Álgebra Linear

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Introduc¸a˜o
A`
A´lgebra Linear
Cristian Patricio Novoa Bustos
Departamento de Matema´tica e F´ısica
Universidade Cato´lica de Goia´s
Goiaˆnia-2008
Suma´rio
Prefa´cio 1
1 Vetores 3
1.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 A´lgebra Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Produto Escalar e Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Matrizes 12
2.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Adic¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Multiplicac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Sistemas de Equac¸o˜es e Inversa˜o de Matrizes 37
3.1 Forma Reduzida de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Espac¸os Vetoriais 54
4.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Sub-espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
i
4.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Transformac¸o˜es Lineares e Coˆnicas 75
5.1 Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Nu´cleo e Imagem de Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Representac¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares por Matrizes . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Ecercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4 Autovalor, Autovetor e Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4.1 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 Reconhecimento de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Introduc¸a˜o a` Estruturas Alge´bricas 103
A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.2 Naturais, Inteiros e Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.3 Reais e Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Refereˆncias Bibliogra´ficas 119
ii
Prefa´cio
Caros leitores, gostaria de enfatizar que este texto na˜o tem a intenc¸a˜o de substituir
outros textos de A´lgebra Linear, ao contrario, visto que este trabalho vem a contribuir e
complementar alguns textos ja´ existentes.
Na verdade o desenvolvimento de este texto, e´ o fruto do trabalho desenvolvido junto
as turmas de Engenharia da Universidade Cato´lica de Goia´s, na disciplina de A´lgebra
Linear, onde foi detectada a necessidade de ter um texto na˜o muito extenso mas que
desse um bom suporte para esta disciplina de quatro cre´ditos, por isto e´ que o nosso
enfoque e´ meramente introduto´rio, deixando alguns conteu´dos de lado, como conceitos
de espac¸os com produto interno e determinantes entre outros, tambe´m procuramos de
na˜o colocar listas de exerc´ıcios muito extensas, mas na˜o sem deixar de abranger todo o
coneteu´do, procurando sempre introduzir novos conceitos, com a intenc¸a˜o de desenvolver
um racioc´ınio lo´gico abstrato.
Uma das grandes dificultadades observadas no decorrer do tempo ministrando esta
disciplina, e´ o desconhecimento de algumas estruturas alge´bricas por parte dos alunos, e
como elas aparecem, como por exemplo a construc¸a˜o dos Corpos Nume´ricos, em particu-
lar os Reais e Complexos. Existem muitas construc¸o˜es destas estruturas alge´bricas, mas
usamos a teoria de Conjuntos e relac¸o˜es de equivaleˆncia para fazer isto. Estas ide´ias sa˜o
dadas no nosso primeiro cap´ıtulo, que pode ser omitido dependendo do grau de familiari-
dade que o nosso leitor pode ter com os conceitos ba´sicos de estruturas alge´bricas.
Ja´ no segundo Cap´ıtulo, trabalhamos o conceito de matriz e exploramos suas pro-
priedades operato´rias, com a finalidade de caracterizar a inversa˜o de matrizes. Como uma
aplicac¸a˜o, vemos no cap´ıtulo treˆs, como trabalhar a inversa˜o de matrizes via operac¸o˜es
elementares.
Agora, no Cap´ıtulo quatro trabalhamos o conceito de Espac¸o Vetorial e enfocamos
o nosso trabalho para Espac¸os Vetoriais de dimensa˜o finita, tentando mostrar alguns
exemplos conhecidos pelo aluno a partir dos cursos de Calculo e claro em particular o
Espac¸o Vetorial formado pelas matrizes, estudado no Cap´ıtulo dois. Em particular sa˜o
explorados os conceitos de base e dimensa˜o e a relac¸a˜o entre estes conceitos.
No cap´ıtulo cinco, fazendo uma analogia com func¸o˜es dos cursos de Ca´lculo e intro-
ducimos o conceito de Transformac¸a˜o Linear entre Espac¸os Vetoriais. Um dos objetivos
fundamentais deste Cap´ıtulo e´ dado pelo fato de que, se consideramos transformac¸o˜es
Lineares entre Espac¸os Vetoriais de dimensa˜o finita, enta˜o existe uma correspoˆndencia bi-
univoca com matrizes, isto e´, Matrizes e transformac¸o˜es Lineares entre espac¸os Vetoriais
de dimensa˜o finita ”sa˜o a mesma coisa”. Desta forma todo o trabalho feito com matrizes
1
2
nos Cap´ıtulos dois e treˆs pode ser transportado para Transformac¸o˜es Lineares. Como,
no cap´ıtulo dois estabelecemos uma partic¸a˜o no conjunto das Matrizes, via a relac¸a˜o de
semelhanc¸a, esta relac¸a˜o e´ melhorada neste Cap´ıtulo via o Ca´lculo de autovalores e de
diagonalizac¸a˜o de matrizes. Para fechar este Cap´ıtulo e trabalho damos uma pequena
aplicac¸a˜o de Diagonalizac¸a˜o de matrizes no reconhecimento de Coˆnicas ta˜o conhecidas e
estudadas no curso de Geometria Anal´ıtica.
Gostaria de deixar registrado o meu agradecimento aos va´rios alunos dos nossos cursos
de Engenharia que leram verso˜es preliminares deste texto e me apontaram as falhas, para
desta forma contribuir com a melhoria deste.
Cr´ıticas, sugesto˜es e informac¸o˜es sobre eventuais erros ou enganos, sera˜o muito bem
recebidas.
Cristian Patricio Novoa Bustos
cristiannovoa@netscape.net
Cap´ıtulo 1
Vetores
Este capitulo tem por finalidade recordar alguns conceitosvistos em outras disci-
plinas, como geometria analitica, calculo ect., enta˜o na˜o aprofundaremos muito os con-
ceitos com enunciados e demostrac¸o˜es de propriedades de estas estruturas, e sem em
reforc¸a˜r algumas propriedades mais importantes para o futuro desenvolvimento dos con-
teuos deste livro.
1.1 Vetores
O conceito de vetor tem sido a base para estudar f´ısica e geometria, entre outras
disciplinas, no segundo grao. Em particular na discipliba de geometria analitica. este
conceito esta associado sa um sistenma de coordenadas, mas para trabalhar este conceito,
na verdade nc¸ao e´ necessa´rio, como veremos a seguir.
Definic¸a˜o 1.1.1 Chamaremos deVetor a magnitude que e´ determinada pelo seu modulo,
direc¸a˜o e sentido.
Esta noc¸a˜o e´ ta˜o familiar, que basta olhar ao redor que vemos muitos exemplos de
vetores, como e´ o deslocamento, a velocidade, acelerac¸a˜o ou a forc¸a aplicada em um
determinado corpo, etc. Geometricamente podemos representar um vetor pelo segmento
orientado OP , e o tamanho do vetor OP e´ dito o modulo do vetor, e a direc¸a˜o do segmento
denota a direc¸a˜o do vetor OP . O ponto O e´ dito a origem do vetor OP ou ponto de
aplicac¸a˜o, e P e´ o extremo do vetor OP .
P
O
OP
Como notac¸a˜o, representaremos um vetor com uma letra minuscula com uma seta
acima. No exemplo anterior enta˜o temos OP = −→v , e o seu modulo o denotaremos por
| ←−v |, tambem podemos usar a notac¸a˜o −→OP para o vetor, e para o seu modulo | −→OP |.
3
CAPI´TULO 1. VETORES 4
Exemplo 1.1.1 Representemos geometricamente as seguintes situac¸o˜es:
1. Uma forc¸a de 10 newtons na direc¸a˜o Este 30o Norte, como na figura (a) abaixo.
N
O
)30o
10N
E
S Fig. (a)
N
O
15N
30o
⌢
E
S Fig. (b)
2. Uma forc¸a de 25 newtons na direc¸a˜o Norte 30o Este, como na figura acima.
Chamaremos de escalar a magnitud que e´ determinada pelo seu valor nume´rico, que
e´ a quantidade com relac¸a˜o a uma unidade de medida do mesmo tipo. Como exemplos de
magnitudes escalares podemos citar, comprimento, massa, tempo, temperatura, trabalho
etc., e qualquer nu´mero Racional Q, Real R, ou Complexo C. De agora em diante,
denotaremos por K o conjunto dos escalares.
1.2 A´lgebra Vetorial
Em esta sec¸a˜o mostraremos a estrutura algebrica que possui o conjunto de vetores, definido
na sec¸a˜o anterior, definindo uma operac¸a˜o interna, que chamaremos de soma, e uma
operac¸a˜o externa que chamaremos de produto por escalar, tentando extender as operac¸o˜es
realizadas para o conjunto dos escalares K.
Definic¸a˜o 1.2.1 Sejam −→u e −→v dois vetores. Diremos que os vetores −→u e −→v sa˜o equipo-
lentes se eles tem o mesmo modulo, a mesma direc¸a˜o e sentido.
Geometricamente temos:
P Q
O
−→u
R
−→v
Se dois vetores −→u e −→v sa˜o equipolentes com a mesma origem, enta˜o diremos que os
vetores −→u e −→v sa˜o iguais, que denotaremos por −→u = −→v .
Definic¸a˜o 1.2.2 Seja −→u um vetor. Chamaremos de vetor oposto ao vetor −→u , que deno-
taremos por −−→u , ao vetor que tem o mesmo modulo e direc¸a˜o mas sentido oposto.
CAPI´TULO 1. VETORES 5
Geometricamente temos a seguinte figura:
P P
O
−→u
0
−−→u
Agora estamos em condic¸o˜es de definir formalmente uma lei de eperac¸a˜o interna entre
vetores, de seguinte forma.
Definic¸a˜o 1.2.3 Sejam −→u e −→v dois vetores. Chamaremos de soma dos vetores −→u e−→v , ao vetor −→w que se obtem trasladando a origem do vetor −→v ao extremo do vetor−→u e juntando a origem do vetor −→u com o extremo do vetor −→v , que denotaremos por−→w = −→u +−→v .
Veja que trasladando os dois vetores −→u e −→v a um origem comum, o vetor soma se
corresponde a diagonal do paralelograma com origem o origem comum (veja a figura
abaixo).
−→u
−→v
−→v
−→u
−→u+−→v
A soma de −→u +−→v +−→w , primeiro faz a soma de dois vetores, e o vetor resultante soma
com o terceiro vetor, desta forma podemos extender para qualquer soma finita de vetores−→u1 + ... +−→un.
Exemplo 1.2.1 Vamos usar a soma de vetores e as suas propriedades para provar um
resultado conhecido de geometria plana. Seja um triaˆgulo ABC e sejam M e N os pontos
me´dios dos segementos AC e BC, respectivamente. Vamos provar que o segmento MN e´
paralelo ao segmento AB e tem comprimento igual a metade do comprimento do segmento
AB. Enta˜o devemos provar que ..!
|−−→MN | = 1
2
|−→AB|
:
CAPI´TULO 1. VETORES 6
C
M N
A B
Agora, a partir da figura ao lado temos que
−−→
MN =
−−→
MC +
−−→
CN
Agora, como M e´ o ponto me´dio do segmento AC e N e´ o ponto me´dio do segmento BC,
enta˜o −−→
MC =
1
2
−→
ACe
−−→
CN =
1
2
−−→
CB
Logo,
−−→
MN =
1
2
−→
AC +
1
2
−−→
CB =
1
2
(
−→
AC +
−−→
CB) =
1
2
−→
AB
Definic¸a˜o 1.2.4 Chamaremos de diferenc¸a dos vetores −→u e −→v , que denotaremos por−→u −−→v , o vetor −→w tal que −→w +−→v = −→u .
No caso em que os vetores sejam iguais −→u = −→v , o vetor diferenc¸a −→u −−→v e´ chamado
de vetor nulo, que o representaremos por
−→
0 .
Definic¸a˜o 1.2.5 Sejam −→u um vetor e λ um escalar. Chamaremos de produto por
escalar λ do vetor −→u ao vetor −→w = λ−→u , que tem a mesma direc¸a˜o, e | λ | vezes o
modulo do vetor −→u com sentido igual ou oposto ao do vetor −→u , dependendo do valor de
| λ | ser negativo ou positivo, e se λ = 0 enta˜o temos que λ−→u = −→0 e´ o vetor nulo.
As propriedades que enunciaremos a seguir, podem ser encontradas em qualquer curso
de ca´lculo, onde estes vetores podem ser vistos como pares ordenados, ou triplas ordenadas
ou em forma de n-uplas ordenadas em geral.
Proposic¸a˜o 1.2.1 Sejam −→u ,−→v e −→w vetores e α, β escalares. Enta˜o sa˜o va´lidas:
• −→u +−→v = −→v +−→u
• −→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w
CAPI´TULO 1. VETORES 7
• α−→u = −→u α
• α(β−→u ) = (αβ)−→u
• (α + β)−→u = α−→u + β−→u
• α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v
Um dos objetivos deste livro e´ estudar, entender e familiarizarnos um pouco
mais com os conjuntos que admitem as propriedades da proposic¸a˜o anterior,
como veremos nos capitulos 4 e 5.
Definic¸a˜o 1.2.6 Seja −→v um vetor. Diremos que o vetor −→v e´ unita´rio se o seu mo´dulo
| −→v | e´ uma unidade escalar.
Veja que se | −→v |6= 0, entc¸ao o vetor −→v
|−→v |
e´ um vetor unita´rio no mesmo sentido e direc¸a˜o
que o vetor −→v . Um sistema muito importante e conhecido, e´ o sistema dado pelos vetores
unita´rios associados aos eixos coordenados do sistema cartesiano do espac¸o, por exemplo,
cujos eixos sa˜o geralmente identificados com X, Y e Z, com sentidos positivos destes eixos,
e sa˜o denotados por
−→
i ,
−→
j e
−→
k respectivamente, como mostra a figura abaixo.
Z
−→
k
−→
i
−→
j
Y
X Fig. (a)
Todo vetor −→v pode ser representado elo produto de um vetor unita´rio −→u na direc¸a˜o e
sentido do vetor −→v , isto e´, −→v = −→v
|−→v |
|−→v |. Todo vetor do espac¸o R3 pode ser representado
com a sua origem a origem do espac¸o R3. Sejam (x, y, z) as coordenadas cartesianas do
ponto extremo do vetor −→v cuja origem e´ 0. Os vetores x−→i , y−→j , z−→k sa˜o conhecidas como
as componentes retangulares do vetor −→v nas direc¸o˜es x, y, z respectivamente. Veja que a
soma dos treˆs vetores, x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k e´ novamente o vetor original −→v istoe e´,
v = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k
CAPI´TULO 1. VETORES 8
onde o mo´dulo e´ dado por:
|−→v | =
√
x2 + y2 + z2
Se a cada ponto (x, y, z) de uma determinada regia˜o R do espac¸o R3 associamos
um escalar dado pela func¸a˜o f(x, y, z), temos definido o que se conhece como campo
escalar, onde a func¸a˜o f(x, y, z) tambem e´ conhecida como func¸a˜o escalar de posic¸a˜o.
Vejamos os seguintes exemplos.
Exemplo 1.2.2 1. Para cada posic¸a˜o de um carro, hoje em dia usamos o famoso GPS
para fazer isto, podemos associar a temperatura do motor mun determinadoinstante.
Enta˜o esta func¸a˜o de associar a temperatura pode ser vista como um campo escalar.
2. A func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 determina um campo escalar.
Um outro campo muito conhecido e´ o campo vetorial, onde em cada ponto (x, y, z)
de uma determinada regia˜o R do espac¸o R3 associamos um vetor dado pela func¸a˜o−→
f (x, y, z) = −→v , esta func¸a˜o tambem e´ conhecida como func¸a˜o vetorial ou de posic¸a˜o
vetorial.
Exemplo 1.2.3 1. Para cada carro, determinamos a sua posic¸a˜o, hoje em dia usamos
o famoso GPS para fazer isto, que e´ vetorial, e podemos associar a sua velocidade
mun determinado instante, que tambem e´ vetorial. Enta˜o esta func¸a˜o de associar a
velocidade a cada carro pode ser vista como um campo vetorial.
2. A func¸a˜o
−→
f (x, y, z) = x2y
−→
i + y2z2
−→
j + xz
−→
k determina um campo vetorial.
1.2.1 Exerc´ıcios
1. Das grandesas a seguir, indique quais sa˜o escalar e quais sa˜o vetoriais.
(a)Peso (c)Densidade (e)Energia (g)velocidade
(b)Calor (d)Impetu (f)Potencia (h)distaˆncia
2. Um automovel percorre 3Km na direc¸a˜o Norte e logo 5Km na direc¸a˜o Nordeste.
Represente geometricamente o deslocamento e calcule o vetor resultante.
3. Considere os seguintes deslocamentos:
• −→u = 10m na direc¸a˜o Nordeste
• −→v = 20m , na direc¸a˜o Este
• −→w = 35m na direc¸a˜o Sur
Enta˜o calcule −→u +−→v ; −→u −−→w ; −→v +−→v −−→w e fac¸a a sua representac¸a˜o geometrica.
4. Sejam −→u ,−→v vetores. Mostre que −→u +−→v = −→v +−→u .
CAPI´TULO 1. VETORES 9
5. Calcule o vetor unitario com direc¸a˜o e sentido da resultante dos vetores −→u = 2−→i −
5
−→
j + 9
−→
k ;−→v = 6−→i + 2−→j − 7−→k
6. Sobre um solido atuam treˆs forc¸as −→u ,−→v e −→w que. emfunc¸a˜o das suas componentes,
esta˜o dadas pelas equac¸o˜es vetoriais −→u = u1−→i +u2−→j +u3−→k ;−→v = v1−→i +v2−→j +v3−→k
e −→w = w1−→i + w2−→j + w3−→k . Calcule o mo´dulo da forc¸a resultante.
7. Determine os angulos α, β e γ que o vetor −→v = x−→i + y−→j + z−→k forma com os eixos
positivos do sistema de coordenadas de R3. e mostre que
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
8. Considere o campo escalar dado por f(x, y, z) = 3x2z − xy + z2, calcule o valor do
campo escalr f nos pontos (2,−3, 6); (−2, 4, 9); (6,−9,−3).
9. Represente Geometricamente o campo vetorial dado por
−→
f (x, y, z) = x
−→
i − y−→j +
z
−→
k .
1.3 Produto Escalar e Vetorial
Na sec¸a˜o anterior mostramos como podemos obter novos vetores a partir de vetores,
e como podemos gerar outros vetores a partir da multiplicac¸a˜o por escalar. Enta˜o agora
mostraremos como a partir de dois vetores podemos associar um escalar, mostrando al-
gumas propriedades.
Definic¸a˜o 1.3.1 Seja −→u e −→v dois vetores. Chamaremos de produto escalar ou in-
terno dos vetores −→u e −→v , ao seguinte escalar:
−→u · −→v =
{
0, se −→u ou −→v e´ o vetor nulo;
|−→u | · |−→v | cos θ, Caso contra´rio.
onde θ e´ o aˆngulo formado pelos dois vetores.
Quando os vetores sa˜o dados em termos das suas componentes na˜o sabemos direta-
mente o aˆngulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto
escalar que na˜o necessite do aˆngulo entre os vetores.
Sejam −→u e −→v dois vetores na˜o nulos e θ o aˆngulo entre eles, enta˜o pela lei dos cossenos,
temos a seguinte expressa˜o:
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 − 2|−→u ||−→v |cosθ
Assim,
−→u · −→v = |−→u ||−→v |cosθ = 1
2
(|−→u |2 + |−→v |2 − |−→u −−→v |2)
CAPI´TULO 1. VETORES 10
Ja´ temos enta˜o uma fo´rmula para calcular o produto escalar que na˜o depende dire-
tamente do aˆngulo entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores na identidade
acima, temos uma expressa˜o mais simples para o ca´lculo do produto interno. Por ex-
emplo, se−→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3) sa˜o vetores no espac¸o, enta˜o substituindose
|−→u |2 = u21+u22 +u23 , |−→v |2 = v21 + v22 + v23 e |−→u −−→v |2 = (u1− v1)2+(u2− v2)2+(u3− v3)2
na igualdade anterior, os termos u2i e v
2
i sa˜o cancelados e obtemos a seguinte expressa˜o
−→u · −→v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Vejamos algumas propriedades na seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 1.3.1 Sejam −→u ,−→v e −→w vetores e α um escalar. Enta˜o sa˜o va´lidas:
1. −→u · −→v = −→v · −→u
2. −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
3. α(−→u · −→v ) = (α−→u ) · −→v
Definic¸a˜o 1.3.2 Sejam −→u e −→v dois vetores. Chamaremos de produto vetorial, ou pro-
duto externo dos vetores −→u e −→v ao vetor −→c = −→u ×−→v dado por:
−→c = −→u ×−→v = det


−→
i
−→
j
−→
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3

 =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
Algumas propriedades do produto vetorial sa˜o dadas na seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 1.3.2 Sejam −→u ,−→v e −→w vetores e α um escalar. Enta˜o sa˜o va´lidas:
1. −→u ×−→v = −−→v ×−→u
2. −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w
3. α(−→u ×−→v ) = (α−→u )×−→v = −→u × (α−→v ) = (−→u ×−→v )α
4.
−→
i ×−→i = −→j ×−→j = −→k ×−→k = 0, −→i ×−→j = −→k , −→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→i
5. O mo´dulo do vetor −→u ×−→v representa a a´rea do paralelogramo de lados −→u e −→v .
6. Se −→u ×−→v = 0 onde nenhum dos vetores e´ nulo, enta˜o os dois vetores tem a mesma
direc¸a˜o.
CAPI´TULO 1. VETORES 11
1.3.1 Exerc´ıcios
1. Ache o aˆngulo formado pelos vetores −→u = 2−→i + 3−→j −−→k e −→v = 6−→i + 3−→j + 2−→k .
2. Ache o valor de α de forma que os vetores −→u = 2−→i +α−→j +−→k e −→v = 4−→i −2−→j −−→k
sejam ortogonais.
3. Mostre que os seguinte vetores −→u = 3−→i − 2−→j + −→k ; −→v = −→i − 3−→j + 5−→k e
−→w = 2−→i +−→j − 4−→k formam um triaˆngulo.
4. Mostre a proposic¸a˜o 1.3.2.
5. Sejam −→u = 2−→i − 3−→j −−→k e −→v = 1−→i + 3−→j + 6−→k calcule
a −→u ×−→v
b −→v ×−→u
c (−→u +−→v )× (−→u −−→v )
6. Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices P (1, 3, 2), Q(2,−1, 1), R(1, 2, 3).
7. Calcule o momento de uma forc¸a
−→
F com relac¸a˜o a um ponto P .
Cap´ıtulo 2
Matrizes
2.1 Matrizes
A partir de agora, e no decorrer do texto, usaremos a letra K, para denotar o corpo
dos escalares, que pode ser Q (Racionais), R (Reais) ou C (Complexos). Neste cap´ıtulo,
introduziremos o conceito de Matriz, que e´ um dos conceitos matema´ticos mais usados
por parte da a´rea de economia e administrac¸a˜o entre outros como um recurso na agrupac¸a˜o
de um grande nu´mero de informac¸o˜es, e claro, e´ uma das ferramentas ba´sicas na pesquisa
operacional.
Definic¸a˜o 2.1.1 Chamaremos de Matriz1 de ordem n×m a` ordenac¸a˜o de n veces m
escalares em n linhas e m colunas, que denotaremos da seguinte forma:
A =


a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · anm

 = (aij)n,m
onde aij denota o escalar na linha i e coluna j para i = 1, . . . , n , j = 1, . . . , m
Se todas as entradas da matriz A = (aij)n,m sa˜o nulas, a matriz A e´ dita de matriz
nula ou matriz zero, que denotaremos por 0n,m. Se o numero de linhas e´ igual ao numero
de colunas da matriz A = (aij)n,m, ou n = m, enta˜o diremos que a matriz A e´ uma
matriz quadrada e a denotaremos por A = (aij)n. Chamaremos de diagonal principal da
matriz quadrada A = (aij)n, os escalares da forma aii onde i = 1, . . . , n. Diremos que a
matriz quadrada A = (aij)n e´ diagonal, se todos os elementos acima e abaixo da diagonal
principal sa˜o zero. Chamaremos de matriz identidade, que denotaremos por In, a matriz
diagonal de ordem n onde todos os elementos da diagonal principal sa˜o iguais a 1, enta˜o
In pode ser vista da seguinte forma:
In = (cij) =
{
1 se i = j
0 se i 6= j
1O matema´tico Ingles Arthur Cayley(1821-1895), foi o primeiro a introduzir o conceito de matriz e
mostrar as suas propriedades alge´bricas, e ele publicou mais de 300 artigos de investigac¸a˜o
12
CAPI´TULO 2. MATRIZES 13
Denotaremos por Mn,m o conjunto de todas as matrizes de n linhas e m colunas,
simbolicamente temos:
Mn,m(K) =Mn,m = {A = (ai,j)n,m/ai,j ∈ K, ∀i= 1, · · · , n; j = 1, · · · , m}
Exemplo 2.1.1 Vejamos agora alguns exemplos da definic¸a˜o anterior.
1. Um dos exemplos mais simples de ordenac¸a˜o matricial, e´ observar a ordenac¸a˜o das
cadeiras na sala de aula, ou das poltronas num cinema, sempre sa˜o dados em linhas
e colunas.
2. Os escalares de forma geral podem ser vistos como matrizes de ordem 1× 1.
3. Uma linha de uma matriz A = (aij)n,m, digamos A
i = (ai1 · · ·aij · · ·aim) pode ser
considerada como uma matriz de ordem 1×m, de maneira ana´loga podemos definir a
matriz coluna dada por uma coluna da matriz A = (aij)n como sendo Aj =


a1j
...
anj

.
4. Consideremos o seguinte diagrama:
1 3
2 4
A forma matricial deste diagrama e´ dado por :
A =


0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 0
1 1 0 0

 = (aij)n,m
Onde aij = 1 se o ponto i esta´ ligado ao ponto j, e aij = 0, se o ponto i na˜o esta´
ligado ao ponto j. Esta matriz e´ conhecida como matriz de incideˆncia.
5. Considere o plano projetivo de Fano, de ordem dois e construa a sua matriz de
incideˆncia.
Definic¸a˜o 2.1.2 Diremos que duas matrizes da mesma ordem A = (aij)m,n e B =
(bij)m,n sa˜o iguais se aij = bij ∀i, j
CAPI´TULO 2. MATRIZES 14
2.1.1 Exerc´ıcios
1. Escreva a matriz A = (aij)2,3 tal que aij = ij + 2i− j.
2. (a) Escreva a matriz A = (aij)4,4, tal que :
A =
{
aij = −1 se i > j
aij = 1 se i ≤ j
(b) Escreva a matriz A = (aij)3,3 tal que aij = −aji
3. Ache os poss´ıveis valores de x e de y, tais que :
(a) (
2 2
0 x2 − 2
)
=
(
y x
0 0
)
(b) (
x y
x2 y2
)
=
(
1 0
0 1
)
4. Seja A = (aij)n e definamos tr(A) =
∑n
i=1 aii que e´ conhecida como trac¸o da matriz
A, enta˜o mostre que tr(tr(A)) = tr(A).
5. Suponha que existe uma relac¸a˜o de dominaˆncia entre quatro terminais, dada pelo
seguinte diagrama:
1 3
2 4
onde cada seta indica a dominaˆncia do ponto i sobre o ponto j. Passe para linguagem
matricial este diagrama (supondo que nenhum ponto domine ele mesmo).
2.2 Adic¸a˜o de Matrizes
Recordemos que tanto a adic¸a˜o como a subtrac¸a˜o entre os nu´meros e´ uma func¸a˜o, ou
tambe´m conhecida como operac¸a˜o binaria ou interna, onde sa˜o relacionados dois elementos
do mesmo conjunto, e apo´s esta relac¸a˜o ou mistura entre eles, obtemos um novo elemento
do mesmo conjunto. Sera´ que o relacionamento entre animais da mesma especie satisfaz
esta condic¸a˜o?. Sera´ que com as matrizes isto e´ va´lido?, enta˜o vejamos a seguinte definic¸a˜o.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 15
Definic¸a˜o 2.2.1 Sejam A,B ∈Mn,m. Enta˜o a operac¸a˜o bina´ria ou interna
+ :Mn,m ×Mn,m −→Mn,m dada por :
A+B = (aij)n,m + (bij)n,m = (aij + bij)n,m
sera´ chamada de soma de matrizes.
Veja que se as matrizes forem de 1×1, a definic¸a˜o anterior nos da a` definic¸a˜o usual de
soma de escalares, ou se forem matrizes de 1 × n a definic¸a˜o anterior nos da a` definic¸a˜o
usual de soma de n-uplas ou soma vetorial componente a componente. Vejamos agora
alguns exemplos.
Exemplo 2.2.1 Consideremos os seguintes exemplos dos conceitos anteriores.
1. Considere as seguintes matrizes:
A =
(
2 −6
5 −6
)
, B =
( −3 π
2
√
3
)
e C =
( −1 √8 −5
−2 2π 9
)
Observe que A+B esta´ bem definida, mas A + C na˜o pois a matriz A tem ordem
2× 2 e a matriz C tem ordem 2× 3, isto e´, A,B na˜o tem a mesma ordem.
2. A matriz nula 0n,m tem a propriedade de que se A ∈Mn,m enta˜o e´ fa´cil verificar, a
partir da definic¸a˜o que, A+ 0n,m = 0n,m + A = A
3. Uma certa empresa de Computac¸a˜o produz um software X. Agora, para produzir este
software foram necessa´rios seis te´cnicos, treˆs (um digitador, um programador e um
analista de sistemas) de uma localidade A e os outros treˆs (digitador, programador
e analista) de uma localidade B. As despesas feitas pela empresa na manutenc¸a˜o e
transporte dos te´cnicos pode ser vista matricialmente por :
A =


Manut. T rans.
100 150 Dig.
800 400 Prog.
900 850 Anal.


B =


Manut. T rans.
80 50 Dig.
600 400 Prog.
1000 650 Anal.


A matriz que representa a despesa total com alimentac¸a˜o e transporte de cada um
dos te´cnicos vindo de ambas localidades e´ dada por :
A+B =


Manut. T rans.
180 200 Dig.
1400 800 Prog.
1900 1500 Anal.


CAPI´TULO 2. MATRIZES 16
Exemplo 2.2.2 Uma Universidade, pretende utilizar o periodo de recezo das ferias para
fazer a instalac¸a˜o de ar condicionado central nos blocos D,EeF do centreo de Cieˆncias
exatas. Enta˜o faz uma licitac¸a˜o para a realizac¸a˜o desta obra, e pede que seja discriminado
o custo por bloco, pois pode pegar a obra por bloco, e seleciona treˆs propostas, que deno-
taremos por Emp.1, Emp.2 e Emp.3, como discriminada abaixo(os valores sa˜o relativos a
R$1.000, 00 reais) :
Bl D Bl E Bl F
Emp.1 53 96 37
Emp.2 47 87 41
Emp.3 60 92 36
Enta˜o, a Universidade esta´ interessada na proposta de menor custo, e cada empressa
so´ pode pegar um bloco para fazer. Como calcular a melhor proposta. Na verdade temos
3! = 3 × 2 × 1 possibilidades. Enta˜o a´s propostas podem ser vistas de maneira matricial
como segue : 
 53 96 3747 87 41
60 92 36


Enta˜o estas seis propostas sa˜o dadas por :
(a)


53︸︷︷︸ 96 37
47 87︸︷︷︸ 41
60 92 36︸︷︷︸

 (b)


53︸︷︷︸ 96 37
47 87 41︸︷︷︸
60 92︸︷︷︸ 36

 (c)


53 96︸︷︷︸ 37
47︸︷︷︸ 87 41
60 92 36︸︷︷︸


(d)


53 96 37︸︷︷︸
47︸︷︷︸ 87 41
60 92︸︷︷︸ 36

 (e)


53 96︸︷︷︸ 37
47 87 41︸︷︷︸
60︸︷︷︸ 92 36

 (f)


53 96 37︸︷︷︸
47 87︸︷︷︸ 41
60︸︷︷︸ 92 36


Onde a proposta (a) = 53 + 87 + 36 = 176 a proposta (b) = 53 + 92 + 41 = 186
a proposta (c) = 47 + 96 + 36 = 179 a proposta (d) = 47 + 92 + 37 = 176 a proposta
(e) = 60+96+41 = 197 e finalmente a proposta (f) = 60+87 = 37 = 184. Mostrando que
a proposta (a) e (d) sa˜o as melhores. Claramente o me´todo anterior e´ muito ”primitivo”ja
em programac¸a˜o Linear poderam estudar me´todos mais eficientes.
Proposic¸a˜o 2.2.1 Sejam A,B e C ∈Mn,m, enta˜o e´ valido que :
i) Associatividade (A +B) + C = A+ (B + C)
ii) Neutro ∃0n,m ∈Mn,m tal que A+ 0n,m = 0n,m + A = A
iii) Inverso ∀A ∈Mn,m existe a matriz −A ∈Mn,m tal que A+ (−A) = 0n,m
iv) Comutatividade A +B = B + A
CAPI´TULO 2. MATRIZES 17
2.3 Multiplicac¸a˜o por Escalar
Anteriormente definimos uma relac¸a˜o bina´ria, como sendo uma func¸a˜o que relacionava
dois elementos do mesmo conjunto, e obtendo como resultado um novo elemento do mesmo
conjunto, como faz a adic¸a˜o de matrizes. Agora estamos interessados em relacionar o corpo
K com o conjunto das matrizes de ordem n×m por exemplo, e obter desta relac¸a˜o uma
nova matriz de ordem n×m. Como fazer isto e´ o que mostra a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.3.1 Chamaremos de produto por escalar, a´ operac¸a˜o externa · : K×Mn,m−→Mn,m
dada da seguinte forma: Sejam α ∈ K e A ∈Mn,m enta˜o
α · A = (αaij)n,m
Veja que a operac¸a˜o externa produto por escalar nada mais e´ multiplicar cada uma
das entradas da matriz A ∈Mn,m pelo escalar α ∈ K. Vejamos agora alguns exemplos.
Exemplo 2.3.1 Sejam
(
2 3 −5√
5 −2 6
)
, α1 = 2, e α2 = π. Enta˜o calculemos
α1 ·A− α2 · A
Exemplo 2.3.2 Seja A ∈Mn e λ ∈ K, enta˜o calculemos λ · In −A.
Proposic¸a˜o 2.3.1 Sejam A,B ∈Mn,m e α, α1, α2 ∈ K, enta˜o sa˜o va´lidas:
1. (α1 + α2) ·A = α1 · A+ α2 · A
2. α · (A+B) = α · A+ α · B
3. α1(α2 · A) = (α1α2) ·A
4. 1 · A = A, −1 · A = −A, 0 ·A = 0n,m
De agora em diante consideraremos α ·A = αA.
Exemplo 2.3.3 Seja X ∈ M3. Enta˜o procuremos o valor da matriz X tal que satisfaz
a seguinte igualdade:
−4(X +

 2 3 −5√5 −2 6
0
√
3 1

) = 5X +

 1 0 45 0 3
1 1 0


CAPI´TULO 2. MATRIZES 18
2.3.1 Exerc´ıcios
1. Uma Universidade esta´ querendo pintar quatro dos seus carros, com as cores e os
simbolosda universidade, enta˜o a Universidade faz uma licitac¸a˜o para executar este
servic¸o, onde cada empressa so´ pode pintar um carro. Dentro das propostas ela
seleciona quatro delas, cujos valores sa˜o dados segundo tabela abaixo.
carro A carro B carro C carro D
Of.1 3 6 7 5
Of.2 7 7 4 3
Of.3 6 2 6 5
Of.4 5 3 4 7
Enta˜o, encontre a melhor proposta para a Universidade.
2. Sejam A =

 1 −3 4√7 0 −7
6
√−3 18

 , B =

 10 13 90 √7 −3
1 4
√
11

 , C =
(
2 0 9
2
√
3 8
)
,
D =
(
1 −3 4√
7 0 −7
)
, e E =

 1 40 −7√
5 18


Enta˜o veja se e´ poss´ıvel calcular e, se foˆr possivel, enta˜o calcule:
(a) 2A+B
(b) E − 2C
(c) −4A + 5B − 3C +D
(d) D + I2 −E
3. Sejam α ∈ K e r ∈ R e A ∈Mn,m enta˜o mostre que:
(a) α(rA) = (αr)A
(b) (α + r)A = αA+ rA
4. Mostre que se r ∈ R, e A,B ∈Mn,m enta˜o, r(A+B) = rA+ rB.
5. Determine o valor da matriz X da seguinte igualdade:

 0 9 8√2 10 6
5
√
6 9

 + 3X =

 0 3 1910 7 −13
11 6
√
11


CAPI´TULO 2. MATRIZES 19
6. Sejam A =

 1 −3 4√7 0 −7
6
√−3 18

 , B =

 10 13 90 √7 −3
1 4
√
11

 , C =

 2 0 92 √3 8
2 −4 7

.
Justifique cada um dos seus passos para achar o valor da matriz X, das seguintes
igualdades:
(a)
√
2(2X +B) = 3
5
X + C − 2A
(b) −3A + 5X = πC − 2
7
B
(c)
√
7(3X + 2A) +−2(A−√5C) = 2
3
B
7. Mostre as propriedades da soma de matrizes e do produto por escalar.
8. Sejam A1, ..., Ar ∈Mn e sejam λ1, ..., λr ∈ K. Usando a definic¸a˜o de trac¸o de uma
matriz mostre que : tr(λ1A1 + · · ·+ λrAr) = λ1tr(A1) + · · ·+ λrtr(Ar).
2.4 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Ate´ agora temos definido a soma de matrizes e a multiplicac¸a˜o por escalar, agora
nos resta trabalhar numa definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes. Comec¸aremos primeiro,
considerando uma situac¸a˜o particular com matrizes de ordem 1 × n e de ordem n × 1,
como sera´ dado na seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.4.1 O produto da matriz X =
(
x1 x2 · · · xn
)
pela matriz Y =


y1
y2
...
yn


e´ a matriz de ordem 1× 1 dada por :
X · Y = ( x1 x2 · · · xn ) ·


y1
y2
...
yn

 = (x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn)
Ilustremos esta definic¸a˜o com o seguinte exemplo.
Exemplo 2.4.1 Sejam X =
(
3 2 −6 ) e Y =

 49
7

, a partir da definic¸a˜o segue que
X · Y = ( 3 2 −6 )

 49
7

 = (3 · 4 + 2 · 9 +−6 · 7) = (−12)1,1.
Veja que, a partir da definic¸a˜o anterior o nu´mero de colunas da matriz X deve ser
igual ao nu´mero de linhas da matriz Y , se isso acontece, diremos que as matrizes X e Y
sa˜o compat´ıveis para a multiplicac¸a˜o.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 20
Definic¸a˜o 2.4.2 Sejam A ∈ Mn,p e B ∈ Mp,m. O produto das matrizes A e B, que
denotaremos por C = AB, e´ a matriz cujo elemento gene´rico cij, e´ o produto da i-e´sima
linha Ai da matriz A pela j-e´sima coluna Bj da matriz B, isto e´,
cij = A
iBj = ai1b1j + · · ·+ aipbpj
onde 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m.
Vejamos como esta definic¸a˜o funciona no seguinte exemplo.
Exemplo 2.4.2 Sejam A =
(
1 5
3 2
)
e B =
(
2 6 7
8 5 −3
)
, enta˜o
AB =
(
1 · 2 + 5 · 8 1 · 6 + 5 · 5 1 · 7 + 5 · −3
3 · 2 + 2 · 8 3 · 6 + 2 · 5 3 · 7 + 2 · −3
)
=
(
2 + 40 6 + 25 7− 15
6 + 16 18 + 10 21− 6
)
=
(
42 31 −8
22 28 15
)
Veja que o exemplo anterior mostra que o produto de matrizes pode na˜o ser comuta-
tivo, visto que existe o produto AB, mas na˜o existe o produto BA.
Exemplo 2.4.3 A notac¸a˜o matricial foi introduzida pelo matema´tico Ingleˆs Artur Cayley
em 1958. Ele usou-a para abreviar a notac¸a˜o para expressar um sistema de equac¸o˜es
lineares. Isto e´, o sistema

a11x1+ a12x2+ · · · +a1mxm = b1
a21x1+ a22x2+ · · · +a2mxm = b2
...
...
...
...
...
an1x1+ an2x2+ · · · +anmxm = bn
pode ser representado matricialmente pela seguinte equac¸a˜o :
AX = B
onde A =


a11 a12 · · · a1n
...
...
...
an1 an2 · · · anm

 e a matriz X =


x1
x2
...
xm

 e B =


b1
b2
...
bn

 onde o
anterior se verifica facilmente usando as definic¸o˜es de produto de matrizes. Este prob-
lema consiste em determinar um conjunto S de n-uplas x =


x1
x2
...
xn

 cujas coordenadas
satifazem simultaneamente a cada uma das equac¸o˜es do sistema dado por AX = B. O
CAPI´TULO 2. MATRIZES 21
conjunto S e´ chamado de conjunto soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares. O sistema
de equac¸o˜es lineares anterior e´ dito Homogeˆneo se a matriz coluna
B =


b1
b2
...
bm

 = 0 =


0
0
...
0


foˆr nula. Uma matriz que sera´ estudada no final deste cap´ıtulo e´ a matriz aumentada,
que denotaremos por (A : B), associada ao sistema de equac¸o˜es lineares anterior, observe
que (A : B) ∈Mn,m+1.
Vejamos auma pequena aplicac¸a˜o do exemplo anterior, no seguinte exemplo:
Exemplo 2.4.4 Sabemos que dados dois pontos no plano R2, so pode passar uma u´nica
reta, que a partir de geometria analitica e´ dada pela equac¸a˜o
ax+ by + c = 0
Onde a, b, c ∈ R. Enta˜o, encontremos a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (1, 2), (2, 3).
Enta˜o veja que os pontos anteriores devem satisfazer a equac¸a˜o ax+ by + c = 0, ou seja
que temos a seguinte situc¸a˜o : {
a1+ b2+ = −c
a2+ b3+ = −c
Veja que na˜o e´ dific´ıl, usando alguns conhecimentos de segundo grao, mostrar que
a = −3c e b = c, ou seja que a quac¸a˜o da reta procurada e´ dada por
−3cx+ cy = c
ou
y = 3x+ 1
onde c 6= 0.
Se A ∈Mn pode-se verificar facilmente que AIn = InA = A.
Exemplo 2.4.5 Consideremos as seguintes matrizes :
A =
(
1 3
4 7
)
; B =
(
1 0
−1 1
)
; C =
(
0 0
1 0
)
; D =
(
0 0
2 0
)
; E =
(
4 0
2 1
)
;
F =
(
4 0
6 7
)
; I =
(
1 0
0 1
)
; J =
( −1 0
0 1
)
; K =
(
1 0
0 −1
)
;
e L =
( −1 0
0 −1
)
.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 22
1. AB =
( −2 3
−3 7
)
6=
(
1 3
3 4
)
= BA, o que mostra que o produto de matrizes na˜o
e´ comutativo.
2. CD =
(
0 0
0 0
)
, onde tanto a matriz C como a matriz D sa˜o diferente da matriz
nula.
3. Veja que DE =
(
0 0
8 0
)
= DF , mas a matriz E 6= F , isto mostra que na˜o existe
uma lei de cancelamento entre matrizes.
4. Temos que I2 = I, J2 = I, K2 = I, L2 = I, isto mostra que a matriz I tem pelo
menos quatro ra´ızes quadradas, sendo que com escalares so´ poderia ter no ma´ximo
duas ra´ızes.
Por outro lado, a seguinte proposic¸a˜o mostra as propriedades va´lidas com o produto
de matrizes.
Proposic¸a˜o 2.4.1 Sejam A,B,C ∈Mn. Enta˜o sa˜o va´lidas :
i) Associatividade : A(BC) = (AB)C.
ii) Neutro : Existe In ∈Mn tal que InA = AIn = A.
iii) Lei Distributiva Esquerda : A(B + C) = AB + AC.
iv) Lei Distributiva Direita : (A +B)C = AC +BC.
Se considerarmos matrizes quadradas, digamos de n × n, podemos ter o conceito de
poteˆncia de uma matriz, ou seja que se A ∈ Mn segue que A0 = In;A1 = A;AA =
A2, · · · , An+1 = AAn. Fazendo uso de induc¸a˜o finita, como visto no cap´ıtulo 1, pode-
mos mostrar que An+m = AnAm. A partir do anterior, podemos trabalhar expresso˜es
polinoˆmiais como p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a0 ∈ K[x], isto e´, podemos calcular
p(A) = anA
n + an−1A
n−1 + · · ·+ a0In ∈Mn, vejamos isto no seguinte exemplo.
Exemplo 2.4.6 Seja A =
(
1 4
3 8
)
∈M2 e consideremos o polinoˆmio p(x) = x3+x−2,
enta˜o
p(A) = A3 + A− 2I2 =
(
1 4
3 8
)3
+
(
1 4
3 8
)
− 2
(
1 0
0 1
)
=
(
121 340
255 716
)
+
(
1 4
3 8
)
+
( −2 0
0 −2
)
=
(
121 + 1− 2 340 + 4 + 0
255 + 3 + 0 716 + 8− 2
)
=
(
120 344
258 722
)
CAPI´TULO 2. MATRIZES 23
Exemplo 2.4.7 Consideremos oseguinte sistema de comunicac¸a˜o (esses centros de co-
municac¸a˜o podem representar pessoas, nac¸o˜es, computadores etc.) dado pelo seguinte
diagrama.
1 3
2 4
onde a seta indica que o terminal i se comunica com o terminal j. A forma matricial
deste diagrama e´ dado pela matriz.
A =


0 1 1 1
1 0 1 1
0 0 0 0
1 1 1 0


onde aij = 1 se existe comunicac¸a˜o entre o terminal i e o terminal j e aij = 0, caso
contrario. Estamos considerando que os terminais na˜o se comunicam com se pro´prios.
Enta˜o temos:
B = AA = A2 =


2 1 2 1
1 2 2 1
0 0 0 0
1 1 2 2

 = (aij)n,m
Aqui b11 = a11a11+a12a21 +a13a31 +a14a41 = 2, veja que esses produtos a1jaj1 e´ um, se, e
somente se a1j e aj1 sa˜o um, isto diz que o terminal 1 esta´ comunicado com o terminal j
e o terminal j esta´ comunicado com o terminal 1, logo como b11 = 2, diz que temos duas
chances de isto acontecer, o terminal 1 via outro terminal se comunicar com o terminal 1
novamente. Assim A+A2 diz sobre o nu´mero total de chances de comunicac¸a˜o que esta˜o
abertas entre va´rios terminais usando nenhum terminal ou um terminal intermedia´rio.
Uma das grandes ferramentas na a´rea de transportes hoje em dia, e´ dada pela teoria
de grafos, que claramente na˜o o nosso objeto de estudo, mas daremos a definic¸a˜o de grafo
dirigido para ilustrar uma outra aplicac¸a˜o destes conceitos matriciais vistos ate´ aqui.
Definic¸a˜o 2.4.3 Chamaremos de Grafo Dirigido a´ quadrupla G = (G0, G1, o, t), onde
G0 e´ o conjunto de ve´rtices, e G1 e´ o conjunto de Flechas, e para qualquer flecha α ∈ G1
temos a func¸a˜o o : G1−→G0 talque o(α) e´ o ve´rtice origem da flecha α, e a func¸a˜o
t : G1−→G0 e´ o ve´rtice final ou te´rmino da flecha α.
Ilustremos a definic¸a˜o anterior no seguinte exemplo.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 24
Exemplo 2.4.8 Consideremos uma familia, com a Ma˜e, Pae uma filha e dois filhos.
Cada um dos membros desta familia tem influeˆncia sobre os outros membros da familia
da seguinte forma : A Ma˜e, tem influencia sob a sua filha e sobre o filho mais velho; e
o Pae tem influencia sobre os dois filhos; e a filha pode influenciar sobre o Pae; e o filho
mais velho pode influenciar sobre o irma˜o mais novo, e finalmente o filho mais novo pode
influenciar a Ma˜e. Enta˜o, usando grafos podemos modelar esta familia da seguinte forma :
G0 = {Ma˜e,Pae,Filha,Filho mais velho,Filho mais novo} = {M,P, F, Fv, Fn} e G1 =
{Influencia na familia} = {α1, α2, α3, α4, α5, α6, α7}
Fv
α2
M
α5
α1
Fn
α4
F α7 P
α6
α3
•1
α2
•2
α5
α1
•3α4
•4 α7 •5
α6
α3
(a) (b)
Em um grafo dirigido com n ve´rtices, podemos associar uma matriz M = (nij) ∈Mn,
chamada dematriz de incideˆncia do grafo dirigido. As entradas da matriz de incideˆncia
sa˜o dados da seguinte forma :
nij =
{
1 se Pi−→Pj
0 outra
para i, j = 1, 2, ..., n. Agora, a matriz de incideˆncia associado ao exemplo 2.4.8 e´ dado
pela seguinte matriz :
M =


1 2 3 4 5
1 0 1 0 0 1
2 0 0 1 0 0
3 1 0 0 0 1
4 0 1 0 0 0
5 0 0 0 1 0


Exemplo 2.4.9 Consideremos a seguinte situac¸a˜o de migrac¸a˜o entre a regia˜o Nordeste
do Brasil e a regia˜o de Rio- Sa˜o Paulo da seguinte forma. Cada Ano, 50% da Populac¸a˜o
do Nordeste migra para a regia˜o de Rio-Sa˜o Paulo, na˜o entanto 25% da Populac¸a˜o de
Rio-Sa˜o Paulo migra para a regia˜o Nordeste.
ND0.5
0.5
RSp 0.75
0.25
Se esta migrac¸a˜o tende a continuar, nos parametros anteriores, sera´ que acabara a
populac¸a˜o no Nordeste, ou a futuro esto se estabilizara?.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 25
Enta˜o, vamos supor que sejam nk e sk as proporc¸o˜es das populac¸o˜es no Nordeste e no
Rio-Sa˜o Paulo respectivamente num determinado ano k, e enta˜o temos que nk + sk = 1.
Logo, estas diretrizes determinam que no ano seguinte, isti e´, no ano k+1 as proporc¸o˜es
de populac¸o˜es sera´ dado por
nk+1 = nk0.5 + sk0.25
sk+1 = nk0.5 + sk0.75
Se pTk = (nk, sk) e p
T
k+1 = (nk+1, sk+1) representam as populac¸o˜es no final do ano k e
no ano k + 1 respectivamente, enta˜o temos a matriz
T =
(
0.5 0.5
0.25 0.75
)
Sendo a matriz de transic¸a˜o, de onde temos que pTk+1 = p
T
k T . Logo, temos a seguinte
sequeˆncia
pT1 = p
T
0 T ; p
T
2 = p
T
1 T = p
T
0 T
2; pT3 = p
T
2 T = p
T
0 T
3; . . . ; pTk = p
T
0 T
k
Calculando as poteˆncias da matriz T temos
T 2 =
(
0.375 0.625
0.312 0.687
)
· · · T 7 =
(
0.333 0.667
0.333 0.667
)
Na˜o e´ dificil de ver que esta sequeˆncia tende a matriz
T∞ = lim
k−→∞T
k =
(
1
3
2
3
1
3
2
3
)
Portanto, a migrac¸a˜o a futuro estara´ estabilizada, onde 1
3
da populac¸a˜o ficara no
Nordeste, e 2
3
da populac¸a˜o ficara˜o no Rio-Sa˜o Paulo.
Vejamos agora uma aplicac¸a˜o entre matrizes que sera´ de muita utilidade na parte final
deste texto.
Definic¸a˜o 2.4.4 Seja A = (aij) ∈ Mn,m. A transposta da matriz A, que indicaremos
por At, e´ a matriz obtida da matriz A trocando as linhas por colunas, isto e´,
At = (aji) ∈Mm,n
Veja que transposta pode ser vista como uma transformac¸a˜o ()t : Mn,m−→Mm,n. Ilus-
tremos esta definic¸a˜o com o seguinte exemplo.
Exemplo 2.4.10 Seja A =

 24 2 6 812 3 10 1
11 0 1 7

 enta˜o At =


24 12 11
2 3 0
6 10 1
8 1 7


CAPI´TULO 2. MATRIZES 26
Na seguinte proposic¸a˜o, damos as propriedades satisfeitas pela transposta de matrizes.
Proposic¸a˜o 2.4.2 Sejam A ∈Mn,p , B ∈Mp,m e c ∈ K. Enta˜o sa˜o va´lidas :
i) (At)t = A.
ii) (A+B)t = At +Bt.
iii) (cA)t = cAt.
iv) (AB)t = BtAt.
Definic¸a˜o 2.4.5 Seja A ∈Mn. Enta˜o diremos que a matriz A e´ sime´trica se At = A,
e diremos que a matriz A e´ anti-sime´trica se At = −A.
Um dos fatos importantes sobre simetria e anti-simetria de matrizes e´ dada na seguinte
proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 2.4.3 Seja A ∈ Mn. Enta˜o a matriz A se decompo˜e como a soma de
uma matriz sime´trica, que denotaremos por As, mais uma matriz anti-sime´trica, que
denotaremos por Aa, isto e´,
A = As + Aa
Dem. Seja A uma matriz como no enunciado, enta˜o consideremos as seguintes matrizes
As =
A+ At
2
e Aa =
A−At
2
Claramente As + Aa = A, enta˜o so´ resta mostrar que a matriz As e´ sime´trica e que a
matriz Aa e´ anti-sime´trica. Mas pelas propriedades da transposta temos:
(As)
t = (
A+ At
2
)t =
At + (At)t
2
=
A+ At
2
= As
portanto As e´ sime´trica. De forma ana´loga temos que (Aa)
t = −Aa logo e´ anti-sime´trica,
como quer´ıamos. �
CAPI´TULO 2. MATRIZES 27
2.4.1 Exerc´ıcios
1. Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (−2, 1); (3, 8).
2. Construa a matriz de incideˆncia dos seguintes grafos orientados.
•1
α2
•2
α5
α1
•3 α5 •4
α6
α3
•1
α2
α8
α1
•2
α5
•3α4
•4 α7
α9
•5
α6
α3
(a) (b)
3. Ache o grafo orientado, associado as seguintes matrizes :


0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0




0 1 0 0 1
1 0 1 0 1
0 0 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 0 0




0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 1 0


(a) (b) (c)
4. Expresse o seguinte sistema linear, como uma equac¸a˜o matricial da forma AX = B,
identificando cada uma das matrizes, A;X e B.

3x1 +6x2 −x3 = 6
−4x1 +2x2 = 9
3x2 +5x3 = 5
5. Mostre que

 − 1 − 1 − 10 1 0
0 0 1


2
=

 0 1 0− 1 − 1 − 1
0 0 1


3
=

 0 1 00 0 1
− 1 − 1 − 1


4
= I3
6. Sejam A,B ∈M2, tais que AB = BA. Enta˜o mostre que
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2
Se as matrizes A,B ∈ Mn sa˜o quaisquer, a igualdade e´ sempre verdadeira?.
Mostre um contra exemplo se na˜o foˆr verdadeiro.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 28
7. Seja A ∈ Mn e p(x) = anxn + an−1xn−1 + ·· · + a0 ∈ K[x], enta˜o mostre que
Ap(A) = p(A)A.
8. Consideremos a seguinte situac¸a˜o de migrac¸a˜o entre Rio e Sa˜o Paulo da seguinte
forma. Cada ano, 30% da Populac¸a˜o do Rio migra para a regia˜o de Sa˜o Paulo, na˜o
entanto 20% da Populac¸a˜o de Sa˜o Paulo migra para o Rio. Sera´ que esta migrac¸a˜o
se estabiliza?
9. Uma matriz A de ordem n e´ dita idempotente se A2 = A.
a) Verifique se a matriz

 2 − 2 − 4− 1 3 4
1 − 2 3

 e´ idempotente ou na˜o.
b) Mostre que se AB = A e BA = B, enta˜o A e B sa˜o idempotentes.
c) Se a matriz A e´ idempotente, mostre que a matriz B = I − A e´ idempotente e
AB = BA = 0.
10. Sejam A,B ∈M2, mostre que:
a) tr(A± B) = tr(A)± tr(B).
b) tr(αA) = αtr(A), onde α ∈ K.
c) tr(AB −BA) = 0.
onde tr(A) denota o trac¸o da matriz A, ou seja a soma da diagonal principal da
matriz A.
11. Mostre as propriedades da transposta.
12. Mostre que se A ∈Mn enta˜o a matriz AAt e´ uma matriz sime´trica.
13. Diga se e´ verdadeiro ou falso, e justifique a sua resposta :
a) Se as matrizes A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+B e A− B sa˜o sime´tricas.
b) Se as matrizes A e B sa˜o anti-sime´tricas enta˜o A+B e A−B sa˜o anti-sime´tricas.
14. Expresse a matriz

 3 1 8− 4 − 9 2
6 − 5 1

 como soma de uma matriz sime´trica e
outra anti-sime´trica.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 29
2.5 Inversa˜o de Matrizes
Temos visto, nas sec¸o˜es anteriores, que podemos somar e multiplicar matrizes no
conjunto Mn, onde as matrizes com a soma, tem estrutura de grupo abeliano, e com
o produto e´ so´ um grupoide com unidade I. Enta˜o e´ natural se perguntar: Dada uma
matriz A ∈ Mn quando e´ poss´ıvel achar uma outra matriz B ∈ Mn tal que o produto
AB = I seja a matriz identidade?. Este conceito e´ dado na seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.5.1 Seja A ∈ Mn. Diremos que a matriz A e´ invert´ıvel pela esquerda
(direita) se existe uma matriz C ∈Mn (B ∈Mn) tal que AC = In (BA = In).
A definic¸a˜o anterior diz, que uma matriz quadrada A de ordem n pode ter inversa
so´ pela direita ou so´ inversa pela esquerda, mas se tiver inversa pelos dois lados temos a
seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 2.5.1 Seja A ∈ Mn. Se A tem inversa pela direita B e pela esquerda C,
enta˜o temos que B = C.
Dem. A partir da definic¸a˜o de inversa temos que BA = In e CA = In. Enta˜o,
B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C
�
Desta forma, se a matriz A tem inversa pela direita e pela esquerda, enta˜o a partir da
proposic¸a˜o anterior a matriz A tem uma u´nica inversa, que denotaremos por A−1, e neste
caso diremos que a matriz A e´ invert´ıvel (ou na˜o singular), e A−1A = AA−1 = In,
caso contra´rio diremos que a matriz A na˜o e´ invert´ıvel (ou singular).
Exemplo 2.5.1 Sejam A =
(
3 −5
−4 7
)
e B =
(
7 5
4 3
)
, enta˜o
AB =
(
3 −5
−4 7
)
·
(
7 5
4 3
)
=
(
1 0
0 1
)
= BA. Portanto A−1 =
(
7 5
4 3
)
.
Veja que, nem toda matriz admite inversa, como veremos no seguinte exemplo.
Exemplo 2.5.2 Seja A =
(
3 6
4 8
)
, enta˜o achar a inversa da matriz A significa achar
uma matriz X =
(
x y
z w
)
, tal que AX =
(
3 6
4 8
)
·
(
x y
z w
)
=
(
1 0
0 1
)
, de onde
pode-se obter o seguinte sistema de equac¸o˜es.

3x +6z = 1
3y +6w = 0
4x +8z = 0
4y +8w = 1
O ca´lculo anterior mostra que o sistema e´ inconsistente, logo na˜o e´ poss´ıvel achar x, y, z
nem w, tal que AX = I2. Portanto a matriz A na˜o e´ invert´ıvel.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 30
Proposic¸a˜o 2.5.2 Sejam A,B ∈Mn invers´ıveis. Enta˜o e´ va´lido que :
i) (A−1)−1 = A
ii) (AB)−1 = B−1A−1
Dem. A primeira afirmac¸a˜o decorre diretamente da definic¸a˜o. Enta˜o vejamos a segunda,
na qual basta verificar que: (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA
−1 = AA−1 = In e
de maneira ana´loga verifica-se (B−1A−1)(AB) = In. �
Corola´rio 1 Sejam A1, A2, . . . , An ∈Mn, matrizes invers´ıveis, enta˜o (A1A2 · · ·An)−1 =
A−1n · · ·A−12 A−11
Assim como t´ınhamos definido poteˆncias na multiplicac¸a˜o de matrizes, temos que se
A e´ uma matriz quadrada de ordem n e invertivel, enta˜o por induc¸a˜o segue que A−n =
(A−1)n, onde n ∈ N.
Proposic¸a˜o 2.5.3 Sejam A,B ∈ Mn. Se AB = 0, enta˜o a matriz A = 0 ou a matriz
B = 0 ou ambas A e B na˜o sa˜o invers´ıveis.
Dem. Claramente se a matriz A ou a matriz B e´ zero, o anterior e´ claro, logo so´ resta
assumir que as matrizes A e B sa˜o diferentes da matriz nula. Enta˜o vamos supor que a
matriz A ou a matriz B e´ invert´ıvel, e obtenhamos uma contradic¸a˜o. Consideremos
a matriz A invert´ıvel, logo como
AB = 0⇒ A−1(AB) = A−10⇒ InB = 0
Ou seja que a matriz B e´ nula, o que e´ uma contradic¸a˜o pois ela e´ inversivel. De
forma ana´loga segue que B na˜o pode ser invert´ıvel, portanto as matrizes A e B na˜o sa˜o
invers´ıveis. �
Exemplo 2.5.3 Sejam A =
(
0 0
3 0
)
e B =
(
0 5
0 0
)
, segue que AB = BA =(
0 0
0 0
)
, onde tanto a matriz A como a matriz B sa˜o diferentes da matriz nula, logo
pela proposic¸a˜o anterior podemos concluir que, as matrizes A e B na˜o sa˜o invers´ıveis.
Proposic¸a˜o 2.5.4 Seja A ∈Mn. Se a matriz A tem inversa pela esquerda (ou direita),
enta˜o a matriz A e´ invert´ıvel.
A demonstrac¸a˜o desta proposic¸a˜o sera´ deixada para depois, mas esta proposic¸a˜o diz
que para uma matriz A quadrada de ordem n ser invert´ıvel, basta ter somente inversa ou
pela direita ou pela esquerda.
Recordemos que um sistema de equac¸o˜es da forma:
CAPI´TULO 2. MATRIZES 31


a11x1+ a12x2+ · · · +a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ · · · +a2nxn = b2
...
...
...
...
...
an1x1+ an2x2+ · · · +annxn = bn
Pode ser representado matricialmente pela seguinte equac¸a˜o matricial
AX = B
onde A =


a11 a12 · · · a1n
...
...
...
an1 an2 · · · ann

 e a matriz X =


x1
x2
...
xn

 e B =


b1
b2
...
bn


Se consideramos a matriz anterior A invert´ıvel, a equac¸a˜o matricial AX = B tem uma
u´nica soluc¸a˜o, a saber dada por:
X = A−1B
Que e´ soluc¸a˜o, isto e´ claro, pois e´ so´ substituir na equac¸a˜o matricial X = A−1B em
AX = B, enta˜o mostremos agora, que esta soluc¸a˜o e´ u´nica. Para isto, vamos supor que
na˜o, isto e´, que existe uma outra soluc¸a˜o Y tal que AY = B, enta˜o segue que :
X = A−1B = A−1(AY ) = (A−1A)Y = Y
Portanto a soluc¸a˜o X = A−1B e´ u´nica. Vejamos uma aplicac¸a˜o desta proposic¸a˜o, no
seguinte exemplo pra´tico.
Exemplo 2.5.4 Uma empresa de componentes eletroˆnicos, usa dois tipos de maquinas P
e Q para produzir dois tipos de componentes eletroˆnicos A e B. As maquinas P e Q podem
operar 80 e 60 horas por semana, respectivamente. A maquina P requer duas horas para
produzir o componente eletroˆnico A e quatro horas para produzir o componente eletroˆnico
B. A maquina Q requer treˆs horas para produzir o componente eletroˆnico A, e duas horas
para produzir o componente eletroˆnico B. Estamos interessados em determinar o nu´mero
de unidades de cada componente eletroˆnico produzidos pelas maquinas P e Q, semanais.
Soluc¸a˜o. Seja x o nu´mero de unidades do componente eletroˆnico A e y o nu´mero de
componentes eletroˆnicos B produzidos por semana. Logo, a maquina P gasta 2x horas
para produzir o componente A e 4y horas para produzir o componente B. Se a maquina
trabalha o tempo todo, temos
2x+ 4y = 80
De forma ana´loga a anterior, com a maquina Q temos que
3x+ 2y = 60
CAPI´TULO 2. MATRIZES 32
Enta˜o matricialmente a situac¸a˜o anterior e´ dada por(
2 4
3 2
)(
x
y
)
=
(
80
60
)
Vejamos se a matriz C =
(
2 4
3 2
)
admite inversa, isto e´, se existe uma matriz
(
a b
c d
)
tal que (
2 4
3 2
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
enta˜o temos que C−1 =
( −1/4 1/2
3/8 −1/4
)
, portanto
X =
( −1/4 1/2
3/8 −1/4
)(
80
60
)
=
(
10
15
)
Destaforma, podem ser produzidos dez componentes eletroˆnicos do tipo A semanais e
quinze do tipo B.
Podemos trabalhar outros exemplos de aplicac¸o˜es de matrizes, como e´ dado pelo en-
cobrimento de mensagens. A historia da humanidade mostra a Julio Ce´sar o grande
imperador Romano, como sendo um dos precursores na a´rea de Criptografia, que e´ a
cieˆncia das comunicac¸o˜es secretas, que vem a resolver o seguinte problema:
Transmitir a um destinata´rio de maneira segura uma mensagem ou in-
formac¸a˜o de forma que somente o destinta´rio possa entender o conteu´do, a
pesar de que outras pessoas possam ter acesso a mensagem.
Quando transformamos uma mensagem ou informac¸a˜o, de tal forma que possa ser
entendida somente pelo destinata´rio, diremos que a mensagem ou a informac¸a˜o esta cod-
ificada, e que o destinata´rio conhece a decodificac¸a˜o. Vejamos um exemplo dado pela
historia da humanidade de como o anterior funciona. O Grande Imperador Romano Julio
Ce´sar, usava um deslocamento das letras do alfabeto, de tal forma que a letra A escrevia-se
como D, e os espac¸os entre as palavras colocava-se a letra A. O anterior parece muito facil,
basta conhecer o idioma ou saber ler e escrever bem para codificar e decodifivcar estas
mensagens, mas recordemos que saber ler e escrever nos tempos de Julio Ce´sar era coisa
de muito, mas muito poucos, o que tornava o sistema anterior complexo para a e´poca.
Vejamos o seguinte exemplo: A frase ”Historias Curiosas Na Matema´tica”, escreve-se da
seguinte forma:
KLVWRULDVAFXULRVDVAQDAPDWHPDWLFD
Que ta˜o dif´ıcil ser´ıa para o exercito inimigo decifrar esta mensagem?. Na˜o sabemos
da habilidade dos inimigos de Julio Ce´sar, mas este tipo de codificac¸a˜o na˜o e´ dif´ıcil
descobrir. Basta estudar a frequeˆncia em que as letras aparecem, que varia de idioma para
idioma, e a quantidade de mensagem que voceˆ tem vai ajudar muito para voceˆ descobrir
a decodificac¸a˜o. O anterior da uma ideia para decodificar o co´digo de transposic¸a˜o de
Julio Ce´sar.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 33
Agora, a historia mais recente mostra uma sofisticac¸a˜o na forma de codificar e de-
codificar mensagens. Durante a primeira Guerra Mundial, os Britaˆnicos interceptaram
uma mensagem codificada do ministro de relac¸o˜es Exteriores de Alemanha, Arthur Zim-
mermann, dirigido ao embaixador no Me´xico, Heinrich von Eckardt. Depois de muito
trabalho, os analistas Britaˆnicos conseguiram quebrar a mensagem, e descobriram um
plano por parte do Governo Alema˜o de estimular o Me´xico para participar na guerra
como aliado do Governo Alema˜o. Em contrapartida, o Me´xico recuperaria as terras per-
didas para os Estados Unidos em 1847.
Foi enviado um aviso ao Presidente dos Estados Unidos, Woodrow Wilson, que o
ajudou a decidir pela entrada na guerra imediatamente junto com os aliados. O que prob-
abelmente, acelerou o final da primeira Guerra Mundial. O sistema de codificac¸a˜o alema˜o
estava baseado na teoria de matrizes estudada neste texto. Por exemplo, consideremos as
seguintes matrizes:
A0 =
(
2 3
3 5
)
B0 =
(
5 −3
−3 2
)
que sa˜o tais que:
A0 × B0 =
(
2 3
3 5
)
×
(
5 −3
−3 2
)
=
(
1 0
0 1
)
Vejamos, agora como poder´ıamos usar as operac¸o˜es com matrizes para esconder in-
formac¸o˜es, de uma maneira mais eficiente que a implementada por Julio Ce´sar.
Comencemos por assinar a cada letra do alfabeto um numero, da seguinte forma:
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Codifiquemos a seguinte mensagem:
O Nu´mero e´ a origem de todas as coisas (PLATON)
Comec¸aremos dividindo a mensagem em pares de letras, pois a matriz que estamos
considerando e´ de tamanho 2× 2, como segue:
ON UM ER OE AO RI GE MD ET OD AS AS CO IS AS PL AT ON
Com a divisa˜o anterior, transformaremos os pares de letras, em colunas da seguinte
forma: (
15
14
) (
21
13
) (
5
18
) (
1
15
) (
18
9
) (
7
5
)
(
13
4
) (
5
20
) (
15
4
) (
1
19
) (
1
19
) (
3
15
)
(
9
19
) (
1
19
) (
16
12
) (
1
20
) (
15
14
)
CAPI´TULO 2. MATRIZES 34
Agora usaremos a matriz A0 =
(
2 3
3 5
)
para ocultar a nossa mensagem. Faremos
isto, multiplicando cada uma das nossas colunas pela matriz A0 anterior. Enta˜o temos o
seguinte conjunto de novas colunas:(
72
115
) (
81
128
) (
64
105
) (
47
78
) (
63
99
) (
29
46
)
(
38
59
) (
70
115
) (
42
65
) (
59
98
) (
59
98
) (
51
84
)
(
75
122
) (
59
98
) (
68
108
) (
62
103
) (
57
115
)
Para decodificar a mensagem anterior, procedemos da seguinte forma: Ele, o desti-
nata´rio, deve conhecer a matriz B0 =
(
5 −3
−3 2
)
que e´ a matriz inversa da matriz
A0. Onde ele multiplica as novas colunas pela matriz B0 e podera´ ler a mensagem de
forma correta. Veja que a mensagem anterior e´ muito dif´ıcil de decodificar, se na˜o se
conhecem as matrizes A0 e a matriz B0, mas na˜o e´ imposs´ıvel. Uma outra dificuldade
passa pelo fato de encontrar gente qualificada na a´rea de A´lgebra para poder entender e
poder desenvolver um sistema de decodificac¸a˜o, que poder´ıa ser comparada a dificuldade
de Julio Ce´sar, para encontrar gente qualificada com o idioma. A mensagem dirigida ao
embaixador da Alemanha no Me´xico decodificado pelo servic¸o de inteligencia Britaˆnico,
estava codificado via uma matriz de 6× 6.
De quantas formas podemos escolher a nossa matriz invers´ıvel A0?
A resposta a pergunta anterior e´ dada pelo seguinte Teorema.
Proposic¸a˜o 2.5.5 Uma matriz
(
a b
c d
)
admite inversa com entradas inteiras, se e
somente se, ad− bc e´ 1 ou −1
Dem. Sejam A =
(
a b
c d
)
e B =
(
e f
g h
)
duas matrizes com entradas inteiras, tais
que AB = I, enta˜o det(A) = ad − bc = p e det(B) = eh − gf = q tambe´m sa˜o inteiros.
Portanto, det(AB) = det(A)det(B) = pq = 1 = det(I) e como p, q sa˜o inteiros temos que
p, q sa˜o diviosres de 1, se e somente se, p = q = 1 ou p = q = −1. �
Os exemplos anteriores deixam pelo menos duas perguntas:
• Quando uma matriz tem inversa?ou Como decidir se uma determinada
matriz admite inversa?
• Como calcular esta inversa?, se ela existir.
Um dos objetivos no pro´ximo cap´ıtulo, e´ tentar responder estas duas perguntas.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 35
2.5.1 Exerc´ıcios
1. Verifique se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas, e justifique a sua
resposta.
a) Se A na˜o e´ uma matriz quadrada, enta˜o na˜o existe A−1.
b) Se A,B ∈Mn sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A+B tambe´m e´ invert´ıvel.
c) Se A,B ∈Mn sa˜o matrizes singulares, enta˜o A+B e´ singular.
2. Sejam A,B,C ∈ Mn matrizes invers´ıveis. Enta˜o ache o valor da matriz X nas
seguintes igualdades.
a) A(X + C) = BC
b) B(X + AC) = X + C
3. Seja A ∈ Mn tal que, Am = In para algum inteiro m. Mostre que a matriz A e´
invert´ıvel. Qual e´ a inversa da matriz A?.
4. Seja A ∈Mn. Diremos que a matriz A e´ nilpotente, se existe um inteiro k > 0, tal
que Ak = 0 e Ak−1 6= 0. Mostre que, se a matriz A e´ nilpotente, enta˜o a matriz A
na˜o e´ invert´ıvel.
5. Sejam A =
(
2 5
1 3
)
e B =
(
3
2
)
. Ache a matriz X que satisfaz a seguinte
equac¸a˜o : AX = B
6. Use a matriz A do exerc´ıcio anterior para calcular A−2 e A−3.
7. Calcule a inversa da matriz A ∈Mn diagonal:
A =
{
aij 6= 0 se i = j
aij = 0 se i 6= j
8. Seja A =
(
a b
c d
)
. Mostre que A e´ invert´ıvel se ∆ = ad− bc 6= 0 e calcule A−1.
9. Seja A ∈Mn.
a) Se A3 = 0 enta˜o mostre que I − A e´ uma matriz invert´ıvel.
b) Em geral, se An = 0 para algum n ∈ N, enta˜o mostre que a matriz I − A e´
invert´ıvel.
c) Suponha que A3 −A− I = 0. Enta˜o mostre que a matriz A e´ invert´ıvel.
10. Seja A =
(
cosθ −senθ
senθ cosθ)
. Mostre que A2 =
(
cos2θ −sen2θ
sen2θ cos2θ
)
. Use induc¸ao
para determinar An, onde n ∈ N.
CAPI´TULO 2. MATRIZES 36
11. Use sistema de Julio Ce´sar para decodificar a seguinte mensagem:
HVWXGDUAPHAIDCAEHP
12. Decodifique a seguinte mensagem:(
23
14
) (
89
52
) (
67
43
) (
103
52
) (
11
6
) (
39
20
)
(
45
21
) (
16
9
) (
39
20
) (
51
30
) (
43
24
) (
56
37
)
Cap´ıtulo 3
Sistemas de Equac¸o˜es e Inversa˜o de
Matrizes
3.1 Forma Reduzida de Matrizes
Vimos, no final do cap´ıtulo anterior, a importaˆncia da existeˆncia de matriz inversa
na resoluc¸a˜o de sistema de equac¸o˜es lineares, como ilustra o seguinte exemplo:{
2x +4y = 80
3x +2y = 60
fazendo uso da notac¸a˜o matricial segue que:(
2 4
3 2
)(
x
y
)
=
(
80
60
)
enta˜o, calculando a inversa da matriz
(
2 4
3 2
)−1
=
( −1/4 1/2
3/8 −1/4
)
, a soluc¸a˜o do
sistema linear anterior e´ dada por :
X =
(
x
y
)
=
( −1/4 1/2
3/8 −1/4
)(
80
60
)
=
(
10
15
)
Veja que a soluc¸a˜o que encontramos no problema acima, temos feito uso do ca´lculo da
inversa da matriz
(
2 4
3 2
)
. Esta e´ a u´nica forma de calcular o conjunto soluc¸a˜o
de sistemas de equac¸o˜es lineares?, e se tivermos uma outra maneira de calcular o
conjunto de soluc¸o˜es do sistema linear, como modificando o sistema original. Sera´ que
o conjunto de soluc¸o˜es do sistema de equac¸o˜es lineares e´ o mesmo?. Sera´ que
e´ possivel transformasr este sistema de equac¸o˜es lineares num outro muito
mais simples?, e como poderia ser feito isto?. Sera´ que o conjunto de soluc¸o˜es
do sistema inicial e o do sistema transformado coincidem?. A partir do exemplo
37
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 38
anterior podemos mostrar o seguinte proscesso de resolver o mesmo sistema de equac¸o˜es
lineares, para tentar responder alumas das perguntas feitas anteriormente:{
L1 : 2x +4y = 80
L2 : 3x +2y = 60
Se multiplicarmos L1 por
1
2
temos o seguinte novo sistema de equac¸o˜es :{
L1 : x +2y = 40
L2 : 3x +2y = 60
A seguir, podemos multiplicar a primeira equac¸a˜o do sistema L1 por −3 e somar com
a segunda equac¸a˜o L2, desta forma obtemos o seguinte sistema:{
L1 : x +2y = 40
L2 : 0x −4y = −60
Agora, se multiplicarmos a segunda equac¸a˜o L2 por
−1
4
temos o seguinte sistema de
equac¸o˜es: {
L1 : x +2y = 40
L2 : 0x +y = 15
Finalmente, se multiplicamos a segunda equac¸a˜o L2 por −2 e somamos com L1 temos:{
L1 : x +0y = 10
L2 : 0x +y = 15
Observe que, o conjunto soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es acima e´ o mesmo encontrado
fazendo uso do ca´lculo de inversa. O me´todo descrito no exemplo e´ conhecido como o
me´todo de Gauss1 para resolver sistemas de equac¸o˜es. Veja que se mudarmos de ordem
as equac¸o˜es anteriores ou, se multiplicamos a igualdade por uma constante na˜o nula as
soluc¸o˜es do sistema continuam sendo as mesmas, enta˜o consideremos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.1.1 Chamaremos de operac¸o˜es elementares num sistema de equac¸o˜es lin-
eares, as seguintes :
a) Trocar a ordem das equac¸o˜es do sistema .
b) Multipilicar uma equac¸a˜o do sistema por uma escalar na˜o nulo.
c) Somar a uma equac¸a˜o do sistema o mu´ltiplo escalar de outra equac¸a˜o do sistema.
Veja que as operac¸o˜es descritas na definic¸a˜o anterior, diz que as novas equac¸o˜es resul-
tantes, depois de aplicar estas operac¸o˜es elementares, sa˜o somas e multiplos escalares das
equac¸o˜es originais, ou sa˜o uma ”combinac¸a˜o linear”das equac¸o˜es anteriores. Esta noc¸a˜o
de combinac¸a˜o linear, sera´ mostrada com mais claridade e detalhe no cap´ıtulo 4. Mas
temos, a seguinte definic¸a˜o:
1Carl Friederich Gauss(1777-1855), e´ considerado por muitos matema´ticos , como o maior Matema´tico
que ja´ existiu, e por muitos denominado o ”Principe da Matematica”
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 39
Definic¸a˜o 3.1.2 Diremos que dois sistemas de equac¸o˜es lineares A e B sa˜o equiva-
lentes quando cada equac¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares B pode-se obter como uma
combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es do sistema de equac¸o˜es lineares A, ou vice-versa.
Enta˜o temos a seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 3.1.1 Sistemas equivalentes de equac¸o˜es lineares, tem o mesmo conjunto de
soluc¸o˜es.
Fazendo uso da notac¸a˜o matricial, introduzida no cap´ıtulo anterior, no exemplo acima,
temos a seguinte sequeˆncia de novas matrizes associada a cada um dos novos sistemas de
equac¸o˜es lineares obtidos no comenc¸o deste cap´ıtulo.{
L1 : 2x +4y = 80
L2 : 3x +2y = 60
(
2 4 : 80
3 2 : 60
)
{
L1 : x +2y = 40
L2 : 3x +2y = 60
(
1 2 : 40
3 2 : 60
)
{
L1 : x +2y = 40
L2 : 0x −4y = −60
(
1 2 : 40
0 −4 : −60
)
{
L1 : x +2y = 40
L2 : 0x +y = 15
(
1 2 : 40
0 1 : 15
)
{
L1 : x +0y = 10
L2 : 0x +y = 15
(
1 0 : 10
0 1 : 15
)
A partir do anterior temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.1.3 Seja A ∈ Mn,m. As seguintes operac¸o˜es efetuadas na matriz A, sa˜o
chamadas de operac¸o˜es elementares de linhas :
ǫ1) Transposic¸a˜o de duas linhas da matriz A.
ǫ2) Multiplicac¸a˜o de uma linha da matriz A por um escalar na˜o nulo.
ǫ3) Subtituic¸a˜o da r-e´sima linha da matriz A pela linha r-e´sima linha da matriz A mais
c vezes a linha s da matriz A, onde 0 6= c ∈ K e r 6= s.
Veja que estas operac¸o˜es elementares nas linhas podem ser vistas como aplicac¸o˜es
ǫi : Mn,m−→Mn,m, onde i = 1, 2, 3 na definic¸a˜o anterior. Neste sentido, para cada
operac¸a˜o elementar ǫi existe uma operac¸a˜o elementar do mesmo tipo ǫi
′ tal que
ǫi(ǫi
′(A)) = A = ǫi
′(ǫi(A))
para todo i = 1, 2, 3.
No decorrer deste texto, sempre trabalharemos com operac¸o˜es elementares
nas linhas, com isto queremos destacar que e´ possivel fazer um trabalho sim-
ilhar considerando operac¸o˜es elementares somente nas colunas.
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 40
Definic¸a˜o 3.1.4 Sejam A,B ∈ Mn,m. Diremos que a matriz A e´ equivalente a matriz
B, se existe um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares α1, α2, · · · , αn tal que
α1α2 · · ·αn(A) = B
Que denotaremos por A ∼ B.
Agora vamos responder a uma das perguntas feitas anteriormente, a saber, dados
dois sistemas de equac¸o˜es lineares equivalentes, eles tem o mesmo conjunto
soluc¸a˜o?, por meio da seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 3.1.2 Sejam [A : Y ], [B : Z] duas matrizes aumentadas correspondentes a
sistemas de equac¸o˜es lineares de n equac¸o˜es e m indeterminadas. Se [A : Y ] ∼ [B : Z],
enta˜o os sistemas de equac¸o˜es AX = Y e BX = Z teˆm o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Dem. Sejam [A : Y ], [B : Z] matrizes aumentadas tais que [A : Y ] ∼ [B : Z], enta˜o existe
uma sucessa˜o finita de operac¸o˜es elementares tal que leva a matriz [A : Y ] na matriz
[B : Z], isto e´,
[A : Y ] = [A0 : Y0] →֒ [A1 : Y1] →֒ · · · →֒ [Ak : Yk] = [B : Z]
Observe que se conseguirmos provar a proposic¸a˜o para um dos passos, isto e´, que o
sistema AjX = Yj e o sistema Aj+1X = Yj+1, sa˜o equivalentes, enta˜o tera˜o o mesmo
conjunto de soluc¸o˜es, a proposic¸a˜o segue.
Sem perda de generalidade, vamos supor que realizamos uma operac¸a˜o elementar na
matriz [A : Y ] e obtemos a matriz [B : Z], enta˜o temos que as equac¸o˜es do sitema de
equac¸o˜es lineares BX = Z sa˜o uma combinac¸a˜o das equac¸o˜es do sistema de equac¸o˜es
lineares de AX = Y , e vice versa, pois recordemos que existem as operac¸o˜es elentares
inversas. Portanto, os sistemas sa˜o equivalentes, e portanto tem o mesmo conjunto de
soluc¸o˜es como quer´ıamos. �
Consideremos o seguinte exemplo.
Exemplo 3.1.1 Sejam o sistema de equac¸o˜es lineares e a matriz aumentada considerada
anteriormente, {
L1 : 2x +4y = 80
L2 : 3x +2y = 60
(
2 4 : 80
3 2 : 60
)
onde temos mostradoa seguinte sequeˆncia de passos, usando operac¸o˜es elementares na
matriz aumentada, como segue:(
2 4 : 80
3 2 : 60
)
→֒
1
2
L1
(
1 2 : 40
3 2 : 60
)
→֒
−3L1+L2
(
1 2 : 40
0 −4 : −60
)
→֒
−1
4
L2(
1 2 : 40
0 1 : 15
)
→֒
−2L2+L1
(
1 0 : 10
0 1 : 15
)
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 41
Como temos visto anteriormente, o conjunto soluc¸a˜o dos sistemas de equac¸o˜es associ-
ados e´ o mesmo, veja que a partir 3.1.2 o conjunto soluc¸a˜o associado a
(
2 4 : 80
3 2 : 60
)
e(
1 2 : 40
3 2 : 60
)
e´ o mesmo, e de maneira ana´loga o conjunto soluc¸a˜o de
(
1 2 : 40
3 2 : 60
)
e o de
(
1 2 : 40
0 −4 : −60
)
tambe´m e´ o mesmo. Portanto, podemos concluir que o con-
junto soluc¸a˜o associado a
(
2 4 : 80
3 2 : 60
)
e
(
1 0 : 10
0 1 : 15
)
e´ o mesmo, como queriamos
mostrar.
Definic¸a˜o 3.1.5 Seja R ∈ Mn,m. Diremos que a matriz R e´ escalonada reduzida
por linhas se:
a) O primeiro elemento na˜o nulo em cada linha na˜o nula da matriz R e´ 1 (de esquerda
para direita).
b) Cada coluna da matriz R que tem o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha tem
todos os outros elementos da coluna nulos.
c) Todas as linhas nulas da matriz R (se existirem) esta˜o abaixo das linhas na˜o nulas da
matriz R.
d) Se as linhas 1, ..., r sa˜o as linhas na˜o nulas da matriz R, e o primeiro elemento na˜o
nulo da linha i ocorre na ji-e´sima coluna (i = 1, ..., r), enta˜o o primeiro elemento
na˜o nulo da linha i+ 1 ocorre na coluna ji+1, onde ji+1 > ji.
Na maioria dos textos de A´lgebra Linear, os item a, b da definic¸a˜o anterior correspon-
dem ao conceito de matriz reduzida. A importaˆncia do conceito anterior esta´ dado na
seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 3.1.3 Seja A ∈ Mn,m. Enta˜o a matriz A e´ equivalente a uma matriz
escalonada reduzida por linha.
Dem. Seja A ∈ Mn,m. Se a matriz A tiver alguma linha nula, enta˜o fazendo uso das
transposic¸o˜es de linhas podemos colocar estas linhas na parte inferior da matriz A, ob-
tendo assim uma nova matriz que denotaremos por A1, enta˜o podemos assumir que a
matriz A e´ equivalente a matriz A1. Sem perda de generalidade, podemos supor que a
primeira linha de A1 na˜o e´ nula. Se o primeiro elemento na˜o nulo desta linha na˜o nula
estiver na coluna j, digamos a1j e na˜o foˆr 1, enta˜o podemos aplicar a segunda operac¸a˜o
elementar multiplicando a primeira linha por 1/a1j . Agora podemos ter que o primeiro
novo termo na˜o nulo da nova matriz e´ 1, enta˜o fazendo uso da terceira operac¸a˜o elemen-
tar podemos anular todos o termos abaixo deste 1, que como a matriz e´ finita, temos um
nu´nero finito de operac¸o˜es elementares a serem feitas. De maneira ana´loga ao anterior
procedemos com a segunda linha, mas desta vez anulamos tambe´m os elementos na˜o nulos
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 42
acima deste termo igual a 1, continuando com este processo ate´ a r-e´sima linha na˜o nula.
Claramente, so´ falta agora colocar a matriz para que a condic¸a˜o d seja satisfeita, mas
para isso basta usar transposic¸o˜es de linhas, para colocar as linhas na˜o nulas em ordem
crescente. Finalmente temos que a matriz A e´ equivalente a uma matriz R escalonada
reduzida, como quer´ıamos. �
Como consequeˆncia da proposic¸a˜o anterior, temos a seguinte aplicac¸a˜o.
Proposic¸a˜o 3.1.4 Seja A ∈ Mn,m tal que n < m, enta˜o o sistema homogeneˆo AX = 0
admite uma soluc¸a˜o na˜o trivial.
Dem. Como toda matriz A e´ equivalente a uma matriz R escalonada reduzida, pela
proposic¸a˜o anterior segue que os sistemas homogeneˆos AX = 0 e RX = 0 admitem o
mesmo conjunto de soluc¸o˜es. Logo estudemos o sistema RX = 0. Seja r o nu´mero de
linhas na˜o nulas da matriz R, logo segue que r ≤ n < m, portanto teremos no sistema
homogeneˆo mais indeterminadas que equac¸o˜es, logo admite soluc¸o˜es na˜o triviais, ou seja
que o sistema homogeneˆo AX = 0 admite soluc¸o˜es na˜o triviais. �
Veja que esta proposic¸a˜o diz que um sistema homogeˆneo da forma AX = 0, onde
A ∈ Mn,m, so´ tem soluc¸a˜o trivial se o nu´mero de linhas da matriz A e´ menor ou igual
ao nu´mero de colunas desta matriz. Esta observac¸a˜o e´ muito importante para a seguinte
proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 3.1.5 Seja A ∈Mn, e se o sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneo AX = 0
admite so´ a soluc¸a˜o trivial, enta˜o a matriz A e´ equivalente a matriz identidade In.
Dem. Seja R a matriz escalonada reduzida associada a matriz A, e r o nu´mero de linhas
na˜o nulas da matriz R. Como o sistema AX = 0 so´ admite a soluc¸a˜o trivial, enta˜o o
sistema RX = 0 tambem tem so´ a soluc¸a˜o trivial. Enta˜o, pela proposic¸a˜o 3.1.4 temos
que r ≥ n, mas por outro lado r ≤ n que e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas da matriz R,
portanto r = n. Logo, a partir da definic¸a˜o de R temos que R = In, como quer´ıamos. �
Exemplo 3.1.2 Consideremos o seguinte sistema homogeˆneo:

x +y +z = 0
2y +z = 0
y +z = 0
admite somente a soluc¸a˜o trivial, enta˜o e´ equivalente ao sistema homogeˆneo:

x = 0
y = 0
z = 0
onde a matriz R neste caso e´ a matriz identidade I3.
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 43
Consideremos agora o caso na˜o homogeˆneo. Seja [A : Y ] a matriz aumentada associada
ao sistema na˜o homogeˆneo AX = Y , e seja [R : Z] a matriz escalonada reduzida associada
a [A : Y ], e claro!!, associada ao sistema na˜o homogeˆneo RX = Z. Como ambos sistemas
teˆm o mesmo conjunto de soluc¸o˜es, basta estudar o sistema RX = Z. Seja r o nu´mero de
linhas na˜o nulas da matriz R, enta˜o segue que existem (n− r) indeterminadas em func¸a˜o
das r outras indeterminadas x1, ..., xr e escalares z1, ..., zr. Logo, as (n − r) equac¸o˜es
restantes sa˜o da forma :
0 = zr+1
...
...
0 = zn
Portanto, para um sistema na˜o homogeˆneo ter soluc¸a˜o, ou ser consistente, temos que
zi = 0 para todo i > r, caso contra´rio, diremos que o sistema de equac¸o˜es lineares e´
inconsistente. Para exemplificar o anterior vejamos o seguinte exemplo.
Exemplo 3.1.3 Consideremos o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneo:

2x +y +z = 7
y +z = 4
x = 1
Logo, a matriz aumentada e reduzida escalonada associada e´ dada por :
 2 1 1 70 1 1 4
1 0 0 1

 →֒
L1∼L3

 1 0 0 10 1 1 4
2 1 1 7

 →֒
−2L1+L3

 1 0 0 10 1 1 4
0 1 1 5

 →֒
−L2+L3

 1 0 0 10 1 1 4
0 0 0 1


onde a u´ltima matriz

 1 0 0 10 1 1 4
0 0 0 1

 e´ escalonada reduzida, associada a matriz A, do
sistema AX = B, dado acima. Pela u´ltima linha desta matriz, que representa a equac¸a˜o
0x+ 0y + 0z = 1, vemos que o sistema na˜o homogeˆneo AX = Y e´ inconsistente.
Em geral temos o seguinte, dado um sistema na˜o homogeˆneo da forma AX = B
onde A ∈ Mn e X,B ∈ Mn,1, temos calaramente um sistema homogeˆneo associado, a
saber, AX = 0. Sera´ que existe relac¸a˜o entre os conjuntos de soluc¸o˜es dos dois sistemas
anteriores? (Homogeˆneo e na˜o Homogeˆneo). Vamos supor que o sistema na˜o homogeˆneo
admite uma soluc¸a˜o, digamos v ∈ Mn,1 tal que Av = B. Se considerarmos agora uma
soluc¸a˜o u ∈ Mn,1 qualquer do sistema homogeˆneo AX = 0, e´ simples verificar que u+ v
tambem e´ uma soluc¸a˜o do sistema na˜o homogeˆneo AX = B. Enta˜o temos o seguinte
resultado.
CAPI´TULO 3. SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES E INVERSA˜O DE MATRIZES 44
Proposic¸a˜o 3.1.6 Seja v ∈Mn,1 uma soluc¸a˜o do sistema na˜o homogeˆneo AX = B onde
A ∈Mn e X,B ∈Mn,1. Enta˜o toda soluc¸a˜o do sistema na˜o homogeˆneo e´ da forma v+u
onde u ∈M1,n percorre as soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo AX = 0 associado a AX = B.
Dem. So´ resta mostrar que toda soluc¸a˜o do sistema na˜o homogeˆneo AX = B e´ da forma
v+u onde v e´ a soluc¸a˜o particular fixa do sistema na˜o homogeˆnea, e u percorre as soluc¸o˜es
do sistema homogeˆneo AX = 0. Seja z ∈M1,n uma soluc¸a˜o