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Universidade ESCOLA DE ENGENHARIA Federal Fluminense ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO III TET-05114 Professora: Leni Joaquim de Matos. Monitor: Gilbert Ponciano Ferreira. 2 GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES ELETROMAGNETISMO III Profa Leni Joaquim de Matos Livro Texto: Advanced Engineering Electromagnetics – Constantine A. Balanis Bibliografia Complementar: Notas de Aula. Conteúdo: • Capítulo I – Revisão e Campos Variáveis e Regimes Harmônicos. • Capítulo II – Eletromagnetismo I. • Capítulo III – Equação da Onda e suas Soluções. • Capítulo IV – Propagação da onda e Polarização. • Capítulo V – Reflexão e Transmissão. Notação de Variáveis e Constantes: B – Densidade de fluxo Magnético. c – Velocidade da luz no vácuo. D – Densidade de fluxo Elétrico. d – diâmetro, distância. f – freqüência. G – Condutância. H – Campo Magnético. h – altura. I – Corrente elétrica. J – Densidade de corrente elétrica Jc – Densidade de corrente de condução. Js – Densidade linear de corrente. L – Indutância. n – Índice de refração. R – Resistência elétrica. r – raio, distância. S – Densidade média de potência. T – Período. t – Tempo. V – Volume, tensão. Vp – Velocidade de propagação. Vf – Velocidade de fase. Vg – Velocidade de grupo. X – Reatância. Y – Admitância. Z – Impedância Zo – Impedância Intrínseca. Zin – Impedância de entrada. ZL – Impedância da Carga. α – Constante de atenuação. 3 β – Constante de fase. γ – Constante de propagação. ε ,ε r e ε o – Permissividade (ou constante dielétrica) absoluta, relativa e no vácuo. η – Impedância intrínseca de um meio. η o – Impedância intrínseca do vácuo. λ – Comprimento de onda. Γ ,Γ / / eΓ? – Coeficiente de Reflexão, paralelo e perpendicular. Γ p – Coeficiente de Reflexão de Potência. µ , µ r e µ o – Permeabilidade magnética, relativa e do vácuo. Qe – Carga Elétrica. qev – Densidade volumétrica de carga elétrica. σ – Condutividade. T , T / / e T ? – Coeficiente de transmissão, paralelo e perpendicular. T p – Coeficiente de Transmissão de Potência. δ – Defasagem entre duas ondas. δ p – Profundidade de penetração. θ – Ângulo, fase. φ ,φ / / e φ? – Fase do coeficiente de reflexão ou transmissão, paralelo e perpendicular. w – Freqüência angular da onda. ∆ – Defasagem entre duas ondas polarizadas. 4 Introdução Sistema Básico de Comunicações A propagação de ondas eletromagnéticas é representada, matematicamente, por algumas equações diferenciais, obtidas a partir das equações de Maxwell. Nesta disciplina serão estudadas ondas eletromagnéticas propagando-se em meios dielétricos e condutores homogêneos, isotrópicos e invariantes no tempo, podendo ser abertos como no ar, por ex., ou confinados como nas linhas de transmissão com ou sem perdas. A dedução das equações diferenciais que descrevem o fenômeno da propagação será o passo inicial para nosso estudo, seguido da caracterização do meio em que elas se propagam e será estudado o seu comportamento nos mesmos. • Tx - Inclui equipamentos de modulação, amplificação, multiplexação, filtragem, realimentação e antena transmissora. • Rx – Inclui equipamentos e processamento de sinal captado pela antena. São equipamentos de demodulação, amplificação, sintonia, demultiplexação, filtragens, redução de ruídos e correção de distorção. • Meio de propagação ou canal – É por onde se propagam as ondas eletromagnéticas. Meio confinado (cabos coaxiais, guia de ondas, fibras óticas, etc.) ou ilimitado (ionosfera, troposfera e espaço livre) 5 Índice 1 - Revisão de Campos Eletromagnéticos Estáticos e Introdução aos Campos Variáveis. 1.1 - Forma Integral e Diferencial.............................................................................. 07 1.2 - Regime Harmônico............................................................................................ 09 1.3 - Tempo de Relaxação.......................................................................................... 10 1.4 - Condições de Contorno...................................................................................... 12 1.5 - Exercícios.......................................................................................................... 18 2 - Ondas Eletromagnéticas Planas. 2.1 - Equação da Onda: Solução para o Campo Elétrico........................................... 19 2.2 - Solução para Campo Magnético....................................................................... 20 2.3 - Regime Harmônico........................................................................................... 20 2.4 - Velocidade de Fase............................................................................................ 20 2.5 - Impedância........................................................................................................ 21 2.6 - Constante de Atenuação e de Fase.................................................................... 22 2.7 - Efeito Pelicular.................................................................................................. 24 2.8 - Índice de Refração............................................................................................ 25 2.9 - Exercícios.......................................................................................................... 26 3 - Vetor Instantâneo e Médio de Poynting. 3.1 – Vetor de Poynting............................................................................................. 28 3.2 - Densidade Média de Potência........................................................................... 28 3.3 - Teorema de Poynting........................................................................................ 29 3.4 - Velocidade de Propagação e de Grupo............................................................. 31 3.5 - Exercícios.......................................................................................................... 34 4 - Polarização da Onda. 4.1 - Linear................................................................................................................ 35 4.2 - Circular. ........................................................................................................... 35 4.3 - Elíptica.............................................................................................................. 37 4.4 - Exercícios. ........................................................................................................ 38 5 - Incidência Normal. 5.1 - Coeficiente de Reflexão e Transmissão............................................................. 40 5.2 - Impedância Generalizada.................................................................................. 42 5.3 - Taxa de Onda Estacionária................................................................................ 43 5.4 - Grade Condutora. ............................................................................................. 48 5.5 - Exercícios.......................................................................................................... 49 6 - Incidência Oblíqua. 6.1 - Lei de Snell....................................................................................................... 52 6.2 - Pol. Perpendicular (Ângulo Crítico e Onda Superficial)..................................53 6.3 - Pol. Paralela (Ângulo de Brewster, Ângulo Crítico e Onda Superficial).......... 54 6.4 - Densidade Média de Potência........................................................................... 56 6 6.5 - Pol. Refletida e Transmitida............................................................................. 58 6.6 - Exercícios.......................................................................................................... 61 7 - Linhas de Transmissão. 7.1 – Introdução. (Mudança das Variáveis)............................................................... 7.2 - Impedância ao Longo da L.T............................................................................. 7.4 - Coeficiente de Reflexão, Transmissão, RVOE................................................. 7.3 - Potência. (Perda de Retorno e Descasamento).................................................. 7.4 - Técnicas de Casamento. (Casadores e Stubs).................................................... 7.5 - Atenuadores....................................................................................................... 7.6 - Carta de Smith................................................................................................... 7.7 - Linhas com Perdas............................................................................................. 7.8 - Exercícios.......................................................................................................... 7 1. Revisão de Campos Eletromagnéticos Estáticos e Introdução aos Campos Variáveis. 1.1 - Forma Integral e Diferencial. 1) E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk= Q e [ Lei de Gauss para o campo elétrico. (1) 2) E + E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d + jjjjjjk =@Z s d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffff A d sjjjjjjk [ Lei de Faraday. (2) 3) E s B jjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk= 0 [ Lei de Gauss para o campo magnético. (3) 4) E + H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d + jjjjjjk =Z s J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk [ Lei de Ampére. (4) Equação da Continuidade. 5) Z s J jjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk=@ dQedtffffffffffff , corrente é a variação da carga no tempo. (5) Usaremos o teorema de Stokes e Gauss para chegarmos às equações na forma diferencial. Teorema de Stokes [ E l V jjjjjjjjjjjjjjk A d + jjjjjjk =Z s 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BV jjjjjjjjjjjjjjk A d sjjjjjjk d sjjjjjjk S d + jjjjjjk Teorema da Divergência [ E s V jjjjjjjjjjjjjjk Ad sjjjjjjk=Z v 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OV jjjjjjjjjjjjjjk A dv d sjjjjjjk V Substituindo os teoremas nas fórmulas para obter as mesmas na forma de operadores: 1) E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk= Z v 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OD jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e A dv = Q e = Z v qev A dv [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = qev (6) 8 2) E + E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d + jjjjjjk = Z s 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e A d sjjjjjjk =Z s @ d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffffhj ikA d sjjjjjjk [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @d Bjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffff (7) 3) E s B jjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk= 0 Q Z v 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OB jjjjjjjjjjjjk t ` ad e A dv = 0 [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkOBjjjjjjjjjjjjk t` a = 0 (8) 4) E + H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d + jjjjjjk = Z s 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e A d sjjjjjjk =Z s J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a (9) 5) E s J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a Ad sjjjjjjk=Z v 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e Adv =Z v @ dq e dt fffffffffff g Adv [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @dqevdtffffffffffff (10) Usando a equação da continuidade, para corrigir as equações para o caso da variação com o tempo, tem-se: • Da 7ª equação, aplicando divergente dos 2 lados: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e = @5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffffhj ik [ 0 = @ d 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjk t` ad e dt ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff [ 0 = 0, devido à eq.(8) • Fazendo o mesmo com a 9ª equação: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e = 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J jjjjjjjjjjk t ` a [ 0 = @ dq ev dt ffffffffffff [ qev = cte no tempo ` a Com isso podemos verificar que qev é constante no tempo, não abrangendo o caso variado com o tempo, assim temos: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J jjjjjjjjjjk t ` a = @ dq ev dt ffffffffffff Q 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J jjjjjjjjjjk t ` a = @ d 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk t` ad e dt fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff Q 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J jjjjjjjjjjk t ` a = @5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffffhj ik 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J jjjjjjjjjjk t ` a + d D jjjjjjjjjjjjjjjjk dt fffffffffffhj ik= 0 Como: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e = 0 Q 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` ad e = 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Jjjjjjjjjjjk t` a+ d Djjjjjjjjjjjjjjjjk t` adtffffffffffffffffffff hj ik 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a + d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffff Essa então é a equação de Ampére para os casos variados com o tempo, onde Jc é a densidade de corrente de condução e d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffff é a densidade de corrente de deslocamento ( Jd ). 9 Temos, assim, as equações (6) a (10) para o caso variado com o tempo, conhecidas como equações de Maxwell: Gauss Q E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk= Q e ^ 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OD jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = qev (11) FaradayQ E + E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d + jjjjjjk = @Z s d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffff A d sjjjjjjk ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @ d Bjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffff (12) GaussQ E s B jjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk = 0 ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjk t` a = 0 (13) Ampére Q E + H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d + jjjjjjk = Z s J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk +Z s d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffff A d sjjjjjjk ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a + d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffff (14) E temos a equação da continuidade: Es J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d sjjjjjjk = @ dQedtffffffffffff ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = @ dq ev dt ffffffffffff (15) 1.2 - Regime Harmônico. Como é de interesse trabalhar com fontes de radiofrequência (RF) e, portanto, com campos co- senoidais, tais campos, antes escritos como E jjjjjjjjjjjjjjk x,t ` a podem ser escritos também como E jjjjjjjjjjjjjjk x ` a cos wt ` a , com isso chegamos na seguinte igualdade: E jjjjjjjjjjjjjjk x ` a cos wt ` a = Re E jjjjjjjjjjjjjjk x ` a A e jwt D E Temos então: E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re E jjjjjjjjjjjjjjk A e jwt B C H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk A e jwt B C B jjjjjjjjjjjjk t ` a = Re B jjjjjjjjjjjjk A e jwt B C D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re D jjjjjjjjjjjjjjjjk A e jwt B C J jjjjjjjjjjk t ` a = Re J jjjjjjjjjjk A e jwt B C Podemos concluir que no regime harmônico temos apenas dependência do espaço, e para diferenciar a abordagem dos dois regimes iremos escrever as grandezas temporais com letras manuscritas e as grandezas harmônicas com letras de forma. Iremos aplicar as transformações nas equações passando-as para o regime harmônico: 1) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = qev Q 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjke jwt = qev e jwt 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OD jjjjjjjjjjjjjjjjk = qev (16) 10 2) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @d Bjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffffQ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjke jwt = @ d B jjjjjjjjjjjjk e jwt b c dt fffffffffffffffffffffffffffff Q 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjkb c e jwt = @ jw BjjjjjjjjjjjjkA e jwt 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk = @ jw Bjjjjjjjjjjjjk (17) 3) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkOBjjjjjjjjjjjjk t` a = 0Q5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjke jwtb c = 0 Q e jwt A5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkOBjjjjjjjjjjjjk= 0 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O B jjjjjjjjjjjjk = 0 (18) 4) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a + d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffff Q5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk B H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk e jwt b c = J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk e jwt + d D jjjjjjjjjjjjjjjjk e jwt b c dt ffffffffffffffffffffffffffffff e jwt 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c = J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk e jwt + jw Djjjjjjjjjjjjjjjjke jwt 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk + jw Djjjjjjjjjjjjjjjjk (19) 5) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @ dqevdtffffffffffffQ5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjke jwt b c = @ d qev e jwt b c dt fffffffffffffffffffffffffffffffff Q e jwt 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c = @ jwqev e jwt 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = @ jwqev (20) Ex 01: Dado um campo harmônico D jjjjjjjjjjjjjjjjk = 2x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk C/m2 e Ejjjjjjjjjjjjjjk= 2e j30º ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk V/m; Passe para o regime temporal. Solução: D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re 2x A e jwt B C [D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 2x A cos wt ` a ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk . E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re 2e j30º A e jwt B C [ E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 2 Re e j 30º + wt ` aB C = 2 cos wt + 30º` a ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk V/m. 1.3 - Tempo de Relaxação. Chama-se tempo de relaxação (Tr), o tempo necessário para que a densidade volumétrica de cargas no meio condutor caia para 37% do seu valor inicial. (Caia de 63% do valor inicial) Uma observação importante é o fato de que, no caso de fontes co-senoidais, a equação (7) será sempre nula, afirmando que o divergente da densidade de fluxo elétrico é sempre nulo, pois, como será visto a seguir, não existe uma densidade volumétrica de cargas que varie co-senoidalmente com o tempo. Assim, das equações (7-10), substituindo D e Jc por εE e σE, respectivamente: ε5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O E jjjjjjjjjjjjjjk = qev e σ5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O E jjjjjjjjjjjjjjk =@ jw qev` a 11 Igualando os divergentes, resulta em: qev ε ffffffff =@ jw qev σ ffffffff (21) Como qev, ε, w e σ são todos reais, de uma forma geral, para aplicações em RF, conclui-se que esta equação só é verdadeira quando qev = 0, o que significa dizer que a densidade volumétrica de cargas elétricas nunca será co-senoidal nesses meios e que: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O E jjjjjjjjjjjjjjk = 0 e 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 0 Passando a equação (21) para o domínio temporal: qev ε ffffffff =@ d dt ffffffqev σ ffffffff → Z qo q1 dq ev qev ffffffffffff =@ Z t0 t 1 σ ε fffffdt → ln q1@ lnq0 =@ σ ε ffffft1@ t0b c ∴ q1 = q0 e @ σ ε ffffff t (22) A equação (22) mostra que, se existe a densidade volumétrica de cargas num meio, a mesma varia exponencialmente com o tempo, tendendo a ir para a sua superfície, após algum tempo. É denominado de tempo de relaxação tr, o intervalo no qual a densidade já caiu para, aproximadamente, 37% (≡ e-1) do seu valor inicial q0. Após 5 tr pode-se dizer que as cargas livres estarão, praticamente todas, na superfície do meio. Da equação (22), observa-se que: tr = ε/σ (23) Ao calcular esse tempo, para diversos meios, chega-se a: MATERIAL TEMPO DE RELAXAÇÃO (tr) porcelana (ótimo dielétrico) ∼ 0,5 s vidro (ótimo dielétrico) ∼ 0,35 s H2O destilada ∼ 3,5 s H2O do mar (bom condutor) ∼ 0,14 ns Cobre (ótimo condutor) ∼ 1,5 x 10-19 s Podemos então escrever as equações de Maxwell no domínio harmônico: 1) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 (24) 2) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk= @ jw Bjjjjjjjjjjjjk (25) 3) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjk= 0 (26) 4) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= Jjjjjjjjjjjk + jw Djjjjjjjjjjjjjjjjk (27) 5) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 (28) 12 Ex 02 (Balanis - 1.3): Determine Qe para o campo D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk 3 + x` a com + = 1 de acordo com a figura: Solução: x E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk A d sjjjjjjk= Q e Q E s1 D jjjjjjjjjjjjjjjjk A ds axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ E s2 D jjjjjjjjjjjjjjjjk A d s @ axjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c D jjjjjjjjjjjjjjjjk S1 Z 0 1Z 0 1 D1 dzdy ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk @Z 0 1Z 0 1 D2 dzdy ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = Q e z y S2 Z 0 1Z 0 1 3 + 1` adzdy axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@Z 0 1Z 0 1 3 + 0` adzdy axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk[ Qe = 1C d sjjjjjjk Devemos ressaltar que nas paredes laterais não há fluxo, somente nos planosx=0 e x=1, pois a normal da superfície faz 90º com o vetor densidade elétrica. Ex 03 (Balanis – 1.4): Determine Qe para o campo Ejjjjjjjjjjjjjjk t` a= a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk @ chffffffffff+ b6εofffffffff3z2@ h2 b cF G dado um cilindro de altura h na direção z e raio a. Solução: E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk A d s azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c = Qe QZ 0 2piZ 0 a εo E azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA dr rdφ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c+Z 0 2piZ 0 a εo E azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA dr rdφ @azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cd e= Qe z Novamente só existe fluxo no topo e na base, na lateral temos: E jjjjjjjjjjjjjjk d sjjjjjjk Z 0 2piZ 0 h εo E a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk A dz adφ aφjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cQ aφjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 y Na base temos @εo Epia2 e no topo εo Epia2 , substituindo o valor do campo temos: Q e = εo pia 2 @ c h ffffffffff+ b6εofffffffff3h2@ h2 b cf g @ @ c h ffffffffff+ b6εofffffffff0@ h2 b cf gHJ IK= εo pia2 3bh26εoffffffffffffffffffffffffffffffffffff[ Qe = pia 2 bh2 2 ffffffffffffffffffffffffC 1.4 – Condições de Contorno. São extremamente importantes nas soluções dos campos, principalmente em meios confinados. Têm-se duas considerações a fazer: a) Os meios são de condutividades finitas: a1) Reescrevendo a eq.(2) a seguir: 13 E + E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a O d+ jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk =@ d dt ffffffZ s B jjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk Q ETg1 = ETg2 Quando a fronteira entre dois meios é tomada, conforme mostra a Figura 1, ao realizar a circulação do campo elétrico, somente as componentes tangenciais terão resultado não nulo e, fazendo ∆h → 0, o fluxo na fronteira será nulo, pois S tende a uma linha. E1 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@E2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 [ ETg1 t` a@ETg2 t` a= 0 [ ETg1 t` a= ETg2 t` a Assim, a componente tangencial de campo elétrico é contínua, através da fronteira entre dois meios quaisquer. En 2 t ` a E2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a E tg2 t ` a n jjjjjjjjk S d sjjjjjjk ∆h ∆x d + jjjjjjk En 1 t ` a E1 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a E tg1 t ` a Figura 1 – Contorno em uma Superfície Fronteira entre os Meios 1 e 2 a2) Da eq.(4), reescrita a seguir: E + H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O d+ jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = d dt ffffffZ s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk +Z s J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk Usando a mesma Figura 1, mas trocando a intensidade elétrica pela magnética, se não há corrente impressa, ou seja, J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 0, semelhante ao caso (a1), quando ∆h → 0, a componente tangencial de campo magnético é contínua, através da fronteira entre dois meios quaisquer, desde que nenhum deles tenha condutividade infinita. Assim: H1 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@H 2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 [ HTg1 t` a= HTg2 t` a a3) Para se determinar a condição de contorno para a componente normal de campo elétrico, repete-se aqui a eq.(1): Meio 1 Meio 2 14 E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk =Q e =Z v qev dv Da eq.(1), juntamente com a Figura 2, o fluxo de Djjjjjjjjjjjjjjjjk t` a através da superfície cúbica só ocorre quando existe o produto escalar com ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk A Quando ∆h → 0, então, como não há fontes entre os dois meios: @Dn 1 t ` ads + Dn 2 ds = 0 [ Dn 1 t` a= Dn 2 t` a [ ε1 E n 1 = ε2 E n 2 Assim, a componente normal de densidade de fluxo elétrico é contínua através da fronteira entre dois meios, desde que nenhum deles seja condutor perfeito. Isto equivale dizer que a componente normal de campo elétrico não é contínua, desde que as permissividades dos meios sejam diferentes. De forma análoga temos que a componente normal de densidade de fluxo magnético é contínua através da fronteira entre dois meios. Dn2 t ` a D2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a d sjjjjjjk d sjjjjjjk Dtg2 t ` a d sjjjjjjk ∆h d sjjjjjjk d sjjjjjjk Dn1 t ` a D1 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a d sjjjjjjk Dtg1 t ` a Figura 2 - Superfície Fronteira Envolvendo os Meios 1 e 2 Resumindo: Para meios com condutividade Finita temos: 1) Dn1 = Dn2 (29) 2) ETg1 = ETg2 (30) 3) Bn 1 = Bn2 (31) 4) HTg1 = HTg2 (32) b) Um dos meios tem condutividade infinita (≡ condutor perfeito): Nesse caso, o condutor perfeito, de condutividade infinita, não terá cargas elétricas livres em seu interior, pois todas “fogem” para a superfície mais externa do condutor, na fronteira. Assim, como cargas negativas são sumidouros de linhas de campo elétrico, haverá uma componente normal de campo elétrico chegando à superfície fronteira, do lado não condutor perfeito, como mostra a Figura 3. Já no meio condutor perfeito, se σ2 = ∞, então E2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 0, senão J 2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = σ 2 AE 2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a seria ∞! Meio 1 Meio 2 15 meio 2 σ2 =∞ meio 1 E1 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a Figura 3 – Fronteira condutor perfeito - meio qualquer. Assim, se o 2º meio é um condutor perfeito, na Figura 3: E2 t ` a = 0 e E Tg 2 t ` a = En2 t ` a = 0 e, se não há fontes impressas na fronteira: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk B E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a =@ d B jjjjjjjjjjjjk t ` a d t ffffffffffffffffffff [ se E2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 0 Q d B2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a d t ffffffffffffffffffffff = 0 Isto ocorre nas situações [ B2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 0 constante em t T Como se está tratando de campos variáveis co-senoidalmente com o tempo, sua derivada não será nula. Assim, a derivada é nula somente se: B2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = 0 [ BTg2 t ` a e Bn 2 t ` a = 0, ou seja: H Tg2 t ` a = H n 2 t ` a = 0 Assim, sendo 2 um condutor perfeito, tem-se, em geral: b1) Para a componente tangencial de campo elétrico: E Tg 1 t ` a = 0 b2) Para a componente tangencial de campo magnético, o fluxo da densidade de corrente é nulo quando ∆h → 0. Já o outro termo da eq.(5), fica: Z s J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = Z ∆x I t ` a ∆h∆x ffffffffffffffffff a? jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk O ∆hdx a? jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = Z ∆x I t ` a ∆x ffffffffffffdx = Z ∆x J s dx Aplicando na eq.(11): Z ∆x H t1 t ` adx = Z ∆x J s t ` adx [ HTg1 t` a= J s t` a onde: J s jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = i ∆x fffffffff a? jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk é a densidade linear de corrente na superfície fronteira, apontado no sentido perpendicular à circulação do campo. 16 b3) Para a componente normal de densidade de fluxo elétrico, tem-se que levar em conta as cargas depositadas na superfície condutora perfeita. Assim, substituindo-se na eq.(1), obtém-se: E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk =Z v qev dv [ E s D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = Z ∆s Q e ∆h A∆s ffffffffffffffffffffff∆h ds = Z ∆s Q e ∆s ffffffffds Só haverá fluxo na superfície inferior, paralela à fronteira: Z ∆s @Dn1 t ` ads = Z ∆s qes ds [ Dn1 t ` a =@qes , onde qes = Q e ∆s ffffffff é a densidade de cargas superficial. b4) No caso da componente normal de fluxo magnético, por dualidade com o item anterior, se são supostas correntes magnéticas na superfície condutora, então: E s B jjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk =Z v qmv dv [ E s B jjjjjjjjjjjjk t ` a O ds jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = Z ∆s Q m ∆h A∆s ffffffffffffffffffffff∆h ds = Z ∆s Q m ∆s fffffffffds Z ∆s @Bn1 t ` ads = Z ∆s qms ds [ Bn1 t ` a =@qms , onde qms = Q m ∆s fffffffff é a densidade superficial de cargas. No entanto temos que qms = 0, pois não existem correntes magnéticas na superfície. Finalmente, reunindo todas as quatro condições, obtém-se: 1) Dn1 =@ qes (33) 2) ETg 1 = 0 (34) 3) Bn1 = 0 (35) 4) HTg1 = J s jjjjjjjjjjjjjjjjjjk (36) Ex. 04: Dado o guia com paredes condutoras perfeitas onde existe um campo elétrico harmônico pede-se: a) A expressão do campo magnético associado. b) As expressões dos campos no domínio do tempo. c) A densidade superficial de carga nas paredes x=0 e y=a. d) A densidade linear de corrente nas superfícies x=0 e y=a e suas direções. E jjjjjjjjjjjjjjk = Eo sen piy a fffffffffd e ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk Solução: a) Usando a equação (25). 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk = @ jw Bjjjjjjjjjjjjk [5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk = @ jwµ Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk y x E0 a 17 H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = @1 jwµ ffffffffffffff 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjkb c H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk =@ 1 jwµ ffffffffffffff ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk ∂ ∂x . ∂ ∂y - ∂ ∂z . E x 0 0 LLLLLLLLLLL MMMMMMMMMMM =@ 1 jwµ ffffffffffffff ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂E x ∂z ffffffffffff @ az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂Ex ∂y fffffffffffff g [ 1 jwµ ffffffffffffffdE x dy fffffffffffff g az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = Eo jwµ ffffffffffffffpi a fffff cos piy a fffffffffd e az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk b) Ejjjjjjjjjjjjjjk t` a= Re Ejjjjjjjjjjjjjjke jwtB C= Re E 0 sen piyafffffffff d e e jwt ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjkF G [ E 0 sen piy a fffffffffd e cos wt ` a ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk e jwt B C = Re E0 jwµ ffffffffffffffpi a fffff cos piy a fffffffffd e e jwt az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkF G [ Re E0 e j pi2 fff wµ ffffffffffffffffffffffpi a fffff cos piy a fffffffffd e e jwt az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkHJ IK Re E 0 pi awµ ffffffffffffff e @ j pi2 fffff cos piy a fffffffffd e e jwt a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkF G [ E 0 pi awµ ffffffffffffff cos piy a fffffffffd e cos wt @ pi 2 fffffd e a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk c) No plano x=0 temos cargas positivas, logo usando a equação 33 temos Dn1 = qes[ qes = εo Eo sen piy a fffffffffd e e para y=a não temos campo elétrico, logo qes = 0 . d) Usando a equação 36 temos HTg1 = J s jjjjjjjjjjjjjjjjjjk temos H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = HTg então |J s | = piEowµ o a ffffffffffffffffff cos piy a fffffffffd e . Na parede x=0 temos: a 2 ffff Então J s =@ piEo wµ o a ffffffffffffffffff cos piy a fffffffffd e ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk . Na parede y=a temos: Então J s = piEo wµ o a ffffffffffffffffff ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk . . Hz x y Hz Js Js H = 0 . Js x y a 18 1.5 - Exercícios. 1) (Balanis - 1.3): Determine Qe para o campo D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 4 + y2b c com + = 1 de acordo com a figura do exemplo 2: 2) (Balanis - 1.5): Dado o campo Ejjjjjjjjjjjjjjk t` a= axjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA x + y` a+ ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB x@ y` aB Ccos wt . Qual a relação entre A e B? 3) (Balanis - 1.6): Dado Bjjjjjjjjjjjjk= azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 10@ 121 + 25ρffffffffffffffffffffffffcos 1500piz` a HJ IKwb m 2* determine: a) O fluxo através do disco de raio 0,1 centrado na origem. b) Ache Ejjjjjjjjjjjjjjk. 4) (Balanis - 1.8): Qual a corrente de deslocamento saindo do cubo do exemplo 2, dado J d = ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjkyz + ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk y2 + azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkxyz ? 5) (Balanis - 1.12): Dado um meio propagante com paredes dielétricas onde existe um campo elétrico no domínio do tempo E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a = ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk5 + azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk10b ccos wt@βxb c pede-se: a) O campo magnético associado. b) As condições de contorno para E e H em cada fronteira para y=0 e y=h. εr = 2,56 6) (Balanis - 4.21): Dado o campo Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cH o e@ αx e@ jβx determine o campo elétrico associado. H o = 1 µA m fffffffff , σ =10@ 4 S m ffffff , ε r = 9 e f = 1 Ghz f g Lista: h y x z ar ar diel 19 2 - Ondas Eletromagnéticas Planas. 2.1 - Equação da Onda: Solução para o Campo Elétrico. Objetivo: Obter as expressões dos campos E e H que se propaguem ao longo dos meios. De Maxwell: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk B 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BΕ jjjjjjjjjjjjjjkb c =5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk B @ jw Bjjjjjjjjjjjjkb c = 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkB @ jwµ Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = J c jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk + jw Djjjjjjjjjjjjjjjjk= σ Ejjjjjjjjjjjjjjk+ jwε Ejjjjjjjjjjjjjjk = σ + jwεb cEjjjjjjjjjjjjjjk (37) 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OE jjjjjjjjjjjjjjkb c @52 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkE jjjjjjjjjjjjjjk = @ jwµ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c (38) Substituindo eq. 37 na eq. 38: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk OE jjjjjjjjjjjjjjkb c @52 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk E jjjjjjjjjjjjjjk = @ jwµ σ + jwε b c E jjjjjjjjjjjjjjk , como 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk O E jjjjjjjjjjjjjjk = 0 52 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk E jjjjjjjjjjjjjjk @ jwµ σ + jwε b c E jjjjjjjjjjjjjjk = 0 , fazendo γ2 = jwµ σ + jwε b c Q Constante de Propagação. (39) 52 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk E jjjjjjjjjjjjjjk @ γ2 E jjjjjjjjjjjjjjk = 0 Q Equação Vetorial do campo Elétrico para uma onda propagante. (40) Supondo que só exista componente Ex, ou seja, Ey=Ez = 0 temos: ∂ 2 E x ∂x 2 ffffffffffffffff+ ∂ 2 E x∂ y2ffffffffffffffff+ ∂ 2 E x ∂ z2 ffffffffffffffff @ γ 2 E x jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 0 (41) Os campos são supostos uniformes em XY, ou seja, ∂Ex∂x ffffffffffff = ∂Ex ∂y ffffffffffff = 0 Neste caso temos ∂E x∂z ffffffffffff @ γ 2 E x jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 0 Q Equação do campo elétrico de uma OPU que apresenta somente componente Ex. Onde chegamos na solução: E x = E o + e@ γz + E o @ eγz (42) Analisando a equação: Ex = Uma OPU polarizada em X. Eo = Amplitude inicial do campo elétrico. γ = α + jβ Q Constante de propagação, que será mostrada mais a frente. Eo + e@ γz Q Onda propagante (incidente) que caminha em direção a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk. Eo @ eγz Q Onda propagante (refletida) que caminha em direção - a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk. 20 2.2 – Solução para o Campo Magnético. Buscando a expressão do campo H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk associado, para OPU polarizada em X: Usando a eq. 25: 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk = @ jw Bjjjjjjjjjjjjk[5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk= @ jwµ HjjjjjjjjjjjjjjjjjjkQ Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk=@ 1jwµffffffffffffff5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBE jjjjjjjjjjjjjjkb c H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk =@ 1 jwµ ffffffffffffff ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk ∂ ∂x . ∂ ∂y - ∂ ∂z . E x 0 0 LLLLLLLLLLL MMMMMMMMMMM =@ 1 jwµ ffffffffffffff ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂E x ∂z ffffffffffff @ az jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂E x ∂y fffffffffffff g Se E x = E o + e@ γz + E o @ eγz = f(z), logo, ∂Ex∂y ffffffffffff = 0 Assim: H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk =@ 1 jwµ ffffffffffffff∂Ex ∂z ffffffffffff ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk =@ 1 jwµ ffffffffffffffEo+ @ γ` ae@ γz + Eo@ γ` aeγzb c H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = γ jwµ ffffffffffffffEo+ e@ γz@Eo@ eγzB CayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkQH y = γjwµffffffffffffffEo+ e@ γz@Eo@ eγz B C (43) 2.3 - Regime Harmônico. Mudança do regime harmônico para o regime do tempo: E x z,t ` a = Re E x z ` a e jwt B C = Re Eo + e@ αz e@ jβz + Eo @ eαz e jβz b c e jwt D E E x z,t ` a = |Eo+ |e@ αz cos wt@ βz + θo+ b c + |E o@ |eαz cos wt + βz + θo@ b c V/m (44) Tomando apenas a 1ª parcela de E x z,t ` a e suponha α = 0 temos: Ex z,t ` a = |Eo+ |cos wt@βz + θo+ b c Q Varia simultaneamente em z e t. 2.4 - Velocidade de Fase. Podemos então calcular sua velocidade de fase: A velocidade de fase da onda é a velocidade com que se desloca um ponto de fase constante, wt@βz + θo+ = cte [ d wt@βz + θo+ b c dt ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 0 Q w@βdzdt fffffffffff = 0 V f = w β fffff = dz dt fffffff (45) 21 Onde chegamos: V f = 2pif β ffffffffffff Q V f f fffffffff = 2pi β ffffffff [ λ = 2piβ ffffffff Q β = 2piλ ffffffff (46) Vale lembrar que a velocidade de fase pode ser maior que a velocidade da luz. 2.5 - Impedância. É definida como impedância intrínseca a relação entre o campo propagante E e o campo H propagante. η = Eo + e@ γz γ jwµ fffffffffffffffEo+ e@ γz ffffffffffffffffffffffffffffffffffff = jwµ γ ffffffffffffffΩ@ A (47) Substituindo eq. 39 na equação temos: η = jwµ jwµ σ + jwε b crwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = jwµ b c2 jwµ b c σ + jwε b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff vuuuuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = jwµ σ + jwε fffffffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww , dividindo todos os termos por jwε : η = µ ε fffff σ jwε fffffffffffff+ 1 ffffffffffffffffffffff vuuuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = µ ε fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1@ jσ wε ffffffffffd e12fff ffffffffffffffffffffffffffffffff = µ ε fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1 + σ wε ffffffffffd e2HJ IK 1 4 fff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff A e j 12 fffff tg@ 1 σ wε ffffffffffd e (48) Chamamos σ wε fffffffffde tangente de perdas, com ela podemos identificar qual o tipo de meio a onda esta se propagando. Quanto maior for a tangente de perdas mais condutor será o meio. Com isso podemos determinar se o meio é um dielétrico perfeito, bom dielétrico, bom condutor e um condutor perfeito. Casos Particulares: a) Vácuo (ar, free space) Q σ = 0, µ o , εo A η o = µ o εo fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 120pi Ω (49) b) Dielétrico perfeito (lossless) Q σ ≈ 0, ε, µ o A η = µ o ε fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Q ε > εo Q η < ηo (50) c) Bom Dielétrico Q σ wε fffffffff<< 1 < 0,01b c 22 Usando aproximação de Taylor chegaremos em uma fórmula aproximada com um erro pequeno. 1 + σ wε fffffffffd e2HJ IK 1 4 fffff ≈ 1 + 14 ffff σ wε fffffffffd e2 Q η = µ ε fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1 + 14 fffff σ wε ffffffffffd e2 ffffffffffffffffffffffffffffffffffff A e j 12 fffff tg@ 1 σ wε ffffffffffd eF G Como 14 ffff σ wε fffffffffd e2 ≈ 0 e para ângulos muito pequenos temos o arco tangente aproximadamente o próprio arco, com isso podemos simplificar ainda mais a equação. 12 ffftg@ 1 σ wε fffffffffd e ≈ tg@ 1 12 fffσ wε ffffffffff ghj ik η = µ ε ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwA e j A tg@ 1 12fffffσwεffffffffff f g (51) d) Bom Condutor Q σ wε fffffffff>> 1 >100` a η = µ ε fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww σ wε ffffffffffd e12fff ffffffffffffffffffff e j 12 fffff tg@ 1 σ wε ffffffffffd eF G [ η = wµ σ ffffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwe j pi4fffff (52) Importante lembrar que a impedância do vácuo é a maior que qualquer impedância. 2.6 - Constante de Atenuação e de Fase. Usando a eq. 39 temos: γ 2 = jwµ σ + jwε b c = α + jβ b c2 γ 2 = α 2@ β 2 + j 2αβ b c = @w2 µε b c + j wµσ` a α 2@β 2 = @w2 µε 2αβ = σwµ X\Z Q β = σwµ2αfffffffffffffff Constante de Atenuação:α = w A µε 2 ffffffff 1 + σ wε fffffffffd e2hj ik 1 2 fffff @ 1 HLLLJ IMMMK vuuuuuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww NP m fffffffffffF G (53) Constante de fase: β = w A µε2 ffffffff 1 + σ wε fffffffffd e2hj ik 1 2 fffff + 1 HLLLJ IMMMK vuuuuuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww rad m fffffffffffF G (54) 23 Casos Particulares: a) Vácuo (ar, free space) Q σ = 0, µ o , εoA αo = 0 (55) β o = w µ o εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (56) v f = w β fffff = 1 µ o εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww fffffffffffffffffffffff = c (57) b) Dielétrico perfeito (lossless) Q σ ≈ 0, ε, µ o A α = 0 (58) β = w µ o εqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (59) v f = w β fffff = 1 µ o εqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffff (60) c) Bom Dielétrico Q σ wε fffffffff<< 1 < 0,01b c Usando Taylor na eq. 53 temos: 1 + σ wε fffffffffd e2hj ik 1 2 fffff ≈ 1 + 12 fff σ wε fffffffffd e2 Q α ≈ w µεσ2 4w2 ε 2 ffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww α ≈ σ 2 fffff µ ε ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= ησ2ffffffffff (61) β = w µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (62) v f = w β fffff = 1 µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffff (63) d) Bom Condutor Q σ wε fffffffff>> 1 >100` a Usando a eq. 53 podemos observar que como σ wε fffffffff>> 1d e temos 1 + σ wε fffffffffd e2hj ik 1 2 fffff @ 1 HLLLJ IMMMK≈ σwεfffffffff, obtendo: α ≈ w A µε 2 ffffffff σ wε fffffffffd eswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwQ α ≈ wµσ2fffffffffffffffr wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (64) α = β (toda vez que isso ocorrer podemos afirmar que o meio é condutor) v f = 2w µσ fffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (65) 2.7 - Efeito Pelicular. 24 O efeito pelicular ou profundidade de penetração (Skin effect) de uma OPU em um meio condutor é a distância percorrida nesse meio para o qual a amplitude da onda cai para 37% do valor da amplitude antes de entrar no meio. Eo + E o + e@ αd d Temos e@ 1 = e@ αd Q δ p = d = 1 α fffff (66) Quando falamos de atenuação é comum usarmos a unidade decibel, que podemos achar da seguinte forma. AtdB = 10log P o P o d ` affffffffffffffffffff g = 20log V oV o d` afffffffffffffffffff f g = 20log EoE o d ` affffffffffffffffffff g (67) Aplicando a fórmula temos: AtdB = 20log E o Eo e@ αd fffffffffffffffffffffffff g = 20log 1@ 20log e@ αd = 20αd A log e AtdB = 8,686αd (68) A figura a seguir representa a atenuação de uma onda ao penetrar em um meio condutor. Ex 05: Uma OPU polarizada em determinado eixo penetra num sólido condutor e sofre uma atenuação de 15 dB/m, determine a profundidade pelicular nesse meio. Solução: δ p = 1 α fffff , no entanto, a atenuação deve estar em NP/m, então: 25 8,686α = AtdB [α = 15 8,686 fffffffffffffffff = 1,73 δ p = 1 α fffff ≈ 58 cm 2.8 - Índice de Refração. n = c v f fffffff Q n ≥ 1 (69) Usando a equação da velocidade de fase em cada meio obtemos: a) Vácuo (ar, free space) Q n = c c fff = 1 (70) b) Dielétrico perfeito (lossless) Q n = 1 µ o εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww fffffffffffffffffffffff A µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1 ffffffffffffffff = µ r εrqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (71) c) Bons Dielétricos Q n = 1 µ o εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww fffffffffffffffffffffff A µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1 ffffffffffffffff ≈ µ r εrqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (72) d) Bons Condutores Q n = 1 µ o εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww fffffffffffffffffffffff A µσ 2w fffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= µr σ2wεofffffffffffffffs wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (73) Ex 06 (Balanis - 4.21): Dado o campo Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cH o e@ αx e@ jβx , ache o que se pede: σ =10@ 4 S m ffffff , ε r = 9 e f = 1 Ghz f g . a) O Campo elétrico associado; b) A constante de atenuação; c) Constante de fase; d) Impedância do meio; e) Velocidade de Fase; f) O comprimento de onda; g) O efeito Pelicular; Solução: a) Podemos utilizar a relação EH ffffff = η e determinar o valor de E pois se trata de uma OPU, e as direções do campo utilizando a regra da mão direita: E jjjjjjjjjjjjjjk = ηH o e@ γx @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk + j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB C. b) Verificamos o meio propagante, σ wε fffffffff Q 10@ 4 36pi 2pi A109 b c A 9 A10@ 9 b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 0,0002 << 1. Temos um meio bom dielétrico. Nesse caso: 26 α ≈ σ 2 fffff µ ε ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=10@ 42ffffffffffffff µ o 9εo fffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=10@ 46ffffffffffffff120pi[ α = 20pi A10@ 4 NP m. c) β = w µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2pi109 µ o 9εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 6pi A109 3.108 fffffffffffffffffffffff [ β = 20pi rad m. d) η µ ε ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1 + j σ2wεfffffffffffff d e = 120pi 3 ffffffffffffffff1 + j0,0001b c[ η = 60piΩ e) V f = w β fffff = w w µ o 9εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww ffffffffffffffffffffffffffffffffff = c 3 fff [ V f =10 8 m/s f) λ =V ff fffffffff = 108 109 ffffffffff = 10 cm g) δ p = 1α fffff = 1 20pi A10@ 4 fffffffffffffffffffffffffffffff = 10000 20pi fffffffffffffffffff [ δ p = 500 pi fffffffffff m 2.9 - Exercícios. 1) Uma OPU de amplitude inicial igual a 1 mV/m e freqüência 0,1GHz, propaga-se num meio de características: σ = 5 S/m, µ o ,εoA Determinar a que distância esta onda terá uma amplitude igual 0,1 mV/m. 2) Uma OPU atenua 6dB ao percorrer uma distância de 1m. Pede-se a constante de atenuação do meio. 3) Se γ = 2 + j2 b c m@ 1 , determinar a impedância intrínseca do meio se a condutividade é σ = 5 S/m. 4)(Balanis - 4.10): O campo elétrico complexo de uma onda planar uniforme (OPU) propagando-se em um meio dielétrico não-ferromagnético ilimitado (é a mesma idéia) é dado pela expressão: � � 10��e�� � â� onde z é medido em metros. Supondo que a freqüência de operação é 100MHz, calcule: a) Velocidade de fase da onda (informe a unidade); b) Constante dielétrica do meio; c) Comprimento de onda (em metros); 5) (Balanis - 4.11): A componente elétrica complexa de um campo harmônico no tempo, no espaço livre, é dado por: � � 10���1 � ������ /���� â� Supondo que a distância x seja medida em metros, encontre: a) Comprimento de onda (em metros); b) Freqüência; c) O campo magnético associado. 27 6) (Balanis - 4.20): Uma OPU de 3 GHz incide num meio condutor de cobre sem fronteiras ( ou ilimitado), cuja condutividade é igual a 5,76 x 107 S/m, μ � μ� e � � ε�. Encontre os valores aproximados: a) Da impedância intrínseca do cobre; b) Da profundidade de penetração da onda (skin depth) no cobre, em metros. 7) (Balanis - 4.22): A água do mar é um importante meio na comunicação entre submarinos submersos, ou entre esses e estações de recepção e transmissão localizadas acima do nível do mar. Supondo que os parâmetros elétricos característicos do mar são: � � 4 S/m, � � 81, " � 1 e # � 10$Hz, encontre: a) A constante de propagação complexa (por metro); b) A velocidade de fase (metros por segundo); c) O comprimento de onda (metros); d) A constante de atenuação (Nepers por metro); e) O valor de skin depth (metros). 8) (Balanis - 4.23): Os parâmetros elétricos característicos da terra úmida, em uma freqüência de 1 MHz são: � � 10�%S/m, � � 4 e " � 1. Supondo que o campo elétrico de uma OPU na fronteira (no meio úmido) seja igual a 3 x 10-2 V/m, encontre: a) A distância pela qual a onda se propaga até que a magnitude do campo elétrico reduza para 1,104 x 10-2 V/m; b) A atenuação do campo elétrico sofrida no item a (em decibéis); c) O comprimento de onda no meio (em metros); d) A velocidade de fase no meio (em metros por segundo); e) A impedância intrínseca do meio. Lista: 28 3 - Vetor Instantâneo e Médio de Poynting. 3.1 – Vetor de Poynting. pjjjjjjjjjjjjk= Ejjjjjjjjjjjjjjk t` aBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a Q W m2* D E (74) pjjjjjjjjjjjjka Sentido de propagação. |p|a Densidade instantânea de potência. pjjjjjjjjjjjjk= Eo+ e@ αz cos wt@βzb caxjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB Eo+ e@ αzηffffffffffffffffffffffffcos wt@βz b c ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk pjjjjjjjjjjjjk= |Eo+ |2 e@ 2αz cos2 wt@ βzb cazjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (75) Obtendo-se o vetor pjjjjjjjjjjjjk em função da freqüência. pjjjjjjjjjjjjk= Re Ejjjjjjjjjjjjjjke jwtR SB Re Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjke jwtR S pjjjjjjjjjjjjk = E jjjjjjjjjjjjjjk e jwt + EC jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk e@ jwt 2 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff B H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk e jwt + H C jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk e@ jwt 2 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff pjjjjjjjjjjjjk= 12fffRe E jjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk e j2wt + E jjjjjjjjjjjjjjk BH C jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB C (76) 3.2 - Densidade Média de Potência. Valor médio de pjjjjjjjjjjjjkQ Sjjjjjjjjjjjjk S jjjjjjjjjjjjk = 1 t ffZ 0 t pjjjjjjjjjjjjk dt Q Sjjjjjjjjjjjjk= 12fffRe E jjjjjjjjjjjjjjk BH C jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB C ap jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (77) Outra maneira de achar a densidade média é a partir da potência irradiada. S jjjjjjjjjjjjk = P irradiada 4pir2 fffffffffffffffffffffffff ar jjjjjjjjjjjjjjjjjjk (78) Dado: E jjjjjjjjjjjjjjk = E o + e@ αz e@ jβz ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = E o + η ffffffff e@ αz e@ jβz ay jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk X^^^^\^ ^^^Z [ S jjjjjjjjjjjjk = 1 2 fffRe Eo+ e@ αz e@ jβz A Eo+ηe jθηffffffffffffffffe@ αz e jβz HJ IKa zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk Meios com σ ≠ 0 (equação geral) S jjjjjjjjjjjjk = 1 2 fff|E o+ |2 |η| fffffffffffffff e@ 2αz cos θη b c a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (79) 29 Casos Particulares: a) Vácuo (ar, free space) Q σ = 0, µ o , εo A S jjjjjjjjjjjjk = 1 2 fff|E o+ |2 η o fffffffffffffff a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (80) b) Dielétrico perfeito (lossless) Q σ ≈ 0, ε, µ o A S jjjjjjjjjjjjk = 1 2 fff|E o+ |2 η fffffffffffffff a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (81) 3.3 - Teorema de Poynting. Usando a eq. 7 e multiplicando por H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a e a eq. 14 por E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk t ` a =@ d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffffhj ikHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a (82) 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a = σ AE jjjjjjjjjjjjjjk t ` a + d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffffffhj ikEjjjjjjjjjjjjjjk t` a (83) Subtraindo a eq. 83 da 82 temos: H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BE jjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e @ E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e =@H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffff @ σ E jjjjjjjjjjjjjjk t ` ad e E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a @E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d D jjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffffff Z v 5 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk A E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad edv = Z v @ H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d B jjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffffhj ik@ Ejjjjjjjjjjjjjjk t` aA d Djjjjjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffffff hj ik@ σ Ejjjjjjjjjjjjjjk t` aEjjjjjjjjjjjjjjk t` ad e hlj imkdv E s E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad ed sjjjjjjk+ µZ v H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffffffdv + ε Z v E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffffdv + σZ v E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a E jjjjjjjjjjjjjjk t ` adv = 0 Onde podemos classificar as seguintes equações: Vetor de Poynting: E s E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a BH jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` ad ed sjjjjjjk (84) Potência armazenada no campo magnético: µZ v H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt fffffffffffffffffffffdv (85) 30 Potência armazenada no campo elétrico: ε Z v E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a A d E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a dt ffffffffffffffffffffdv (86) Potência Dissipada: σZ v E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a E jjjjjjjjjjjjjjk t ` adv (87) Temos que potência é: E s pjjjjjjjjjjjjkd sjjjjjjkQ Potência instantânea que flui através de S, que limita o volume V. E s pjjjjjjjjjjjjkd sjjjjjjk= µ2ffffddtffffffZ v H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` a H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk t ` adv hj ik+ ε2fffddtffffffZ v E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a E jjjjjjjjjjjjjjk t ` adv hj ik+ σZ v E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a E jjjjjjjjjjjjjjk t ` adv = 0 W m = µ 2 ffffZ v H jjjjjjjjjjjjjjjjjjk2 t ` adv a Energia Armazenada no campo magnético. (88) W e = ε 2 fffZv E jjjjjjjjjjjjjjk2 t ` adva Energia Armazenada no campo elétrico. (89) Podemos achar a densidade derivando em relação ao seu volume: dW m dv ffffffffffffffff = µ 2 ffff A|H|jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk2a Densidade volumétrica de energia armazenada no campo magnético. (90) dW e dv ffffffffffffff = ε 2 fff|E|jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk2a Densidade volumétrica de energia armazenada no campo elétrico. (91) Passando para o domínio do tempo. dW e dv ffffffffffffff = ε 4 ffffRe EjjjjjjjjjjjjjjkAEjjjjjjjjjjjjjjkC e jwt b c + Re E jjjjjjjjjjjjjjk AE jjjjjjjjjjjjjjkCb cD E (92) A partir da equação anterior chegamos na densidade média. Densidade volumétrica média de energia armazenada no campo elétrico: d W e ffffffffff dv fffffffffffffffff = 1 t ffZ 0 t dW e dv fffffffffffffff gdt = ε4ffffRe EjjjjjjjjjjjjjjkEjjjjjjjjjjjjjjk C b c (93) Dens. volumétrica média de energia armazenada no campo magnético: d W m fffffffffff dv ffffffffffffffffff = 1 t ffZ 0 t dW m dv fffffffffffffffff gdt = µ4ffffRe HjjjjjjjjjjjjjjjjjjkHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk C b c (94) 31 Em meios onde temos σ = 0 as densidades médias de energia armazenadas nos campos são iguais. dW m fffffffffff dv ffffffffffffffffff = d W e ffffffffff dv fffffffffffffffff = 1 4 ffffε|Eo+ |2 (95) 3.4 - Velocidade de Propagação e de Grupo. V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = S jjjjjjjjjjjjk d W em ffffffffffffffff dv ffffffffffffffffffffffff fffffffffffffffffff (96) Nos meios onde σ = 0 temos: V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 1 2 ffff|Eo+ | η ffffffffffffffa zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 1 4 fffffε |Eo+ |2 + 14fffffε |Eo+ |2 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 1 ηε fffffffff a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 1 µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffa zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (97) a) Ar Q V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 1 µ o εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww fffffffffffffffffffffff = V f = c b) Diel. Perf. Q V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 1 µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffff= V f c) Meios com σ ≠ 0. Usando a eq. (79). S jjjjjjjjjjjjk = 1 2 fff|E o+ |2 |η| fffffffffffffff e@ 2αz cos θη b c a z jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk E modificando as equações 93 e 94: d W e ffffffffff dv fffffffffffffffff = ε 4 ffffRe EjjjjjjjjjjjjjjkEjjjjjjjjjjjjjjkC b c = ε 4 ffffRe Eo+ e@ αz e@ jβz A Eo+b cC e@ αz e+ jβzd e= ε4ffff|Eo+ |2 e@ 2αz Analogamente: d W m fffffffffff dv ffffffffffffffffff = µ 4 ffff|Ho+ |2 e@ 2αz = µ4ffff|Eo + | η ffffffffffffhj ik2 A velocidade de propagação será: V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 1 2 ffff|Eo+ |2 e@ 2αz cos φη η ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffazjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 1 4 fffff|Eo+ |2 e@ 2αz ε + µ|η|2 ffffffffffff gffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff[ V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 2 cosφη |η| ε + µ|η|2 ffffffffffff gazjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff (98) 32 Velocidade de Grupo: São chamados de dispersivos os meios onde os índices de refração são função de freqüência (f(w)), ou seja, meios onde σ ≠ 0. Observa-se que a velocidade de propagação também varia com freqüência, já que V p = f η` a= f w` a. Quando se transmite uma informação, ela, em geral, ocupa algumas faixas de freqüência. Se cada freqüência apresenta um índice de refração diferente, é necessário que se defina uma velocidade de grupo, que é a velocidade de fase da envoltória do sinal. Figura 4 – O conjunto de freqüências englobadas pela velocidade de grupo. Seja por exemplo um sinal composto de 2 freqüências: E1x = Eo + cos w@∆w ` a t@ β + ∆β b c z D E E2x = Eo + cos w + ∆w ` a t@ β@∆β b c z D E Ex = E1x + E2x = 2 Eo + cos wt@ βz b c A cos ∆wt@∆βz b c A velocidade de fase da onda em um é wt @ βz = cte[ w @ βdzdt fffffffffff = 0 Q V f = w β fffff Da mesma forma, a velocidade de fase da onda em ∆w é: ∆wt@βz = cteQ ∆w@∆β dzdt fffffff = 0Q V f = ∆w ∆β ffffffffff V g =V f = dw dβ fffffffff (99) Meios dispersivos Normalmente dispersivosQ V g <V f Anormalmente dispersivosQ V g >V f X\Z 33 Ex 07 (Balanis - 4.21): Dado o campo Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cH o e@ αx e@ jβx , ache o que se pede: σ =10@ 4 S m ffffff , ε r = 9 e f = 1 Ghz f g . a) Densidade média de potência; b) Velocidade de Propagação; c) Velocidade de Grupo; Solução: a) Usando a resolução do exemplo anterior temos que Ejjjjjjjjjjjjjjk= ηH o e@ αx@ jβx @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c; S jjjjjjjjjjjjk = 1 2 fffRe EjjjjjjjjjjjjjjkBH Cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk B C Q 1 2 fffRe ηH o e@ αx@ jβx @ a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD EB H oC e@ αx + βx a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD EV W = 1 2 fffRe ηH o2 e@ 2αx @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cB ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD E = 12fffRe ηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ 4 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk b cD E = 1 2 fffRe ηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ 4 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD E= 12fffRe 5ηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk B C = 5 2 fff40pi A10@ 12 e@ 2.20pi A10@ 4 x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk S jjjjjjjjjjjjk = 100pi A10@ 12 A e@ 40pi A10 @ 4 x ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk b) Usando a equação 96 temos: V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = S jjjjjjjjjjjjk d W em ffffffffffffffff dv ffffffffffffffffffffffff fffffffffffffffffff = 5 2 ffffηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk d W em ffffffffffffffff dv ffffffffffffffffffffffff ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff dW em fffffffffffff dv ffffffffffffffffffff = 1 4 ffffRe DjjjjjjjjjjjjjjjjkECjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk b c + 1 4 ffffRe BjjjjjjjjjjjjkH Cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk b c = 1 4 ffffRe εηH o @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb ce@ αx@ jβxd eA ηCH oC @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb ce@ αx + jβxd EF + 1 4 ffffRe µ o H o ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c e@ αx@ jβxd eA H oC a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c e@ αx + jβxd E=F = 1 4 ffffRe εη2 H o2 e@ αx 1 + 4` aB C+ 14ffffRe µo H o2 e@ 2αx 1 + 4` a B C = 5 4 ffffH o2 e@ 2αx εη2 + µob c = 5 4 ffffHo2 e@ 2αx ε A µoεfffffffs wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww2 + µ o hj ik= 52fffHo2 e@ 2αx µo V p jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk = 5 2 ffffηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 5 2 ffffH o2 e@ 2αx µo ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = η µ o fffffff ax jjjjjjjjjjjjjjjjjjk = µ o εµ o 2 ffffffffffvuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 1 9εo µo ffffffffffffffffffvuut wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = c 3 fff =108 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk m/s. c) Usando as equações 62 e 99 temos: V g = dw dβ fffffffff = d dβ fffffffff β µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffff hj ik = 1 µ o εqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffff=c 3 fff =108QV p =V f =V g 34 3.5 - Exercícios. 1) (Balanis - 4.10): O campo elétrico complexo de uma onda planar uniforme (OPU)propagando-se em um meio dielétrico não-ferromagnético ilimitado (é a mesma idéia) é dado pela expressão: � � 10����� �� â& onde z é medido em metros. Supondo que a freqüência de operação é 100MHz, calcule: a) Densidade média, no tempo, de potência e b) Densidade média, no tempo, de energia total. 2) (Balanis - 4.13): Um transmissor de 11GHz irradia sua potência isotropicamente no espaço livre. Supondo que sua potência total irradiada seja 50 mW, a uma distância de 3 Km encontre os seguintes valores especificando as unidades: a) Densidade média de potência (no tempo); b) Valor quadrático médio (ou valor eficaz) dos campos elétrico e magnético ; c) Valor médio, no tempo, da densidade volumétrica de energia. 3) (Balanis - 4.14): O campo elétrico de uma onda harmônica propagante no espaço livre é dado por: � � 10�$�1 � �����'(� â� Calcule a quantidade de potência real que atravessa uma abertura retangular, cuja seção transversal é perpendicular ao eixo z, e igual a 20cm2. 4) Uma portadora de 11Ghz é irradiada isotropicamente, do ar, por uma antena transmissora, de potência de 50mW. À 5 Km da transmissora, determinar: a) O campo elétrico eficaz; b) O campo elétrico eficaz a mesma distância quando a mesma potência é irradiada segundo um ângulo sólido de 60º. 5) Uma OPU polarizada em x penetra no volume condutor com uma amplitude de 50 V/m e é atenuada de 0,5 NP/m. Se a impedância do meio é dada por 5e j pi 4 fffff Ω determine: a) A densidade média de potência á 1m de profundidade; b) A profundidade pelicular da onda no meio. 6) (Questão de Prova) Uma OPU de 13,8 MHz é atenuada de 12 dB/m, em um meio bom condutor, onde µr = 1. Pede-se determinar: a) A velocidade de fase da onda; b) A velocidade de grupo da onda; c) A impedância intrínseca do meio e d) distância na qual a amplitude de campo elétrico já caiu para 10% do seu valor inicial, na entrada do meio. Lista: 35 4 - Polarização da Onda. 4.1 - Linear. Sejam as componentes de campo elétrico propagante: E x t ` a = |E x+ | cos wt@ βz + θx b c E y t ` a = |E y+ | cos wt@ βz + θ y b c X^^^\^ ^^Z = E x t ` a = |E x+ | cos wt@ βz b c E y t ` a = |E y+ | cos wt@ βz + δ b c X^^^\^ ^^Z δ = θ y@θx Q Defasagem entre duas ondas. (100) a) Se E y+ = 0[ Polarização linear Vertical. Se Ex + = 0 [ Polarização linear Horizontal. b) Se δ =F pi [ E x t ` a = E x + cos wt@ βz b c E y t ` a = E y + cos wt@ βz + pi b c X^^^\^ ^^Z Fazendo z = 0 e dividindo uma equação pela outra temos: E x t ` a E y t ` afffffffffffffffff= E x+ @ E y + fffffffffffffff Ex t ` a =@ Ex + E y + ffffffffE y t` a[ Polarização Linear (com inclinação para Esquerda). (101) c) Se δ = 0 [ E x t ` a = Ex + cos wt@ βz b c E y t ` a = E y + cos wt@ βz b c X^^^\^ ^^Z Fazendo z = 0: E x t ` a E y t ` afffffffffffffffff= Ex+ E y + ffffffff [ Ex t ` a = E x + E y + ffffffffE y t` a[ Polarização Linear (com inclinação para Direita). (102) 4.2 - Circular. Quando temos δ =F pi2 fffff e os módulos do campo elétrico das duas componentes iguais, temos a Polarização circular. Ex 08: São dadas duas componentes com uma defasagem de 90º, determine a equação característica da polarização e seu sentido de rotação: δ = pi2 fffff [ E x t ` a = E x + cos wt@ βz@ pi2 fffffd e E y t ` a = E y + cos wt@ βzb c X^^^^\^ ^^^Z 36 Solução: Fazendo z = 0 e depois elevando ao quadrado temos: Ex t ` a = E x + @ sen wt ` a E y t ` a = E y + cos wt ` a X^\^ Z Q Ex t ` a Ex + fffffffffffffffffhj ik2 = @ sen wt` ab c2 E y t ` a E y + fffffffffffffffffhj ik2 = cos wt` ab c2 X^^^^^ ^^^^^^^\^ ^^^^^^^^ ^^^Z Somando as duas equações chegamos em: Ex t ` a Ex + fffffffffffffffffhj ik2 + E y t` a E y + fffffffffffffffffhj ik2 = 1 (103) Se Ex + = E y + Q Polarização Circular. Se Ex + ≠ E y + Q Polarização Elíptica. Analisando se a polarização tem sentido de rotação para direita ou esquerda (Horário ou Anti- horário): E x t ` a = E x + cos wt@ pi 2 fffffd e E y t ` a = E y + cos wt ` a X^^^\^ ^^Z = E x t ` a = E x + cos wt ` a E y t ` a = E y + cos wt + pi 2 fffffd e X^^^\^ ^^Z Basta jogar valores para (wt) e verificar o deslocamento angular no circulo trigonométrico. wt = 0º E x t ` a = E x + E y t ` a = 0 X\Z e wt = pi4fffff Ex t ` a = 2pwwwwwwwwwwwwwwwww 2 fffffffffffEx+ E y t ` a = 2pwwwwwwwwwwwwwwwww 2 fffffffffffE y+ X^^^^^ \^^ ^^^^^Z Percebemos que houve um deslocamento no sentido anti-horário. Dizemos então que é uma polarização circular para a esquerda. É importante ressaltar que devemos sempre realizar essa análise em relação a componente Ex t ` a , ou seja, a defasagem deve ficar na direção E y t` a. Assim, quando a componente e E y t ` a está adiantada de 90°em relação a componente Ex t ` a e ambas têm o mesmo valor, chamamos de Polarização circular para esquerda.Se, entretanto E y t ` a estiver atrasada de 90° em relação a componente Ex t ` a , a polarização será para a direita. 37 4.3 - Elíptica. Se δ ≠ 0, δ ≠F pi ou δ ≠F pi2 fffff temos a polarização elíptica. Para verificar o sentido de rotação podemos utilizar a seguinte regra: Quando: 0 < δ < pi [ Polarização é para esquerda. 0 < δ <@pi [ Polarização é para direita. Importante: Toda vez que achar uma defasagem maior que 180º devemos replementar este ângulo. Caso isso não seja feito o sentido de rotação estará errado. Ex 09: Dada uma OPU propagante em um meio com perdas, determine a polarização e seu sentido de rotação caso haja e sua freqüência se sua V f = c2 fff . E jjjjjjjjjjjjjjk = e@ piz e@ jpiz j axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ 1@ jb cayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkd e V/m Solução: O primeiro passo é separar as componentes e fazer z = 0, pois não interessa o deslocamento, e em seguida passar para o domínio do tempo. Ex = j A e@ piz e@ jpiz E y = 1@ j b c A e@ piz e@ jpiz X^^\^ Z^ Separadas as componentes podemos passar para o tempo. Ex = j Q Re e j pi 2 fffff Ae jwt B C Qcos wt + pi 2 fffffd e E y = 1@ j Q 2 pwwwwwwwwwwwwwwwww 2 fffffffffffRe e@ j pi4fffffA e jwtB CQ 2pwwwwwwwwwwwwwwwww2fffffffffffcos wt@ pi4fffff d e Analisando a defasagem temos δ =@ pi4 fffff @ pi 2 fffff =@ 3pi 4 ffffffff , temos então uma polarização elíptica para direita, pois a defasagem é diferente de 0º, 90º e 180º e é negativa. (P.E.D) Para achar a freqüência bastar utilizar a fórmula (45). V f = w β fffff = 2pi f pi ffffffffffff Q c 2 fff = 2f [ f = c4 ffff = 75 MHz Ex 10: Dado um campo elétrico de uma OPU que viaja no ar; E jjjjjjjjjjjjjjk =10@ 3 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c e@ jβz V m+ Pede-se: a) A polarização da onda; b) Sentido de rotação caso exista. 38 Solução: Fazemos Z=0 e em seguida passamos para o regime temporal. E jjjjjjjjjjjjjjk t ` a = Re 10@ 3 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+
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