aula 03 - construçoes fundamentais PARTE II

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Construções fundamentais: 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
PERIODO: 2013.1
DISCIPLINA: CIV0402- DESENHO BÁSICO
PROFESSORA: GIRLENE GOMES
1- Transporte de ângulos
2- Traçado de bissetriz 
3- Operações com segmentos
4- Concordância de retas e arcos
5- Reta tangente
UFRN – UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
AULA 03
PARTE II
Ângulo
É a porção do plano compreendida entre duas semi-retas saindo do mesmo ponto chamado vértice. Pode ser traçado:
Com o par de esquadro;
Com o transferidor;
Com o compasso;
 Tipos de ângulos :
Transporte de ângulo
Transportar o ângulo formado pelas retas r e s de vértice V para uma nova posição de vértice V1, pertencente a  uma reta suporte r1.
1
2
Transporte de ângulo
1- Um arco de raio qualquer determina M e N sobre as retas r e s respectivamente.
2- Mantendo o mesmo raio e centro em V1, temos M1 sobre r1.
Transporte de ângulo
3- Centro em M1, o arco de raio = MN, determina N1 na intersecção com o 1º arco traçado de centro em V1.
s1
Transporte de ângulo
4- A reta s1 é determinada por V1N1, onde teremos o ângulo desejado.
Bissetriz
É o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes.
A bissetriz de um ângulo AÔB é a semi-reta OC tal que AÔC=CÔB. Ou seja a bissetriz “divide” o ângulo em dois outros congruentes. 
P é um ponto da bissetriz OC do ângulo AÔB e PD e PE são perpendiculares aos lados AO e OB.
Bissetriz de um ângulo com o auxílio do vértice
Trata-se de dividir o ângulo em 2 partes iguais.
1- Com centro em V, um arco de raio qualquer, determina os pontos 1 e 2 sobre r e s respectivamente.
Bissetriz de um ângulo com o auxílio do vértice
2- Dois arcos de mesmo raio com centros em 1 e 2, se interceptam em M.
Bissetriz de um ângulo com o auxílio do vértice
3- Traçamos uma reta que passa por V e M.
Bissetriz de um ângulo com o auxílio do vértice
4- A reta que passa por V e M é a bissetriz procurada.
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
1- Traçamos uma reta u concorrente com as retas t e s , encontramos os pontos V1 e V2.
1ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
2- Construímos duas circunferências, com vértice V1 e V2. 
3- Encontramos os pontos 1,2 e 3 . E os pontos 4,5 e 6.
1ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
4- Traçamos as bissetrizes dos quatro ângulos internos.
1ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
5- As bissetrizes dos quatro ângulos internos se encontram em M e N.
1ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
6- Traçamos uma reta passando pelo pontos M e N.
1ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
7- Teremos a bissetriz desejada.
1ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
1- Tomamos um ponto aleatório P sobre a reta t.
2ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
2- Com o centro em P, um arco de raio qualquer determina os pontos A e B sobre as retas t e s respectivamente
2ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
3- Mantendo o mesmo raio do arco anterior, com o centro em B, achamos o ponto C na reta s.
4- Ainda com o mesmo raio, o arco com o centro em C, corta o primeiro arco traçado no ponto D
2ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
5- Liga-se o ponto A ao ponto D, determinando-se E sobre a reta s.
2ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
6- Traçar a mediatriz do segmento AE. 
7- Teremos os ponto M e N. 
2ª Forma
Bissetriz de um ângulo sem o uso do vértice
8- A mediatriz de AE é a bissetriz procurada
2ª Forma
Divisão de ângulo reto três partes iguais
1
2
3
1- Traçar o arco 1 com centro em A, determinando os pontos B e C.
2- Com mesmo raio traçar o arco 2 com centro em B, determinando o ponto D na interseção com o arco 1.
3- Traçar o arco 3 com centro em C, determinando o ponto E na interseção com o arco 1.
4- As retas AD e AE dividem o ângulo em três partes iguais.
Segmentos Proporcionais
Dois segmentos são proporcionais a outros dois segmentos, quando a razão dos dois primeiros é igual a razão dos dois últimos. 
Divisão de um segmento em partes iguais
Dividir o segmento AB a seguir em sete partes iguais.
Divisão de um segmento em partes iguais
1) A partir de uma das extremidades (A ou B), construímos um outro segmento de reta com comprimento qualquer (AC).
Divisão de um segmento em partes iguais
2) Usando o compasso com uma abertura qualquer, marcamos sete pontos no segmento AC igualmente espaçadas.
Divisão de um segmento em partes iguais
3) Una o último ponto (A7) ao ponto B. 
4) Trace retas paralelas ao segmento BA7 passando por A6, A5, ..., A1. 
Divisão de um segmento em partes iguais
5) O segmento AB está dividido em sete partes iguais.
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
 Dividir o segmento CD em partes proporcionais a 2, 3 e 4. Com CD=5,0 cm.
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
1) Na extremidades C, construímos um segmento de reta com comprimento qualquer.
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
2) Na extremidades C, construímos um arco com raio de 1 unidade. 
	Como a proporção inicial é 2, então traçamos o arco 2 vezes. 
	Marcando o ponto 1.
Proporção: 2; 3; 4
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
2) Com a mesma abertura traçamos os arcos até o ponto 2. Como a 2ª proporção é 3, traçamos o arco 3 vezes. 
	Marcando o ponto 2.
Proporção: 2; 3; 4
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
3) O mesmo passo anterior traçamos o ponto 3. Como a 3ª proporção é 4, traçamos o arco 4 vezes. Marcando o ponto 3.
Proporção: 2; 3; 4
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
4) Unimos os pontos D a 3.
Proporção: 2; 3; 4
Divisão de um segmento em partes proporcionais:
5) Traçamos a paralela a reta D3, em 2 e 1.
6) Teremos os segmento CD dividido em partes proporcionais a 2, 3 e 4.
CE = EF = FD
 2 3 4 
Determinar a terceira proporcional a dois segmentos dados :
Terceira proporcional é o nome de cada um dos extremos de uma proporção onde os meios são iguais. 	
Sobre s, marcamos x e y. Sobre u marcamos y. O feixe de paralelas determina CD = m.
x = y
y m 
Determinar a quarta proporcional a três segmentos dados, x,y e z
Quarta proporcional é um termo qualquer de uma proporção em relação aos outros três. 	
Em P, marcamos  os segmentos x e y, e o segmento z, respectivamente sobre os lados s e u.
Ligamos o ponto A ao ponto C, e em seguida traçamos BD, segmento paralelo ao segmento AC.
A quarta proporcional m é igual ao segmento CD.
x = z
y m 
Concordância de retas paralelas
Dados dois segmentos de retas paralelos AB e CD e os raios r1 e r2.
Traçar a concordância com dois arcos com r1 e r2.
1ª Situação
r1
r2
Concordância de retas paralelas
Traçar uma reta perpendicular (m) ao segmento AB, passando por B.
Traçar outra perpendicular (n) ao segmento CD, passando por C.
1ª Situação
r1
r2
Concordância de retas paralelas
Traçar uma reta paralela (p) ao segmento AB, a uma distância igual a r2.
Traçar outra reta paralela (q) ao segmento CD, a uma distância igual a r1.
Marcamos o ponto O.
1ª Situação
r1
r2
Concordância de retas paralelas
6) Com centro em O e raio igual a r1+r2, fazemos o arco atingindo a reta p. 
7) Marcamos o ponto P.
1ª Situação
r = r1+r2
Concordância de retas paralelas
8) Ligamos o ponto P ao ponto O.
1ª Situação
Concordância de retas paralelas
9) Com centro no ponto P e raio r2, construímos o arco 1.
1ª Situação
1
1
Concordância de retas paralelas
10) Com centro no ponto O e raio r1, construímos o arco 2.
1ª Situação
1
2
Concordância de retas paralelas
11) Sendo o ponto R, o ponto de concordância entre os dois arcos.
1ª Situação
Concordância de retas paralelas
Dado duas semi-retas r e s 
2ª Situação
Concordância de retas paralelas
Ligamos o ponto A ao ponto B.
Marcamos um ponto C qualquer no segmento de reta AB.
2ª Situação
C
Concordância de retas paralelas
3) Traçamos as mediatrizes de AC e BC .
2ª Situação
Concordância de retas paralelas
4) Traçamos uma reta perpendicular (m) a reta r, passando por
A.
5) Traçamos outra perpendicular (n) a reta s, passando por B.
6) Marcamos o ponto O e O’.
2ª Situação
s
m
n
Concordância de retas paralelas
7) Com centro em O e raio OA, fazemos o arco AC.
2ª Situação
Concordância de retas paralelas
8) Com centro em O’ e raio O’B, fazemos o arco CB.
2ª Situação
Concordância de arcos
Dado dois arcos de centro O e O’, e o ponto A
B
Concordância de arcos
Unimos o ponto O ao ponto A.
Marcamos sobre AO o ponto B, sendo a distância de AB igual ao raio do arco de centro O’.
Concordância de arcos
3) Unimos B ao ponto O’.
Concordância de arcos
4) Traçamos a mediatriz de BO’, até encontrar a reta OA.
Concordância de arcos
5) Encontramos o ponto C.
Concordância de arcos
A’
6) Com centro em C e raio CA, fazemos o arco AA’.
Tangente a uma circunferência
Dada uma circunferência e um ponto P fora dela
Traçar por P a tangente à circunferência.
Tangente a uma circunferência
Unimos o ponto P ao ponto O.
Traçamos a mediatriz do segmento OP e encontramos o ponto médio (M).
Tangente a uma circunferência
3) Com centro em M e raio MO, traçamos uma circunferência que passa pelo ponto P.
4) Encontramos os ponto A e B
Tangente a uma circunferência
5) Unimos o ponto P aos pontos A e B, construindo as retas m e n, tangentes a circunferência.