Analise Eletrica de Redes - Exerc 4

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TET – Engenharia de Telecomunicações 
TEE-00112 – Análise Elétrica de Redes 
4ª Lista de Exercícios – Resposta em Frequência 
 
 
1) Para o circuito mostrado a seguir, faça o que se pede. 
 
a) Classifique o tipo de filtro implementado pelo circuito. 
b) Determine a frequência de corte (em hertz) do filtro fc. 
c) Calcule o valor da resposta em frequência, Av(jω), para ω = 0, 0,2ωc, ωc e 8ωc. 
d) Se ( ) 500cos [mV]iv t t= ω , escreva a expressão de vo(t), em estado permanente, para ω = 
0, 0,2ωc, ωc e 8ωc. 
 
2) Um resistor de carga RL é ligado em paralelo com o capacitor do circuito do Probl. 1. O 
circuito resultante, que se comporta como um filtro P.B. carregado,está mostrado a seguir. 
 
a) Determine a expressão de Av(s) = Vo(s)/ Vi(s) em função de R, C e RL. 
b) Para que frequência o ganho do circuito é máximo? 
c) Qual é o valor máximo de | Av(jω)|? 
d) Para que frequência ωc tem-se que | Av(jωc)| é 3 dB menor que o valor de ganho máximo? 
e) Suponha que o valor da resistência de carga seja RL = 60 kΩ. Calcule ωc, Av(j0), 
Av(j0,2ωc), Av(jωc) e Av(j8ωc). 
 
3) Use um capacitor de 25 nF para projetar um filtro P.B. passivo com frequência de corte de 
160 krad/s. 
a) Especifique a frequência de corte em hertz. 
b) Determine o valor adequado para o resistor do filtro. 
c) Suponha que a frequência de corte não possa aumentar mais que 8%. Qual é o menor 
valor de resistência de carga que poderia ser ligada aos terminais de saída do filtro? 
d) Se a resistência obtida no item c for ligada aos terminais de saída do filtro, qual será o 
ganho do filtro para DC. 
e) Ainda considerando o valor de RL calculado no item c, calcule a impedância de entrada do 
filtro para DC e para altas frequências. 
4) Use um indutor de 25 mH para projetar um filtro RL passa-baixa passivo de 1a ordem com 
uma frequência de corte de 2500 Hz. 
a) Desenhe o esquema do circuito e especifique o valor do resistor. 
b) Uma carga com uma resistência de 750 Ω é ligada nos terminais de saída do filtro. Qual 
será a nova frequência de corte do filtro em hertz? 
c) Calcule a impedância de entrada do filtro carregado para DC e para altas frequências. 
+
_
C
4nF
VoVi
_
R
20K+
+
R
20K
Vo
+
C
4nF
RL
_
Vi
_
 
5) Para o filtro P.A. mostrado a seguir, faça o que se pede. 
 
a) Calcule a frequência de corte (em hertz) do filtro. 
b) Calcule o valor de Av(jω) para ω = 0, 0,1ωc, ωc e 10ωc. 
c) Se ( ) 800cos [mV]iv t t= ω , escreva a expressão de vo(t), em regime estacionário, para ω 
= 0, 0,1ωc, ωc e 10ωc. 
 
6) Usando um indutor de 25 mH, projete um filtro RL passa-alta passivo de 1a ordem com 
frequência de corte de 160 krad/s. 
a) Desenhe o esquema do circuito e especifique o valor do resistor. 
b) Suponha que a frequência de corte não deva cair abaixo de 150 krad/s. Qual é o menor 
valor de resistência de carga que poderia ser ligada aos terminais de saída do filtro? Neste 
caso, qual será o ganho do filtro para altas frequências? 
 
7) Determine o número de décadas contidas nos seguintes intervalos de frequência: 
a) 10 Hz, 1000 Hz. 
b) 0,5 Hz, 20 Hz. 
c) 1700 rad/s, 4200 rad/s. 
d) 1 rad/s, 16 rad/s 
e) Faixa de frequências do ouvido humano. 
 
8) Esboce o root-locus e o gráfico de Bode do módulo do ganho (assíntotas e curva real 
aproximada) para as seguintes funções de transferência: 
 
a) 
4
4
+s
 
b) 
2
4
+s
s
 
c) )8)(4(
2
++ ss
s
 
d) 
100101
)10(100
2 ++
+
ss
s
 
 
9) Para as F.T. do problema anterior, determine a resposta de saída y(t), em estado 
permanente, para uma entrada dada por )3010sen(5sencos1)( o++++= ttttx . 
 
_
R
40K
+
C
2,5nF
Vi
_
Vo
+
10) Determine as F.T. correspondentes aos seguintes gráficos de Bode (assíntotas). 
 
 
 
11) A série de Fourier de uma onda triangular de amplitude A e frequência angular ω0 é dada 
por 
( )02 2
1,3,5..
8 1( ) sen sen
2
n
nAf t n t
n
∞
=
 pi  
= ω  pi   
∑ . 
a) Calcule a expressão da tensão de saída de um filtro P.B. de 1a ordem com frequência de 
corte igual a 3 kHz e ganho unitário na banda passante, para um sinal de entrada 
triangular de amplitude 2V e frequência igual a 1 kHz. 
b) Idem ao item a, porém o tipo do filtro é P.A.. 
 
12) Considere o circuito linear representado abaixo, composto de uma rede passiva em 
cascata com um amplificador cujo ganho de tensão é Gv =10. 
 
1 2 3 4 
-20 dB/déc. 
-40 dB/déc. 
Ganho 
dB 
0 dB ω 
rad/s 
Vi Vo
R1
450 Ω
R2
50 Ω
L
10 mH
Gv
1 2 3 6 
-20 dB/déc. 40 dB/déc. 
Ganho 
dB 
0 dB ω 
rad/s 
1,4 
a) Calcule a função de transferência do circuito Av(s) = Vo(s) / Vi(s). 
b) Determine os polos e zeros de Av(s) e as suas respectivas frequências naturais. Em 
seguida, calcule o valor da magnitude do ganho em dB e a defasagem de saída nestas 
frequências e, também, para DC e para frequências muito altas. 
c) Trace o gráfico de Bode para a magnitude do ganho (assíntotas e curva real aproximada). 
d) Determine as expressões da tensão de saída vo(t) e da corrente do circuito i(t), em estado 
permanente, para um sinal de entrada dado por [V] 102cos310)( 3 ttvi ⋅+= . 
 
13) Uma caixa acústica deve ser construída utilizando dois alto-falantes (two-way), sendo um 
do tipo woofer para os sons graves (i.e., baixas frequências) e o outro do tipo tweeter para 
os sons agudos (i.e., altas frequências). Para separar os sinais para cada alto-falante 
adequadamente, utiliza-se um divisor de frequências segundo o esquema mostrado 
abaixo. Também estão mostradas as curvas de resposta de frequência desejadas para cada 
seção do divisor. Os alto-falantes têm impedâncias (puramente resistivas) de 8 Ω. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A partir dos gráficos de resposta de frequência fornecidos, determine a função de 
transferência de cada uma das seções do divisor de frequência, A(s) = VA(s)/Vi(s) e B(s) = 
VB(s)/Vi(s). 
b) Calcule as expressões das tensões de saída de cada seção vA(t) e vB(t), em estado 
permanente, para um sinal de entrada dado por [V] )102cos(8)( 3 ttvi ⋅pi= . Nessas 
condições, qual é a potência fornecida para cada alto falante? 
c) Calcule os valores adequados para o capacitor C e para o indutor L do divisor de 
frequências. 
Vi 
+ 
_ 
_ 
VA 
VB 
C
 
L
 
Tweeter
 
Woofer
 
+ 
SA (agudos) 
SB (graves) 
ST (graves + agudos) 
+ 
+ 
_ 
Caixa 
Acústica
 
10 100 1 103 1 104 1 105
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
3
Freqüência [Hz]
| A
(f)
 
| [
dB
]
10 100 1 103 1 104 1 105
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
3
Freqüência [Hz]
| B
(f)
 
| [
dB
]
d) Calcule a impedância de entrada da caixa acústica Z(s). Quais são os valores que essa 
impedância assume para frequências muito baixas, médias (f = 1 KHz) e muito altas? 
e) Calcule a função de transferência total da caixa acústica H(s) = ST(s) / Vi(s), onde ST é a 
intensidade sonora de saída. Considere que a eficiência dos alto-falantes é de 100%, isto 
é, SA = VA e SB = VB. Como você classificaria a resposta de frequência total da caixa 
acústica (passa-baixa, passa-alta, etc.)? 
 
14) Esboce o root-locus e os gráficos de resposta de frequência do módulo do ganho e da 
defasagem para as seguintes funções de transferência com raízes complexas: 
 
a) 2
50
25s s+ +
 (passa-baixa) 
b) 
10010
10
2 ++ ss
s
 (passa-faixa) 
c) 
362
10
2
2
++ ss
s
 (passa-alta) 
d) 
2
50
5 2 25s s+ +
 (passa-baixa de pequeno Q) 
 
15) Deseja-se projetar um circuito ressonante RLC como mostrado a seguir. 
 
Os requisitosde projeto são: 
• Frequência de ressonância: 10 MHz 
• Fator de mérito: 100 
• Tensão DC máxima de entrada: 50 V 
• Corrente DC máxima no indutor: 25 mA 
 
a) Calcule os valores adequados para R, L e C. 
b) Determine as expressões das correntes iR(t), iL(t) e iC(t) em estado permanente, para uma 
tensão de entrada dada por )102cos(510)( 7 ttvi ⋅pi+= [V]. 
 
16) Com a intenção de medir as características de uma bobina, um aluno montou o circuito 
mostrado na figura abaixo e efetuou o procedimento descrito a seguir: 
 
Vi L
R
C
 IR 
 IL IC 
bobina
Lbob Vo
Vg
100 mV
Rg
10 ohms
Rbob
C
100 pF
� Mantendo a amplitude do gerador constante (Vg = 100 mV), o aluno variou a 
frequência do gerador até obter a amplitude máxima na saída do circuito. Os 
resultados obtidos foram: Vo(max) = 0,8 V para fo = 15,9 MHz. 
 
Determine os valores da indutância da bobina Lbob e de sua resistência série Rbob. 
 
17) Para o circuito ativo a seguir, faça o que se pede. 
 
Dados: 
C1 = 5 nF, C2 = 2 nF. 
R1 = 50 Ω, R2 = 5 KΩ. 
µ = 150. 
 
 
a) Determine as funções de transferência parciais do circuito )()()( 11 sVsVsA iv = e 
)()()( 12 sVsVsA ov = . Em seguida calcule a expressão do ganho de tensão total do 
circuito )()()( sVsVsA iov = . 
 
b) Classifique a resposta de frequência do circuito (tipo de filtro). Determine as frequências 
de corte e a largura de faixa do circuito. Qual é valor do ganho de tensão do circuito na 
banda passante em dB? 
 
c) Considere que o circuito esteja em regime senoidal, operando em uma frequência ωo 
dentro da banda passante do circuito. A potência dissipada em R2 é igual a 0,5W. Calcule 
a amplitude da tensão Vi do gerador senoidal. 
 
Respostas selecionadas 
 
1) (a) P.B. (b) fc = 1989,4 Hz 
(c) 
5
0,5
0,49cos(2500 11,3 )( )
0,35cos(12500 45 )
0,06cos(10 82,9 )
o
t
v t
t
t


−
= 
−

−
o
o
o
 
 
2) (a) 1 1( )v
L
L
A s
R RRC
s
R R C
= ⋅
+
+
 
(b) ω = 0; (c) (max) Lv
L
RA
R R
=
+
; (d) Lc
L
R R
R R C
+
ω = 
(e) ωc = 16667 rad/s; Av(j0) = 0,75 
 
3) (a) fc = 25465 Hz; (b) R = 250 Ω; (c) RLmin = 3125 Ω; (d) Av(0) = 0,926 
(e) Z(0) = 3375 Ω, Z(∞) = 250 Ω. 
 
4) (a) R = 393 Ω; (b) fc = 1642 Hz; (c) Z(0) = 258 Ω, Z(∞) =∞. 
 
6) (a) R = 4 kΩ; (b) RLmin = 60 kΩ, Av(∞) = 0,94 
 
7) (a) 2 décadas; (b) 1,602 décadas; (c) 0,393 décadas; (d) 1,204 décadas; 
(e) ≈ 3 décadas. 
-
Vg RL
R1 C2
+
- u.V1
FTCT
+
C1
Vo
+
-
V1 R2 
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
8) (a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
(a) )2,3810sen(37,0)3,515sen(63,0)14cos(97,01)( ooo −+−+−+= tttty 
(b) )8,5110sen(71,3)7,385sen(12,3)76cos(97,0)( ooo +++++= tttty 
(c) )5,9010sen(73,0)7,965sen(41,0)8,158cos(03,0)( ooo +++++= tttty 
(d) )1510sen(4,1)555sen(19,2)9,39cos(11,710)( ooo −+−+−+= tttty 
 
10) (a) )3)(2(
16)(
++
=
ss
sH ; (b) 
)3()2(
6)( 2
2
++
=
ss
s
sH 
 
11) ( )32 2
1,3,5..
16( ) sen sen 2 10
2
n
o n
n
H n
v t n t
n
∞
=
 pi  
= pi ⋅ + ϕ  pi   ∑ 
(a) 
2
3
,
39
n n
nH arctg
n
 
= ϕ = −  
 +
 
(b) 
2
,
2 39
n n
n nH arctg
n
pi  
= ϕ = −  
 +
 
 
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100
15
12
9
6
3
0
3
6
9
12
15
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100
70
60
50
40
30
20
10
0
10
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100 1 103 1 104
40
30
20
10
0
10
20
12) (a) 4
3
105
10510)(
⋅+
⋅+
⋅=
s
s
sAv ; (d) )2,54102cos(5,1110)( 4 o+⋅+= ttvo [V] 
 
13) 3
3
3 102
102)(
102
)(
⋅pi+
⋅pi
=
⋅pi+
=
s
sB
s
s
sA 
3 3
RMS
( ) 4 2 cos(2 10 45 ) [V]; ( ) 4 2 cos(2 10 45 ) [V]
2 W
a b
A B
v t t v t t
P P
= pi ⋅ + = pi ⋅ −
= =
o o
 
mH 3,1; 20 ≅µ≅ LFC 
freq.) as todas(para 8)( Ω=sZ 
→= 1)(sH passa-tudo (Deseja-se ouvir todas as frequências!) 
 
14) (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) (a) R = 2 KΩ, C = 796 pF, L = 318 nH 
(b) mA 5)( =tiR , )90102cos(2505)( 7 o−⋅pi+= ttiL [mA] , 
 
)90102cos(250)( 7 o+⋅pi= ttiC [mA] 
 
16) Lbob = 1 µH, Rbob = 2,5 Ω. 
 
17) 
)104)(10(
106)( 65
8
⋅++
⋅
=
ss
s
sAv 
Passa-faixa, ω1 = 105 rad/s, ω2 = 4⋅106 rad/s, B = 3,9⋅106 rad/s, Avo = 43,5 dB. 
0, 47iV ≅ V. 
 
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100
45
35
25
15
5
5
15
25
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100 1 103
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
H dB ω( )
ω
0.1 1 10 100
30
20
10
0
10
20
30
 
1 10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
frequência
1 10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
frequência
1 10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
frequência
 
 
1 10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
frequência
1 10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
frequência
1 10 100 1 103 1 104 1 105 1 106
frequência