Apostila_mag3

Prévia do material em texto

Universidade ESCOLA DE ENGENHARIA 
Federal 
Fluminense ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE 
ELETROMAGNETISMO III 
TET-05114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Professora: Leni Joaquim de Matos. 
 Monitor: Gilbert Ponciano Ferreira. 
 
2 
 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES 
ELETROMAGNETISMO III 
Profa Leni Joaquim de Matos 
Livro Texto: Advanced Engineering Electromagnetics – Constantine A. Balanis 
Bibliografia Complementar: Notas de Aula. 
Conteúdo: 
• Capítulo I – Revisão e Campos Variáveis e Regimes Harmônicos. 
• Capítulo II – Eletromagnetismo I. 
• Capítulo III – Equação da Onda e suas Soluções. 
• Capítulo IV – Propagação da onda e Polarização. 
• Capítulo V – Reflexão e Transmissão. 
Notação de Variáveis e Constantes: 
B – Densidade de fluxo Magnético. 
c – Velocidade da luz no vácuo. 
D – Densidade de fluxo Elétrico. 
d – diâmetro, distância. 
f – freqüência. 
G – Condutância. 
H – Campo Magnético. 
h – altura. 
I – Corrente elétrica. 
J – Densidade de corrente elétrica 
Jc – Densidade de corrente de condução. 
Js – Densidade linear de corrente. 
L – Indutância. 
n – Índice de refração. 
R – Resistência elétrica. 
r – raio, distância. 
S – Densidade média de potência. 
T – Período. 
t – Tempo. 
V – Volume, tensão. 
Vp – Velocidade de propagação. 
Vf – Velocidade de fase. 
Vg – Velocidade de grupo. 
X – Reatância. 
Y – Admitância. 
Z – Impedância 
Zo – Impedância Intrínseca. 
Zin – Impedância de entrada. 
ZL – Impedância da Carga. 
α – Constante de atenuação. 
3 
 
 β – Constante de fase. 
γ – Constante de propagação. 
ε ,ε r e ε o – Permissividade (ou constante dielétrica) absoluta, relativa e no vácuo. 
η – Impedância intrínseca de um meio. 
η
o
– Impedância intrínseca do vácuo. 
λ – Comprimento de onda. 
Γ ,Γ / / eΓ? – Coeficiente de Reflexão, paralelo e perpendicular. 
Γ p
 
– Coeficiente de Reflexão de Potência. 
 
µ , µ
r
e µ
o
– Permeabilidade magnética, relativa e do vácuo. 
Qe – Carga Elétrica. 
qev – Densidade volumétrica de carga elétrica. 
σ – Condutividade. 
T , T / / e T ? – Coeficiente de transmissão, paralelo e perpendicular. 
T p – Coeficiente de Transmissão de Potência. 
δ – Defasagem entre duas ondas. 
δ p – Profundidade de penetração. 
θ – Ângulo, fase. 
φ ,φ / / e φ? – Fase do coeficiente de reflexão ou transmissão, paralelo e perpendicular. 
w – Freqüência angular da onda. 
∆ – Defasagem entre duas ondas polarizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introdução 
Sistema Básico de Comunicações 
 
A propagação de ondas eletromagnéticas é representada, matematicamente, por algumas 
equações diferenciais, obtidas a partir das equações de Maxwell. Nesta disciplina serão estudadas 
ondas eletromagnéticas propagando-se em meios dielétricos e condutores homogêneos, isotrópicos e 
invariantes no tempo, podendo ser abertos como no ar, por ex., ou confinados como nas linhas de 
transmissão com ou sem perdas. A dedução das equações diferenciais que descrevem o fenômeno da 
propagação será o passo inicial para nosso estudo, seguido da caracterização do meio em que elas se 
propagam e será estudado o seu comportamento nos mesmos. 
 
 
 
 
 
• Tx - Inclui equipamentos de modulação, amplificação, multiplexação, filtragem, 
realimentação e antena transmissora. 
• Rx – Inclui equipamentos e processamento de sinal captado pela antena. São equipamentos 
de demodulação, amplificação, sintonia, demultiplexação, filtragens, redução de ruídos e 
correção de distorção. 
• Meio de propagação ou canal – É por onde se propagam as ondas eletromagnéticas. Meio 
confinado (cabos coaxiais, guia de ondas, fibras óticas, etc.) ou ilimitado (ionosfera, 
troposfera e espaço livre) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Índice 
1 - Revisão de Campos Eletromagnéticos Estáticos e Introdução aos Campos Variáveis. 
 1.1 - Forma Integral e Diferencial.............................................................................. 07 
 1.2 - Regime Harmônico............................................................................................ 09 
 1.3 - Tempo de Relaxação.......................................................................................... 10 
 1.4 - Condições de Contorno...................................................................................... 12 
 1.5 - Exercícios.......................................................................................................... 18 
 
 2 - Ondas Eletromagnéticas Planas. 
 2.1 - Equação da Onda: Solução para o Campo Elétrico........................................... 19 
 2.2 - Solução para Campo Magnético....................................................................... 20 
 2.3 - Regime Harmônico........................................................................................... 20 
 2.4 - Velocidade de Fase............................................................................................ 20 
 2.5 - Impedância........................................................................................................ 21 
 2.6 - Constante de Atenuação e de Fase.................................................................... 22 
 2.7 - Efeito Pelicular.................................................................................................. 24 
 2.8 - Índice de Refração............................................................................................ 25 
2.9 - Exercícios.......................................................................................................... 26 
 
 3 - Vetor Instantâneo e Médio de Poynting. 
 3.1 – Vetor de Poynting............................................................................................. 28 
 3.2 - Densidade Média de Potência........................................................................... 28 
 3.3 - Teorema de Poynting........................................................................................ 29 
 3.4 - Velocidade de Propagação e de Grupo............................................................. 31 
3.5 - Exercícios.......................................................................................................... 34 
 
 4 - Polarização da Onda. 
 4.1 - Linear................................................................................................................ 35 
 4.2 - Circular. ........................................................................................................... 35 
 4.3 - Elíptica.............................................................................................................. 37 
 4.4 - Exercícios. ........................................................................................................ 38 
 
 5 - Incidência Normal. 
 5.1 - Coeficiente de Reflexão e Transmissão............................................................. 40 
 5.2 - Impedância Generalizada.................................................................................. 42 
 5.3 - Taxa de Onda Estacionária................................................................................ 43 
 5.4 - Grade Condutora. ............................................................................................. 48 
5.5 - Exercícios.......................................................................................................... 49 
 
 6 - Incidência Oblíqua. 
 6.1 - Lei de Snell....................................................................................................... 52 
 6.2 - Pol. Perpendicular (Ângulo Crítico e Onda Superficial)..................................53 
 6.3 - Pol. Paralela (Ângulo de Brewster, Ângulo Crítico e Onda Superficial).......... 54 
 6.4 - Densidade Média de Potência........................................................................... 56 
6 
 
 6.5 - Pol. Refletida e Transmitida............................................................................. 58 
 6.6 - Exercícios.......................................................................................................... 61 
 
 
 7 - Linhas de Transmissão. 
 7.1 – Introdução. (Mudança das Variáveis)............................................................... 
 7.2 - Impedância ao Longo da L.T............................................................................. 
 7.4 - Coeficiente de Reflexão, Transmissão, RVOE................................................. 
 7.3 - Potência. (Perda de Retorno e Descasamento).................................................. 
 7.4 - Técnicas de Casamento. (Casadores e Stubs).................................................... 
 7.5 - Atenuadores....................................................................................................... 
 7.6 - Carta de Smith................................................................................................... 
 7.7 - Linhas com Perdas............................................................................................. 
 7.8 - Exercícios.......................................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
1. Revisão de Campos Eletromagnéticos Estáticos e Introdução aos Campos Variáveis. 
 
1.1 - Forma Integral e Diferencial. 
 
1) E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk= Q
e
[ Lei de Gauss para o campo elétrico. (1) 
2) E
+
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d +
jjjjjjk
=@Z
s
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffff
A d sjjjjjjk [ Lei de Faraday. (2) 
3) E
s
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk= 0 [ Lei de Gauss para o campo magnético. (3) 
4) E
+
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d +
jjjjjjk
=Z
s
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk [ Lei de Ampére. (4) 
 
Equação da Continuidade. 
 
5) Z
s
J
jjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk=@ dQedtffffffffffff , corrente é a variação da carga no tempo. (5) 
 
Usaremos o teorema de Stokes e Gauss para chegarmos às equações na forma diferencial. 
 
Teorema de Stokes [ E
l
V
jjjjjjjjjjjjjjk
A d +
jjjjjjk
=Z
s
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BV
jjjjjjjjjjjjjjk
A d sjjjjjjk 
 d sjjjjjjk 
 S 
 
 d +
jjjjjjk
 
 
Teorema da Divergência [ E
s
V
jjjjjjjjjjjjjjk
Ad sjjjjjjk=Z
v
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OV
jjjjjjjjjjjjjjk
A dv
 
 
d sjjjjjjk
 
 
 
 V 
 
Substituindo os teoremas nas fórmulas para obter as mesmas na forma de operadores: 
 
1) E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk= Z
v
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OD
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
A dv = Q
e
= Z
v
qev A dv [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = qev (6) 
8 
 
2) E
+
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d +
jjjjjjk
= Z
s
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
A d sjjjjjjk =Z
s
@
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffffhj ikA d sjjjjjjk [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @d Bjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffff (7) 
3) E
s
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk= 0 Q Z
v
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OB
jjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
A dv = 0 [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkOBjjjjjjjjjjjjk t` a = 0
 (8) 
4) E
+
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d +
jjjjjjk
= Z
s
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
A d sjjjjjjk =Z
s
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a (9)
 
5) E
s
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
Ad sjjjjjjk=Z
v
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
Adv =Z
v
@
dq
e
dt
fffffffffff g
Adv [ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @dqevdtffffffffffff (10) 
 
Usando a equação da continuidade, para corrigir as equações para o caso da variação com o 
tempo, tem-se: 
 
• Da 7ª equação, aplicando divergente dos 2 lados: 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
= @5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffffhj ik
 [ 0 = @
d 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjk t` ad e
dt
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 [
 
0 = 0, devido à eq.(8) 
 
• Fazendo o mesmo com a 9ª equação: 
 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
= 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J
jjjjjjjjjjk
t
` a
[ 0 = @
dq
ev
dt
ffffffffffff
[ qev = cte no tempo
` a
 
 
Com isso podemos verificar que qev é constante no tempo, não abrangendo o caso variado com o 
tempo, assim temos: 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J
jjjjjjjjjjk
t
` a
= @
dq
ev
dt
ffffffffffff
Q 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J
jjjjjjjjjjk
t
` a
= @
d 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk t` ad e
dt
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Q 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J
jjjjjjjjjjk
t
` a
= @5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffffhj ik
 
 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J
jjjjjjjjjjk
t
` a
+
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
dt
fffffffffffhj ik= 0
 
 
Como: 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
= 0 Q 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` ad e = 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Jjjjjjjjjjjk t` a+ d Djjjjjjjjjjjjjjjjk t` adtffffffffffffffffffff
hj ik
 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
+
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffff
 
 
Essa então é a equação de Ampére para os casos variados com o tempo, onde Jc é a densidade de 
corrente de condução e d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffff
 é a densidade de corrente de deslocamento ( Jd ). 
 
 
 
 
9 
 
Temos, assim, as equações (6) a (10) para o caso variado com o tempo, conhecidas como 
equações de Maxwell: 
Gauss Q E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk= Q
e
^ 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OD
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= qev (11)
FaradayQ E
+
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d +
jjjjjjk
= @Z
s
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffff
A d sjjjjjjk ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @ d Bjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffff (12) 
GaussQ E
s
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk = 0 ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjk t` a = 0 (13)
Ampére Q E
+
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d +
jjjjjjk
= Z
s
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk +Z
s
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffff
A d sjjjjjjk ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a + d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffff
 (14) 
 
E temos a equação da continuidade: 
Es
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A d sjjjjjjk = @ dQedtffffffffffff ^ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= @
dq
ev
dt
ffffffffffff
 (15) 
 
1.2 - Regime Harmônico. 
Como é de interesse trabalhar com fontes de radiofrequência (RF) e, portanto, com campos co-
senoidais, tais campos, antes escritos como E
jjjjjjjjjjjjjjk
x,t
` a
 podem ser escritos também como E
jjjjjjjjjjjjjjk
x
` a
cos wt
` a
, 
com isso chegamos na seguinte igualdade: 
 
E
jjjjjjjjjjjjjjk
x
` a
cos wt
` a
= Re E
jjjjjjjjjjjjjjk
x
` a
A e jwt
D E
 
Temos então: 
 E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re E
jjjjjjjjjjjjjjk
A e jwt
B C
 
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
A e jwt
B C
 
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re B
jjjjjjjjjjjjk
A e jwt
B C
 
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
A e jwt
B C
 
J
jjjjjjjjjjk
t
` a
= Re J
jjjjjjjjjjk
A e jwt
B C
 
 
Podemos concluir que no regime harmônico temos apenas dependência do espaço, e para 
diferenciar a abordagem dos dois regimes iremos escrever as grandezas temporais com letras 
manuscritas e as grandezas harmônicas com letras de forma. 
Iremos aplicar as transformações nas equações passando-as para o regime harmônico: 
 
1) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = qev Q 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjke jwt = qev e jwt 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OD
jjjjjjjjjjjjjjjjk
= qev (16) 
10 
 
2) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @d Bjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffffQ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjke jwt = @
d B
jjjjjjjjjjjjk
e jwt
b c
dt
fffffffffffffffffffffffffffff
Q 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjkb c
e jwt = @ jw BjjjjjjjjjjjjkA e jwt 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
= @ jw Bjjjjjjjjjjjjk (17) 
 
 
 
3) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkOBjjjjjjjjjjjjk t` a = 0Q5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjke jwtb c = 0 Q e jwt A5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkOBjjjjjjjjjjjjk= 0 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O B
jjjjjjjjjjjjk
= 0 (18) 
4) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a + d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffff
Q5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
B H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e jwt
b c
= J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e jwt +
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
e jwt
b c
dt
ffffffffffffffffffffffffffffff
 
 e jwt 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c
= J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e jwt + jw Djjjjjjjjjjjjjjjjke jwt 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
+ jw Djjjjjjjjjjjjjjjjk (19) 
 
5) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a = @ dqevdtffffffffffffQ5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjke jwt
b c
= @
d qev e jwt
b c
dt
fffffffffffffffffffffffffffffffff
Q e jwt 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c
= @ jwqev e jwt 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= @ jwqev (20) 
Ex 01: Dado um campo harmônico D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
= 2x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk C/m2 e Ejjjjjjjjjjjjjjk= 2e j30º ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk V/m; Passe para o regime 
temporal. 
 
Solução: 
 
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re 2x A e jwt
B C
[D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= 2x A cos wt
` a
ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
. 
 
 E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re 2e j30º A e jwt
B C
[ E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= 2 Re e j 30º + wt
` aB C
= 2 cos wt + 30º` a ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk V/m. 
 
1.3 - Tempo de Relaxação. 
 
Chama-se tempo de relaxação (Tr), o tempo necessário para que a densidade volumétrica de 
cargas no meio condutor caia para 37% do seu valor inicial. (Caia de 63% do valor inicial) 
Uma observação importante é o fato de que, no caso de fontes co-senoidais, a equação (7) será 
sempre nula, afirmando que o divergente da densidade de fluxo elétrico é sempre nulo, pois, como 
será visto a seguir, não existe uma densidade volumétrica de cargas que varie co-senoidalmente com 
o tempo. Assim, das equações (7-10), substituindo D e Jc por εE e σE, respectivamente: 
ε5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O E
jjjjjjjjjjjjjjk
= qev
 
 e σ5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O E
jjjjjjjjjjjjjjk
=@ jw qev` a
 
 
 
11 
 
Igualando os divergentes, resulta em: 
 
qev
ε
ffffffff
=@ jw qev
σ
ffffffff
 (21) 
Como qev, ε, w e σ são todos reais, de uma forma geral, para aplicações em RF, conclui-se que 
esta equação só é verdadeira quando qev = 0, o que significa dizer que a densidade volumétrica de 
cargas elétricas nunca será co-senoidal nesses meios e que: 
 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O E
jjjjjjjjjjjjjjk
= 0
 
 e 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= 0
 
Passando a equação (21) para o domínio temporal: 
qev
ε
ffffffff
=@
d
dt
ffffffqev
σ
ffffffff
 → Z
qo
q1 dq
ev
qev
ffffffffffff
=@ Z
t0
t 1
σ
ε
fffffdt
 → ln q1@ lnq0 =@
σ
ε
ffffft1@ t0b c
 
 ∴ q1 = q0 e
@
σ
ε
ffffff
t
 (22) 
A equação (22) mostra que, se existe a densidade volumétrica de cargas num meio, a mesma 
varia exponencialmente com o tempo, tendendo a ir para a sua superfície, após algum tempo. É 
denominado de tempo de relaxação tr, o intervalo no qual a densidade já caiu para, 
aproximadamente, 37% (≡ e-1) do seu valor inicial q0. Após 5 tr pode-se dizer que as cargas livres 
estarão, praticamente todas, na superfície do meio. Da equação (22), observa-se que: 
 tr = ε/σ (23) 
Ao calcular esse tempo, para diversos meios, chega-se a: 
MATERIAL TEMPO DE RELAXAÇÃO (tr) 
porcelana (ótimo dielétrico) ∼ 0,5 s 
vidro (ótimo dielétrico) ∼ 0,35 s 
H2O destilada ∼ 3,5 s 
H2O do mar (bom condutor) ∼ 0,14 ns 
Cobre (ótimo condutor) ∼ 1,5 x 10-19 s 
 
 Podemos então escrever as equações de Maxwell no domínio harmônico: 
 
1) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkODjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 (24) 
2) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk= @ jw Bjjjjjjjjjjjjk (25) 
3) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO Bjjjjjjjjjjjjk= 0 (26) 
4) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= Jjjjjjjjjjjk + jw Djjjjjjjjjjjjjjjjk (27) 
5) 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkO J cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 (28) 
 
 
12 
 
Ex 02 (Balanis - 1.3): Determine Qe para o campo D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk 3 + x` a com + = 1 de acordo com a 
figura: 
 
Solução: 
 x E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
A d sjjjjjjk= Q
e
Q E
s1
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
A ds axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ E
s2
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
A d s @ axjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c 
 D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
 S1 Z
0
1Z
0
1
D1 dzdy ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
@Z
0
1Z
0
1
D2 dzdy ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= Q
e
 
 z 
 y S2 Z
0
1Z
0
1
3 + 1` adzdy axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@Z
0
1Z
0
1
3 + 0` adzdy axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk[ Qe = 1C 
 d sjjjjjjk 
 
Devemos ressaltar que nas paredes laterais não há fluxo, somente nos planosx=0 e x=1, pois a 
normal da superfície faz 90º com o vetor densidade elétrica. 
 
Ex 03 (Balanis – 1.4): Determine Qe para o campo Ejjjjjjjjjjjjjjk t` a= a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk @ chffffffffff+ b6εofffffffff3z2@ h2
b cF G
 dado um cilindro 
de altura h na direção z e raio a. 
 
Solução: 
 
E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
A d s azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c = Qe QZ
0
2piZ
0
a
εo E azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA dr rdφ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c+Z
0
2piZ
0
a
εo E azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA dr rdφ @azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cd e= Qe 
 
 z Novamente só existe fluxo no topo e na base, na lateral temos: 
 E
jjjjjjjjjjjjjjk
 d sjjjjjjk 
 
Z
0
2piZ
0
h
εo E a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
A dz adφ aφjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cQ aφjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 
 y 
Na base temos @εo Epia2 e no topo εo Epia2 , substituindo o valor do 
campo temos: 
 
 
Q
e
= εo pia
2 @ c
h
ffffffffff+ b6εofffffffff3h2@ h2
b cf g
@
@ c
h
ffffffffff+ b6εofffffffff0@ h2
b cf gHJ IK= εo pia2 3bh26εoffffffffffffffffffffffffffffffffffff[ Qe = pia
2 bh2
2
ffffffffffffffffffffffffC
 
 
1.4 – Condições de Contorno. 
 
São extremamente importantes nas soluções dos campos, principalmente em meios 
confinados. Têm-se duas considerações a fazer: 
 
a) Os meios são de condutividades finitas: 
a1) Reescrevendo a eq.(2) a seguir: 
13 
 
E
+
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O d+
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=@
d
dt
ffffffZ
s
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
Q ETg1 = ETg2
 
Quando a fronteira entre dois meios é tomada, conforme mostra a Figura 1, ao realizar a 
circulação do campo elétrico, somente as componentes tangenciais terão resultado não nulo e, 
fazendo ∆h → 0, o fluxo na fronteira será nulo, pois S tende a uma linha. 
 
 
E1
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@E2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 [ ETg1 t` a@ETg2 t` a= 0 [ ETg1 t` a= ETg2 t` a
 
 Assim, a componente tangencial de campo elétrico é contínua, através da fronteira entre dois 
meios quaisquer. 
 En 2 t
` a
 E2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 
 
E tg2 t
` a
 
 n
jjjjjjjjk
 
 S d sjjjjjjk ∆h 
 ∆x d +
jjjjjjk
 
 
 En 1 t
` a
 E1
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 
 
 
E tg1 t
` a
 
Figura 1 – Contorno em uma Superfície Fronteira entre os Meios 1 e 2 
 a2) Da eq.(4), reescrita a seguir: 
E
+
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O d+
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
d
dt
ffffffZ
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
+Z
s
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
Usando a mesma Figura 1, mas trocando a intensidade elétrica pela magnética, se não há 
corrente impressa, ou seja, J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= 0,
 
semelhante ao caso (a1), quando ∆h → 0, a componente 
tangencial de campo magnético é contínua, através da fronteira entre dois meios quaisquer, desde 
que nenhum deles tenha condutividade infinita. Assim: 
H1
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@H 2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a O ∆x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= 0 [ HTg1 t` a= HTg2 t` a
 
a3) Para se determinar a condição de contorno para a componente normal de campo elétrico, 
repete-se aqui a eq.(1): 
Meio 1 
Meio 2 
14 
 
E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=Q
e
=Z
v
qev dv 
Da eq.(1), juntamente com a Figura 2, o fluxo de Djjjjjjjjjjjjjjjjk t` a através da superfície cúbica só ocorre quando 
existe o produto escalar com ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
A Quando ∆h → 0, então, como não há fontes entre os dois meios: 
@Dn 1 t
` ads + Dn 2 ds = 0 [ Dn 1 t` a= Dn 2 t` a [ ε1 E n 1 = ε2 E n 2
 
Assim, a componente normal de densidade de fluxo elétrico é contínua através da fronteira entre 
dois meios, desde que nenhum deles seja condutor perfeito. Isto equivale dizer que a componente 
normal de campo elétrico não é contínua, desde que as permissividades dos meios sejam diferentes. 
De forma análoga temos que a componente normal de densidade de fluxo magnético é contínua 
através da fronteira entre dois meios. 
 Dn2 t
` a
 D2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 
 
 d sjjjjjjk 
 d sjjjjjjk 
 
Dtg2 t
` a
 
 d sjjjjjjk ∆h 
 
 d sjjjjjjk d sjjjjjjk 
 
 
 Dn1 t
` a
 D1
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 d sjjjjjjk 
 
 
 
Dtg1 t
` a
 
 
Figura 2 - Superfície Fronteira Envolvendo os Meios 1 e 2 
Resumindo: Para meios com condutividade Finita temos: 
1) Dn1 = Dn2 (29) 
2) ETg1 = ETg2 (30) 
3) Bn 1 = Bn2 (31) 
4) HTg1 = HTg2 (32) 
 
b) Um dos meios tem condutividade infinita (≡ condutor perfeito): 
Nesse caso, o condutor perfeito, de condutividade infinita, não terá cargas elétricas livres em seu 
interior, pois todas “fogem” para a superfície mais externa do condutor, na fronteira. Assim, como 
cargas negativas são sumidouros de linhas de campo elétrico, haverá uma componente normal de 
campo elétrico chegando à superfície fronteira, do lado não condutor perfeito, como mostra a Figura 
3. Já no meio condutor perfeito, se σ2 = ∞, então E2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= 0, senão J 2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= σ 2 AE 2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 seria ∞! 
 
 
Meio 1 
Meio 2 
15 
 
 
 meio 2 σ2 =∞ 
 
 meio 1 E1
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 
Figura 3 – Fronteira condutor perfeito - meio qualquer. 
Assim, se o 2º meio é um condutor perfeito, na Figura 3: 
E2 t
` a
= 0 e E Tg 2 t
` a
 = En2 t
` a
= 0
 e, se não há fontes impressas na fronteira: 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
B E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
=@
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
d t
ffffffffffffffffffff
[ se E2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= 0 Q
d B2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
d t
ffffffffffffffffffffff
= 0 
Isto ocorre nas situações [ B2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
=
0
constante em t
T
 
Como se está tratando de campos variáveis co-senoidalmente com o tempo, sua derivada não 
será nula. Assim, a derivada é nula somente se: 
 
 B2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= 0 [ BTg2 t
` a
e Bn 2 t
` a
= 0, ou seja: H Tg2 t
` a
= H n 2 t
` a
= 0
 
Assim, sendo 2 um condutor perfeito, tem-se, em geral: 
b1) Para a componente tangencial de campo elétrico: 
E Tg 1 t
` a
= 0 
b2) Para a componente tangencial de campo magnético, o fluxo da densidade de corrente é nulo 
quando ∆h → 0. Já o outro termo da eq.(5), fica: 
Z
s
J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= Z
∆x
I t
` a
∆h∆x
ffffffffffffffffff
a?
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O ∆hdx a?
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= Z
∆x
I t
` a
∆x
ffffffffffffdx = Z
∆x
J s dx 
Aplicando na eq.(11): 
 
Z
∆x
H t1 t
` adx = Z
∆x
J s t
` adx [ HTg1 t` a= J s t` a 
onde: 
J s
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
=
i
∆x
fffffffff
a?
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
é a densidade linear de corrente na superfície fronteira, apontado no sentido 
perpendicular à circulação do campo. 
16 
 
b3) Para a componente normal de densidade de fluxo elétrico, tem-se que levar em conta as cargas 
depositadas na superfície condutora perfeita. Assim, substituindo-se na eq.(1), obtém-se: 
 
E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=Z
v
qev dv [ E
s
D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= Z
∆s
Q
e
∆h A∆s
ffffffffffffffffffffff∆h ds = Z
∆s
Q
e
∆s
ffffffffds 
Só haverá fluxo na superfície inferior, paralela à fronteira: 
 
Z
∆s
@Dn1 t
` ads = Z
∆s
qes ds [ Dn1 t
` a
=@qes , onde qes =
Q
e
∆s
ffffffff
 é a densidade de cargas superficial. 
b4) No caso da componente normal de fluxo magnético, por dualidade com o item anterior, se são 
supostas correntes magnéticas na superfície condutora, então: 
E
s
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=Z
v
qmv dv [ E
s
B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
O ds
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= Z
∆s
Q
m
∆h A∆s
ffffffffffffffffffffff∆h ds = Z
∆s
Q
m
∆s
fffffffffds
 
Z
∆s
@Bn1 t
` ads = Z
∆s
qms ds [ Bn1 t
` a
=@qms , onde qms =
Q
m
∆s
fffffffff
 é a densidade superficial de cargas. 
No entanto temos que qms = 0, pois não existem correntes magnéticas na superfície. 
Finalmente, reunindo todas as quatro condições, obtém-se: 
 
1) Dn1 =@ qes (33) 
2) ETg 1 = 0 (34) 
3) Bn1 = 0 (35) 
4) HTg1 = J s
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 (36) 
 
Ex. 04: Dado o guia com paredes condutoras perfeitas onde existe um campo elétrico harmônico 
pede-se: a) A expressão do campo magnético associado. b) As expressões dos campos no domínio do 
tempo. c) A densidade superficial de carga nas paredes x=0 e y=a. d) A densidade linear de 
corrente nas superfícies x=0 e y=a e suas direções. 
 
 E
jjjjjjjjjjjjjjk
= Eo sen
piy
a
fffffffffd e
ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) Usando a equação (25). 
 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
= @ jw Bjjjjjjjjjjjjk [5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk = @ jwµ Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
y 
x 
E0 
a 
17 
 
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
@1
jwµ
ffffffffffffff
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjkb c
 
 
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=@
1
jwµ
ffffffffffffff ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
∂
∂x
. ∂
∂y
- ∂
∂z
.
E x 0 0
LLLLLLLLLLL
MMMMMMMMMMM
=@
1
jwµ
ffffffffffffff
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂E x
∂z
ffffffffffff
@ az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂Ex
∂y
fffffffffffff g
[
1
jwµ
ffffffffffffffdE x
dy
fffffffffffff g
az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
Eo
jwµ
ffffffffffffffpi
a
fffff
cos
piy
a
fffffffffd e
az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
b) Ejjjjjjjjjjjjjjk t` a= Re Ejjjjjjjjjjjjjjke jwtB C= Re E 0 sen piyafffffffff
d e
e jwt ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjkF G
[ E 0 sen
piy
a
fffffffffd e
cos wt
` a
ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e jwt
B C
= Re
E0
jwµ
ffffffffffffffpi
a
fffff
cos
piy
a
fffffffffd e
e jwt az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkF G
[ Re
E0
e
j pi2
fff
wµ
ffffffffffffffffffffffpi
a
fffff
cos
piy
a
fffffffffd e
e jwt az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkHJ IK
 
 Re
E 0 pi
awµ
ffffffffffffff
e
@ j pi2
fffff
cos
piy
a
fffffffffd e
e jwt a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkF G
[
E 0 pi
awµ
ffffffffffffff
cos
piy
a
fffffffffd e
cos wt @
pi
2
fffffd e
a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
c) No plano x=0 temos cargas positivas, logo usando a equação 33 temos 
Dn1 = qes[ qes = εo Eo sen
piy
a
fffffffffd e
 e para y=a não temos campo elétrico, logo qes = 0 . 
 
d) Usando a equação 36 temos HTg1 = J s
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 temos H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= HTg então |J s | = piEowµ
o
a
ffffffffffffffffff
cos
piy
a
fffffffffd e
. 
Na parede x=0 temos: 
 
 
 
 
 
 
 
a
2
ffff
 
 Então J s =@
piEo
wµ
o
a
ffffffffffffffffff
cos
piy
a
fffffffffd e
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
. 
 
Na parede y=a temos: 
 
 
 
 
 
 
Então J s =
piEo
wµ
o
a
ffffffffffffffffff
ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
. 
 
 
 
. 
Hz 
x 
y 
Hz 
Js Js 
H = 0 
. Js 
x 
y 
a 
18 
 
 1.5 - Exercícios. 
 
1) (Balanis - 1.3): Determine Qe para o campo D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 4 + y2b c com + = 1 de acordo com a figura 
do exemplo 2: 
 
2) (Balanis - 1.5): Dado o campo Ejjjjjjjjjjjjjjk t` a= axjjjjjjjjjjjjjjjjjjkA x + y` a+ ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB x@ y` aB Ccos wt . 
Qual a relação entre A e B? 
 
3) (Balanis - 1.6): Dado Bjjjjjjjjjjjjk= azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 10@ 121 + 25ρffffffffffffffffffffffffcos 1500piz` a
HJ IKwb m 2*
 determine: 
a) O fluxo através do disco de raio 0,1 centrado na origem. 
b) Ache Ejjjjjjjjjjjjjjk. 
 
4) (Balanis - 1.8): Qual a corrente de deslocamento saindo do cubo do exemplo 2, dado 
J d = ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjkyz + ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk y2 + azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkxyz ? 
 
5) (Balanis - 1.12): Dado um meio propagante com paredes dielétricas onde existe um campo elétrico 
no domínio do tempo E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk5 + azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk10b ccos wt@βxb c pede-se: 
a) O campo magnético associado. 
b) As condições de contorno para E e H em cada fronteira para y=0 e y=h. 
 
 
 
 
 
 εr = 2,56 
 
 
 
6) (Balanis - 4.21): Dado o campo Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cH o e@ αx e@ jβx determine o campo elétrico 
associado. 
 H o = 1
µA
m
fffffffff
, σ =10@ 4 S
m
ffffff
, ε r = 9 e f = 1 Ghz
f g
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista: 
 
 
h 
y 
x 
z 
ar 
ar 
diel 
19 
 
2 - Ondas Eletromagnéticas Planas. 
 
2.1 - Equação da Onda: Solução para o Campo Elétrico. 
 
Objetivo: Obter as expressões dos campos E e H que se propaguem ao longo dos meios. 
 
De Maxwell: 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
B 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BΕ
jjjjjjjjjjjjjjkb c
=5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
B @ jw Bjjjjjjjjjjjjkb c = 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkB @ jwµ Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= J c
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
+ jw Djjjjjjjjjjjjjjjjk= σ Ejjjjjjjjjjjjjjk+ jwε Ejjjjjjjjjjjjjjk = σ + jwεb cEjjjjjjjjjjjjjjk (37) 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OE
jjjjjjjjjjjjjjkb c
@52
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkE
jjjjjjjjjjjjjjk
= @ jwµ 5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c (38) 
 
Substituindo eq. 37 na eq. 38: 
 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
OE
jjjjjjjjjjjjjjkb c
@52
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
E
jjjjjjjjjjjjjjk
= @ jwµ σ + jwε
b c
E
jjjjjjjjjjjjjjk
, como 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
O E
jjjjjjjjjjjjjjk
= 0 
 52
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
E
jjjjjjjjjjjjjjk
@ jwµ σ + jwε
b c
E
jjjjjjjjjjjjjjk
= 0 , fazendo 
γ2 = jwµ σ + jwε
b c
Q Constante de Propagação. (39) 
 
 52
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
E
jjjjjjjjjjjjjjk
@ γ2 E
jjjjjjjjjjjjjjk
= 0 Q Equação Vetorial do campo Elétrico para uma onda propagante. (40) 
 
Supondo que só exista componente Ex, ou seja, Ey=Ez = 0 temos: 
 
∂ 2 E x
∂x 2
ffffffffffffffff+ ∂ 2 E x∂ y2ffffffffffffffff+
∂ 2 E x
∂ z2
ffffffffffffffff
@ γ 2 E x
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= 0 (41) 
Os campos são supostos uniformes em XY, ou seja, ∂Ex∂x
ffffffffffff
=
∂Ex
∂y
ffffffffffff
= 0 
Neste caso temos ∂E x∂z
ffffffffffff
@ γ 2 E x
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= 0 Q Equação do campo elétrico de uma OPU que apresenta 
somente componente Ex. Onde chegamos na solução: 
E x = E o
+
e@ γz + E o
@
eγz (42) 
Analisando a equação: 
 
Ex = Uma OPU polarizada em X. 
Eo = Amplitude inicial do campo elétrico. 
γ = α + jβ Q Constante de propagação, que será mostrada mais a frente. 
Eo
+
e@ γz Q Onda propagante (incidente) que caminha em direção a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk. 
Eo
@
eγz Q Onda propagante (refletida) que caminha em direção - a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
2.2 – Solução para o Campo Magnético. 
 
Buscando a expressão do campo H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 associado, para OPU polarizada em X: 
 
Usando a eq. 25: 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
= @ jw Bjjjjjjjjjjjjk[5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBEjjjjjjjjjjjjjjk= @ jwµ HjjjjjjjjjjjjjjjjjjkQ Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk=@ 1jwµffffffffffffff5jjjjjjjjjjjjjjjjjjkBE
jjjjjjjjjjjjjjkb c
 
 
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=@
1
jwµ
ffffffffffffff ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
∂
∂x
. ∂
∂y
- ∂
∂z
.
E x 0 0
LLLLLLLLLLL
MMMMMMMMMMM
=@
1
jwµ
ffffffffffffff
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂E x
∂z
ffffffffffff
@ az
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk∂E x
∂y
fffffffffffff g
 
 
Se E x = E o
+
e@ γz + E o
@
eγz = f(z), logo, ∂Ex∂y
ffffffffffff
 = 0 
Assim: 
 H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=@
1
jwµ
ffffffffffffff∂Ex
∂z
ffffffffffff
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=@
1
jwµ
ffffffffffffffEo+ @ γ` ae@ γz + Eo@ γ` aeγzb c 
 
 H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
γ
jwµ
ffffffffffffffEo+ e@ γz@Eo@ eγzB CayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkQH y = γjwµffffffffffffffEo+ e@ γz@Eo@ eγz
B C
 (43) 
 
 
2.3 - Regime Harmônico. 
 
Mudança do regime harmônico para o regime do tempo: 
 
 E x z,t
` a
= Re E x z
` a
e jwt
B C
= Re Eo
+
e@ αz e@ jβz + Eo
@
eαz e jβz
b c
e jwt
D E
 
E x z,t
` a
= |Eo+ |e@ αz cos wt@ βz + θo+
b c
+ |E o@ |eαz cos wt + βz + θo@
b c
 V/m (44) 
 
Tomando apenas a 1ª parcela de E x z,t
` a
 e suponha α = 0 temos: 
 
Ex z,t
` a
= |Eo+ |cos wt@βz + θo+
b c
Q Varia simultaneamente em z e t. 
 
2.4 - Velocidade de Fase. 
 
Podemos então calcular sua velocidade de fase: 
 
A velocidade de fase da onda é a velocidade com que se desloca um ponto de fase constante, 
wt@βz + θo+ = cte [
d wt@βz + θo+
b c
dt
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= 0 Q w@βdzdt
fffffffffff
= 0 
 
 V f =
w
β
fffff
=
dz
dt
fffffff
 (45) 
 
 
 
21 
 
Onde chegamos: 
 
V f =
2pif
β
ffffffffffff
Q
V f
f
fffffffff
=
2pi
β
ffffffff
[ λ = 2piβ
ffffffff
Q β = 2piλ
ffffffff
 (46) 
 
Vale lembrar que a velocidade de fase pode ser maior que a velocidade da luz. 
 
2.5 - Impedância. 
 
É definida como impedância intrínseca a relação entre o campo propagante E e o campo H 
propagante. 
 
 
η = Eo
+
e@ γz
γ
jwµ
fffffffffffffffEo+ e@ γz
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
jwµ
γ
ffffffffffffffΩ@ A
 (47) 
 
Substituindo eq. 39 na equação temos: 
 
 η = jwµ
jwµ σ + jwε
b crwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
jwµ
b c2
jwµ
b c
σ + jwε
b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
vuuuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
jwµ
σ + jwε
fffffffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww , dividindo todos os termos por jwε : 
 
η =
µ
ε
fffff
σ
jwε
fffffffffffff+ 1
ffffffffffffffffffffff
vuuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
µ
ε
fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
1@ jσ
wε
ffffffffffd e12fff
ffffffffffffffffffffffffffffffff
=
µ
ε
fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
1 + σ
wε
ffffffffffd e2HJ IK
1
4
fff
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A e
j 12
fffff
tg@ 1
σ
wε
ffffffffffd e
 (48) 
 
Chamamos σ
wε
fffffffffde tangente de perdas, com ela podemos identificar qual o tipo de meio a onda 
esta se propagando. Quanto maior for a tangente de perdas mais condutor será o meio. Com isso 
podemos determinar se o meio é um dielétrico perfeito, bom dielétrico, bom condutor e um condutor 
perfeito. 
 
 Casos Particulares: 
 
a) Vácuo (ar, free space) Q σ = 0, µ
o
, εo A 
 
 
η
o
=
µ
o
εo
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 120pi Ω
 (49) 
 
b) Dielétrico perfeito (lossless) Q σ ≈ 0, ε, µ
o
A 
 
 η =
µ
o
ε
fffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Q ε > εo Q η < ηo (50) 
 
c) Bom Dielétrico Q σ
wε
fffffffff<< 1 < 0,01b c
 
 
22 
 
 Usando aproximação de Taylor chegaremos em uma fórmula aproximada com um erro 
pequeno. 
1 + σ
wε
fffffffffd e2HJ IK
1
4
fffff
≈ 1 + 14
ffff σ
wε
fffffffffd e2
Q η =
µ
ε
fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
1 + 14
fffff σ
wε
ffffffffffd e2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A e
j 12
fffff
tg@ 1
σ
wε
ffffffffffd eF G
 
Como 14
ffff σ
wε
fffffffffd e2
≈ 0
 e para ângulos muito pequenos temos o arco tangente aproximadamente o 
próprio arco, com isso podemos simplificar ainda mais a equação. 12
ffftg@ 1 σ
wε
fffffffffd e
≈ tg@ 1 12
fffσ
wε
ffffffffff ghj ik
 
η = µ
ε
ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwA e j A tg@ 1 12fffffσwεffffffffff
f g
 (51) 
 
d) Bom Condutor Q σ
wε
fffffffff>> 1 >100` a
 
 
 η =
µ
ε
fffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
σ
wε
ffffffffffd e12fff
ffffffffffffffffffff
e
j 12
fffff
tg@ 1
σ
wε
ffffffffffd eF G
[ η = wµ
σ
ffffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwe j pi4fffff (52) 
 
Importante lembrar que a impedância do vácuo é a maior que qualquer impedância. 
 
2.6 - Constante de Atenuação e de Fase. 
 
Usando a eq. 39 temos: 
 
 γ 2 = jwµ σ + jwε
b c
= α + jβ
b c2
 
 γ 2 = α 2@ β 2 + j 2αβ
b c
= @w2 µε
b c
+ j wµσ` a 
 
α 2@β 2 = @w2 µε
2αβ = σwµ
X\Z Q β = σwµ2αfffffffffffffff 
 
Constante de Atenuação:α = w A
µε
2
ffffffff 1 + σ
wε
fffffffffd e2hj ik
1
2
fffff
@ 1
HLLLJ
IMMMK
vuuuuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
NP
m
fffffffffffF G
 (53) 
 
Constante de fase: 
 
β = w A µε2
ffffffff 1 + σ
wε
fffffffffd e2hj ik
1
2
fffff
+ 1
HLLLJ
IMMMK
vuuuuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
rad
m
fffffffffffF G
 (54) 
23 
 
 Casos Particulares: 
 
a) Vácuo (ar, free space) Q σ = 0, µ
o
, εoA 
 
 
αo = 0 (55) 
 β
o
= w µ
o
εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (56) 
 
v f =
w
β
fffff
=
1
µ
o
εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffff
= c
 (57) 
 
b) Dielétrico perfeito (lossless) Q σ ≈ 0, ε, µ
o
A 
 
 α = 0 (58) 
 β = w µ
o
εqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (59) 
 
v f =
w
β
fffff
=
1
µ
o
εqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffff (60) 
 
c) Bom Dielétrico Q σ
wε
fffffffff<< 1 < 0,01b c
 
 
Usando Taylor na eq. 53 temos: 
 
 1 + σ
wε
fffffffffd e2hj ik
1
2
fffff
≈ 1 + 12
fff σ
wε
fffffffffd e2
Q α ≈ w
µεσ2
4w2 ε 2
ffffffffffffffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
 α ≈
σ
2
fffff µ
ε
ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= ησ2ffffffffff (61) 
 
β = w µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 (62) 
 
v f =
w
β
fffff
=
1
µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffff (63) 
 
d) Bom Condutor Q σ
wε
fffffffff>> 1 >100` a
 
Usando a eq. 53 podemos observar que como σ
wε
fffffffff>> 1d e temos 1 + σ
wε
fffffffffd e2hj ik
1
2
fffff
@ 1
HLLLJ
IMMMK≈ σwεfffffffff, obtendo: 
 
α ≈ w A
µε
2
ffffffff σ
wε
fffffffffd eswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwQ α ≈ wµσ2fffffffffffffffr
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 (64) 
 α = β (toda vez que isso ocorrer podemos afirmar que o meio é condutor) 
 
v f =
2w
µσ
fffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 (65) 
 
 
 
2.7 - Efeito Pelicular. 
24 
 
 
O efeito pelicular ou profundidade de penetração (Skin effect) de uma OPU em um meio 
condutor é a distância percorrida nesse meio para o qual a amplitude da onda cai para 37% do valor 
da amplitude antes de entrar no meio. 
 
 Eo
+
 
 E o
+
e@ αd 
 
 
 d 
Temos e@ 1 = e@ αd Q δ p = d =
1
α
fffff
 (66) 
Quando falamos de atenuação é comum usarmos a unidade decibel, que podemos achar da 
seguinte forma. 
 
 AtdB = 10log
P o
P o d
` affffffffffffffffffff g = 20log V oV o d` afffffffffffffffffff
f g
= 20log EoE o d
` affffffffffffffffffff g
 (67) 
 
Aplicando a fórmula temos: 
 
 AtdB = 20log
E o
Eo e@ αd
fffffffffffffffffffffffff g
= 20log 1@ 20log e@ αd = 20αd A log e 
 
 AtdB = 8,686αd (68) 
 
 
A figura a seguir representa a atenuação de uma onda ao penetrar em um meio condutor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex 05: Uma OPU polarizada em determinado eixo penetra num sólido condutor e sofre uma 
atenuação de 15 dB/m, determine a profundidade pelicular nesse meio. 
 
Solução: 
 
 δ p =
1
α
fffff
 , no entanto, a atenuação deve estar em NP/m, então: 
25 
 
8,686α = AtdB [α =
15
8,686
fffffffffffffffff
= 1,73 
δ p =
1
α
fffff
≈ 58 cm 
 
2.8 - Índice de Refração. 
 
n =
c
v f
fffffff
Q n ≥ 1 (69) 
 
Usando a equação da velocidade de fase em cada meio obtemos: 
 
a) Vácuo (ar, free space) Q n = c
c
fff
= 1 (70) 
 
b) Dielétrico perfeito (lossless) Q n = 1
µ
o
εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffff
A
µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
1
ffffffffffffffff
= µ
r
εrqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (71) 
 
c) Bons Dielétricos Q n = 1
µ
o
εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffff
A
µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
1
ffffffffffffffff
≈ µ
r
εrqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (72) 
 
d) Bons Condutores Q n = 1
µ
o
εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffff
A
µσ
2w
fffffffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= µr σ2wεofffffffffffffffs
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 (73) 
 
Ex 06 (Balanis - 4.21): Dado o campo Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cH o e@ αx e@ jβx , ache o que se pede: 
σ =10@ 4 S
m
ffffff
, ε r = 9 e f = 1 Ghz
f g
. 
 
a) O Campo elétrico associado; 
b) A constante de atenuação; 
c) Constante de fase; 
d) Impedância do meio; 
e) Velocidade de Fase; 
f) O comprimento de onda; 
g) O efeito Pelicular; 
 
Solução: 
 
a) Podemos utilizar a relação EH
ffffff
= η e determinar o valor de E pois se trata de uma OPU, e as 
direções do campo utilizando a regra da mão direita: E
jjjjjjjjjjjjjjk
= ηH o e@ γx @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk + j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB C. 
b) Verificamos o meio propagante, σ
wε
fffffffff
Q
10@ 4 36pi
2pi A109
b c
A 9 A10@ 9
b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 0,0002 << 1. Temos um meio bom 
dielétrico. Nesse caso: 
 
26 
 
 
α ≈
σ
2
fffff µ
ε
ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=10@ 42ffffffffffffff
µ
o
9εo
fffffffffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=10@ 46ffffffffffffff120pi[ α = 20pi A10@ 4 NP m. 
 
c) β = w µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 2pi109 µ
o
9εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 6pi A109
3.108
fffffffffffffffffffffff
[ β = 20pi rad m. 
 
d) η µ
ε
ffffrwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 1 + j σ2wεfffffffffffff
d e
=
120pi
3
ffffffffffffffff1 + j0,0001b c[ η = 60piΩ 
 
e) V f =
w
β
fffff
=
w
w µ
o
9εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
ffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
c
3
fff
[ V f =10
8
 m/s 
f) λ =V ff
fffffffff
=
108
109
ffffffffff
= 10 cm 
g) δ p = 1α
fffff
=
1
20pi A10@ 4
fffffffffffffffffffffffffffffff
=
10000
20pi
fffffffffffffffffff
[ δ p =
500
pi
fffffffffff
m 
 
2.9 - Exercícios. 
 
1) Uma OPU de amplitude inicial igual a 1 mV/m e freqüência 0,1GHz, propaga-se num meio de 
características: σ = 5 S/m, µ
o
,εoA Determinar a que distância esta onda terá uma amplitude igual 0,1 
mV/m. 
 
2) Uma OPU atenua 6dB ao percorrer uma distância de 1m. Pede-se a constante de atenuação do 
meio. 
 
3) Se γ = 2 + j2
b c
m@ 1 , determinar a impedância intrínseca do meio se a condutividade é σ = 5 S/m. 
 
4)(Balanis - 4.10): O campo elétrico complexo de uma onda planar uniforme (OPU) propagando-se 
em um meio dielétrico não-ferromagnético ilimitado (é a mesma idéia) é dado pela expressão: 
 
� � 10��e��	
� â� 
 
onde z é medido em metros. Supondo que a freqüência de operação é 100MHz, calcule: 
 
a) Velocidade de fase da onda (informe a unidade); 
b) Constante dielétrica do meio; 
c) Comprimento de onda (em metros); 
 
5) (Balanis - 4.11): A componente elétrica complexa de um campo harmônico no tempo, no espaço 
livre, é dado por: 
� � 10���1 � ������	/���� â� 
 
Supondo que a distância x seja medida em metros, encontre: 
 
a) Comprimento de onda (em metros); 
b) Freqüência; 
c) O campo magnético associado. 
27 
 
6) (Balanis - 4.20): Uma OPU de 3 GHz incide num meio condutor de cobre sem fronteiras ( ou 
ilimitado), cuja condutividade é igual a 5,76 x 107 S/m, μ � μ� e � � ε�. Encontre os valores 
aproximados: 
 
a) Da impedância intrínseca do cobre; 
b) Da profundidade de penetração da onda (skin depth) no cobre, em metros. 
 
7) (Balanis - 4.22): A água do mar é um importante meio na comunicação entre submarinos 
submersos, ou entre esses e estações de recepção e transmissão localizadas acima do nível do mar. 
Supondo que os parâmetros elétricos característicos do mar são: � � 4 S/m, � � 81, " � 1 e 
# � 10$Hz, encontre: 
 
a) A constante de propagação complexa (por metro); 
b) A velocidade de fase (metros por segundo); 
c) O comprimento de onda (metros); 
d) A constante de atenuação (Nepers por metro); 
e) O valor de skin depth (metros). 
 
 
8) (Balanis - 4.23): Os parâmetros elétricos característicos da terra úmida, em uma freqüência de 1 
MHz são: � � 10�%S/m, � � 4 e " � 1. Supondo que o campo elétrico de uma OPU na fronteira 
(no meio úmido) seja igual a 3 x 10-2 V/m, encontre: 
 
a) A distância pela qual a onda se propaga até que a magnitude do campo elétrico reduza para 
1,104 x 10-2 V/m; 
b) A atenuação do campo elétrico sofrida no item a (em decibéis); 
c) O comprimento de onda no meio (em metros); 
d) A velocidade de fase no meio (em metros por segundo); 
e) A impedância intrínseca do meio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista: 
 
28 
 
3 - Vetor Instantâneo e Médio de Poynting. 
 
3.1 – Vetor de Poynting. 
 
 pjjjjjjjjjjjjk= Ejjjjjjjjjjjjjjk t` aBHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a Q W m2*
D E
 (74) 
 
 pjjjjjjjjjjjjka Sentido de propagação. 
 |p|a Densidade instantânea de potência. 
 
 pjjjjjjjjjjjjk= Eo+ e@ αz cos wt@βzb caxjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB Eo+ e@ αzηffffffffffffffffffffffffcos wt@βz
b c
ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
pjjjjjjjjjjjjk= |Eo+ |2 e@ 2αz cos2 wt@ βzb cazjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (75) 
 
Obtendo-se o vetor pjjjjjjjjjjjjk em função da freqüência. 
 
pjjjjjjjjjjjjk= Re Ejjjjjjjjjjjjjjke jwtR SB Re Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjke jwtR S 
pjjjjjjjjjjjjk = E
jjjjjjjjjjjjjjk
e jwt + EC
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e@ jwt
2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
B
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e jwt + H C
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e@ jwt
2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
pjjjjjjjjjjjjk= 12fffRe E
jjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
e j2wt + E
jjjjjjjjjjjjjjk
BH C
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB C
 (76) 
 
3.2 - Densidade Média de Potência. 
 
 Valor médio de pjjjjjjjjjjjjkQ Sjjjjjjjjjjjjk 
 
 S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
t
ffZ
0
t
pjjjjjjjjjjjjk dt Q Sjjjjjjjjjjjjk= 12fffRe E
jjjjjjjjjjjjjjk
BH C
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkB C
ap
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 (77) 
Outra maneira de achar a densidade média é a partir da potência irradiada. 
 
 
S
jjjjjjjjjjjjk
=
P irradiada
4pir2
fffffffffffffffffffffffff
ar
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 (78) 
 
Dado: 
E
jjjjjjjjjjjjjjk
= E o
+
e@ αz e@ jβz ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
E o
+
η
ffffffff
e@ αz e@ jβz ay
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
X^^^^\^
^^^Z [ S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
2
fffRe Eo+ e@ αz e@ jβz A Eo+ηe jθηffffffffffffffffe@ αz e jβz
HJ IKa zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 
 
Meios com σ ≠ 0 (equação geral) 
 
S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
2
fff|E o+ |2
|η|
fffffffffffffff
e@ 2αz cos θη
b c
a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 (79) 
 
 
29 
 
Casos Particulares: 
 
a) Vácuo (ar, free space) Q σ = 0, µ
o
, εo A
 
 
 S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
2
fff|E o+ |2
η
o
fffffffffffffff
a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 (80) 
 
b) Dielétrico perfeito (lossless) Q σ ≈ 0, ε, µ
o
A 
 
S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
2
fff|E o+ |2
η
fffffffffffffff
a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 (81) 
 
3.3 - Teorema de Poynting. 
 
Usando a eq. 7 e multiplicando por H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
 e a eq. 14 por E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A 
 
 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
=@
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffffhj ikHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk t` a (82) 
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= σ AE
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
+
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffffffhj ikEjjjjjjjjjjjjjjk t` a (83) 
 
Subtraindo a eq. 83 da 82 temos: 
 
 H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BE
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
@ E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A 5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
=@H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffff
@ σ E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad e
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
@E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d D
jjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffffff
 
 
Z
v
5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
A E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad edv = Z
v
@ H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d B
jjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffffhj ik@ Ejjjjjjjjjjjjjjk t` aA d Djjjjjjjjjjjjjjjjk t` adtfffffffffffffffffffff
hj ik@ σ Ejjjjjjjjjjjjjjk t` aEjjjjjjjjjjjjjjk t` ad e
hlj
imkdv 
 
E
s
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad ed sjjjjjjk+ µZ
v
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffffffdv + ε Z
v
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffffdv + σZ
v
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` adv = 0
 
 
Onde podemos classificar as seguintes equações: 
 
Vetor de Poynting: 
 
E
s
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
BH
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` ad ed sjjjjjjk (84) 
 
 
Potência armazenada no campo magnético: 
 
µZ
v
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
fffffffffffffffffffffdv
 (85) 
 
30 
 
Potência armazenada no campo elétrico: 
 
ε Z
v
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
A
d E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
dt
ffffffffffffffffffffdv
 (86) 
 
Potência Dissipada: 
 
σZ
v
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` adv
 (87) 
 
Temos que potência é: E
s
pjjjjjjjjjjjjkd sjjjjjjkQ Potência instantânea que flui através de S, que limita o 
volume V. 
 
 
E
s
pjjjjjjjjjjjjkd sjjjjjjk= µ2ffffddtffffffZ
v
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
t
` adv
hj ik+ ε2fffddtffffffZ
v
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` adv
hj ik+ σZ
v
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` adv = 0
 
 
 
W m =
µ
2
ffffZ
v
H
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk2
t
` adv a
 Energia Armazenada no campo magnético. (88) 
W e =
ε
2
fffZv
E
jjjjjjjjjjjjjjk2
t
` adva
 Energia Armazenada no campo elétrico. (89) 
 
Podemos achar a densidade derivando em relação ao seu volume: 
 
dW m
dv
ffffffffffffffff
=
µ
2
ffff
A|H|jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk2a
 Densidade volumétrica de energia armazenada no campo magnético. (90) 
dW e
dv
ffffffffffffff
=
ε
2
fff|E|jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk2a
 Densidade volumétrica de energia armazenada no campo elétrico. (91) 
 
Passando para o domínio do tempo. 
 
dW e
dv
ffffffffffffff
=
ε
4
ffffRe EjjjjjjjjjjjjjjkAEjjjjjjjjjjjjjjkC e jwt
b c
+ Re E
jjjjjjjjjjjjjjk
AE
jjjjjjjjjjjjjjkCb cD E
 (92) 
 
A partir da equação anterior chegamos na densidade média. 
Densidade volumétrica média de energia armazenada no campo elétrico: 
 
 
d W e
ffffffffff
dv
fffffffffffffffff
=
1
t
ffZ
0
t
dW e
dv
fffffffffffffff gdt = ε4ffffRe EjjjjjjjjjjjjjjkEjjjjjjjjjjjjjjk
C
b c
 (93) 
 
Dens. volumétrica média de energia armazenada no campo magnético: 
 
d W m
fffffffffff
dv
ffffffffffffffffff
=
1
t
ffZ
0
t
dW m
dv
fffffffffffffffff gdt = µ4ffffRe HjjjjjjjjjjjjjjjjjjkHjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
C
b c
 (94) 
31 
 
Em meios onde temos σ = 0 as densidades médias de energia armazenadas nos campos são 
iguais. 
 
 
dW m
fffffffffff
dv
ffffffffffffffffff
=
d W e
ffffffffff
dv
fffffffffffffffff
=
1
4
ffffε|Eo+ |2 (95) 
 
 
3.4 - Velocidade de Propagação e de Grupo. 
 
 V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
S
jjjjjjjjjjjjk
d W em
ffffffffffffffff
dv
ffffffffffffffffffffffff
fffffffffffffffffff
 (96) 
 
Nos meios onde σ = 0 temos: 
 
V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
1
2
ffff|Eo+ |
η
ffffffffffffffa zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
1
4
fffffε |Eo+ |2 + 14fffffε |Eo+ |2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
1
ηε
fffffffff
a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
1
µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffa zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk (97) 
 
a) Ar Q V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
1
µ
o
εoqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffff
= V f = c 
b) Diel. Perf. Q V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
1
µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffff= V f 
 
c) Meios com σ ≠ 0. 
 
Usando a eq. (79). 
 
S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
2
fff|E o+ |2
|η|
fffffffffffffff
e@ 2αz cos θη
b c
a z
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
E modificando as equações 93 e 94: 
 
d W e
ffffffffff
dv
fffffffffffffffff
=
ε
4
ffffRe EjjjjjjjjjjjjjjkEjjjjjjjjjjjjjjkC
b c
=
ε
4
ffffRe Eo+ e@ αz e@ jβz A Eo+b cC e@ αz e+ jβzd e= ε4ffff|Eo+ |2 e@ 2αz
 
Analogamente: 
d W m
fffffffffff
dv
ffffffffffffffffff
=
µ
4
ffff|Ho+ |2 e@ 2αz = µ4ffff|Eo
+ |
η
ffffffffffffhj ik2
 
 
A velocidade de propagação será: 
 
V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
1
2
ffff|Eo+ |2 e@ 2αz cos φη
η
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffazjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
1
4
fffff|Eo+ |2 e@ 2αz ε + µ|η|2
ffffffffffff gffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff[ V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
2 cosφη
|η| ε + µ|η|2
ffffffffffff gazjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 (98) 
32 
 
Velocidade de Grupo: 
 
São chamados de dispersivos os meios onde os índices de refração são função de freqüência 
(f(w)), ou seja, meios onde σ ≠ 0. Observa-se que a velocidade de propagação também varia com 
freqüência, já que V p = f η` a= f w` a. 
Quando se transmite uma informação, ela, em geral, ocupa algumas faixas de freqüência. Se 
cada freqüência apresenta um índice de refração diferente, é necessário que se defina uma velocidade 
de grupo, que é a velocidade de fase da envoltória do sinal. 
 
 
Figura 4 – O conjunto de freqüências englobadas pela velocidade de grupo. 
 
Seja por exemplo um sinal composto de 2 freqüências: 
 
E1x = Eo
+
cos w@∆w
` a
t@ β + ∆β
b c
z
D E
 
E2x = Eo
+
cos w + ∆w
` a
t@ β@∆β
b c
z
D E
 
 
 Ex = E1x + E2x = 2 Eo
+
cos wt@ βz
b c
A cos ∆wt@∆βz
b c
 
 
A velocidade de fase da onda em um é wt @ βz = cte[ w @ βdzdt
fffffffffff
= 0 Q V f =
w
β
fffff
 
Da mesma forma, a velocidade de fase da onda em ∆w é: 
 
 ∆wt@βz = cteQ ∆w@∆β dzdt
fffffff
= 0Q V f =
∆w
∆β
ffffffffff
 
 
 V g =V f =
dw
dβ
fffffffff
 (99) 
 
Meios dispersivos 
Normalmente dispersivosQ V g <V f
Anormalmente dispersivosQ V g >V f
X\Z 
 
33 
 
Ex 07 (Balanis - 4.21): Dado o campo Hjjjjjjjjjjjjjjjjjjk= ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cH o e@ αx e@ jβx , ache o que se pede: 
σ =10@ 4 S
m
ffffff
, ε r = 9 e f = 1 Ghz
f g
. 
a) Densidade média de potência; 
b) Velocidade de Propagação; 
c) Velocidade de Grupo; 
 
Solução: 
 
a) Usando a resolução do exemplo anterior temos que Ejjjjjjjjjjjjjjk= ηH o e@ αx@ jβx @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c; 
S
jjjjjjjjjjjjk
=
1
2
fffRe EjjjjjjjjjjjjjjkBH Cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
B C
Q
1
2
fffRe ηH o e@ αx@ jβx @ a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD EB H oC e@ αx + βx a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD EV W 
=
1
2
fffRe ηH o2 e@ 2αx @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cB ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD E = 12fffRe ηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ 4 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
b cD E
 
=
1
2
fffRe ηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ 4 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb cD E= 12fffRe 5ηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
B C
=
5
2
fff40pi A10@ 12 e@ 2.20pi A10@ 4 x axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk 
 S
jjjjjjjjjjjjk
= 100pi A10@ 12 A e@ 40pi A10
@ 4
x ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
 
 
b) Usando a equação 96 temos: 
 
V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
S
jjjjjjjjjjjjk
d W em
ffffffffffffffff
dv
ffffffffffffffffffffffff
fffffffffffffffffff
=
5
2
ffffηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
d W em
ffffffffffffffff
dv
ffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
 
 
 
dW em
fffffffffffff
dv
ffffffffffffffffffff
=
1
4
ffffRe DjjjjjjjjjjjjjjjjkECjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
b c
+
1
4
ffffRe BjjjjjjjjjjjjkH Cjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
b c
=
1
4
ffffRe εηH o @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb ce@ αx@ jβxd eA ηCH oC @ azjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb ce@ αx + jβxd EF 
 +
1
4
ffffRe µ
o
H o ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j2 a zjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c e@ αx@ jβxd eA H oC a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk@ j2 a yjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c e@ αx + jβxd E=F 
 
=
1
4
ffffRe εη2 H o2 e@ αx 1 + 4` aB C+ 14ffffRe µo H o2 e@ 2αx 1 + 4` a
B C
=
5
4
ffffH o2 e@ 2αx εη2 + µob c
=
5
4
ffffHo2 e@ 2αx ε A µoεfffffffs
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww2
+ µ
o
hj ik= 52fffHo2 e@ 2αx µo
 
 
V p
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
5
2
ffffηH o2 e@ 2αx axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
5
2
ffffH o2 e@ 2αx µo
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
η
µ
o
fffffff
ax
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
µ
o
εµ
o
2
ffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
1
9εo µo
ffffffffffffffffffvuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
c
3
fff
=108 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk m/s. 
 
c) Usando as equações 62 e 99 temos: 
 
 V g =
dw
dβ
fffffffff
=
d
dβ
fffffffff β
µεpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffff
hj ik
=
1
µ
o
εqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffff=c
3
fff
=108QV p =V f =V g 
34 
 
3.5 - Exercícios. 
 
1) (Balanis - 4.10): O campo elétrico complexo de uma onda planar uniforme (OPU)propagando-se 
em um meio dielétrico não-ferromagnético ilimitado (é a mesma idéia) é dado pela expressão: 
 
� � 10�����	�� â& 
 
onde z é medido em metros. Supondo que a freqüência de operação é 100MHz, calcule: 
a) Densidade média, no tempo, de potência e 
b) Densidade média, no tempo, de energia total. 
 
2) (Balanis - 4.13): Um transmissor de 11GHz irradia sua potência isotropicamente no espaço livre. 
Supondo que sua potência total irradiada seja 50 mW, a uma distância de 3 Km encontre os seguintes 
valores especificando as unidades: 
a) Densidade média de potência (no tempo); 
b) Valor quadrático médio (ou valor eficaz) dos campos elétrico e magnético ; 
c) Valor médio, no tempo, da densidade volumétrica de energia. 
 
3) (Balanis - 4.14): O campo elétrico de uma onda harmônica propagante no espaço livre é dado por: 
 
� � 10�$�1 � �����'(� â� 
 
Calcule a quantidade de potência real que atravessa uma abertura retangular, cuja seção transversal é 
perpendicular ao eixo z, e igual a 20cm2. 
 
4) Uma portadora de 11Ghz é irradiada isotropicamente, do ar, por uma antena transmissora, de 
potência de 50mW. À 5 Km da transmissora, determinar: 
a) O campo elétrico eficaz; 
b) O campo elétrico eficaz a mesma distância quando a mesma potência é irradiada segundo um 
ângulo sólido de 60º. 
 
5) Uma OPU polarizada em x penetra no volume condutor com uma amplitude de 50 V/m e é 
atenuada de 0,5 NP/m. Se a impedância do meio é dada por 5e j
pi
4
fffff
Ω determine: 
a) A densidade média de potência á 1m de profundidade; 
b) A profundidade pelicular da onda no meio. 
 
6) (Questão de Prova) Uma OPU de 13,8 MHz é atenuada de 12 dB/m, em um meio bom condutor, 
onde µr = 1. Pede-se determinar: 
a) A velocidade de fase da onda; 
b) A velocidade de grupo da onda; 
c) A impedância intrínseca do meio e 
d) distância na qual a amplitude de campo elétrico já caiu para 10% do seu valor inicial, na entrada 
do meio. 
 
 
Lista: 
 
 
 
35 
 
4 - Polarização da Onda. 
 4.1 - Linear. 
 
Sejam as componentes de campo elétrico propagante: 
 
E x t
` a
= |E x+ | cos wt@ βz + θx
b c
E y t
` a
= |E y+ | cos wt@ βz + θ y
b c
X^^^\^
^^Z =
E x t
` a
= |E x+ | cos wt@ βz
b c
E y t
` a
= |E y+ | cos wt@ βz + δ
b c
X^^^\^
^^Z 
 
 δ = θ y@θx Q Defasagem entre duas ondas. (100) 
 
a) Se E y+ = 0[ Polarização linear Vertical. 
 Se Ex
+
= 0 [ Polarização linear Horizontal. 
 
b) Se δ =F pi [
E x t
` a
= E x
+
cos wt@ βz
b c
E y t
` a
= E y
+
cos wt@ βz + pi
b c
X^^^\^
^^Z 
Fazendo z = 0 e dividindo uma equação pela outra temos: 
 
 
E x t
` a
E y t
` afffffffffffffffff= E x+
@ E y
+
fffffffffffffff
 
 
Ex t
` a
=@
Ex
+
E y
+
ffffffffE y t` a[ Polarização Linear (com inclinação para Esquerda). (101) 
 
c) Se δ = 0 [
E x t
` a
= Ex
+
cos wt@ βz
b c
E y t
` a
= E y
+
cos wt@ βz
b c
X^^^\^
^^Z 
Fazendo z = 0: 
 
E x t
` a
E y t
` afffffffffffffffff= Ex+
E y
+
ffffffff
[ Ex t
` a
=
E x
+
E y
+
ffffffffE y t` a[ Polarização Linear (com inclinação para Direita). (102) 
 
4.2 - Circular. 
 
Quando temos δ =F pi2
fffff
 e os módulos do campo elétrico das duas componentes iguais, temos a 
Polarização circular. 
 
Ex 08: São dadas duas componentes com uma defasagem de 90º, determine a equação característica 
da polarização e seu sentido de rotação: 
 
 δ = pi2
fffff
[
E x t
` a
= E x
+
cos wt@ βz@ pi2
fffffd e
E y t
` a
= E y
+
cos wt@ βzb c
X^^^^\^
^^^Z 
36 
 
Solução: 
 
Fazendo z = 0 e depois elevando ao quadrado temos: 
 
 
Ex t
` a
= E x
+
@ sen wt
` a
E y t
` a
= E y
+
cos wt
` a
X^\^
Z Q
Ex t
` a
Ex
+
fffffffffffffffffhj ik2 = @ sen wt` ab c2
E y t
` a
E y
+
fffffffffffffffffhj ik2 = cos wt` ab c2
X^^^^^
^^^^^^^\^
^^^^^^^^
^^^Z
 
 
Somando as duas equações chegamos em: 
 
 
Ex t
` a
Ex
+
fffffffffffffffffhj ik2 + E y t` a
E y
+
fffffffffffffffffhj ik2 = 1 (103) 
 
Se Ex
+
= E y
+
Q Polarização Circular. 
Se Ex
+ ≠ E y
+
Q Polarização Elíptica. 
 
Analisando se a polarização tem sentido de rotação para direita ou esquerda (Horário ou Anti-
horário): 
 
E x t
` a
= E x
+
cos wt@
pi
2
fffffd e
E y t
` a
= E y
+
cos wt
` a
X^^^\^
^^Z =
E x t
` a
= E x
+
cos wt
` a
E y t
` a
= E y
+
cos wt +
pi
2
fffffd e
X^^^\^
^^Z 
 
Basta jogar valores para (wt) e verificar o deslocamento angular no circulo trigonométrico. 
 
wt = 0º E x t
` a
= E x
+
E y t
` a
= 0
X\Z e wt = pi4fffff
Ex t
` a
=
2pwwwwwwwwwwwwwwwww
2
fffffffffffEx+
E y t
` a
=
2pwwwwwwwwwwwwwwwww
2
fffffffffffE y+
X^^^^^
\^^
^^^^^Z
 
 
Percebemos que houve um deslocamento no sentido anti-horário. Dizemos então que é uma 
polarização circular para a esquerda. É importante ressaltar que devemos sempre realizar essa 
análise em relação a componente Ex t
` a
, ou seja, a defasagem deve ficar na direção E y t` a. 
Assim, quando a componente e E y t
` a
 está adiantada de 90°em relação a componente Ex t
` a
 e 
ambas têm o mesmo valor, chamamos de Polarização circular para esquerda.Se, entretanto E y t
` a
estiver atrasada de 90° em relação a componente Ex t
` a
, a polarização será para a direita. 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
4.3 - Elíptica. 
 
Se δ ≠ 0, δ ≠F pi ou δ ≠F pi2
fffff
 temos a polarização elíptica. 
Para verificar o sentido de rotação podemos utilizar a seguinte regra: 
 
Quando: 
0 < δ < pi [ Polarização é para esquerda. 
0 < δ <@pi [ Polarização é para direita. 
 
Importante: Toda vez que achar uma defasagem maior que 180º devemos replementar este 
ângulo. Caso isso não seja feito o sentido de rotação estará errado. 
 
Ex 09: Dada uma OPU propagante em um meio com perdas, determine a polarização e seu sentido 
de rotação caso haja e sua freqüência se sua V f = c2
fff
. 
 
E
jjjjjjjjjjjjjjk
= e@ piz e@ jpiz j axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ 1@ jb cayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkd e V/m 
Solução: 
 
O primeiro passo é separar as componentes e fazer z = 0, pois não interessa o deslocamento, e em 
seguida passar para o domínio do tempo. 
 
Ex = j A e@ piz e@ jpiz
E y = 1@ j
b c
A e@ piz e@ jpiz
X^^\^
Z^
 
 
Separadas as componentes podemos passar para o tempo. 
 
Ex = j Q Re e j
pi
2
fffff
Ae jwt
B C
Qcos wt +
pi
2
fffffd e
 
E y = 1@ j Q 2
pwwwwwwwwwwwwwwwww
2
fffffffffffRe e@ j pi4fffffA e jwtB CQ 2pwwwwwwwwwwwwwwwww2fffffffffffcos wt@ pi4fffff
d e
 
 
Analisando a defasagem temos δ =@ pi4
fffff
@
pi
2
fffff
=@
3pi
4
ffffffff
, temos então uma polarização elíptica para 
direita, pois a defasagem é diferente de 0º, 90º e 180º e é negativa. (P.E.D) 
 
Para achar a freqüência bastar utilizar a fórmula (45). 
 
 V f =
w
β
fffff
=
2pi f
pi
ffffffffffff
Q
c
2
fff
= 2f [ f = c4
ffff
= 75 MHz 
 
Ex 10: Dado um campo elétrico de uma OPU que viaja no ar; 
 
 E
jjjjjjjjjjjjjjk
=10@ 3 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+ j ayjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkb c e@ jβz V m+ 
Pede-se: 
a) A polarização da onda; 
b) Sentido de rotação caso exista. 
38 
 
Solução: 
 
Fazemos Z=0 e em seguida passamos para o regime temporal. 
 
E
jjjjjjjjjjjjjjk
t
` a
= Re 10@ 3 axjjjjjjjjjjjjjjjjjjk+