CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I - Aula 11 Cálculo de volumes - fatiamento

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Aula 11: Cálculo de volumes: fatiamento
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CÁLCULO de VOLUMES: 
FATIAMENTO
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PRÓXIMOS 
PASSOS
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 11: cálculo de volumes - fatiamento 
Exemplo:cálculo do volume do cilindro
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Horizontalizando o cilindro, podemos dizer que sua altura vai de a até b, ou seja, vale b – a
 
Percebe-se também que todas as seções são iguais (cilindro).
a
b
x1
x2
x
Exemplo:cálculo do volume do cilindro
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Pode-se imaginar que o cilindro poderia ser representado por vários cilindros de mesma seção com alturas pequenas. Para isso bastaria que dividíssemos o trecho a até b em uma determinada quantidade de fatias (fatiamento).
A soma dos volumes dos cilindros pequenos seria igual ao volume do cilindro grande.
Exemplo:cálculo do volume do cilindro
a
b
x1
x2
x
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Considerando uma largura de fatia tão pequena a ponto de imaginarmos ser de um tamanho infinitesimal, podemos chamá-la de de dx.
Dessa forma, o volume de uma fatia seria calculado por:
A(x) . dx
Exemplo:cálculo do volume do cilindro
a
b
x1
x2
x
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Como o que interessa é a soma do volume de todos as fatias, pode-se dizer que o volume do cilindro pode ser calculado desta forma: 
Exemplo:cálculo do volume do cilindro
a
b
x1
x2
x
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Exemplo:cálculo do volume do cilindro
a
b
x1
x2
x
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Pensando em volumes genéricos...
Considere o sólido S, que se estende ao longo do eixo x e que é limitado à esquerda e à direita, respectivamente, pelos planos perpendiculares ao eixo x em a e b.
Como calcular seu volume?
Por fatiamento, seguindo a ideia da soma de Riemann
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Vamos fatiar o sólido, calcular o volume de cada fatia e somar os volumes!
Como pode-se ver ao lado, se forem geradas poucas fatias o resultado não será bom.
Mas e se fatiarmos em infinitos pedaços?
Pensando em volumes genéricos...
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Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
x1
x2
0
9
x
Horizontalizando a pirâmide percebe-se que, tal qual o cilindro, a altura vai de 0 até 9, ou seja, vale 
9 - 0 = 9
Diferentemente do cilindro, as duas seções demarcadas nos planos de corte são diferentes.
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x1
x2
0
9
x
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos proceder o fatiamento da pirâmide, gerando fatias muito finas. Vamos considerar as alturas de cada fatia tão pequenas (infinitesimais), que podemos assumi-las como de valor igual a dx.
Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x1
x2
0
9
x
A ideia agora é calcular o volume de cada fatia e somar.
Raciocínio:
Se as fatias forem grossas, as áreas de cada face da fatia serão bem diferentes;
Se as fatias forem finas, as áreas de cada face da fatia serão quase iguais;
Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão iguais.
Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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x1
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0
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x
Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão iguais
Portanto, o volume de cada fatia será: 
A(x) . dx
e o volume poderá ser calculado por: 
Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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Exemplo:cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm
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DIRETRIZES PARA APLICAR O MÉTODO DE FATIAMENTO
 
Paracalcular o volume de um sólidopeloMétodo de Fatiamento, recomenda-se:
Esboçaro sólido e umaseçãotransversal que o tipifica para, em seguida, encontrar uma funçãoA(x) que expresse a área destaseção nointervalo desejado;
Posicionaro sólido sobre o eixoxeencontrar os limites de integraçãoaeb;
Determinaro volume do sólido através do cálculo da integraldefinida.
 
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Assuntos da próxima aula:
Cálculo de volumes: revolução.
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