projeto de controle de arfagem

Prévia do material em texto

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
 
Projeto de um sistema de controle de 
arfagem de aeronave. 
 
 
 
 
SMM -0168 : Sistemas de Controle de Aeronave I 
 
Professor Dr. Eduardo Morgado Belo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.
o
 Semestre – 2010 
 
 
 
Índice 
1 Método do Lugar das Raízes para Projeto de Controlador de Arfagem ......................................................... 3 
1.1 Modelagem do Controlador de Arfagem ............................................................................................... 3 
1.1.1 Equações do sistema e configuração física ....................................................................................... 3 
1.2 Requisitos de Projeto............................................................................................................................. 4 
1.3 Função de Transferência e Espaço de Estados ...................................................................................... 4 
1.3.1 Função de Transferência ................................................................................................................... 5 
1.3.2 Espaço de Estados ............................................................................................................................. 5 
1.4 Representação em MATLAB e resposta de malha aberta ..................................................................... 5 
1.5 Função de Transferência de Malha Fechada ......................................................................................... 7 
1.6 Gráfico do Lugar das Raízes Original ................................................................................................... 8 
1.7 Compensador de Avanço ...................................................................................................................... 9 
2 Resumo de como resolver um problema usando o Método do Lugar das Raízes ......................................... 12 
3 Lista de Variáveis: ........................................................................................................................................ 13 
 
 
Lista de figuras: 
 
Figura 1: Eixos coordenados e forças em uma aeronave. ....................................................................................... 3 
Figura 2: Diagrama de blocos de sistema de realimentação negativa. .................................................................... 7 
 
 
Lista de Gráficos: 
Gráfico 1: Resposta de malha aberta. ..................................................................................................................... 6 
Gráfico 3: Lugar das raízes ..................................................................................................................................... 9 
Gráfico 4: Lugar das raízes com compensador de avanço incorporado. ............................................................... 11 
Gráfico 5: Resposta a entrada degrau ................................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Método do Lugar das Raízes para Projeto 
de Controlador de Arfagem 
1.1 Modelagem do Controlador de Arfagem 
1.1.1 Equações do sistema e configuração física 
As equações que governam o movimento de um avião são um conjunto muito 
complicado de seis equações diferenciais acopladas não-lineares. Entretanto, sob 
determinadas suposições, podem ser linearizadas e desacopladas nas equações longitudinais e 
laterais. O controle de arfagem é um problema longitudinal, e neste exemplo, projetaremos 
um sistema de controle automático que controle a arfagem de um avião. 
Os eixos de coordenadas básicos e as forças que agem em um avião são mostrados na 
figura seguir: 
 
Figura 1: Eixos coordenados e forças em uma aeronave. 
Suponha que o avião está em cruzeiro voando a altitude e velocidade constantes; 
assim, a tração e o arrasto se cancelam e a sustentação e peso se compensam. Também, 
suponha que a mudança no ângulo de arfagem não muda a velocidade de um avião sob 
nenhuma circunstância (não é realístico, mas simplifica o problema um bocado). Sob estas 
suposições, as equações longitudinais do movimento de um avião podem ser escritas como: 
q
SenCqCCCCCC
i
q
CSenCqCCC
eewLMMDLM
yy
LewLDL
eq
eq




)()]1([)]({[
2
)()
1
()([
0
 (1) 
Para este sistema, a entrada será o ângulo da deflexão de profundor , e a saída será 
o ângulo de arfagem . 
1.2 Requisitos de Projeto 
A etapa seguinte é definir alguns critérios do projeto. Queremos projetar um sistema de 
controle realimentado de modo que a saída tenha um sobre-sinal menor que 10%, o tempo de 
subida menor que 2 segundos, um tempo de estabelecimento menor que 10 segundos, e o erro 
de estado estacionário menor que 2%. Para o exemplo, se a entrada for de 0,2 rad (11 graus), 
então o ângulo d e arfagem não excederá 0,22 rad, alcança 0,2 rad dentro de 2 segundos, 
estabelece-se a 2% do estado estacionário dentro de 10 segundos, e permanece dentro de 
0,196 a 0,204 rad no estado estacionário. 
 Sobre-sinal: menor que 10% 
 Tempo de subida: menor que 2 segundos 
 Tempo de estabelecimento: menor que 10 segundos 
 Erro de regime estacionário: menor que 2% 
1.3 Função de Transferência e Espaço de Estados 
Antes de encontrar a função de transferência e o modelo de espaço de estados, vamos 
assumir alguns valores numéricos para simplificar as equações de modelagem (1) mostradas 
acima. 
q
qq
q
e
e
7,56
0203,0426,00139,0
232,07,56313,0



 (2) 
Nota: estes valores são referentes a um avião comercial Boeing obtidos de literatura. 
1.3.1 Função de Transferência 
Para encontrar a função de transferência do sistema acima, necessitamos aplicar a 
transformada de Laplace às equações de modelagem (2) acima. Recordemos de aulas 
passadas que para encontrar uma função de transferência, as condições iniciais devem ser 
supostas zero. As transformadas de Laplace das equações acima são mostradas abaixo. 
)(7,56)(
)(0203,0)(426,0)(0139,0)(
)(232,0)(7,56)(313,0)(
sqss
ssqsssq
ssqsss
e
e
 
Depois de algumas manipulações algébricas, obtém-se a seguinte função de 
transferência. 
sss
s
s
s
e 921,0739,0
1774,0151,1
)(
)(
23
 
1.3.2 Espaço de Estados 
Sabendo que as equações de modelagem (2) estão já na forma de variáveis de estado, 
podemos reescrevê-las no modelo do espaço de estados. 
][
0
0203,0
232,0
07,560
0426,00139,0
07,56313,0
eqq



 
Uma vez que a saída é o ângulo de arfagem, a equação de saída é: 
][]0[]100[ eqy
 
1.4 Representação em MATLAB e resposta de malha aberta 
Agora, estamos prontos para observar as características do sistema usando MATLAB. 
Primeiramente, vamos obter a resposta do sistema de malha aberta a uma entrada degrau e 
determinar que características do sistema necessitam ser melhoradas. Seja a entrada δe 
(deltae) 0,2 rad (11 graus). Crie um novo arquivo.m e incorpore os seguintes comandos. 
deltae=0.2; 
num=[1.151 0.1774]; 
den=[1 0.739 0.921 0]; 
pitch=tf(num,den); 
[y,t]=step(deltae*pitch,20); 
plot(t,y) 
axis([0 20 0 1]) 
grid 
title('Resposta a degrau unitário do sistema em malha aberta') 
xlabel('t [seg]') 
ylabel('Ângulo de arfagem [rad]') 
 
Rodando este arquivo.m na janela de comando do MATLAB, deve ser gerado o 
gráfico que segue. 
 
 
Gráfico 1: Resposta de malha aberta. 
Do gráfico, vê-se que a resposta de malha aberta não satisfaz os critérios de projeto. 
De fato a resposta de malha abertaé instável. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Resposta a degrau unitário do sistema em malha aberta
t [seg]
Ân
gu
lo 
de
 a
rfa
ge
m
 [r
ad
]
Se observar, o arquivo.m acima usa os valores numéricos da função de transferência. 
Para usar o modelo de espaço de estados, incorpore os seguintes comandos em um novo 
arquivo.m (em vez desse mostrado acima) e rode-os na janela do comando. 
deltae=0.2; 
A=[-0.313 56.7 0; -0.0139 -0.426 0; 0 56.7 0]; 
B=[0.232; 0.0203; 0]; 
C=[0 0 1]; 
D=[0]; 
pitch=ss(A,B,C,D); 
[y,t]=step(deltae*pitch,20); 
plot(t,y) 
axis([0 20 0 1]) 
grid 
title('Resposta a degrau unitário do sistema em malha aberta') 
xlabel('t [seg]') 
ylabel('Ângulo de arfagem [rad]') 
 
Deverá obter-se a mesma resposta que aquela mostrada acima. 
1.5 Função de Transferência de Malha Fechada 
Para resolver este problema, um sistema de controle com realimentação será montado 
para melhorar o desempenho do sistema. A figura mostrada abaixo é o diagrama de blocos de 
um sistema típico com realimentação unitária negativa. 
 
Figura 2: Diagrama de blocos de sistema de realimentação negativa. 
Um controlador necessita ser projetado de modo que a resposta a entrada degrau 
satisfaça a todos os requisitos do projeto. Diversos métodos diferentes para projetar um 
controlador podem ser aplicados e entre eles está o do Lugar das Raízes como será visto a 
seguir. 
A função de transferência de malha aberta, conforme mostrado acima, é: 
sss
s
s
s
e 921,0739,0
1774,0151,1
)(
)(
23
 
A entrada (ângulo de deflexão do profundor, δe (deltae) é 0,2 rad (11 graus), e a saída 
o ângulo de arfagem θ (theta). 
Relembrando, os requisitos de projeto são: 
 Sobre-sinal: menor que 10% 
 Tempo de subida: menor que 2 segundos 
 Tempo de estabelecimento: menor que 10 segundos 
 Erro de regime estacionário: menor que 2% 
1.6 Gráfico do Lugar das Raízes Original 
Recorde que um gráfico do lugar das raízes mostra todas as posições possíveis dos 
pólos de malha fechada para um controlador proporcional puro. Uma vez que nem todos os 
pólos são aceitáveis, a função do MATLAB chamada sgrid deve ser usada para encontrar 
uma região aceitável do lugar. Esta função sgrid requer dois argumentos: freqüência natural 
(ωn) e fator (ou razão) de amortecimento ζ (zeta). Estes dois argumentos podem ser 
determinados a partir do tempo de subida, do tempo de estabelecimento e dos requisitos de 
sobre-sinal conforme as três equações mostradas abaixo. 
s
n
t
6.4
; 
r
n
t
8.1
; 
2
2
)/(ln1
)/(ln
p
p
M
M 
onde: 
ωn = frequência natural 
ζ = (zeta)fator de amortecimento 
ts = tempo de estabelecimento 
tr = tempo de subida 
Mp = máximo sobre-sinal 
Destas três equações, podemos determinar que a frequência natural (ωn) deve ser 
maior que 0,9 e o fator de amortecimento ζ (zeta) deve ser maior que 0,52. Geremos um 
gráfico do lugar das raízes e usemos o comando sgrid para encontrar a região aceitável do 
lugar. Criemos um arquivo.m novo com os seguintes comandos: 
num=[1.151 0.1774]; 
den=[1 0.739 0.921 0]; 
plant=tf(num,den); 
Wn=0.9; 
zeta=0.52; 
rlocus (plant) 
sgrid (zeta,Wn) 
axis ([-1 0 -2.5 2.5]) 
 
Rodemos este arquivo.m na janela de comando do MATLAB. Dever-se-á ver o 
gráfico do lugar das raízes similar ao mostrado a seguir: 
 
Gráfico 2: Lugar das raízes 
As duas linhas pontilhadas inclinadas em um ângulo indicam as posições do fator de 
amortecimento constante, e o fator de amortecimento é maior que 0,52 entre estas linhas. A 
semi-elipse pontilhada indica as posições da freqüência natural constante, e a frequência 
natural é maior que 0,9 na parte externa à semi-elipse (esta seria um semicírculo se os eixos 
tivessem a mesma escala). Como pode-se observar, não há nenhum lugar das raízes traçado 
na região desejada. Necessitamos trazer o lugar das raízes para dentro das duas linhas e 
externamente à semi-elipse pontilhada modificando o controlador. 
1.7 Compensador de Avanço 
Necessitamos deslocar o lugar das raízes mais para a esquerda para colocá-lo dentro 
da região desejada. Como visto anteriormente, a introdução de um compensador de avanço 
pode fazer com que o lugar se desloque para a esquerda conforme desejado. Recordemos que 
a função de transferência de um compensador típico de avanço é: 
)(
)(
)(
0
0
ps
zs
KsG c
 
 z0=zero 
 p0=pólo 
 z0 < p0 
Em geral, o zero é colocado perto da semi-elipse da frequência natural desejada, e o 
pólo é colocado a uma distância 3 a 20 vezes o valor da posição do zero. Vamos colocar o 
zero (z0) em 0,9 e o pólo (p0) em 20. Usemos as funções do MATLAB conv e feedback para 
determinar a função de transferência de malha fechada com compensador de avanço. 
Incorporemos os seguintes comandos em um novo arquivo.m e iniciemos a simulação na 
janela de comando do MATLAB. Dever-se-á obter o seguinte gráfico do lugar das raízes. 
num=[1.151 0.1774]; 
den=[1 0.739 0.921 0]; 
plant=tf(num,den); 
 
Zo=0.9; 
Po=20; 
contr=tf([1 Zo],[1 Po]); 
 
Wn=0.9; zeta=0.52; 
rlocus (contr*plant) 
axis ([-3 0 -2 2]) 
sgrid (zeta,Wn) 
 
 
Gráfico 3: Lugar das raízes com compensador de avanço incorporado. 
O lugar das raízes foi gerado na região desejada. Agora, estamos prontos para 
escolher um ganho (K) e gerar a resposta a entrada degrau correspondente a esse ganho. 
Adicionemos os seguintes comandos ao arquivo.m mostrado acima e rodemo-lo na janela do 
comando. Dever-se-á ver um alerta solicitando que se escolha um ponto no lugar das raízes. 
Escolhamos um ponto perto do zero correspondente à frequência natural desejada, isto é, em 
torno de -1 no eixo real. Este ponto deve dar um ganho em torno de 200 e a resposta a entrada 
degrau deverá resultar similar à mostrada abaixo: 
[K, poles]=rlocfind (contr*plant) 
de=0.2; 
sys_cl=feedback (K*contr*plant,1); 
step(sys_cl) 
 
Gráfico 4: Resposta a entrada degrau 
Esta resposta satisfaz todos os requisitos de projeto. 
2 Resumo de como resolver um problema 
usando o Método do Lugar das Raízes 
1. Obter um gráfico do lugar das raízes com o sgrid usando a função de transferência 
da planta original; 
2. Adicionar um compensador de avanço (ou atraso) para trazer o lugar das raízes 
para dentro da região desejada, se necessário; 
3. Escolher um ponto no lugar das raízes e obter o ganho correspondente (K); 
4. Gerar a resposta a entrada degrau com o ganho escolhido (K); 
5. Determinar o que necessita ser mudado analisando a resposta à entrada degrau; 
6. Adicionar ou modificar o compensador de avanço (ou de atraso ou de avanço-
atraso); 
7. Obter o novo lugar das raízes com o comando sgrid ativo; 
8. Repetir os passos 3 a 7 até que se obtenha um resultado satisfatório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Lista de Variáveis: 
 = Razão de arfagem. 
 = Angulo de arfagem. 
 = Angulo de deflexão do profundor . 
 
 = Densidade do ar 
 = Área da asa. 
= Corda media. 
 = Massa da aeronave. 
 
 = Velocidade da aeronave na condição de voo equilibrado. 
= Coeficiente de empuxo. 
= Coeficiente de arrasto. 
= Coeficiente de sustentação. 
= Coeficiente de peso. 
= Coeficiente do momento de arfagem. 
= Angulo de linha de trajetoria de voo. 
= Sigma Constante 
= Momento de inércia normalizado. 
= constante.