argila 
Cv = 3.10
-4 cm2/s coeficiente de adensamento 
Cc = 0,204 índice de compressão 
 ̅ = 1,20 kgf/cm2 pressão média 
Solução: 
1. Tempo para que ocorra o recalque de 6,25 cm. 
 H = 6,25 cm 
Hd = H/2 = 6/2 = 3 m = 300 cm (dois fluxos) 
 
 
 
 Fator Tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅ ̅
 ̅̅ ̅
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
2. GRÁFICO RECALQUE COM O TEMPO GRAU DE ADENSAMENTO MÉDIO 
0 0 0
20 1,18 0,031
40 4,79 0,126
60 10,92 0,287
80 21,58 0,567
95 42,96 1,129
Uz
(%)
TU% 
TABELA
Tempo 
(anos)
t = (6002/3.10-4).TU% 
OBS.: Hd = 600 cm, conforme o item 
"camada simplesmente drenada"
0
20
40
60
80
100
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42
Uz (%)
Tempo (anos)
 
 
12. Uma camada de argila com 3 m de espessura, normalmente adensada, tem um índice de vazios 
1,4 e um índice de compressão 0,6. Se a pressão vertical existente sobre a argila é duplicada, qual 
será a variação da espessura da camada de argila? 
Solução: 
H = 3 m = 300 cm 
e = 1,4 
Cc = 0,6 
P1 = p 
P2 = 2.p 
181,0
2
log6,0log.
1
2 












p
p
e
P
P
Cc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. As sondagens procedidas num certo local indicaram o perfil de subsolo mostrado na figura. Duas 
torres, iguais e distantes 80 metros, foram construídas. Os recalques de cada torre foram registra-
dos e constam da tabela abaixo, em cm. 
 
 
 
 
 
 
 
A disparidade dos recalques observados levou os engenheiros 
a uma análise mais detalhada das condições do subsolo nas 
regiões das torres A e B. Constatou-se que: 
1. O índice de vazios médio da camada de argila na região da torre B era 1,90 e na região da tor-
re A era 2,03; 
2. A camada de argila nas duas regiões é a mesma formação e tem os mesmos índices de com-
pressão e coeficiente de adensamento; 
3. Foram encontrados na região da torre B antigos blocos de pedra que teriam sido as fundações 
de um antigo monumento indígena. 
Pede-se: 
a) Explicar as diferençasdos recalques entre A e B; 
b) Calcular o recalque total provável da torre A; 
c) Estimar a altura provável do monumento indígena, supondo que o acréscimo de pressão no centro 
da camada argilosa é igual a 0,4.p (sendo “p” a pressão aplicada ao solo pelo monumento) e que 
Valores dos recalques das torres A e B 
TEMPO H TORRE A H TORRE B 
0 0 cm 0 cm 
3 meses 6,02 cm 0,93cm 
6 meses 10,12 cm 1,54 cm 
1 ano 14,50 cm 2,20 cm 
2 anos 20,60 cm 3,15 cm 
3 anos 25,40 cm 7,65 cm 
5 anos 32,00cm 9,35 cm 
28 
 
o monumento foi construído com a mesma pedra da fundação cuja densidade natural era 16,2 
kN/m3; 
d) Calcular o recalque total provável da torre B. 
Solução: 
a) A diferença dos recalques entre as torres A e B deve-se possivelmente ao fato da camada de argila 
da região da torre B ser pré-adensada, isto é, o antigo monumento indígena provocou um recalque 
da argila na região de B (remoção de sobrecarga em época anterior, como construção antiga, aterro, 
etc.). 
 
b) Cálculo do recalque total da torre A. 
O recalque da torre A pode ser calculado a partir de qualquer data indicadas na tabela. Sabe-se que: 
 
 
 
 , para t = 1 ano 
045,0
ano1.ano/²m5,4
T
10
2

 
A porcentagem média de adensamento para t = 1 ano é: 
 







100
U
2
.
4
T
 supondo U< 60% (HIPÓTESE) 
   




 %24
045,0..4T..4
U
100100
22 Hipótese adotada correta, de fato 24%< 60%! 
Sabe-se que o recalque para a torre A, para t = 1 ano, é H = 14,50 cm (informação tirada da tabela de 
dados fornecida pelo problema). Então, por “regra de três”, obtemos: 
Uz H 
24% - 14,50 
 100% - H =? 
Resolvendo tem-se H= 60,4 cm (recalque total da torre A) 
 
É interessante verificar se esta solução é acertada, ou seja, se a argila segue a teoria unidimensional 
do adensamento. Para tanto, calcularemos o recalque total a partir da leitura dos 3 anos. 
Para t = 3 anos, temos: 
 
 
 
 , 
135,0
anos3.ano/²m5,4
T
10
2

 
A porcentagem média de adensamento para t = 3 anos é: 
 







100
U
2
.
4
T
 supondo U< 60% (HIPÓTESE) 
   




 %42
135,0..4T..4
U
100100
22 Hipótese adotada correta, de fato 42%< 60%! 
Sabe-se que o recalque para a torre A, para t = 3 anos, é H = 25,40 cm (informação tirada da tabela 
de dados fornecida pelo problema). Então, por “regra de três”, obtemos: 
Uz H 
42% - 25,40 
 100% - H =? 
Resolvendo tem-se H= 60,5 cm (recalque total da torre A). 
Concluímos, portanto, que o resultado está correto. 
 
c) Cálculo da altura do monumento indígena. 
29 
 
A altura do monumento pode ser estimada em função do recalque provocado pelo mesmo ou a 
partir da diferença entre os índices de vazios na condição carregada ou não. 







P
P
C
1
2
c log.e
 sendo, 
e
2,03 - 1,90 = 0,13 
Pressão inicial: 
 zzP ilaargáguailaargareiaareia1 .  
=18 kN/m³.4 m + (15 kN/m³ - 10 kN/m³).5 m 
P1 = 97 kN/m² 
É dado Cc = 0,77 (argila) 
CP
P
c1
2 e
log







 ; 
77,0
13,0
log
P
P
1
2






 ; 

P
P
1
2
1,475 (relação entre pressões – depois/antes da construção – 
condição de pré-adensamento) 
PP 12 .475,1
; P2 = 1,475.97 = 143,1 kN/m² 
PP 12 p
= 143,1 – 97,0 = 46,1 kN/m² 
O acréscimo de pressão no centro da camada de argila é igual a 0,4.p (dado). Logo: 
pp.4,0 
; 

40,0
1,46
p
 115,25 kN/m² 
A pressão do monumento indígena será: p = 
monumento
. H. Logo: 

 2,16
25,115p
H
monumento
7,10 m 
d) Cálculo do recalque total da torre B. 
 O recalque em B pode ser estimado supondo que no final do processo de adensamento o índice 
de vazios final em A será igual ao índice de vazios final em B. 
 Como o recalque é proporcional à diferença entre os índices de vazios inicial e final, vem: 
 
 
 
 
 
 ; (
 
 
) ( ) ; 
 será : ( ) ; ( ) ; 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
13 A pressão (tensão) existente sobre um solo compressivo é de 1,8 kgf/cm2, a qual será acrescida de 
1,2 kgf/cm2 pela construção de um edifício. A camada compressiva tem 2,5 m de espessura e índice 
de vazios igual a 1,2. Sob o acréscimo de tensão, o índice de vazios decresce para 1,12. Pede-se 
determinar o índice de compressão do solo e a deformação da camada. 
Solução: 
pi = 1,8 kgf/cm
2 
 p = 1,2 kgf/cm2 
ei = 1,20 
ef = 1,12 
 e = ef - ei = 1,20 – 1,12 = 0,08 H = 2,50 m = 250 cm 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 )
 
 
 (
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 Um edifício A apresentou um recalque total de 30 cm (estimado). No fim de 3 anos, o recalque me-
dido foi de 10 cm. Calcular para um idêntico edifício B, o recalque total e o recalque no fim de 3 
anos. Para o edifício B, considere o mesmo material (solo) e uma espessura da camada HB = 1,5.HA. 
30 
 
Solução: 
Para os recalques totais, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 ; donde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para recalques no fim de 3 anos (t = 3), podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; mas 
 
 
 
 adotando 
 
 
 (
 
 
)
 
 pois U<60%, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente: 
 
 
 
 
 
 
 
15 O recalque total de um edifício, devido a uma camada de argila, drenada pelas duas faces, é esti-
mado em 10 cm. Admitindo-se que a carga seja aplicada instantaneamente, pede-se calcular os 
tempos necessários para que sejam atingidos recalques de 1 cm, 5 cm e 8 cm. Sendo dados: 
 Espessura total da camada de argila = 6 m 
 Coeficiente de adensamento = 25.10-4 cm2/s 
Solução: 
 Os tempos pedidos são calculados pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , daí: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 O índice de vazios de uma amostra A de argila diminuiu de 0,572 para 0,505, sob uma variação de 
pressão de 1,2 a 1,8 kgf/cm2. Para uma amostra B, também de argila e nas mesmas condições, o 
índice de vazios variou de 0,612 para 0,597 sob a mesma variação de pressão da amostra A. A es-
pessura de A era 1,5 vezes a espessura de B e o tempo requerido para atingir 50% de adensamento 
foi 3 vezes maior para B do que para A. Qual a razão entre os coeficientes de permeabilidade de A e 
B? 
Solução: 
Amostra A: Para 
 p = 1,8 – 1.2 = 0,6 kgf/cm2 
 e = 0,572 – 0,505 = 0,067 
Amostra B: Para 
 p = 1,8 – 1.2 = 0,6 kgf/cm2 
 e = 0,612 – 0,597 = 0,015 
31 
 
espessura: HA = 1,5.HB tempo para: U% = 50% 
Sendo: 
 ( )tem-se para a amostra A: 
 
 ( ) 
 
 
( ) 
 
e, para a amostra B: 
 
 ( ) 
 
 
( ) 
 
Donde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 Uma camada de argila com espessura de 6 m e dupla face drenante e submetida a uma carga uni-
formemente distribuída de 6,1 tf/m2. Um ano após o carregamento, 50% do adensamento médio da 
camada já ocorreu. 
a) Qual o valor do coeficiente de adensamento? 
b) Calcule o tempo associado a 50% do adensamento para o caso de ser aplicado um carrega-
mento igual ao dobro do anterior. 
Solução: 
a) Cálculo do coeficiente de adensamento. 
 No tempo de 1 ano ocorreu 50% do adensamento médio da camada, então: 
 U% = 50%, obtemos Tv = 0,196 (TABELA) 
 t = 1 ano = 365 dias = 8760 horas = 31, 536.106 segundos 
 
 
 
 
 Logo: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
b) Cálculo do tempo associado a 50% do adensamento para o caso de ser aplicado um carrega-
mento igual a 2 x 6,1 tf/m2 = 12,2 tf/m2. 
 Levando que o GRAU DE ADENSAMENTO é inversamente proporcional à TENSÃO DE CAR-
REGAMENTO: 
 U% 
 
 U1% U2% = ? 
 
 
 
 , obtemos Tv = 0049 (TABELA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 92 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 O resultado do ensaio de adensamento de uma amostra de solo foi o seguinte: 
32 
 
 
P 
(kg/cm2) 
e 
 
P 
(kg/cm2) 
e 
0,049 1,85 7,808 1,37 
0,244 1,82 15,616 1,05 
0,488 1,77 4,887 1,10 
0,976 1,88 0,976 1,20 
1,952 1,56 0244 1,28 
3.904 1,46 0,049 1,38 
Pede-se: 
a) Desenhar a curva pressão versus índice de vazios em escala semi-logarítmica; 
b) Calcular o índice de compressão; 
c) Determinar a carga de pré-adensamento pelo processo de Casagrande; 
d) Achar a diferença entre os índices de vazios quando a pressão passa de 0,805 kg/cm2 para 
1,312 kg/cm2; 
e) Se a camada de solo em (d) e de 3 m de espessura, calcular o recalque total; 
f) Se o coeficiente de adensamento e de 4,16.10-4 cm2/s e a camada em (e) e drenada pelas duas 
faces, calcular os tempos necessários para 30, 60 e 90% do recalque total. 
Solução: 
a) A curva PRESSÃO x ÍNDICE DE VAZIOS 
 
 
b) Do gráfico obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ainda do gráfico: pa = 0,6 kgf/cm
2 
 
d) Utilizando o gráfico, pesquisando obtemos e: 
33 
 
 E 
0,805 kg/cm2 e1 = 1,70 , então e = 1,70 – 1,64; e = 0,06 
 1,312 kg/cm2 e2 = 1,64 
 
e) Supondo H = 300 cm, 
 
 
 
 
 
 
 
f) Sendo 
 
 
 ; Hd = 300/2 = 150 cm (duplo fluxo) e Cv = 4,16.10
-4 cm2/s, te-
mos: 
Para: 
U% = 30% T = 0,071 (tabela), logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U% = 60% T = 0,283 (tabela), logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U% =90% T = 0,848 (tabela), logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 O recalque final de um aterro construído sobre uma camada de argila mole, com 10 m de espessu-
ra, foi de 30 cm. Sabendo-se que a pressão média, na camada de argila, aumentou de 0,05 kN/m2, 
pede-se determinar o seu modulo de variação volumétrico (mv). 
Solução: 
 ̅ ⁄ 
 
 
 ̅
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 0,6 
 
 
 
 
20 Um aterro com 10 m de altura feito com solo compactado tem igual a 15 kN/m
3 vai ser constru-
ído sobre uma camada de solo com 7 m de espessura e mv igual a 0,00012 m
2/kN. Qual o recalque 
que o solo terá? 
Solução: 
 
 = 10 m. = 150 kN/m2 ; mv = 0,00012 m
2/kN ; H = 7 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 Para as condições apresentadas no perfil abaixo (Cv = 6.10
-6 cm2/s e mv = 3,3.10
-4 m2/kN), responda: 
a) Quanto tempo levara para que ocorra 95% do recalque final? 
b) Qual e o valor do recalque nesse tempo? 
c) Qual e o valor do recalque qua-
tro meses apos o carregamen-
to? 
Solução: 
a) Tempo para que ocorra 95% 
do recalque final. 
Para U% 95% T = 1,129 
(tabela); Hd = 100/2 = 50 cm 
(duplo fluxo) e Cv = 6.10
-4 
cm2/s, temos: 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Valor do recalque nesse tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62,70 cm 
 
c) Recalque quatro meses apos o carregamento 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 
 Supondo U%>60%, temos: ( ), isolando U 
 
 
 
 
 
 62,30 cm 
 
23. Um depósito de argila da Baixada Fluminense tem drenagem através de uma camada de areia em-
baixo e livre por cima. Sua espessura é de 12m. O coeficiente de adensamento obtido em laborató-
rio é Cv = 10
-8 m2/s. Obtenha o grau de adensamento e a poro-pressão residual, cinco anos após o 
carregamento unidimensional de 100 kN/m2 , nas profundidades de z = 0, 3, 6, 9 e 12m. 
 
SOLUÇÃO: 
▪ Hd= 12/2 = 6m Altura ou distância de drenagem 
(m). Há acima e abaixo da camada de argila mole cama-
das de solo permeável, portanto fluxo duplo. 
▪ T = Fator tempo (adimensional) 
▪ Cv = Coeficiente de adensamento ou de compres-
sibilidade (m2/dia) 
▪ T = tempo qualquer durante o processo de aden-
samento 
Para t = 0 a pressão neutra aumentou de 100 kN/m2 em 
todos os pontos. 
 
 
 
 
 ⁄ 
( ) 
 
A evolução dos recalques com o tempo é obtida di-
retamente dos valores tabelados do gráfico de adensa-
mento médio. A evolução das porcentagens de adensamento é obtida para cota do ábaco – Grau de 
adensamento de camada de solo saturado, determinando-se o valor de Uz% para os respectivos fato-
res de tempo, interpolando-se quando necessário. 
 
z 
(m) 
Altura de 
drenagem 
Hd 
(m) 
 
 
 
 
Pressão neutra inicial e ao fim 
do adensamento drenagem 
 
 
 
Pressão neutra 
logo após o 
carregamento 
 
Grau de 
Adensamento 
Uz% 
Pressão 
neutra 
residual 
Pressão neutra 
após 5 anos 
0,00 m 6,00 m 0,00 0 m.10 kN/m 3 = 0,0 kN/m² 100,0 kN/m² 100,00 % 0,0 kN/m² 0,0 kN/m² 
35 
 
3,00 m 6,00 m 0,50 3 m.10 kN/m 3 = 30,0 kN/m² 130,0 kN/m² 10,00 % 90,0 kN/m² 120,0 kN/m² 
6,00 m 6,00 m 1,00 6 m.10 kN/m 3 = 60,0 kN/m² 160,0 kN/m² 0,50 % 99,5 kN/m² 159,5 kN/m² 
9,00 m 6,00 m 1,50 9 m.10 kN/m 3 = 90,0 kN/m² 190,0 kN/m² 10,00 % 90,0 kN/m² 180,0 kN/m² 
12,00 m 6,00 m 2,00 12 m.10 kN/m 3 = 120,0 kN/m² 220,0 kN/m² 100,00 % 0,0 kN/m² 120,0 kN/m² 
TABELA - Fator tempo em função da porcentagem de recalque para adensamento pela Teoriade Terzaghi 
U (%) T U (%) T U (%) T U (%) T U (%) T 
1 0,0001 21 0,035 41 0,132 61 0,297 81 0,588 
2 0,0003 22 0,038 42 0,139 62 0,307 82 0,61 
3 0,0007 23 0,042 43 0,145 63 0,318 83 0,633 
4 0,0013 24 0,045 44 0,152 64 0,329 84 0,658 
5 0,002 25 0,049 45 0,159 65 0,34 85 0,684 
6 0,0028 26 0,053 46 0,166 66 0,352 86 0,712 
7 0,0038 27 0,057 47 0,173 67 0,364 87 0,742 
8 0,005 28 0,062 48 0,181 68 0,377 88 0,774 
9 0,0064 29 0,066 49 0,189 69 0,39 89 0,809 
10 0,0079 30 0,071 50 0,196 70 0,403 90 0,848 
11 0,0095 31 0,075 51 0,204 71 0,417 91 0,891 
12 0,0113 32 0,08 52 0,212 72 0,431 92 0,939 
13 0,0133 33 0,086 53 0,221 73 0,446 93 0,993 
14 0,0154 34 0,091 54 0,229 74 0,461 94 1,055 
15 0,0177 35 0,096 55 0,238 75 0,477 95 1,129 
16 0,0201 36 0,102 56 0,246 76 0,493 96 1,219 
17 0,0227 37 0,108 57 0,255 77 0,511 97 1,336 
18 0,0254 38 0,113 58 0,264 78 0,529 98 1,5 
19 0,0284 39 0,119 59 0,273 79 0,547 99 1,781 
20 0,0314 40 0,126 60 0,283 80 0,567 100 ∞